高級中學名校試卷PAGEPAGE3天津市新四區(qū)示范校2022-2023學年高二下學期期末聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題（本大題共9小題，共45分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知集合，，，若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，所以，因為，，所以，所以故選：A2.命題“”的否定為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得：全稱量詞命題的否定為存在性量詞命題，故命題""的否定為"".故選：B3.已知，，，則，，的大小關系是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，，，，所以.故選：C4.某學校要從名男生和名女生中選出人作為上海世博會志愿者，若用隨機變量表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則數(shù)學期望（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可知，隨機變量的可能取值有、、，且，，，因此，.故選：B.5.已知向量，設函數(shù)，則下列關于函數(shù)的性質的描述正確的是（）A.關于直線對稱 B.關于點對稱C.周期為 D.在上是增函數(shù)〖答案〗D〖解析〗因為向量,.所以.對于A，把代入得，沒有取得最值，所以不成立.對于B，把代入得，所以不成立.對于C，由于周期,所以不成立.對于D，因為，又，所以在上是增函數(shù).故選：D.6.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由〖解析〗式知：，即，排除B、C；當時，，故恒成立，排除D.故選：A7.如圖，在空間四邊形中，兩條對角線，互相垂直，且長度分別為4和6，平行于這兩條對角線的平面與邊，，，分別相交于點，，，，記四邊形的面積為，設，則（）A.函數(shù)的值域為 B.函數(shù)的最大值為8C.函數(shù)在上單調遞減 D.函數(shù)滿足〖答案〗D〖解析〗平面，平面，．，．，則四邊形為平行四邊形，兩條對角線，互相垂直，，則四邊形為矩形，，由，即，同理，則，則四邊形的面積為，，當時，函數(shù)取得最大值6，故A,B錯誤．因為函數(shù)的對稱軸為，則函數(shù)在上單調遞增，故C錯誤．函數(shù)的對稱軸為，函數(shù)滿足，故D正確，故選：D．8.順德歡樂海岸摩天輪是南中國首座雙立柱全拉索設計的摩天輪，轉一圈21分鐘，摩天輪的吊艙是球形全景艙，摩天輪最高點距離地面高度為99，轉盤直徑為90，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，開始轉動后距離地面的高度為，則在轉動一周的過程中，高度H關于時間的函數(shù)〖解析〗式是（）A.B.C.D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意設，，因為某摩天輪最高點距離地面高度為99，轉盤直徑為90，所以，該摩天輪最低點距離地面高度為9，所以，解得：.因為開啟后按逆時針方向勻速旋轉，旋轉一周需要21所以，解得，因為時，，故，即，解得：.所以.故選：B9.若函數(shù)在其定義域上只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗當時，則在上單調遞增，且∴在內存在唯一零點則當時，無零點，令，則或（舍去）∴在上單調遞減，在上單調遞增則，即故選：C．二、填空題（本大題共6小題，共30分）10.若復數(shù)，則_________.〖答案〗〖解析〗，因此，.故〖答案〗為：.11.向量在向量方向上的投影向量是______________.〖答案〗〖解析〗由題意得，，所以在方向上的投影向量是.故〖答案〗為：12.深受廣大球迷喜愛的某支足球隊在對球員的使用上總是進行數(shù)據(jù)分析，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，乙球員能夠勝任前鋒、中鋒、后衛(wèi)以及守門員四個位置，且出場率分別為0.2，0.5，0.2，0.1，當乙球員擔當前鋒、中鋒、后衛(wèi)以及守門員時，球隊輸球的概率依次為0.4，0.2，0.6，0.2．當乙球員參加比賽時，該球隊某場比賽不輸球的概率為_______.〖答案〗0.68〖解析〗設A表示“乙球員擔當前鋒”，設B表示“乙球員擔當中鋒”，設C表示“乙球員擔當后衛(wèi)”，設D表示“乙球員擔當守門員”，設E表示“乙球員參加時，球隊輸球”，所以，所以當乙球員參加比賽時，該球隊某場比賽不輸球的概率為，故〖答案〗為：0.6813.重慶八中某次數(shù)學考試中，學生成績服從正態(tài)分布.若，則從參加這次考試的學生中任意選取3名學生，至少有2名學生的成績高于120的概率是__________.〖答案〗〖解析〗因學生成績符合正態(tài)分布，故，故任意選取3名學生，至少有2名學生的成績高于120的概率為.故〖答案〗為：14.已知向量，滿足，，則與的夾角為_______.〖答案〗.〖解析〗設與的夾角為，由得，即，解得，因為，所以，所以與的夾角為.故〖答案〗為：.15.已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是___________.〖答案〗〖解析〗由題意，函數(shù)有三個零點即有三個解，即與的交點個數(shù)為3.作出與的圖象，易得當時不成立，故.當時與必有一個交點，則當有2個交點.當時，因為恒過定點，此時與或有2個交點.①當與有2個交點時，考慮臨界條件，當與相切時，.設切點，則，解得，此時切點，；又最高點為，故此時.故.②當與有2個交點時，考慮臨界條件，當與相切時，，即，此時，即，解得，由圖可得，故.此時綜上故〖答案〗為：.三、解答題（本大題共5小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.已知中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且（1）求角C（2）若，，為角C的平分線，求的長；（3）若，求銳角面積取值范圍.解：（1）由及正弦定理得所以∴，∴∵，∴（2）設由得.