高一下學期《平面向量》期末復習綜合練習知識要點向量的線性運算運算定義法則（或幾何意義）運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則①交換律②結合律減法求與的相反向量的和的運算叫做與的差三角形法則數(shù)乘求實數(shù)與向量的積的運算(1)(2)當時，與的方向相同；當時，與的方向相同；當時，向量共線定理與性質(zhì)向量共線定理：如果且，則；向量共線性質(zhì)：且，則一定存在唯一一個實數(shù)，使．向量的數(shù)量積的定義①定義：非零向量與，它們的夾角為，數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積（或內(nèi)積）；向量與的數(shù)量積記作，即；向量的投影向量：向量在方向上的投影向量為平面向量數(shù)量積的性質(zhì)與運算律（1）平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設，都是非零向量，是單位向量，θ為與（或）的夾角．則①；②；兩個向量，的夾角為銳角?且，不共線；兩個向量，的夾角為鈍角?且，不共線．平面向量線性運算的坐標表示（1）兩個向量和（差）的坐標表示已知非零向量則：（2）向量數(shù)乘的坐標表示平面向量數(shù)量積的幾何與坐標運算已知非零向量，，為向量、的夾角．結論幾何表示坐標表示模數(shù)量積夾角的充要條件的充要條件與的關系(當且僅當時等號成立)考點探究典例1向量相等與共線1．向量與不共線，，，且與共線，則，應滿足A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意知，然后根據(jù)與共線可得出，從而可得出，應滿足的關系式．【解答】解：不共線，，且與共線，存在實數(shù)，使，，．故選：．典例2平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算1、在中，，，為線段上的點，且．若，則A． B． C． D．【分析】由平面向量數(shù)量積的運算，結合平面向量的夾角的運算求解即可．【解答】解：在中，，，為線段上的點，且，，，，，，，，，，即，故選：．2、窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的漢族傳統(tǒng)民間藝術之一，它歷史久，風格獨特，深受國內(nèi)外人士所喜愛．如圖甲是一個正八邊形窗花隔斷，圖乙是從窗花圖中抽象出的幾何圖形示意圖．已知正八邊形的邊長為，是正八邊形邊上任意一點，則的最大值為A． B． C． D．【分析】取的中點，連接，通過轉化得，則轉化為求的最大值，由圖得當點與點或點重合時，取得最大值，計算最值即可．【解答】解：如圖，取的中點，連接，連接，，分別過點，點作的垂線，垂足分別為，，所以，當點與點或點重合時，取得最大值，因為八邊形為正八邊形，則由正八邊形的性質(zhì)知，且，因為，，所以四邊形為矩形，，為等腰直角三角形，則，，則，，取得最大值為，所以的最大值為．故選：．典例3平面向量的基本定理1、在中，滿足，過的直線與，分別交于，兩點．若，，則的最小值為．【分析】根據(jù)題意知為的重心，從而可得出，再根據(jù)，，三點共線可得出，然后根據(jù)基本不等式和“1的代換”即可求出的最小值．【解答】解：，為的重心，且，，且，，三點共線，，且，，，當且僅當，即時取等號，的最小值為：．故答案為：．專題練習一、單選題1．已知平面向量滿足．若，則（

）A．－2 B． C． D．22．已知向量不共線，且，，若與同向共線，則實數(shù)的值為（

）A．1 B． C．1或 D．或3．在中，在邊上，且是邊上任意一點，與交于點，若，則（

）A． B． C．3 D．34．已知菱形的邊長為2，，G是菱形ABCD內(nèi)一點，若，則（

）A． B．1 C． D．25．已知向量，則以下說法正確的是（）A． B．方向上的單位向量為C．向量在向量上的投影為 D．若，則6．已知正三角形ABC的邊長為4，D是BC邊上的動點（含端點），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知平面向量，，滿足，，，，則的最大值等于（

）A． B． C． D．8．如圖，在正方形中，,和相交于點G，且F為上一點（不包括端點），若，則的最小值為（

）A． B． C． D．159．向量，滿足，，且，不等式恒成立.函數(shù)的最小值為（

）A． B．1 C． D．10．如圖所示，已知點是的重心，過點作直線分別交兩邊于兩點，且，，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．2二、多選題11．已知向量，，且與的夾角為，則（

）A． B．C． D．在上的投影向量是12．若的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，，O為的外心，則（

