專題05二次函數（2個知識點4種題型1個易錯點）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1.二次函數的概念（重點）知識點2.列函數關系式（難點）【方法二】實例探索法題型1.已知一個變量求它的函數值題型2.建立函數模型題型3.二次函數與一次函數的綜合題型4.二次函數與動點的關系【方法三】差異對比法易錯點：忽略了二次函數二次項系數為零的情況【方法四】成果評定法【學習目標】理解二次函數的概念。掌握二次函數的一般形式。會根據實際問題列出二次函數的表達式。重點：二次函數的概念的理解。難點：根據實際問題列二次函數的表達式?！颈端賹W習五種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1.二次函數的概念（重點）1.二次函數的定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項．y═ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）也叫做二次函數的一般形式．判斷函數是否是二次函數，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據二次函數的定義作出判斷，要抓住二次項系數不為0這個關鍵條件．2.二次函數的取值范圍：一般情況下，二次函數中自變量的取值范圍是全體實數，對實際問題，自變量的取值范圍還需使實際問題有意義．要點詮釋：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數，a≠0)，那么y叫做x的二次函數．這里，當a=0時就不是二次函數了，但b、c可分別為零，也可以同時都為零．a的絕對值越大，拋物線的開口越小.【例1】．（2023秋?安慶期中）下列函數中，不是二次函數的是A． B． C． D．【分析】根據二次函數的定義：形如，，為常數且，逐一判斷即可解答．【解答】解：、，是二次函數，故不符合題意；、，是二次函數，故不符合題意；、，是二次函數，故不符合題意；、，是一次函數，故符合題意；故選：．【點評】本題考查了二次函數的定義，熟練掌握二次函數的定義是解題的關鍵．【變式】．（2023秋?武威期中）已知函數是二次函數，則等于A． B．2 C． D．6【分析】根據二次函數的定義，令且，即可求出的取值范圍．【解答】解：是二次函數，且，．故選：．【點評】本題考查了二次函數的定義，要注意二次項系數不能為0．知識點2.列函數關系式（難點）根據實際問題確定二次函數關系式關鍵是讀懂題意，建立二次函數的數學模型來解決問題．需要注意的是實例中的函數圖象要根據自變量的取值范圍來確定．①描點猜想問題需要動手操作，這類問題需要真正的去描點，觀察圖象后再判斷是二次函數還是其他函數，再利用待定系數法求解相關的問題．②函數與幾何知識的綜合問題，有些是以函數知識為背景考查幾何相關知識，關鍵是掌握數與形的轉化；有些題目是以幾何知識為背景，從幾何圖形中建立函數關系，關鍵是運用幾何知識建立量與量的等式．【例2】（2022秋?無為市月考）據安徽省統(tǒng)計局公布的數據，初步核算2021年安徽省生產總值為42959.2億元，若設2023年安徽省生產總值為y億元，平均年增長的百分率為x，則y關于x的函數表達式是（）A．y＝42959.2（1+2x） B．y＝42959.2（1﹣x）2 C．y＝42959.2x2 D．y＝42959.2（1+x）2【分析】利用2023年安徽省生產總值＝2021年安徽省生產總值×（1+平均年增長的百分率）2，即可得出y關于x的函數表達式，此題得解．【解答】解：依題意得y＝42959.2（1+x）2，故選：D．【點評】本題考查了根據實際問題列二次函數關系式，根據各數量之間的關系，正確找出y關于x的函數表達式是解題的關鍵．【變式1】（2022秋?杜集區(qū)校級月考）進入夏季后，某電器商場為減少庫存，對電熱取暖器連續(xù)進行兩次降價．若設平均每次降價的百分率是x，降價后的價格為y元，原價為a元，則y與x之間的函數關系式為（）A．y＝2a（x﹣1） B．y＝2a（1﹣x） C．y＝a（1﹣x2） D．y＝a（1﹣x）2【分析】原價為a，第一次降價后的價格是a×（1﹣x），第二次降價是在第一次降價后的價格的基礎上降價的，為a×（1﹣x）×（1﹣x）＝a（1﹣x）2．【解答】解：由題意第二次降價后的價格是a（1﹣x）2．則函數解析式是y＝a（1﹣x）2．故選：D．【點評】本題需注意第二次降價是在第一次降價后的價格的基礎上降價的．【變式2】已知平行四邊形的高與底邊的比是，用表達式表示平行四邊形的面積S與它的底邊a的關系，并從圖象觀察平行四邊形的面積隨其底邊的變化而變化的情況．【答案】，圖見解析【分析】首先得出與的關系，進而由圖象得出平行四邊形的面積隨其底邊變化情況．【詳解】解：平行四邊形的高與底邊的比是，，則，如圖所示：平行四邊形的面積隨其底邊增大而增大．