第第頁江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2024屆高三教學(xué)情況調(diào)研數(shù)學(xué)試題學(xué)校:______姓名：______班級：______考號：______注意事項：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必將姓名、考生號等個人信息填寫在答題卡指定位置.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答.超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算法則計算可得.【詳解】因為，所以.故選：A2.已知集合，，若中有2個元素，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)即可求解.【詳解】，因為中只有2個元素，則，所以.故選：B3.某學(xué)生通過計步儀器，記錄了自己最近30天每天走的步數(shù)，數(shù)據(jù)從小到大排序如下：5588605487999851990110111110291120712634129011300113092131271326813562136211376113801141011417214191142921442614468145621462115061156011590119972估計該學(xué)生最近30天每天走的步數(shù)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（）A.14292 B.14359 C.14426 D.14468【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定數(shù)據(jù)，利用第75百分位數(shù)的意義求解即得.【詳解】由，得樣本的第75百分位數(shù)為第23個數(shù)據(jù)，據(jù)此估計該學(xué)生最近30天每天走的步數(shù)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為14426.故選：C4.若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則（）A.3 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得，進而可得，，即可求解.【詳解】設(shè)，則，即，即，所以.因為，所以，.故選：A5.有4個外包裝相同的盒子，其中2個盒子分別裝有1個白球，另外2個盒子分別裝有1個黑球，現(xiàn)準備將每個盒子逐個拆開，則恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先將4個盒子進行全排，若恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中，則前兩個盒子都是白球或都是黑球，分別計算出排列數(shù)，即可得到答案.【詳解】將4個盒子按順序拆開有種方法，若恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中，則前兩個盒子都是白球或都是黑球，有種情況，則恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中的概率為.故選：B6.已知，分別是雙曲線的左、右焦點，是雙曲線右支上的一個動點，且“”的最小值是，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】法一：根據(jù)條件，利用點到點的距離公式得到，再利用，即可求出結(jié)果；法二：利用雙曲線的定義，得到，再利用的取值范圍，即可求出結(jié)果.【詳解】解法一：不妨設(shè)，，，且，則，所以，解得，，故雙曲線C的漸近線方程為.解法二：，所以，解得，，故雙曲線C的漸近線方程為.故選：C.7.已知圓，過點的直線l與圓O交于B，C兩點，且，則（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件可得，結(jié)合圖形得出，然后根據(jù)轉(zhuǎn)化法利用向量積求出向量的模即可【詳解】如圖，在中，，，，，，所以.故選：D8.如圖，圓和圓外切于點，，分別為圓和圓上的動點，已知圓和圓的半徑都為1，且，則的最大值為（）A.2 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】由，化簡得到，兩邊平方化簡可得：，由化簡即可得到答案.【詳解】，所以，所以，即，解得..故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知的部分圖象如圖所示，則（）A.B.在區(qū)間單調(diào)遞減C.在區(qū)間的值域為D.在區(qū)間有3個極值點【答案】AD【解析】【分析】求出函數(shù)解析式，進而求得函數(shù)值判斷A，舉反例判斷BC，利用整體代換法判斷D即可.【詳解】由圖像得，，解得，故，故此時有，將代入函數(shù)解析式，得，故，解得，而，故，此時，顯然成立，故A正確，易知，，而，，又，故在區(qū)間上并非單調(diào)遞減，故B錯誤，易知，，故在區(qū)間的值域不可能為，故C錯誤，當時，，，當時，取得極值，可得在區(qū)間有3個極值點，故D正確.