）A．B．的面積為C．D．若M是邊AC上靠近點A的四等分點，則13．中，下列說法正確的是（

）A．若，則為鈍角三角形.B．若，，則點的軌跡一定通過的內(nèi)心.C．若為重心，則D．若點滿足，，，則14．已知是三個非零向量，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則15．如圖，設Ox，Oy是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量．若，則把有序實數(shù)對叫做向量在斜坐標系Oxy中的坐標，記作．則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則A，B，C三點共線C．若，則D．若，，則四邊形OACB的面積為三、填空題16．平面向量滿足：，，，且，，則.17．在矩形中，，，E為的中點，F(xiàn)為的中點，Q為邊上的動點（包括端點），則的取值范圍為．18．已知中，角所對的邊分別為，，，，若，則的最小值為．19．如圖，在中，分別是邊AB，AC上的點，，且，點是線段DE的中點，且，則.20．如圖，，，點在以為圓心的圓弧上運動，則的取值范圍是.四、解答題21．已知向量，滿足，，.(1)求在上的投影向量；(2)若向量與垂直，求實數(shù)的值.22．已知向量，(1)若，求實數(shù)的值；(2)若與的夾角是鈍角，求實數(shù)的取值范圍.23．已知在中，是邊的中點，且，設與交于點，記.(1)用表示向量；(2)若，且，求的余弦值.24．奔馳定理是一個關于三角形的幾何定理，它的圖形形狀和奔馳轎車logo相似，因此得名.如圖，P是內(nèi)的任意一點，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，總有優(yōu)美等式：.(1)若P是的內(nèi)心，，延長AP交BC于點D，求；(2)若P是銳角的外心，，，求的取值范圍.25．已知，，且與的夾角為．(1)求在上的投影向量；(2)若，求實數(shù)的值；(3)求向量與向量夾角的余弦值．26．如圖，在中，點滿足是線段的中點，過點的直線與邊分別交于點.(1)若，求和的值；(2)若，求的最小值.27．在中，，，．點為所在平面上一點，滿足（、且）．(1)若，用，表示；(2)若點為的外心，求、的值；(3)若點在的角平分線上，當時，求的取值范圍．28．定義函數(shù)的“源向量”為，非零向量的“伴隨函數(shù)”為，其中為坐標原點.(1)若向量的“伴隨函數(shù)”為，求向量；(2)在中，角的對邊分別為，若函數(shù)的“源向量”為，且已知，；（?。┣笾荛L的最大值；（ⅱ）求的最大值.29．如圖，點是重心，、分別是邊、上的動點，且、、三點共線．(1)設，將用、、表示；(2)設，，問：是否是定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由；(3)在（2）的條件下，記與的面積分別為、，求的取值范圍．30．如圖，點分別是矩形的邊上的兩點，，.(1)若是線段靠近的三等分點、是的中點，求；(2)若，求的范圍；(3)若，連接交的延長線于點為的中點，試探究線段上是否存在一點，使得最大.若存在，求的長；若不存在，說明理由.參考答案：1．D【分析】根據(jù)向量的運算性質(zhì)，判斷，即可求解.【詳解】由知，，則.故選：D2．A【分析】由共線定理可知存在使得，然后由平面向量基本定理可得.【詳解】因為與同向共線，所以存在使得，即，又向量不共線，所以，解得（舍去）或.故選：A3．C【分析】利用向量的線性運算，得，再利用平面向量基本定理，可得，然后就可得到結果.【詳解】三點共線，設，則，又，所以，即.故選：C.4．D【分析】由題設，先求出，再由推理得到是中線的一個三等分點，從而將用的線性組合表示，再代入所求式，即可求得【詳解】如圖，由,因，則，又因菱形，則；由可得，,取的中點為，則有,即,故.故選：D.5．D【分析】由條件根據(jù)向量線性運算坐標公式求，再由向量的模的坐標表示計算，判斷A，根據(jù)定義單位向量定義和向量的線性運算坐標公式求方向上的單位向量，判斷B，根據(jù)向量的投影的定義求向量在向量上的投影，判斷C，根據(jù)向量垂直的坐標表示，判斷D.【詳解】對于A：由可得，，所以，A錯誤；對于B：因為，所以，所以方向上的單位向量為，B錯誤；對于C,向量在向量上的投影為，C錯誤；對于D：，所以，D正確.故選：D.6．B【分析】利用三角形的對稱性建立坐標系，利用坐標運算再結合二次函數(shù)求出結果即可.【詳解】以中點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，設，則，所以，因為，所以，所以的取值范圍是.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是根據(jù)題意建立坐標系，用坐標表示向量的數(shù)量積計算即得.7．A【分析】由，即點四點共圓，再利用余弦定理、正弦定理求解即可.【詳解】設，由，，，則，所以，又，所以，即點四點共圓，要使最大，即為圓的直徑，在中，由余弦定理可得，即，又由正弦定理可得，即的最大值為，故選：A8．B【分析】先確定的位置，接著由進行轉化，利用共線定理得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解.【詳解】由題可設，則由題意得，因為、、三點共線，故，所以，所以，又、、三點共線，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為.故選：B.9．C【分析】先根據(jù)向量的夾角、模長及恒成立求出，利用距離和的最值求解的最小值.【詳解】作，，，因為不等式恒成立，則，即，從而有，故.設，，則.作點E關于直線OB的對稱點F，，則，當且僅當三點共線時取得等號.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題求解的關鍵有二，一是恒成立條件的轉化，可求的值；二是利用轉化求得函數(shù)的最小值.10．A【分析】利用重心的性質(zhì)結合平面向量共線定理得到，最后利用‘1’的代換結合基本不等式求解最值即可.【詳解】∵是的重心，，又，結合題意知，因為三點共線,當且僅當即時取等號，的最小值為，故A正確.故選：A【點睛】關鍵點點睛：本題考查平面向量，解題關鍵是找到利用平面向量共線定理得到，然后利用基本不等式得到所要求的最值即可．11．ABD【分析】根據(jù)向量線性運算的坐標求解可得，可求解A，根據(jù)數(shù)量積的坐標運算求解B，根據(jù)夾角公式可求解C，根據(jù)投影向量的公式即可求解D.【詳解】對于A，由，可得，，故A正確；對于B，由于，所以，故B正確；對于C，，由于，所以，故C錯誤；對于D，在上的投影向量為，故D正確.故選：ABD12．ABD【分析】根據(jù)余弦定理判斷A，根據(jù)面積公式判斷B，由正弦定理及數(shù)量積的定義判斷C，根據(jù)數(shù)量積的運算律化簡求值判斷D.【詳解】由余弦定理得，所以，正確;，正確;因為為的外心，，所以，設的外接圓半徑為，由正弦定理得，所以，錯誤;因為，所以，所以，所以，D正確.故選：ABD13．BD【分析】根據(jù)可確定角為銳角，可判斷A；根據(jù)單位向量、共線向量的概念可判斷B；根據(jù)向量的加法運算可確定C；根據(jù)向量的數(shù)量積以及向量模的運算可確定D．【詳解】選項A：若，則，因此角為銳角，但不一定為鈍角三角形，故A錯誤；選項B：因為分別表示方向上的單位向量，所以的方向與的角平分線一致．若，則的方向與的角平分線一致，所以點的軌跡一定通過的內(nèi)心，故B正確；選項C：若為的重心，設邊的中點為，則，故C錯誤；選項D：設的中點為，若點滿足，則點為外心，于是有．又，則，故D正確．故選：BD．14．BCD【分析】根據(jù)平面數(shù)列數(shù)量積的定義即可判斷A；對等式兩邊同時平方可得、，即可判斷BC；根據(jù)共線向量和數(shù)量積的運算律計算即可判斷D.【詳解】A：由，所以，不一定有，故A錯誤；B：因為，所以，即．得，所以，故B正確；C：因為，所以，即，得，故與反向，所以，故C正確：D：因為．所以存在實數(shù)，使得，此時，即，故D正確．故選：BCD．15．ABD【分析】選項A，易知，再由，利用向量數(shù)量積的運算法則，展開運算即可；選項B，由，即可作出判斷；選項C，利用基底表示出，再判斷是否成立即可；選項D，結合余弦定理與勾股定理算出的值，由求解即可.【詳解】對于A，由題意得，故，故，正確；對于B，由題意得，，所以，所以A，B，C三點共線，故B正確；對于C，由題意得，，所以，故與不垂直，故C錯誤；對于D，連接OC，在中，OA邊上的高為，所以；在中，OB邊上的高為，所以．故，故D正確．故選：ABD.16．/【分析】結合數(shù)量積的定義和性質(zhì)求出、和，利用即可求出答案.【詳解】因為，所以，因為，，，，所以，，因為，，所以.故答案為：.17．【分析】建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，引入?yún)?shù)，結合向量數(shù)量積的坐標公式將表示成的函數(shù)，由此即可得解.