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質以及函數圖象性質，解題的關鍵是利用數形結合的思想求解．【方法二】實例探索法題型1.已知一個變量求它的函數值1．圓的半徑是，假設半徑增加時，圓的面積增加．（1）寫出y與x之間的關系式；（2）當圓的半徑分別增加時，圓的面積各增加多少？【答案】（1）；（2），，【分析】（1）根據圓的面積公式可得，再整理即可．（2）分別把，，2代入可得的值．【詳解】解：（1）由題意得：；（2）當時，；當時，；當時，．【點睛】本題主要考查了函數關系式，解題的關鍵是掌握圓的面積公式．題型2.建立函數模型2.（2022?大觀區(qū)校級開學）某中學課外興趣活動小組準備圍建一個矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊用長為40米的籬笆圍成，已知墻長為18米（如圖所示），設這個苗圃園垂直于墻的一邊長為x米，圍成的苗圃面積為y平方米，則y關于x的函數關系式為（）A．y＝x（40﹣x） B．y＝x（18﹣x） C．y＝x（40﹣2x） D．y＝2x（40﹣2x）【分析】先用含x的代數式表示苗圃園與墻平行的一邊長，再根據面積＝長×寬列出y關于x的函數關系式．【解答】解：設這個苗圃園垂直于墻的一邊長為x米，則苗圃園與墻平行的一邊長為（40﹣2x）米．依題意可得：y＝x（40﹣2x）．故選：C．【點評】本題考查了由實際問題列二次函數關系式，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．題型3.二次函數與一次函數的綜合3．已知函數y=（m2-2）x2+（m+）x+8．（1）若這個函數是一次函數，求m的值；（2）若這個函數是二次函數，求m的取值范圍.【答案】（1）；（2）且．【分析】（1）根據一次函數的定義知：二次項的系數等于零，一次項的系數不等于零，即可解決問題；（2）根據二次函數的定義知：二次項的系數不等于零，可得方程，根據解方程，可得答案，即可解決問題；【詳解】（1）由題意得，，解得m=；（2）由題意得，m2-2≠0，解得m≠且m≠-.【點睛】本題考查一次函數的定義、二次函數的定義，解題的關鍵是熟練掌握基本概念．題型4.二次函數與動點的關系4.（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級?？茧A段練習）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝30cm，∠A＝60°，動點D從點C出發(fā)沿CA方向以4cm/s的速度向點A勻速運動，同時動點E從點A出發(fā)沿AB方向以2cm/s的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D，E運動的時間是ts，過點D作DF⊥BC于點F，連接EF．(1)若四邊形AEFD為菱形，則t值為多少？(2)在點D、E的運動過程中，設四邊形ADFE的面積為y，請求出y與t的函數關系式？【答案】(1)5s(2)【分析】（1）由DF∥AE且DF=AE，得四邊形ADFE是平行四邊形，若構成菱形，則鄰邊相等即AD=DF，可得關于t的方程，求解即可；（2）由直角三角形的性質可求DF，BF的長，即可求解．【詳解】（1）解：∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠C=30°，∴CD=2DF，AC=2AB，∵AC＝30cm，∴AB=15cm，根據題意得：CD=4tcm，AE=2tcm，則AD=（30-4t）cm，∴DF=2tcm，∴DF=AE，∵DF⊥BC，∴DF∥AE，∴四邊形AEFD是平行四邊形，當DF=AD時，四邊形AEFD為菱形，即30-4t=2t，解得：t=5；（2）解：∵∠B＝90°，AC＝30cm，AB=15cm，CD=4tcm，DF=2tcm，∴，，由（1）得：四邊形AEFD是平行四邊形，∴．【點睛】本題主要考查了二次函數，菱形的性質、平行四邊形的判定與性質以及含30°角的直角三角形的性質等知識，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵．5.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，點P是AB邊上一個動點，過點P作AB的垂線交AC邊與點D，以PD為邊作∠DPE=60°，PE交BC邊與點E.（1）當點D為AC邊的中點時，求BE的長；（2）當PD=PE時，求AP的長；（3）設AP的長為，四邊形CDPE的面積為，請直接寫出與的函數解析式及自變量的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據含有30°角的直角三角形的性質和勾股定理求出的長，從而求出BP的長，然后求出BE的長；（2）設AP=，則BP=4—，根據含有30°角的直角三角形的性質和勾股定理求出PD和PE的長，再根據PD=PE列出方程即可.