故選：AD10.已知正四棱錐的所有棱長均相等，為頂點在底面內(nèi)的射影，則下列說法正確的有（）A.平面平面B.側(cè)面內(nèi)存在無窮多個點，使得平面C.在正方形的邊上存在點，使得直線與底面所成角大小為D.動點分別在棱和上（不含端點），則二面角的范圍是【答案】BD【解析】【分析】過作直線，則為平面與平面的交線，取中點中點F，連接，求得可判斷A；取中點中點H，連接，可得，，可判斷B；由已知可知當Q在正方形各邊中點時，與底面所成的角最大，可得，判斷C；作垂直于，連接，則為二面角的平面角，求得二面角范圍是，判斷D.【詳解】已知所有棱長都相等，不妨設(shè)為1．對于A：過S作直線，因為，所以，所以為平面與平面交線，取中點中點F，連接，由正四棱錐，可得，所以，所以為二面角的平面角，連接，在中，所以平面與平面不垂直，故A錯誤；對于B：取中點中點H，連接，因為，又平面，平面，所以平面，平面，又，所以平面平面，所以當時，平面，這樣的點P有無窮多，故B正確；對于C：由已知可知當Q在正方形各邊中點時，與底面所成的角最大，，所以，所以不布存Q使得與底面成的角為，故C錯誤；對于D：作垂直于，連接，因為平面，又平面，所以，又，所以平面，因為平面，所以，因為則為二面角的平面角，當都無限向點B靠攏時，；當時，，所以二面角范圍是，故D正確．故選：BD.11.已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且滿足，，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)性質(zhì)可確定關(guān)于直線對稱，關(guān)于點對稱，從而可確定其周期性，再結(jié)合單調(diào)性可得函數(shù)的大致圖象，結(jié)合周期性、對稱性、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)、三角函數(shù)性質(zhì)逐項判斷即可得結(jié)論.【詳解】對于函數(shù)有，，則函數(shù)關(guān)于直線對稱，由，則函數(shù)關(guān)于點對稱，所以，所以得，則，故函數(shù)的周期為，且，故函數(shù)為偶函數(shù)，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的大致圖象如下圖：由對稱性可得，所以，故A不正確；由于，，所以，故B正確；又，，所以，故C正確；，且，因為，所以，故，所以，故D正確.故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：抽象函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性，解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的圖象，從而可確定函數(shù)值的大小關(guān)系、對稱關(guān)系.考查學(xué)生的基本分析能力與計算能力，屬于中等難度的題型.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式結(jié)合自變量范圍求解即可.【詳解】，，，故答案為：13.已知，若平面內(nèi)滿足到直線的距離為1的點有且只有3個，則實數(shù)________．【答案】或【解析】【分析】設(shè)出動點的坐標，由求得其軌跡方程，由題意知，只需使圓心到直線的距離等于1即可.【詳解】設(shè)點，由可得：，兩邊平方整理得：，即點的軌跡是圓,圓心在原點，半徑為2.若該圓上有且只有3個點到直線的距離為1，則圓心到直線的距離，解得．故答案為：或.14.有序?qū)崝?shù)組稱為維向量，為該向量的范數(shù)，范數(shù)在度量向量的長度和大小方面有著重要的作用．已知維向量，其中．記范數(shù)為奇數(shù)的的個數(shù)為，則______；______．（用含的式子表示）【答案】①.40②.【解析】【分析】根據(jù)乘法原理和加法原理即可求解；根據(jù)和的展開式相減得到的通項公式.【詳解】根據(jù)乘法原理和加法原理得到．奇數(shù)維向量，范數(shù)為奇數(shù)，則個數(shù)為奇數(shù)，即1的個數(shù)為1，3，5，…，，根據(jù)乘法原理和加法原理得到，兩式相減得到.故答案為：2；.四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知中，角所對的邊分別為.（1）求角；（2）若，且的周長為，求的面積.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，切化弦后整理可得；（2）根據(jù)余弦定理，聯(lián)立已知條件解方程組可得，然后由面積公式可得.小問1詳解】由正弦定理邊化角得，所以，即，整理得，因為，所以，又，所以.【小問2詳解】由正弦定理得，又，所以，即，所以，所以，所以，所以的面積.16.單位面積穗數(shù)?穗粒數(shù)?千粒重是影響小麥產(chǎn)量的主要因素，某小麥品種培育基地在一塊試驗田種植了一個小麥新品種，收獲時隨機選取了100個小麥穗，對每個小麥穗上的小麥粒數(shù)進行統(tǒng)計得到如下統(tǒng)計表：穗粒數(shù)穗數(shù)41056228其中同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表.從收獲的小麥粒中隨機選取5組，每組1000粒，分別稱重，得到這5組的質(zhì)量（單位：）分別為：.（1）根據(jù)抽測，這塊試驗田的小麥畝穗數(shù)為40萬，試估計這塊試驗田的小麥畝產(chǎn)量（結(jié)果四舍五入到）；公式：畝產(chǎn)量畝穗數(shù)樣本平均穗粒數(shù)（2）已知該試驗田穗粒數(shù)近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.若小麥穗粒數(shù)不低于28粒的穗數(shù)超過總體的，則稱該小麥品種為優(yōu)質(zhì)小麥品種，試判斷該試驗田中的小麥品種是否為優(yōu)質(zhì)小麥品種.參考數(shù)據(jù)：若近似服從正態(tài)分布，則.【答案】（1）；（2）該試驗田中的小麥為優(yōu)質(zhì)小麥品種.【解析】【分析】（1）用每組區(qū)間的中點值乘以穗數(shù)求和除以100得到樣本平均穗粒數(shù)，再由題所給數(shù)據(jù)得到樣本平均千粒重，代入所給公式即可；（2）先根據(jù)數(shù)據(jù)求得，再由，根據(jù)正態(tài)分布的原則，求得概率即可判斷.【小問1詳解】該試驗田樣本平均穗粒數(shù)為，樣本平均千粒重為，所以這塊試驗田的小麥畝產(chǎn)量的估計值為，【小問2詳解】由（1）得，所以，由得：，故：，所以該試驗田中的小麥為優(yōu)質(zhì)小麥品種.17.如圖，在四棱柱中，四邊形與四邊形是面積相等的矩形，，，平面平面為的中點.（1）求點到平面距離的差；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件得到平面，從而有，再利用幾何關(guān)系得到，得到平面，從而點到平面的距離分別為，分別求出，即可求出結(jié)果；（2）建立空間直角坐標系，求出及平面的法向量，利用線面角的向量法，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】因為四邊形是矩形，所以，又平面平面，且平面平面平面，所以平面，因為平面，所以.在矩形中，，所以，因，所以，又平面，所以平面.設(shè)，則點到平面的距離分別為，又，所以點到平面距離的差為.【小問2詳解】因為平面平面，所以，又，所以，又由矩形知，兩兩垂直，以點為坐標原點，以直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.則，所以設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，得，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.18.三等分角是古希臘幾何尺規(guī)作圖的三大問題之一，如今數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明三等分任意角是尺規(guī)作圖不可能問題，如果不局限于尺規(guī)，三等分任意角是可能的.下面是數(shù)學(xué)家帕普斯給出的一種三等分角的方法：已知角的頂點為，在的兩邊上截取，連接，在線段上取一點，使得，記的中點為，以為中心，為頂點作離心率為2的雙曲線，以為圓心，為半徑作圓，與雙曲線左支交于點（射線在內(nèi)部），則.在上述作法中，以為原點，直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標系，若，點在軸的上方.（1）求雙曲線的方程；（2）若過點且與軸垂直的直線交軸于點，點到直線的距離為.證明：①為定值；②.【答案】（1）（2）①證明見解析；②證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)直接求出，即可求出結(jié)果；（2）①根據(jù)條件得到直線的方程為，設(shè)，則，利用兩點間的距離公公式及，即可證明結(jié)果；②根據(jù)條件得到，從而得到，再利用幾何關(guān)系，即可證明結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)雙曲線的方程為，由及，可得，所以，因為雙曲線的離心率為2，所以，解得，所以雙曲線的方程為.【小問2詳解】①由題可得，因為，所以直線的方程為，設(shè)，則，所以，，所以，為定值.②因為，由①得，因為，所以，又都是銳角，所以，所以，所以.【點睛】關(guān)鍵點晴：本題的關(guān)鍵在于第（2）問中的②問，利用①中結(jié)果得到，從而得到，再利用條件，即可求解.19.已知函數(shù).（1）若，討論的單調(diào)性；（2）已知存在，使得在上恒成立，若方程有解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，令，判斷的單調(diào)性，即可得到的取值情況，從而得到的單調(diào)區(qū)間；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，依題意可得，即可得到，設(shè)，依題意可得有解，利用導(dǎo)數(shù)說明的單調(diào)性，即可得到，從而得到，再令，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極值與區(qū)間端點的函數(shù)值，從而求出參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，當時，，所以，設(shè)，因