專題02數(shù)列題型一數(shù)列的概念【頻次0.4，難度0.3】例1已知數(shù)列，則數(shù)列前9項的下四分位數(shù)是（

）A．1 B． C．0 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，數(shù)列前9項從小到大排列后，下四分位數(shù)為第3項，可解.【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列前9項為，對其從小到大排列為，因為，則下四分位數(shù)為第3項，為.故選：B變式1若數(shù)列滿足，則稱為“對奇數(shù)列”．已知正項數(shù)列為“對奇數(shù)列”，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)新定義可證得數(shù)列是等比數(shù)列，從而可利用等比數(shù)列通項求解問題.【詳解】因為正項數(shù)列為“對奇數(shù)列”，所以，則，即數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，又因為，所以，故選：C.例2已知雙曲線的漸近線與圓沒有公共點，數(shù)列中，且是遞增數(shù)列，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件【答案】A【分析】求得p成立時，q成立時，可得結(jié)論.【詳解】若雙曲線的漸近線與圓沒有公共點，則點到直線的距離大于1，即，解得；若數(shù)列是遞增數(shù)列，則，所以p是q的充分不必要條件．故選：A.變式2在數(shù)列中，若（），則的值為（

）A．1 B．3 C．9 D．27【答案】D【分析】由數(shù)列的遞推式，分別求出的值即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以.故選：D.題型二等差數(shù)列的概念【頻次0.7，難度0.5】例3設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，若成等差數(shù)列，則（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)及等比數(shù)列通項公式計算即可.【詳解】因為成等差數(shù)列，所以，所以，則，解得或（舍去）．故選：B.變式3已知等比數(shù)列的公比為q，則“”是“，，成等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】由題意，根據(jù)等差中項的應(yīng)用和等比數(shù)列的通項公式化簡可得，解出q的值，結(jié)合充分、必要條件的定義即可下結(jié)論.【詳解】若，，成等差數(shù)列，由等差中項的性質(zhì)可得，化簡可得，且，則，解得或，所以“”是“，，成等差數(shù)列”的充分不必要條件．故選：A．例4在等差數(shù)列中，，，則（

）A． B． C．1 D．4【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)計算可得.【詳解】等差數(shù)列中，，，所以，解得.故選：D變式4已知等差數(shù)列公差為1，，則（

）．A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得，可求結(jié)論.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，則，由等差數(shù)列公差為1，，所以則，所以.故選：B.例5在等差數(shù)列中，，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列項的性質(zhì)計算即可.【詳解】因為是等差數(shù)列，所以,所以.故選：D.變式5已知等差數(shù)列滿足，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】因為，所以，所以.故選：B.例6已知等差數(shù)列的前項和，若，則；前項和的最大值為．【答案】16【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，利用即可求得，從而求得，從二次函數(shù)的角度思考，可求出的最大值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以，，當(dāng)時，的最大值為,故答案為：，16.變式6等差數(shù)列中，，則．【答案】0【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求解即可．【詳解】等差數(shù)列中，，則公差，則．故答案為：0.題型三等差數(shù)列的前n項和公式【頻次0.7，難度0.5】例7設(shè)等差數(shù)列的前項和，若，，則（

）A．18 B．27 C．45 D．63【答案】C【分析】根據(jù)成等差數(shù)列，得到方程，求出答案.【詳解】由題意得成等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，即，解得.故選：C變式7已知數(shù)列是等差數(shù)列，，是方程的兩根，則數(shù)列的前20項和為（

）A． B． C．15 D．30【答案】D【分析】根據(jù)韋達(dá)定理得到，利用等差數(shù)列求和公式及等差數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行計算.【詳解】，是方程的兩根，所以，又是等差數(shù)列，所以其前20項和為．故選：D例8已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則取得最大值時的值為．【答案】【分析】根據(jù)等差中項的性質(zhì)可得，再結(jié)合等差數(shù)列的單調(diào)性可得解.【詳解】由已知數(shù)列為等差數(shù)列，則，又，所以，則，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得最大值，故答案為：.變式8等差數(shù)列中，，，則．【答案】260【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式求解即可．【詳解】利用等差數(shù)列求和公式：可得，．故答案為：260.例9若是數(shù)列的前n項和，且，則.【答案】21【分析】直接由的定義計算．【詳解】．故答案為：21．變式9等差數(shù)列前項和分別為，且，則.【答案】/【分析】通過等差數(shù)列性質(zhì)其前項和，結(jié)合已知可得，即可解出答案.【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)可得，解得，故答案為：.例10已知數(shù)列的前項和，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)當(dāng)時，可以求出數(shù)列的通項公式，再驗證當(dāng)時，首項是否適合；再根據(jù)，結(jié)合對數(shù)與指數(shù)互化公式進(jìn)行求解即可；（2）化簡數(shù)列的通項公式，利用分組求和的方法，結(jié)合等比數(shù)列前項和、裂項相消法進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由，當(dāng)時，，時，對上式也成立，∴；又，，.（2），.變式10設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和Sn，若S8＝100，S16＝392，求S24.【答案】876【分析】由數(shù)列為等差數(shù)列，得到，，成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，把已知的，代入，可得出的值．【詳解】在等差數(shù)列中，，，，，成等差數(shù)列，即，則．題型四等比數(shù)列的概念【頻次0.7，難度0.5】例11已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，是的兩個根，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程韋達(dá)定理得出，得出，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)，計算出結(jié)果；【詳解】若，是的兩個根，則，因為數(shù)列是等比數(shù)列，，.故選：C.變式11在等比數(shù)列中，，，則（