（3）分別用AP表示PD、PE、BE,再根據即可求出.【詳解】（1）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，∵點D為AC邊的中點,∵∠DPE=60°，過點P作AB的垂線交AC邊與點D，∴∠EPB=30°，∴EB（2）設AP=，則BP=4—，在兩個含有30°的中得出：AD=2DP，BP=2BE，由勾股定理解得：，∵PD=PE，∴解得即有AP=（3）由（2）知：AP=，【點睛】本題主要考查了含有30°角的直角三角形的性質和勾股定理，以及二次函數，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.6.如圖，在中，，，，現有一個動點P從點A出發(fā)，以4cm/s的速度沿AC向終點C運動，動點Q同時從點C出發(fā)，以2cm/s的速度沿CB向終點B運動，當有一點到達終點時，另一點隨之停止運動．設運動時間為ts，的面積為S，求：（1）S與t之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；（2）當時，求線段PQ的長；（3）當t為何值時，？【答案】（1）；（2）；（3）當t為2或3時，．【分析】（1）由點P點Q的運動速度和運動時間，又知AC，BC的長，可將CP、CQ用含t的表達式求出，代入直角三角形面積公式求解即可；（2）當時，代入（1）中公式可得PC，CQ的長，再由勾股定理即可求出PQ；（3）結合（1）得到的關系式，代入條件，列出方程求解即可．【詳解】解：（1）由條件可得：，，∴，∴，；（2）當時，，，∴；（3）由題意可得：，整理得：，解得：，，∴當t為2或3時，．【點睛】本題主要考查了勾股定理的運用，方程思想是解決本題的關鍵．【方法三】差異對比法易錯點：忽略了二次函數二次項系數為零的情況7.（2022秋?蜀山區(qū)校級月考）若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是關于x的二次函數，則a的值是（）A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1【分析】根據二次函數定義可得|a+3|＝2且a+1≠0，求解即可．【解答】解：∵函數y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是關于x的二次函數，∴|a+3|＝2且a+1≠0，解得a＝﹣5，故選：B．【點評】本題考查的是二次函數的定義，二次函數的定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數．易錯總結：求二次函數中字母參數的值，要根據二次函數定義，在保證二次函數中含自變量的代數式是整式的前提下，還必須滿足自變量的最高次數是2和二次項系數不為0的條件。解此題時，容易忽略二次項次數不為0這個條件，得出錯解-5或-1.【方法四】成果評定法一、單選題1．（2023上·陜西咸陽·九年級?？茧A段練習）下列各式中，y是x的二次函數的是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次函數的定義．熟練掌握二次函數的定義是解題的關鍵．根據二次函數的定義進行判斷作答即可．【詳解】解：，是一次函數，故A不符合要求；，是一次函數，故B不符合要求；當時，，不是二次函數，故C不符合要求；，是二次函數，故D符合要求；故選：D．2．（2023上·山西大同·九年級校聯考階段練習）如圖，一個正方體的邊長為，它的表面積為，則y與x的函數關系式為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】正方體有6個面，每一個面都是邊長為x的正方形，這6個正方形的面積和就是該正方體的表面積．【詳解】解：∵正方體有6個面，每一個面都是邊長為x的正方形，∴表面積．故選：C．【點睛】本題考查了列二次函數關系式，理解兩個變量之間的關系是得出關系式的關鍵．3．（2024下·九年級課時練習）若是關于的二次函數，則的值為（

）A． B．0 C．2 D．【答案】C【詳解】根據二次函數的定義：形如（是常數，且）的函數叫做二次函數．據此可列出關于參數的方程與不等式，求解即可．令，解得或，又，故當時，這個函數是關于的二次函數，故選C．【易錯點分析】明確二次函數的定義是解題的關鍵，尤其需要注意的是二次項的系數應不等于零，忽略關于二次項系數取值范圍的限制，容易導致錯選D．4．（2023上·北京朝陽·九年級?？计谥校┱襟w的棱長為x，表面積為y，則y與x之間的函數關系式為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了列二次函數關系式，正方體有6個面，每個面的面積為據此可求解．【詳解】解：由題意得，，故選：C．5．（2023上·九年級課時練習）某商店購進某種商品的價格是7.5元/件，在一段時間里，單價是13.5元，銷售量是500件，而單價每降低1元就可多售出200件，當銷售價為元/件（）時，獲取利潤元，則與的函數關系為（）A． B．C． D．以上答案都不對【答案】D【分析】當銷售價為元件時，每件利潤為元，銷售量為，根據利潤每件利潤銷售量列出函數關系式即可．【詳解】解：由題意得，故選：D．【點睛】題考查了根據實際問題列二次函數關系式，用含的代數式分別表示出每件利潤及銷售量是解題的關鍵．6．（2023上·安徽合肥·九年級?？茧A段練習）據省統(tǒng)計局公布的數據，合肥市2023年第一季度總值約為2.6千億元人民幣，若我市第三季度總值為y千億元人民幣，平均每個季度GDP增長的百分率為x，則y關于x的函數表達式是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】第二季度總值為，第三季度為，得解；【詳解】解：第三季度總值為；故選：C【點睛】本題考查增長率問題，理解固定增長率下增長一期、二期后的代數式表達是解題的關鍵．7．（2023上·浙江溫州·九年級校聯考階段練習）已知某種產品的成本價為30元/千克，經市場調查發(fā)現，該產品每天的銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）有如下關系：．設這種產品每天的銷售利潤為w（元），則w與x之間的函數表達式為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用這種產品每天的銷售利潤等于每千克的銷售利潤乘以每天的銷售量，即可得出w與x之間的函數表達式．【詳解】解：根據題意得，，即，故選：A．【點睛】本題考查根據實際問題列二次函數關系式，根據各數量之間的關系，找出w與x之間的函數表達式是解題的關鍵．8．（2023上·河南周口·九年級統(tǒng)考期中）正方形的邊長為3，若邊長增加，則面積增加，與的關系式為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先表示出原邊長為3的正方形面積，再表示出邊長增加x后正方形的面積，再根據面積隨之增加y列出方程即可．【詳解】解：原邊長為3的正方形面積為：，邊長增加后邊長變?yōu)椋?，則面積為：，．故選：A．【點睛】此題主要考查了根據實際問題列二次函數關系式，解題的關鍵是正確表示出正方形的面積．9．（2023上·河南周口·九年級?？茧A段練習）函數的圖象是拋物線，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．且【答案】C【分析】直接根據二次函數的定義即可得到，計算即可得到答案．【詳解】解：函數的圖象是拋物線，，，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數的定義，熟練掌握形如的函數叫做二次函數，是解此題的關鍵．10．（2023上·北京·九年級北京八中?？计谥校┤鐖D，是等腰直角三角形，，，點為邊上一點，過點作，，垂足分別為，，點從點出發(fā)沿運動至點．設，，四邊形的面積為，在運動過程中，下列說法正確的是（）A．y與x滿足一次函數關系，S與x滿足二次函數關系，且S存在最大值B．y與x滿足一次函數關系，S與x滿足二次函數關系，且S存在最小值C．y與x滿足反比例函數關系，S與x滿足二次函數關系，且S存在最大值D．y與x滿足反比例函數關系，S與x滿足二次函數關系，且S存在最小值【答案】A【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質，矩形的判定和性質，一次函數和二次函數的定義，二次函數求最值．由等腰直角三角形的性質可得，再由，，推出和是等腰直角三角形，四邊形是矩形，進而可得y與x的關系，再根據矩形的面積公式可得S與x的關系式，化為頂點式，即可得到最值．【詳解】解：是等腰直角三角形，，，，，和是等腰直角三角形，四邊形是矩形，，，，即，y與x滿足一次函數關系，，最大值為1，S與x滿足二次函數關系，且S存在最大值．故選：A．二、填空題11．（2011上·湖南長沙·九年級統(tǒng)考期末）下列函數①；②；③；④；⑤．其中是二次函數的是．【答案】②④/④②【分析】根據二次函數的定義，函數式為整式且自變量的最高次數為2，二次項系數不為0，逐一判斷．【詳解】解：①為一次函數；②為二次函數；③自變量次數為3，不是二次函數；④為二次函數；⑤函數式為分式，不是二次函數．故答案為②④．【點睛】本題考查二次函數的定義，能夠根據二次函數的定義判斷函數是否屬于二次函數是解決本題的關鍵．12．（2023上·甘肅定西·九年級?？茧A段練習）已知二次函數，則．【答案】【分析】此題考查了二次函數的定義，根據二次函數的定義：形如，這樣的函數叫做二次函數，得到，，進行求解即可．解題的關鍵是熟練掌握二次函數的定義．【詳解】解：∵函數是二次函數，∴，，∴．故答案為：．13．（2022上·北京朝陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形綠地的長和寬分別為和．若將該綠地的長、寬各增加，擴充后的綠地的面積為，則y與x之間的函數關系是．（填“正比例函數關系”、“一次函數關系”或“二次函數關系”）【答案】二次函數關系【分析】根據矩形面積公式求出y與x之間的函數關系式即可得到答案．【詳解】解：由題意得，∴y與x之間的函數關系是二次函數關系，故答案為；二次函數關系．【點睛】本題主要考查了列函數關系式和二次函數的定義，正確列出y與x之間的函數關系式是解題的關鍵．14．（2023上·四川南充·九年級校聯考階段練習）二次函數的二次項是，一次項系數是，常數項是．【答案】5【分析】根據二次函數的定義判斷即可?！驹斀狻拷猓憾魏瘮档亩雾検?，一次項系數是，常數項是，故答案為：①，②，③，【點睛】此題主要考查了二次函數的定義，要熟練掌握，一般地，形如、、是常數，的函數，叫做二次函數．其中、是變量，、、是常量，是二次項系數，是一次項系數，是常數項．15．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱風華中學?？茧A段練習）用長為30米的柵欄圍成一個矩形花壇，其中一邊長為x米，面積為y平方米，則y與x的函數關系為（不要求寫自變量取值范圍）．【答案】或【分析】由籬笆的總長及一邊長度，可得出花圃另一邊長為米，再利用矩形的面積公式，即可得出關于的函數解析式．【詳解】解：籬笆的總長為30米，花圃一邊長為米，花圃另一邊長為米．根據題意得：．故答案為：．【點睛】本題考查了根據實際問題列二次函數關系式，根據各數量之間的關系，找出關于的函數解析式是解題的關鍵．16．（2023上·遼寧·九年級統(tǒng)考期中）某工廠本年度的產值為100萬元，若在今后兩年里產值的年增長率均為x，兩年后的產值為y萬元．那么y關于x的函數解析式是．【答案】【分析】此題主要考查了根據實際問題抽象出二次函數，掌握二次變化的關系式是解決本題的關鍵．兩年后的產值=本年度的產值增長率，把相關數值代入即可．【詳解】解：第一年度的產值為，∴第二年度的產值為，∴．故答案為：17．（2023上·山西太原·九年級山西實驗中學?？茧A段練習）相框邊的寬窄影響可放入相片的大?。鐖D，相框長，寬，相框邊的寬為，相框內的面積是，則y與x之間的函數關系式為．【答案】【分析】本題主要考查二次函數的實際應用，根據題意列出函數整理并求出的取值范圍即可．【詳解】解：根據題意，得展開得：整理得：根據題意，得解得：．∴y與x之間的函數關系式為，故答案為：18．（2023上·廣東廣州·九年級廣州四十七中?？茧A段練習）正方形邊長，若邊長增加，增加后正方形的面積為，與的函數關系式為．【答案】/【分析】本題考查了列二次函數關系式，根據正方形面積等于邊長的平方，即可求解．【詳解】解：依題意，，故答案為：．三、解答題19．（2023上·陜西西安·九年級統(tǒng)考階段練習）當為何值時，函數是二次函數．【答案】【分析】根據二次函數的定義，可得，且，即可求解．【詳解】解：是二次函數，，解得，又．【點睛】本題考查了二次函數的定義，熟練掌握二次函數的定義是解題的關鍵．二次函數的定義：一般地，形如（是常數，）的函數，叫做二次函數．20．（2023上·山東棗莊·九年級滕州育才中學?？茧A段練習）已知函數．(1)當函數是二次函數時，求的值：(2)當函數是一次函數時，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了二次函數的定義，一次函數的定義．熟練掌握二次函數的定義，一次函數的定義是解題的關鍵．（1）由題意知，，計算求出滿足要求的解即可；（2）由題意知，，計算求出滿足要求的解即可．【詳解】（1）解：∵函數是二次函數，∴，解得，，，，，∴；（2）解：∵函數是一次函數，∴，解得，，，，∴．21．（2023上·北京石景山·九年級?？茧A段練習）如圖，，，，射線于點C，E是線段上一點，F是射線上一點，且滿足．

(1)若，求的長；(2)設，，寫出y關于x的函數關系式．【答案】(1)(2)【分析】（1）如圖，先根據角的和差可得，再根據相似三角形的判定可得，然后根據相似三角形的性質即可得．（2）由，可得，結合，，，，可得，則，從而可得答案．【詳解】（1）解：如圖，

∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，，，∴，∴，解得，經檢驗符合題意．（2）∵，∴，∵，，，，∴，∴∴，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關鍵．22．（2023上·山東日照·九年級統(tