PAGE18-河南省鄭州市八校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理（含解析）一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1.已知a＜0，－1＜b＜0，則有（）A.ab2＜ab＜a B.a＜ab＜ab2 C.ab＞b＞ab2 D.ab＞ab2＞a【答案】D【解析】試題分析：，故選D．考點(diǎn)：比大?。痉椒c(diǎn)睛】比大小常用的方法是比較法：分為作差法和作商法．作差法是兩式相減化為積的形式或者多項(xiàng)式和的形式，然后與零作比較，多項(xiàng)式的形式常用作差法；冪指對(duì)得形式常作商，作商是與零作比較，但要留意提前判定兩項(xiàng)是同正或同負(fù)．2.在中，若°，°，．則=A. B. C. D.【答案】A【解析】∵在△ABC中,A=45°,B=60°，a=2，∴由正弦定理得：.本題選擇A選項(xiàng).3.設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】試題分析：當(dāng)時(shí)，不是遞增數(shù)列；當(dāng)且時(shí)，是遞增數(shù)列，但是不成立，所以選D.考點(diǎn)：等比數(shù)列4.下列有關(guān)命題的說法中錯(cuò)誤的是（）A.若為假命題,則p、q均為假命題B.“”是“”的充分不必要條件C.命題“若,則“的逆否命題為：“若,則”D.對(duì)于命題p：,使得,則：,均有【答案】A【解析】【分析】依據(jù)命題的真假,充分與必要條件的關(guān)系以及命題之間的關(guān)系,特稱命題的否定為全稱命題等逐一推斷即可.【詳解】本選擇題可以逐一推斷,明顯對(duì)于A選項(xiàng)為假命題可知p、q一假一真或者均為假命題,因此A的結(jié)論錯(cuò)誤,選擇A項(xiàng)即可．對(duì)于B項(xiàng),可得,反之無法推出,所以“”是“”充分不必要條件.對(duì)于C項(xiàng)條件,結(jié)論否定且互換,正確.特稱命題的否定是全稱命題,可知D推斷正確．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題的真假推斷問題,充要條件,命題的否定,全稱命題以及特稱命題的概念．5.已知在△ABC中內(nèi)角ABC的對(duì)邊分別為a,b,邊c上的高為,,則角C的大?。ǎ〢. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)三角形的面積公式,解得即可求解C的大??；【詳解】由題意,依據(jù)三角形的面積公式,可得：,解得,明顯所以,又,可得．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用,其中在解有關(guān)三角形的題目時(shí),要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更合適,要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息,合理選擇正、余弦定理求解,著重考查了運(yùn)算與求解實(shí)力,屬于基礎(chǔ)題．6.若x，y滿意,則的最大值是（）A. B.2 C. D.1【答案】A【解析】【分析】作出x,y滿意的可行域,利用z的幾何意義即可解答．【詳解】作出實(shí)數(shù)x,y滿意不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖(陰影部分)：令則,由圖可知當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),z最大,即取最大值為,故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用z的幾何意義,利用結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．7.已知在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,,若此三角形有且只有一個(gè),則a的取值范圍是（）A. B.C.或 D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意求出,然后數(shù)形結(jié)合可得a的范圍．【詳解】由,正弦定理可得；∵這樣的三角形有且只有一個(gè),∴或；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用,考查三角形解的狀況,考查特別角的三角函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題．8.在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，a2012+a2013＞0，a2012?a2013＜0，則使Sn＞0成立的最大自然數(shù)n是（）A.4025 B.4024 C.4023 D.4022【答案】B【解析】∵等差數(shù)列，，a2012+a2013＞0，a2012?a2013＜0∴，∴∵，∴∵，∴∴使Sn＞0成立的最大自然數(shù)n是4024，故選B.9.已知函數(shù)，若數(shù)列滿意，且對(duì)隨意的正整數(shù)都有成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】試題分析：因?yàn)榍覍?duì)隨意的正整數(shù)都有成立，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，即函數(shù)為增函數(shù)，需滿意：，故選擇D考點(diǎn)：1．分段函數(shù)；2．函數(shù)的單調(diào)性10.在中，為銳角，，則為（）A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】D【解析】試題分析：由，所以且，又因?yàn)闉殇J角，所以，由，依據(jù)正弦定理，得，解得，所以三角形為等腰直角三角形，故選D.考點(diǎn)：三角形形態(tài)的判定.11.