解得，即角平分線的長度為（3）設外接圓半徑為R，由，即，即，∴所以的面積∵，∴，∴∵，，，∴，∴，∴，∴，∴17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側棱底面，，是的中點，作交PB于點.（1）求三棱錐的體積；（2）求證：平面；（3）求平面與平面的夾角的大小.解：（1）取中點，連接，在中，分別為中點，∴為的中位線，∴，且，又∵，∴∵底面，∴底面，∴；（2）∵底面，且面∴，∵底面是正方形，∴，又,面,∴面,又面∴∵，且，∴是等腰直角三角形，又是斜邊的中線，∴，又,面,∴面，∵面∴,∵,又,面∴平面；（3）由（2）可知，故是平面與平面的夾角，∵∴，在中，，，，又面，∵面∴,在中，，∴，故平面CPB與平面PBD的夾角的大小.18.已知某校甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)分別為240，160，160．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取７名同學去某敬老院參加獻愛心活動．（1）應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取多少人？（2）設抽出的7名同學分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機抽取2名同學承擔敬老院的衛(wèi)生工作．（i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果；（ii）設M為事件“抽取2名同學來自同一年級”，求事件M發(fā)生的概率．解：（1）由已知，甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學，因此應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．（2）（i）從抽出的7名同學中隨機抽取2名同學的所有可能結果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21種．（ii）由（Ⅰ），不妨設抽出的7名同學中，來自甲年級的是A，B，C，來自乙年級的是D，E，來自丙年級的是F，G，則從抽出的7名同學中隨機抽取的2名同學來自同一年級的所有可能結果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種．所以，事件M發(fā)生的概率為P（M）=．『點石成金』：本小題主要考查隨機抽樣、用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計算公式等基本知識．考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力．19.已知數(shù)列的前n項和為，滿足：（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）若，令，數(shù)列的前n項和為，若不等式對任意恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．解：（1）由題設，，則，所以，整理得，則，所以，即，，所以，故數(shù)列為等差數(shù)列，得證.（2）由，可得，又，結合（1）結論知：公差，所以，故，則，所以，且，所以，即，所以，在且上遞減，則，要使對任意恒成立，即，所以.20.已知函數(shù)，．（1）若，求函數(shù)的最小值及取得最小值時的值；（2）求證：；（3）若函數(shù)對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1）當時，，定義域為，所以，令得，所以，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以，函數(shù)處取得最小值，.（2）由（1）知，當時，，即，所以，要證成立，只需證，令，則，所以，當時，恒成立，所以，函數(shù)為單調遞增函數(shù)，所以，，即，所以，所以成立（3）因為函數(shù)對恒成立所以對恒成立，令，則，當時，，在上單調遞增，所以，由可得，即滿足對恒成立；當時，則，，在上單調遞增，因為當趨近于時，趨近于負無窮，不成立，故不滿足題意；當時，令得令，恒成立，故在上單調遞增，因為當趨近于正無窮時，趨近于正無窮，當趨近于時，趨近于負無窮，所以，使得，，所以，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，只需即可；所以，，，因為，所以，所以，解得，所以，，綜上，實數(shù)a的取值范圍為.天津市新四區(qū)示范校2022-2023學年高二下學期期末聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題（本大題共9小題，共45分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知集合，，，若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，所以，因為，，所以，所以故選：A2.命題“”的否定為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得：全稱量詞命題的否定為存在性量詞命題，故命題""的否定為"".故選：B3.已知，，，則，，的大小關系是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，，，，所以.故選：C4.某學校要從名男生和名女生中選出人作為上海世博會志愿者，若用隨機變量表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則數(shù)學期望（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可知，隨機變量的可能取值有、、，且，，，因此，.故選：B.5.已知向量，設函數(shù)，則下列關于函數(shù)的性質的描述正確的是（）A.關于直線對稱 B.關于點對稱C.周期為 D.在上是增函數(shù)〖答案〗D〖解析〗因為向量,.所以.對于A，把代入得，沒有取得最值，所以不成立.對于B，把代入得，所以不成立.對于C，由于周期,所以不成立.對于D，因為，又，所以在上是增函數(shù).故選：D.6.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由〖解析〗式知：，即，排除B、C；當時，，故恒成立，排除D.故選：A7.