第04講正弦定理和余弦定理(分層精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·河北邢臺(tái)·高一沙河市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，若，則（

）A． B． C．2 D．2．（2023春·山東濟(jì)南·高一?？茧A段練習(xí)）已知中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，，則（

）A．30° B．45° C．150° D．30°或150°3．（2023春·云南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則（

）A．2 B．4 C．6 D．84．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，，則的面積為（

）．A． B． C． D．5．（2023春·湖北武漢·高一武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）?？茧A段練習(xí)）中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若，，，則邊c長(zhǎng)為（

）．A． B．C．或 D．或6．（2023春·甘肅白銀·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．銳角三角形7．（2023春·江蘇南京·高一南京市大廠高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，設(shè)為的面積，且，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．28．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下圖是梁思成研究廣濟(jì)寺三大士殿的手稿，它是該建筑中垂直于房梁的截面，其中是房梁與該截面的交點(diǎn)，，分別是兩房檐與該截面的交點(diǎn)，該建筑關(guān)于房梁所在鉛垂面（垂直于水平面的面）對(duì)稱，測(cè)得柱子與之間的距離是（為測(cè)量單位），柱子與之間的距離是．如果把，視作線段，記，，是的四等分點(diǎn)，，，是的四等分點(diǎn)，若，則線段的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023春·浙江金華·高一?？茧A段練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．在中，若，則B．在銳角中，不等式恒成立C．在中，若，則必是等腰直角三角形D．在中，若，，則不是等邊三角形10．（2023春·福建莆田·高一?？茧A段練習(xí)）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.下面四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．，，則的外接圓半徑是2 B．若，則C．若，則一定是銳角三角形 D．若，則三、填空題11．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，若外接圓面積為，則面積的最大值為_(kāi)_____．12．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)在邊上，，則邊的最小值為_(kāi)_________.四、解答題13．（2023春·廣東廣州·高一廣州市培英中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，是角所對(duì)的邊，且滿足(1)求角的大?。?2)設(shè)向量，向量，且向量共線，判斷的形狀.14．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求角A的大?。?2)若，求的周長(zhǎng)的取值范圍．15．（2023·黑龍江哈爾濱·哈九中?？级＃┑膬?nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知.(1)求角C；(2)若，D為BC中點(diǎn)，，求AD的長(zhǎng).B能力提升1．（2023春·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．2．（2023春·江蘇鹽城·高一江蘇省阜寧中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，有，則的最大值是（

）A． B． C． D．3．（2023春·山東煙臺(tái)·高一山東省招遠(yuǎn)第一中學(xué)校考期中）銳角中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在銳角中，，，則中線的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（多選）（2023春·江蘇南京·高一南京市第二十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)G為△ABC的重心，點(diǎn)D，E分別為AB，AC上的點(diǎn)，且D，G，E三點(diǎn)共線，，，m＞0，n＞0，記△ADE，△ABC，四邊形BDEC的面積分別為S1，S2，S3，則（）A． B． C． D．6．（多選）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且，延長(zhǎng)至.則下面結(jié)論正確的是（

）A．B．C．若，則周長(zhǎng)的最大值為D．若，則面積的最大值為C綜合素養(yǎng)1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖1，它由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.我們通過(guò)類比得到圖2，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，若，則（

）A．5 B．6 C．7 D．82．（多選）（2023春·貴州黔東南·高二校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)是平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，，，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．存在實(shí)數(shù)，使C．不是平面的法向量 D．四邊形的面積為3．（多選）（2023春·山東菏澤·高一?？茧A段練習(xí)）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，且B為鈍角，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．4．（2023春·重慶·高三重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)校?？计谀┰凇鰽BC中，角的對(duì)邊分別為，若，且．(1)求角B的值；(2)若，且的面積為，求BC邊上的中線AM的長(zhǎng)．5．（2023春·安徽亳州·高三?？茧A段練習(xí)）在中，、、分別是角A、B、C的對(duì)邊，.(1)求B的大小；(2)若，求的周長(zhǎng)的取值范圍.6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是斜三角形，角A，B，C滿足.(1)求證：；(2)若角A，B，C的對(duì)邊分別是邊a，b，c，求的最小值，并求此時(shí)的各個(gè)內(nèi)角的大小.第04講正弦定理和余弦定理(分層精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·河北邢臺(tái)·高一沙河市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，若，則（

）A． B． C．2 D．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，所以，則.故選：C.2．（2023春·山東濟(jì)南·高一?？茧A段練習(xí)）已知中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，，則（

）A．30° B．45° C．150° D．30°或150°【答案】A【詳解】因?yàn)?，，，所以由正弦定理可得，所以?50°．因?yàn)椋?，所以．故選：A3．（2023春·云南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【詳解】根據(jù)正弦定理有，得；故選：D.4．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，，則的面積為（

）．A． B． C． D．【答案】B【詳解】.故選：B5．（2023春·湖北武漢·高一武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）校考階段練習(xí)）中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若，，，則邊c長(zhǎng)為（

）．A． B．C．或 D．或【答案】A【詳解】在中，因?yàn)椋?，，所以，即，解得或（舍去），所?故選：A.6．（2023春·甘肅白銀·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．銳角三角形【答案】B【詳解】由得,由二倍角公式可得或，由于在，,所以或,故為等腰三角形或直角三角形故選：B7．（2023春·江蘇南京·高一南京市大廠高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，設(shè)為的面積，且，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【詳解】由余弦定理知：，由條件：，，即，

，

，

，時(shí)取最大值1；故選：B．8．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下圖是梁思成研究廣濟(jì)寺三大士殿的手稿，它是該建筑中垂直于房梁的截面，其中是房梁與該截面的交點(diǎn)，，分別是兩房檐與該截面的交點(diǎn)，該建筑關(guān)于房梁所在鉛垂面（垂直于水平面的面）對(duì)稱，測(cè)得柱子與之間的距離是（為測(cè)量單位），柱子與之間的距離是．如果把，視作線段，記，，是的四等分點(diǎn)，，，是的四等分點(diǎn)，若，則線段的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】依題意，如圖所示：其中點(diǎn)與點(diǎn)重合，因?yàn)樵摻ㄖP(guān)于房梁所在鉛垂面（垂直于水平面的面）對(duì)稱，，，是的四等分點(diǎn)，，，是的四等分點(diǎn)所以，，，所以為直角三角形，四邊形為矩形，所以且，又，所以，在中，由余弦定理得：，所以，所以.故選：A.二、多選題9．（2023春·浙江金華·高一?？茧A段練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．在中，若，則B．在銳角中，不等式恒成立C．在中，若，則必是等腰直角三角形D．在中，若，，則不是等邊三角形【答案】ABD【詳解】對(duì)于A：，，由正弦定理可得，A正確；對(duì)于B：在銳角中，，，，B正確；對(duì)于C：在中，若，由正弦定理可得，，或，或，則是等腰三角形或直角三角形，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：在中，若，則不是等邊三角形，D正確.故選：ABD.10．（2023春·福建莆田·高一?？茧A段練習(xí)）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.下面四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．，，則的外接圓半徑是2 B．若，則C．若，則一定是銳角三角形 D．若，則【答案】ABD【詳解】對(duì)：由正弦定理知，所以外接圓半徑是2，故正確；對(duì)：由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正確；對(duì)：因?yàn)椋詾殇J角，但不確定，故C錯(cuò)誤；對(duì)：若，，所以由正弦定理得，故D正確.、故選：ABD.三、填空題11．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，若外接圓面積為，則面積的最大值為_(kāi)_____．【答案】【詳解】由已知及正弦定理得，所以，所以，又，所以．由的外接圓面積為，得外接圓的半徑1．由正弦定理得，所以，所以，解得，所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故答案為:.12．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)在邊上，，則邊的最小值為_(kāi)_________.【答案】1【詳解】令，則，又，在中，由余弦定理可得，化簡(jiǎn)整理得，因?yàn)椋?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為1.故答案為：1四、解答題13．（2023春·廣東廣州·高一廣州市培英中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，是角所對(duì)的邊，且滿足(1)求角的大小；(2)設(shè)向量，向量，且向量共線，判斷的形狀.【答案】(1)(2)直角三角形【詳解】（1）因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，共線，所以，所以或（舍）；當(dāng)時(shí)，，所以為直角三角形.14．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求角A的大?。?2)若，求的周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)橐驗(yàn)?，所以，所以因此有．又因?yàn)?，所以．?）由，及余弦定理，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．又因?yàn)?，所以，故的周長(zhǎng)的取值范圍為．15．（2023·黑龍江哈爾濱·哈九中校考二模）的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知.(1)求角C；(2)若，D為BC中點(diǎn)，，求AD的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【詳解】（1）∴∴∵，由正弦定理得∴，∴，∴，解得；（2），，∴，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，解得．B能力提升1．（2023春·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由正弦定理得：由余弦定理得：，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，，時(shí)取等號(hào)，,則，所以面積的最大值.故選：B2．（2023春·江蘇鹽城·高一江蘇省阜寧中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，有，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，又，，所以又，，，所以，即，，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，顯然為銳角，要使取最大值，則取最小值，此時(shí)，所以，即的最大值是．故選：D．3．（2023春·山東煙臺(tái)·高一山東省招遠(yuǎn)第一中學(xué)?？计谥校╀J角中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)樵阡J角中，，且，所以，則，所以，則或（舍去），所以，，因?yàn)闉殇J角三角形，，所以，所以，所以，，故選：B.4．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在銳角中，，，則中線的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】令的內(nèi)角所對(duì)邊分別為，由正弦定理及得，即，銳角中，，即，同理，于是，解得，又線段為邊上的中線，則，又，于是，因此，當(dāng)時(shí)，，，所以中線的取值范圍是.故選：D5．（多選）（2023春·江蘇南京·高一南京市第二十九中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)G為△ABC的重心，點(diǎn)D，E分別為AB，AC上的點(diǎn)，且D，G，E三點(diǎn)共線，，，m＞0，n＞0，記△ADE，△ABC，四邊形BDEC的面積分別為S1，S2，S3，則（）A． B． C． D．【答案】ABC【詳解】A選項(xiàng)，由D、G、E三點(diǎn)共線，則＝，設(shè)，，m＞0，n＞0.則，又由重心性質(zhì)可知，則，，即，即選項(xiàng)A正確；B選項(xiàng)，S1＝＝，S2＝，則，即選項(xiàng)B正確；CD選項(xiàng)，＝≤，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則，即選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC．6．（多選）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且，延長(zhǎng)至.則下面結(jié)論正確的是（

）A．B．C．若，則周長(zhǎng)的最大值為D．若，則面積的最大值為【答案】ACD【詳解】，，解得：，由得：，，，解得：（舍）或，，，A正確；，，，即，為等邊三角形，，B錯(cuò)誤；，，在中，由余弦定理得：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），解得：，周長(zhǎng)的最大值為，C正確；設(shè)，則，，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，D正確.故選：ACD.C綜合素養(yǎng)1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖1，它由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.我們通過(guò)類比得到圖2，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，若，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【詳解】因?yàn)?，，所以，而，在中，設(shè)，則，由正弦定理得，解得，由余弦定理，所以.故選：C.2．（多選）（2023春·貴州黔東南·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)是平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，，，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．存在實(shí)數(shù)，使C．不是平面的法向量 D．四邊形的面積為【答案】ACD【詳解】A：，所以本選項(xiàng)結(jié)論正確；B：，假設(shè)存在存在實(shí)數(shù)，使，，顯然方程組無(wú)實(shí)數(shù)解，因此假設(shè)不成立，所以不存在實(shí)數(shù)，使，因此本選項(xiàng)說(shuō)法不正確；C：不互相垂直，所以不是平面的法向量，因此本選項(xiàng)說(shuō)法正確；D：，所以，四邊形的面積為：，因此本選項(xiàng)說(shuō)法正確，故選：ACD3．（多選）（2023春·山東菏澤·高一?？茧A段練習(xí)）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，且B為鈍角，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】因?yàn)椋?/p>