已知數(shù)列滿意，是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且，則的最小值為（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，則，則，即，所以，故由題設(shè)得，所以，即，應(yīng)選答案A。點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是搞清晰該數(shù)列中的各項(xiàng)的規(guī)律，進(jìn)而整明白，然后借助題設(shè)條件中的，再將奇妙變形，從而運(yùn)用基本不等式求最小值，使得問題簡捷、奇妙獲解。12.若正實(shí)數(shù)滿意，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A.B.C.D.【答案】C【解析】試題分析：由得，，令，則，即，解之得（舍去）或，不等式可轉(zhuǎn)化為在區(qū)間是恒成立，令，所以在區(qū)間上，恒成立等價(jià)于，解之得或，故選C．考點(diǎn)：1．基本不等式；2．函數(shù)與不等式．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式、不等式恒成立與函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化，首先進(jìn)行拼湊，由基本不等式求出代數(shù)式的取值范圍,設(shè),換元,將不等式不等式轉(zhuǎn)化為在區(qū)間是恒成立,構(gòu)造關(guān)于函數(shù)，由一次函數(shù)的性質(zhì)即可求參數(shù)的取值范圍．二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.設(shè)數(shù)列{an}滿意a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），則數(shù)列{}的前10項(xiàng)的和為__．【答案】【解析】試題分析：∵數(shù)列滿意，且，∴當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，上式也成立，∴．∴．∴數(shù)列的前項(xiàng)的和．∴數(shù)列的前項(xiàng)的和為．故答案為：．考點(diǎn)：（1）數(shù)列遞推式；（2）數(shù)列求和.14.在中，已知是的平分線，，則________.【答案】【解析】設(shè)中邊上的高為，則有，整理得．設(shè)，在中分別由余弦定理得，即，解得．在中由余弦定理得．又，∴．答案：點(diǎn)睛：解答本題時(shí)首先依據(jù)三角形的面積公式得到三角形角平分線的性質(zhì)，即三角形的角平分線分對(duì)邊所成的兩條線段與該角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，利用此結(jié)論并結(jié)合余弦定理可得到三角形的為止邊長，然后在依據(jù)要求解題即可．15.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?，平面區(qū)域與關(guān)于直線對(duì)稱，對(duì)于隨意的，則的最小值為__________．【答案】【解析】作出不等式組所表示的可行域，如圖陰影部分，由三角形ABC構(gòu)成，其中，作出直線，明顯點(diǎn)A到直線的距離最近，由其幾何意義知，區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)最短距離為點(diǎn)A到直線的距離的2倍，由點(diǎn)到直線的距離公式有：，所以區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)之間的最近距離為，即.點(diǎn)睛：本題主要考查了簡潔的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于中檔題.奇妙識(shí)別目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解答本題的關(guān)鍵.16.在中，，當(dāng)△ABC的周長最短時(shí)，BC的長是______．【答案】【解析】【分析】設(shè)所對(duì)的邊,依據(jù)余弦定理可得,以及可得c,再利用均值不等式即可求出答案．【詳解】設(shè)所對(duì)的邊,依據(jù)余弦定理可得,所以將代入上式,可得,化簡可得,所以△ABC的周長.設(shè),則,可得,當(dāng)且僅當(dāng),即此時(shí),可得周長的最小值為．的長是．故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理和均值不等式的應(yīng)用,以及化簡變形、運(yùn)算實(shí)力,屬于中檔題．三、解答題（本大題共6小題，共70.0分）17.設(shè)命題:實(shí)數(shù)滿意；命題：實(shí)數(shù)滿意（1）若，且為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若,且是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）P為真時(shí)，，q為真時(shí)，，求交集即得解；（2）先求出和，再列出不等式組，即得m的取值范圍.【詳解】解：（1）由得;當(dāng)時(shí)，，即P為真時(shí)，由得，即，即q為真時(shí)，因?yàn)檎?，則p真q真，所以（2）由得；，又，所以m＜x＜3m,由得，即；設(shè)，若的充分不必要條件則A是B的真子集，所以即【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的解法和復(fù)合命題的真假的推斷，考查充分必要條件的推斷，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解駕馭水平和分析推理實(shí)力.18.