如圖，在空間四邊形中，兩條對角線，互相垂直，且長度分別為4和6，平行于這兩條對角線的平面與邊，，，分別相交于點，，，，記四邊形的面積為，設，則（）A.函數(shù)的值域為 B.函數(shù)的最大值為8C.函數(shù)在上單調遞減 D.函數(shù)滿足〖答案〗D〖解析〗平面，平面，．，．，則四邊形為平行四邊形，兩條對角線，互相垂直，，則四邊形為矩形，，由，即，同理，則，則四邊形的面積為，，當時，函數(shù)取得最大值6，故A,B錯誤．因為函數(shù)的對稱軸為，則函數(shù)在上單調遞增，故C錯誤．函數(shù)的對稱軸為，函數(shù)滿足，故D正確，故選：D．8.順德歡樂海岸摩天輪是南中國首座雙立柱全拉索設計的摩天輪，轉一圈21分鐘，摩天輪的吊艙是球形全景艙，摩天輪最高點距離地面高度為99，轉盤直徑為90，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，開始轉動后距離地面的高度為，則在轉動一周的過程中，高度H關于時間的函數(shù)〖解析〗式是（）A.B.C.D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意設，，因為某摩天輪最高點距離地面高度為99，轉盤直徑為90，所以，該摩天輪最低點距離地面高度為9，所以，解得：.因為開啟后按逆時針方向勻速旋轉，旋轉一周需要21所以，解得，因為時，，故，即，解得：.所以.故選：B9.若函數(shù)在其定義域上只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗當時，則在上單調遞增，且∴在內存在唯一零點則當時，無零點，令，則或（舍去）∴在上單調遞減，在上單調遞增則，即故選：C．二、填空題（本大題共6小題，共30分）10.若復數(shù)，則_________.〖答案〗〖解析〗，因此，.故〖答案〗為：.11.向量在向量方向上的投影向量是______________.〖答案〗〖解析〗由題意得，，所以在方向上的投影向量是.故〖答案〗為：12.深受廣大球迷喜愛的某支足球隊在對球員的使用上總是進行數(shù)據(jù)分析，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，乙球員能夠勝任前鋒、中鋒、后衛(wèi)以及守門員四個位置，且出場率分別為0.2，0.5，0.2，0.1，當乙球員擔當前鋒、中鋒、后衛(wèi)以及守門員時，球隊輸球的概率依次為0.4，0.2，0.6，0.2．當乙球員參加比賽時，該球隊某場比賽不輸球的概率為_______.〖答案〗0.68〖解析〗設A表示“乙球員擔當前鋒”，設B表示“乙球員擔當中鋒”，設C表示“乙球員擔當后衛(wèi)”，設D表示“乙球員擔當守門員”，設E表示“乙球員參加時，球隊輸球”，所以，所以當乙球員參加比賽時，該球隊某場比賽不輸球的概率為，故〖答案〗為：0.6813.重慶八中某次數(shù)學考試中，學生成績服從正態(tài)分布.若，則從參加這次考試的學生中任意選取3名學生，至少有2名學生的成績高于120的概率是__________.〖答案〗〖解析〗因學生成績符合正態(tài)分布，故，故任意選取3名學生，至少有2名學生的成績高于120的概率為.故〖答案〗為：14.已知向量，滿足，，則與的夾角為_______.〖答案〗.〖解析〗設與的夾角為，由得，即，解得，因為，所以，所以與的夾角為.故〖答案〗為：.15.已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是___________.〖答案〗〖解析〗由題意，函數(shù)有三個零點即有三個解，即與的交點個數(shù)為3.作出與的圖象，易得當時不成立，故.當時與必有一個交點，則當有2個交點.當時，因為恒過定點，此時與或有2個交點.①當與有2個交點時，考慮臨界條件，當與相切時，.設切點，則，解得，此時切點，；又最高點為，故此時.故.②當與有2個交點時，考慮臨界條件，當與相切時，，即，此時，即，解得，由圖可得，故.此時綜上故〖答案〗為：.三、解答題（本大題共5小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.已知中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且（1）求角C（2）若，，為角C的平分線，求的長；（3）若，求銳角面積取值范圍.解：（1）由及正弦定理得所以∴，∴∵，∴（2）設由得.解得，即角平分線的長度為（3）設外接圓半徑為R，由，即，即，∴所以的面積∵，∴，∴∵，，，∴，∴，∴，∴，∴17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側棱底面，，是的中點，作交PB于點.（1）求三棱錐的體積；（2）求證：平面；（3）求平面與平面的夾角的大小.解：（1）取中點，連接，在中，分別為中點，∴為的中位線，∴，且，又∵，∴∵底面，∴底面，∴；（2）∵底面，且面∴，∵底面是正方形，∴，又,面,∴面,又面∴∵，且，∴是等腰直角三角形，又是斜邊的中線，∴，又,面,∴面，∵面∴,∵,又,面∴平面；（3）由（2）可知，故是平面與平面的夾角，∵∴，在中，，，，又面，∵面∴,在中，，∴，故平面CPB與平面PBD的夾角的大小.18.已知某校甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)分別為240，160，160．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取７名同學去某敬老院參加獻愛心活動．（1）應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取多少人？（2）設抽出的7名同學分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機抽取2名同學承擔敬老院的衛(wèi)生工作．（i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果；（ii）設M為事件“抽取2名同學來自同一年級”，求事件M發(fā)生的概率．解：（1）由已知，甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學，因此應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．（2）（i）從抽出的7名同學中隨機抽取2名同學的所有可能結果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21