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系：由題意，設，從而，所以的取值范圍是.故答案為：.18．【分析】取和，轉化為，得到三點共線，得到的最小值，即為中邊上的高，在中，結合余弦定理和面積相等，列出方程，即可求解.【詳解】在中，因為，如圖所示，取的中點，可得，再延長到點，使得，可得，因為，因為，所以三點共線，所以的最小值，即為中邊上的高，在中，由余弦定理得，所以，又由，可得，即，解得，所以的最小值為.故答案為：.19．【分析】先用余弦定理可得，然后由向量的數(shù)量積計算可得，進而由平面向量的線性運算可得，從而由平面向量的基本定理可得的值，進而可得結論.【詳解】由中，，得，則.由，且得，則，即.由是的中點，所以,所以，又，所以，化簡可得，又，所以，則.故答案為：.20．【分析】將轉化成結合三角恒等變換公式即可求解.【詳解】連接，則，由題可設，則，所以，因為，所以，故.故答案為：.21．(1)；(2).【分析】（1）求出，再利用投影向量的意義求解即得.（2）利用垂直關系的向量表示，結合數(shù)量積的運算律求解即得.【詳解】（1），所以在上的投影向量為.（2）由向量與垂直，得，整理得，即，所以.22．(1)(2)【分析】（1）利用向量線性運算與垂直的坐標表示即可得解；（2）利用向量夾角是鈍角得到且與不反向共線，從而得解.【詳解】（1）因為，，所以，因為，所以，解得；（2）因為與的夾角是鈍角，，，所以，解得，又當，即時，，此時與的夾角為，故，綜上可得.23．(1)，(2).【分析】（1）根據(jù)向量的線性運算結合平面向量基本定理即可求解；（2）由得，結合及數(shù)量積的定義即可求解.【詳解】（1），所以，.（2）因為，所以，即，所以，所以，即的余弦值為.24．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)奔馳定理以及內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，即可根據(jù)得，進而根據(jù)線性運算得,由共線即可求解，（2）根據(jù)奔馳定理以及外接圓的性質(zhì)可得，即可得，結合三角恒等變換可得，即可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】（1）由于P是的內(nèi)心，設內(nèi)切圓的半徑為，由可得，即，由，不妨設，故，設，則,故,由于與共線，而與不共線，因此必然，故，（2）設外接圓的半徑為,則由得，即，由于，所以,因此，又，所以,由于三角形為銳角三角形，所以，解得，故,故當時，取最小值，當或時，，故.25．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意，結合投影向量的概念與計算公式，準確計算，即可求解；（2）根據(jù)，結合向量的數(shù)量積的運算公式，列出方程，即可求解；（3）根據(jù)題意，求得且，結合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）解：因為，，且與的夾角為，所以．則在上的投影向量為.（2）解：因為，所以，即，即，解得．（3）解：因為，且，設向量與向量的夾角為，則，即向量與向量夾角的余弦值為．26．(1)(2)【分析】（1）利用基底法，用表示出，即可求解.(2)先根據(jù)已知條件，得到，，再根據(jù)，即可得，再根據(jù)三點共線，得，再由基本不等式，即可求解.【詳解】（1）因為，所以，所以，又是線段的中點，所以，又，且不共線，所以.（2）因為，，由（1）可知，，所以，因為三點共線，所以，即又，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.27．(1)；(2)，；(3)【分析】（1）可化簡，化簡后可用表示，表示，代入即可；.（2）由點為的外心，可得，利用這兩個關系式可求、的值；（3）設為的平分線，則，利用平面向量基本定理和共線向量定理可得：，再根據(jù)平面向量基本定理可得，求出的范圍后利用數(shù)量積可得，從而可得的取值范圍.【詳解】（1）因為，所以，化簡后可得，所以，若，則.（2）如圖，設的中點為，連接，則，又，同理，又，即，同理，整理得到，解得；（3）如圖，為的平分線，則，所以，設，.故，因為不共線，故，所以，因為，所以，故.又,所以，所以.故的取值范圍為.28．(1)(2)(i)

(ii)【分析】（1）由“源向量”