已知關(guān)于x的不等式（1）若不等式的解集是，求k的值；（2）若不等式的解集是R，求k的取值范圍；（3）若不等式的解集為，求k的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)依據(jù)一元二次方程與對(duì)應(yīng)的不等式的關(guān)系,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系,求出k的值；(2)跟據(jù)題意解得即可,(3)依據(jù)題意,得且,由此求出k的取值范圍【詳解】(1)∵不等式的解集是,∴且-3和-2是方程的實(shí)數(shù)根,由根與系數(shù)的關(guān)系,得,所以；(2)不等式的解集是R,所以,解得(3)不等式的解集為,得,解得【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題,也考查了利用基本不等式求函數(shù)最值的問題,是綜合性題目．19.在中,分別為角的對(duì)邊，若成等差數(shù)列，△ABC的周長為15，且．（1）求的面積；?（2）設(shè)G為的重心，求的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)設(shè),由的周長為15,可得：,進(jìn)而由,可得,解得,由余弦定理可得，結(jié)合范圍可得C的值,依據(jù)三角形面積公式即可計(jì)算得解．(2)延長,交于F點(diǎn),則F為的中點(diǎn),由,可求的值,利用重心的性質(zhì)可求．【詳解】(1)設(shè),由的周長為15,可得：,因?yàn)?所以將代入到上式中,解得：,所以∴由余弦定理可得：,∴由,可得,∴(2)延長,交于F點(diǎn),則F為的中點(diǎn),由∴∴,∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列,余弦定理以及平面對(duì)量在解三角形中的應(yīng)用,考查了運(yùn)算求解實(shí)力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題．20.已知等差數(shù)列與公比為正數(shù)的等比數(shù)列滿意，．（1）求,的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)干脆利用已知條件建立等量關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)利用(1)的結(jié)論,進(jìn)一步利用裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】(1)由題意．設(shè)公差為d,公比為q,則,解得．故;．(2)因?yàn)?所以=,故=．【點(diǎn)睛】本題考查的學(xué)問要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用,裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算實(shí)力和轉(zhuǎn)換實(shí)力及思維實(shí)力,屬于基礎(chǔ)題型．21.某地棚戶區(qū)改造建筑平面示意圖如圖所示，經(jīng)規(guī)劃調(diào)研確定，棚改規(guī)劃建筑用地區(qū)域近似為圓面，該圓面的內(nèi)接四邊形是原棚戶區(qū)建筑用地，測量可知邊界萬米，萬米，萬米.（1）請(qǐng)計(jì)算原棚戶區(qū)建筑用地的面積及的長；（2）因地理?xiàng)l件的限制，邊界不能更改，而邊界可以調(diào)整，為了提高棚戶區(qū)建筑用地的利用率，請(qǐng)?jiān)趫A弧上設(shè)計(jì)一點(diǎn)，使得棚戶區(qū)改造后的新建筑用地的面積最大，并求出最大值.【答案】(1)萬米.萬平方米.(2)所求面積的最大值為萬平方米，此時(shí)點(diǎn)為弧ABC的中點(diǎn).【解析】試題分析：(1)利用圓內(nèi)接四邊形得到對(duì)角互補(bǔ)，再利用余弦定理求出相關(guān)邊長，再利用三角形的面積公式和分割法進(jìn)行求解；(2)利用余弦定理和基本不等式進(jìn)行求解．試題解析：(1)依據(jù)題意知，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，∴∠ABC＋∠ADC＝180°.在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，即AC2＝42＋62－2×4×6×cos∠ABC.在△ADC中，由余弦定理，得AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC，即AC2＝42＋22－2×4×2×cos∠ADC.又cos∠ABC＝－cos∠ADC，∴cos∠ABC＝，AC2＝28，即AC＝2萬米，又∠ABC∈(0，π)，∴∠ABC＝.∴S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝×4×6×sin＋×2×4×sin＝8(平方萬米)．(2)由題意知，S四邊形APCD＝S△ADC＋S△APC，且S△ADC＝AD·CD·sin＝2(平方萬米)．設(shè)AP＝x，CP＝y(tǒng)，則S△APC＝xysin＝xy.在△APC中，由余弦定理，得AC2＝x2＋y2－2xy·cos＝x2＋y2－xy＝28，又x2＋y2－xy≥2xy－xy＝xy，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào)，∴xy≤28.∴S四邊形APCD＝2＋xy≤2＋×28＝9(平方萬米)，故所求面積的最大值為9平方萬米，此時(shí)點(diǎn)P為的中點(diǎn)．22.各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿意．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿意．（1）求證為等差數(shù)列并求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）若,數(shù)列的前n項(xiàng)和．①求；②若對(duì)隨意,均有恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】