模塊素養(yǎng)檢測

（120分鐘150分）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出

的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）

1.復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）的虛部為（）

1+i

A.1B.-1C.±1D.0

【解析】選B.因?yàn)閦=""""=-1-為所以復(fù)數(shù)z的虛部為T.

（1+i）（1-i）

2.當(dāng)前，國家正大力建設(shè)保障性住房以解決低收入家庭住房困難的問

題.已知甲、乙、丙三個(gè)社區(qū)現(xiàn)分別有低收入家庭360戶、270戶、180

戶，假設(shè)第一批保障性住房中有90套住房用于解決這三個(gè)社區(qū)中90戶

低收入家庭的住房問題,若采用分層抽樣的方法決定各社區(qū)戶數(shù)，則應(yīng)

從甲社區(qū)中抽取低收入家庭的戶數(shù)為（）

A.40B.30C.20D.36

【解析】選A.---------X90=40.

360+270+180

3.奧林匹克會旗中央有5個(gè)互相套連的圓環(huán),顏色自左至右，上方依次

為藍(lán)、黑、紅，下方依次為黃、綠，象征著五大洲.在手工課上，老師將

這5個(gè)環(huán)分發(fā)給甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)，每人分得1個(gè),則事件

“甲分得紅色”與“乙分得紅色”是（）

099

A.對立事件

B.不可能事件

C.互斥但不對立事件

D.既不互斥又不對立事件

【解析】選C.甲、乙不能同時(shí)得到紅色，因而這兩個(gè)事件是互斥事件；

又甲、乙可能都得不到紅色，即“甲或乙分得紅色”的事件不是必然事

件，故這兩個(gè)事件不是對立事件.

4.一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都乘以2,再減去80,得到一組新數(shù)據(jù),若求

得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1.2,方差是4.4,則原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別

是（）

A.40.6,1.1B.48.4,4.4

C.81.2,44.4D.78.8,75.6

【解析】選A.設(shè)原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為五和s,

則｛厘.2,鵬:對‘6.

5.已知點(diǎn)0,N在AABC所在平面內(nèi)，且|而|二|os|=|oc|,赤+而+就=0,則

點(diǎn)0,N依次是4ABC的（）

A.重心外心B.重心內(nèi)心

C.外心重心D.外心內(nèi)心

【解析】選C.由|。日|二|而|=|比|知，0為4ABC的外心；由NA+F^B+NC=0,

得贏=通+就,取BC邊的中點(diǎn)D,則再匚而+就=2說,知A,N,D三點(diǎn)共線,

且AN=2ND,故點(diǎn)N是AABC的重心.

6.某產(chǎn)品的設(shè)計(jì)長度為20cm,規(guī)定誤差不超過0.5cm為合格品,今對

一批產(chǎn)品進(jìn)行測量,測得結(jié)果如下表：

長度(cm)19.5以下19.5-20.520.5以上

件數(shù)5687

則這批產(chǎn)品的不合格率為(

A.—B.—C.—D.—

80802020

【解析】選D.P=S+7-2.

5+68+720

7.一只猴子任意敲擊電腦鍵盤上的0到9這十個(gè)數(shù)字鍵,則它敲擊兩次

(每次只敲擊一個(gè)數(shù)字鍵)得到的兩個(gè)數(shù)字恰好都是3的倍數(shù)的概率為(

9332

A.—B.—C.—D.-

100501009

【解析】選A.任意敲擊0到9這十個(gè)數(shù)字鍵兩次，其得到的所有結(jié)果為

(0,i)(i=0,1,2,-,9);(1,i)(i=0,1,2,-,9);(2,i)(i=0,1,2,-,9);

???;(9,i)(i=0,1,2,…，9).故共有100種結(jié)果.兩個(gè)數(shù)字都是3的倍數(shù)

的結(jié)果有

(3,3),(3,6),(3,9),(6,3),(6,6),(6,9),(9,3),(9,6),(9,9),共有9

Q

種.故所求概率為——.

100

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

在等腰Rtz^A'BC中,A'B=BC=1,M為A'C的中點(diǎn)，沿BM把它折

成二面角，折后A與C的距離為1,則二面角C-BM-A的大小為

A.30°B.60°C.90°D.120°

【解析】選C.如圖所示，

由A'B=BC=1,NA'BC=90°,得A'C=V2.

因?yàn)镸為A，C的中點(diǎn)，所以MC=AM=—.

2

且CMBM,AM，BM,所以NCMA為二面角C-BM-A的平面角.因?yàn)?/p>

AC=1,MC=AM=—,所以NCMA=900.

8.已知四棱錐S-ABCD的所有頂點(diǎn)都在同一球面上,底面ABCD是正方形

且和球心0在同一平面內(nèi)，當(dāng)此四棱錐體積取得最大值時(shí)一，其表面積等

于4+4V3,則球0的體積等于(

.4V28返

A.——nB.——弘

33

「16723272

C.----nDn.----n

33

【解析】選B.由題意可知四棱錐S-ABCD的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,

底面ABCD是正方形且和球心。在同一平面內(nèi)，當(dāng)體積最大時(shí)，可以判定

該棱錐為正四棱錐，底面在球大圓上，可知底面正方形的對角線長度的

一半為球的半徑r,且四棱錐的高h(yuǎn)=r,進(jìn)而可知此四棱錐的四個(gè)側(cè)面均

是邊長為&r的正三角形，底面為邊長為四r的正方形，所以該四棱錐

的表面積為S=4X—（V2r）2+（V2r）2=2（2舊+2）/=4+4舊，

4

因此r=2,r=衣，所以球0的體積V；TTr3=-n義2衣二曳三.

333

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出

的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對的得5分,選對但不全的

得3分，有選錯(cuò)的得0分）

9.下列說法:①一組數(shù)據(jù)不可能有兩個(gè)眾數(shù)；

②一組數(shù)據(jù)的方差必須是正數(shù)；

③將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一常數(shù)后,方差恒不變；

④在頻率分布直方圖中，每個(gè)小長方形的面積等于相應(yīng)小組的頻率.

其中錯(cuò)誤的有（）

A.①B.②C.③D.④

【解析】選AB,若一組數(shù)據(jù)中，有兩個(gè)或幾個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)相同且最

多，則這幾個(gè)數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).可見，一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以不

唯一，即①錯(cuò)誤.一組數(shù)據(jù)的方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方，必須是非負(fù)數(shù)，即②

錯(cuò)誤.根據(jù)方差的定義知③正確.根據(jù)頻率分布直方圖的定義知④正

確.

10.下列事件中，是隨機(jī)事件的有（）

A.從集合｛2,3,4,5）中任取兩個(gè)元素,其和大于7

B.明年清明節(jié)這天下雨

C.物體在地球上不受地球引力

D,盒子中有5個(gè)白球,2個(gè)紅球,從中任取3個(gè)球,則至少有1個(gè)白球

【解析】選AB.A,B是隨機(jī)事件;C是不可能事件;D是必然事件.

11.如圖，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA,平面

ABC,PA=2AB,則下列結(jié)論不正確的是()

A.PB±AD

B.平面PABL平面PBC

C.直線BC〃平面PAE

D.直線PD與平面ABC所成的角為45°

【解析】選ABC.選項(xiàng)A,B,C顯然錯(cuò)誤.因?yàn)镻A_L平面ABC,所以NPDA

是直線PD與平面ABC所成的角.因?yàn)锳BCDEF是正六邊形，所以AD=2AB.

因?yàn)閠anZPDA=一二---=1,

AD2AB

所以直線PD與平面ABC所成的角為45°,D正確.

12.如圖，在棱長均相等的正四棱錐P-ABCD中，0為底面正方形的中

心,M,N分別為側(cè)棱PA,PB的中點(diǎn),判斷下列結(jié)論正確的是()

A.PC〃平面0MN

B.平面PCD〃平面0MN

C.0M±PA

D.直線PD與直線MN所成角的大小為90°

【解析】選ABC.連接AC,易得PC//0M,所以PC〃平面0MN,結(jié)論A正確.

同理PD〃ON,所以平面PCD〃平面0MN,結(jié)論B正確.由于四棱錐的棱長

均相等，所以AB2+BC2=PA?+PC2=AC2,所以PC_LPA,又PC〃。此所以0M_LPA,

結(jié)論C正確.由于M,N分別為側(cè)棱PA,PB的中點(diǎn)，所以MN〃AB.又四邊形

ABCD為正方形，所以AB〃CD,所以直線PD與直線MN所成的角即為直線

PD與直線CD所成的角，即為NPDC.又三角形PDC為等邊三角形，所以

ZPDC=60°，故D錯(cuò)誤.

三、填空題（本大題共4個(gè)小題,每小題5分，共20分.把答案填在題中

的橫線上）

13.a為正實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，—=2,則a=________.

i

-a+i（a+0*（T）i.

［解析］.~--^1-ai,

II?（-l）

貝||11-aiI=迎2+1=2,所以a2=3.

又因?yàn)閍為正實(shí)數(shù)，所以a=V3.

答案:我

14.如圖所示，是在某一年全國少數(shù)民族運(yùn)動會上，七位評委為某民族

舞蹈運(yùn)動員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分

后,所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,方差為.

79

844647

93

【解析】七位評委為某民族舞蹈運(yùn)動員打出的分?jǐn)?shù)

是:79,84,84,86,84,87,93,去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后所剩數(shù)據(jù)

1

是84,84,86,84,87,平均分等于g(84+84+86+84+87)=85,

則方差S2=-[3(84-85)2+(86-85)2+(87-85)2]=1.6.

答案：851.6

15.已知a,b表示不同的直線，a,B,丫表示不重合的平面.

①若aGB=a,bUa,a±b,貝UaJ_B；

②若aUa,a垂直于B內(nèi)任意一條直線，則a_LB；

③若a_LB,aGB=a,aGy=b，則a±b;

④若a±a,b±P,a〃b,則a〃B.

上述命題中，正確命題的序號是.

【解析】對①可舉反例，如圖，需b_LB才能推出a_LB；對③可舉反例

說明，當(dāng)丫不與a,B的交線垂直時(shí)，即可知a,b不垂直；根據(jù)面面、

線面垂直的定義與判定知②④正確.

答案:②④

16.已知兩點(diǎn)A(-l,0),B(-l,V3).0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在第一象限，且

ZA0C=120°,設(shè)5￡=-33+人而（入￡R）,則X=,

【解析】由題意，得加=-3(-1,0)+入(-1,V3)=(3-X,V3X),因?yàn)?/p>

NAOC=1200,所以1曲辰I二--,

2

即1:二一,解得人——.

J（3-給2+3入222

答案：3

2

四、解答題（本大題共6個(gè)小題,共70分,解答時(shí)寫出必要的文字說明、

證明過程或演算步驟）

17.（10分）青海玉樹發(fā)生地震后，為了重建,對某項(xiàng)工程進(jìn)行競標(biāo),現(xiàn)共

有6家企業(yè)參與競標(biāo)，其中A企業(yè)來自遼寧省,B,C兩家企業(yè)來自山東

省,D,E,F三家企業(yè)來自河南省,此項(xiàng)工程需要兩家企業(yè)聯(lián)合施工,假設(shè)

每家企業(yè)中標(biāo)的概率相同.

⑴列舉所有企業(yè)的中標(biāo)情況；

（2）在中標(biāo)的企業(yè)中，至少有一家來自山東省的概率是多少？

【解析】（1）所有企業(yè)的中標(biāo)情況為：

AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF.共15種.

⑵在中標(biāo)的企業(yè)中，至少有一家來自山東省的情況

有：AB,AC,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,共9種，在中標(biāo)的企業(yè)中，至少有一

93

家來自山東省的概率是p=—二-.

155

18.（12分）在銳角三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足

V3a-2bsinA=0.

⑴求角B的大小;

(2)若a+c=5,且a>c,b=夜,求AS?衣的值.

【解析】（1）因?yàn)镴5a-2bsinA=0,

所以inA_2sinBsinA=0,

因?yàn)閟inAW0,所以sinB=?,又B為銳角,

所以B=-.

3

⑵由⑴知,B=Ab=夜,

3

所以根據(jù)余弦定理得7二a'c'-Zaccos—,

3

整理得(a+c)2-3ac=7,又a+c=5.

所以ac=6,又a>c,所以a=3,c=2,

b2+c2-a27+4-9_V7

于是cosA=——

2bc47714’

所以萬?AC=|AB||AC|COSA=2XV7X—=1.

14

19.（12分）如圖，直三棱柱ABC—ABC中,D,E分別是AB,BBi的中點(diǎn).

⑴證明:BG〃平面ACD;

⑵設(shè)AA尸AC=CB=2,AB=2V2,求三棱錐C-A,DE的體積.

【解析】（1）連接AG交A￡于點(diǎn)F,連接DF,

則F為AC,的中點(diǎn).

又D是AB的中點(diǎn),則BG〃DF.

因?yàn)镈Fu平面A￡D,BCR平面AiCD,

所以BG〃平面目CD.

⑵因?yàn)锳BC-ABG是直三棱柱,所以AAJCD.

因?yàn)锳C=CB,D為AB的中點(diǎn)，

所以CD±AB.又AA,HAB=A,

所以CD_L平面ABBA.

由AA尸AC=CB=2,AB=2企得

NACB=90。,CD=&,DE=V5,A1E=3,故AMDE?二AE,即DE_LAD

所以展棱錐C-AME三x|xV6xV3xV2=1.

20.（12分）某市據(jù)實(shí)際情況主要采取以下四種扶貧方式:①以工代賑方

式,指政府投資建設(shè)基礎(chǔ)設(shè)施工程,組織貧困地區(qū)群眾參加工程建設(shè)并

獲得勞務(wù)報(bào)酬，②整村推進(jìn)方式，指以貧困村為具體幫扶對象，幫扶對

口至U村，資金安排到村,扶貧效益到戶，③科技扶貧方式,指組織科技人

員深入貧困鄉(xiāng)村實(shí)地指導(dǎo)、技術(shù)培訓(xùn)等傳授科技知識,④移民搬遷方式,

指對目前極少數(shù)居住在生存條件惡劣、自然資源貧乏地區(qū)的特困人口，

實(shí)行自愿移民.該市為了2020年更好地完成精準(zhǔn)扶貧各項(xiàng)任務(wù),2020

年初在全市貧困戶（分一般貧困戶和“五特”戶兩類）中隨機(jī)抽取了5

000戶就目前四種扶貧方式進(jìn)行了問卷調(diào)查,支持每種扶貧方式的結(jié)果

如表：

支持以工支持整村支持科技支持移民

調(diào)查的貧困戶

代賑戶數(shù)推進(jìn)戶數(shù)扶貧戶數(shù)搬遷戶數(shù)

一般

12001600b200

貧困戶

五特戶（五保戶

100aC100

和特困戶）

已知在被調(diào)查的5000戶中隨機(jī)抽取一戶支持整村推進(jìn)的概率為0.36.

⑴現(xiàn)用分層抽樣的方法在所有參與調(diào)查的貧困戶中抽取50戶進(jìn)行深

入訪談，問應(yīng)在支持科技扶貧戶數(shù)中抽取多少戶？

⑵雖然“五特”戶在全市的貧困戶所占比例不大，但本次調(diào)查要有意

義，其中這次調(diào)查的“五特”戶戶數(shù)不能低于被調(diào)查總戶數(shù)的9.2%,已

知b21530,c258,求本次調(diào)查有意義的概率是多少？

【解析】（1）因?yàn)橹С终逋七M(jìn)戶數(shù)為5000X0.36=1800（?）.

所以b+c=5000-1200-100-1800-300=1600（戶）.

所以應(yīng)在支持科技扶貧戶數(shù)中抽取的戶數(shù)為：

50

X1600=16(?).

5000

(2)a=1800-1600=200,

因?yàn)槲逄貞魬魯?shù)不能低于被調(diào)查總戶數(shù)的9.2%,

所以即5000X9.2%=460(戶)，

所以cN60有意義，

又b21又0,cI58,b+c=1600,b,c情況列舉如下：

(1530,70),(1531,69),(1532,68),(1533,67),

(1534,66),(1535,65),(1536,64),(1537,63),

(1538,62),(1539,61),(1540,60),(1541,59),

(1542,58)共13種情況，其中使本次調(diào)查有意義的情況有11種.

所以本次調(diào)查有意義的概率P=—.

13

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

對某校高一年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取M名

學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)，根據(jù)此數(shù)據(jù)作出

了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下：

分組頻數(shù)頻率

[10,15)100.25

[15,20)25n

[20,25)mP

[25,30)20.05

合計(jì)M1

1015202530次數(shù)

（1）求出表中此p及圖中a的值；

⑵若該校高一學(xué)生有360人，試估計(jì)該校高一學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次

數(shù)在區(qū)間［10,15）內(nèi)的人數(shù).

10

【解析】（1）由分組［10,15）內(nèi)的頻數(shù)是10,頻率是0.25知，一=0.25,

M

所以M=40.

33

因?yàn)轭l數(shù)之和為40,所以10+25+m+2=40,解得m=3,故p==—=0.075.

M40

24

因?yàn)閍是對應(yīng)分組［15,20）的頻率與組距的商，所以a=——=0.125.

40X5

⑵因?yàn)樵撔８咭粚W(xué)生有360人,分組［10,15）內(nèi)的頻率是0.25,所以估

計(jì)該校高一學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為360X

0.25=90.

21.（12分）在銳角4ABC中，a,b,c分別為角A,B,C所對的邊，且

V3a=2csinA.

（1）確定角C的大?。?/p>

⑵若c=<5,求4ABC周長的取值范圍.

【解析】（1）已知a,b,c分別為角A,B,C所對的邊，由J3a=2csinA,得

V3sinA=2sinCsinA,

又sinAH0,則sinC=—,所以C=^或C=—,

233

因?yàn)?ABC為銳角三角形，所以C二一舍去，

3

所以吟

(2)因?yàn)閏=J5,sinC=^,所以由正弦定理得:

2

abcV3-

---------------二------=-^"=2