）A．14 B．16 C．28 D．32【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得到，求出答案.【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)可得，即，解得.故選：D例12在等比數(shù)列中，若，則（

）A．6 B．9 C． D．【答案】B【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)得到，進(jìn)而求出答案.【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)得，又，所以.故選：B變式12已知等比數(shù)列{an}的公比，則等于（）A． B． C． D．9【答案】D【分析】由題意，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，即可求解.【詳解】等比數(shù)列{an}的公比，則．故選：D．例13在等比數(shù)列中，，，則（

）A． B．4 C． D．無法確定【答案】C【分析】借助等比數(shù)列性質(zhì)計算即可得.【詳解】在等比數(shù)列中，，所以，又，，同號，所以.故選：C．變式13在等比數(shù)列{}中，．(1)求{}的通項公式；(2)求數(shù)列{}的前n項和Sn．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由已知得，，再求出公比，進(jìn)而寫出通項公式；（2）由（1）得，應(yīng)用分組求和，結(jié)合等差等比前n項和公式求Sn．【詳解】（1）由題設(shè)，，則的公比，所以.（2）由（1）知：，所以.例14設(shè)等比數(shù)列的前n項和為．(1)若公比，，，求n；(2)若，求公比q．【答案】(1)6(2)1或【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程，化簡求得.（2）根據(jù)已知條件列方程，化簡求得.【詳解】（1）依題意，由于，所以兩式相除得，.（2）依題意，即，，解得或.變式14記等差數(shù)列的前n項和為，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)；(2).【分析】(1)根據(jù)已知條件列出關(guān)于首項和公差的方程組即可求解；(2)根據(jù)等比數(shù)列求和公式即可求解．【詳解】（1）由題可知，解得，，∴；（2）∵，∴，∴是首項為3，公比為9的等比數(shù)列，∴﹒題型五等比數(shù)列的前n項和公式【頻次0.7，難度0.5】例15記等比數(shù)列{}的前n項和為.若，則=（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件得到，，從而求出公比，利用求和公式求出答案.【詳解】因為，所以，因為，所以，所以公比，所以故選：C變式15在公比為的等比數(shù)列中，前項和，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先利用和的關(guān)系求出和，再求其公比.【詳解】由，得，，所以，，則.故選：C.例16已知數(shù)列的前項和為，且，則A．512 B．1025 C．256 D．1024【答案】A【解析】由數(shù)列的前項和與第項的關(guān)系可得，代入求解即可.【詳解】解：由數(shù)列的前項和為，且，則，故選：A.變式16數(shù)列的前n項和為，若，則的值為（

）A．2 B．3 C．2017 D．3033【答案】A【分析】利用計算.【詳解】，故選A.例17在等比數(shù)列{an}中，(1)已知，求前4項和；(2)已知公比，前5項和，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出公比，再根據(jù)等比數(shù)列前項和公式即可得解；（2）根據(jù)等比數(shù)列前項和公式求出首項，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可得解.【詳解】（1）設(shè)公比為，由，得，所以，所以；（2）由，得，所以.變式17已知公差不為0的等差數(shù)列的前項和為，且，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)；(2).【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，根據(jù)題意列出關(guān)于和d的方程組求解即可；(2)證明是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，成等比數(shù)列，，解得；（2）由(1)得，，，，是首項為4，公比為4的等比數(shù)列，.例18已知數(shù)列的前項和為，且滿足，（）．（1）求的值，并求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求（）．【答案】（1）;（2）.【分析】（1）用代入法求出，再根據(jù)與的關(guān)系，得遞推關(guān)系，再求出，注意驗證1時是否符合求出的通項公式.（2）用裂項相消法求和.【詳解】解：（1）由，，令得，令得，即.由………①則當(dāng)時，……②①②可得，得，得，故是首項為，公比為的等比數(shù)列，則，整理得，當(dāng)時，，也符合公式，故（）,即數(shù)列的通項公式.(2),故，即.變式18已知等比數(shù)列的首項，前項和滿足.（1）求實數(shù)的值及通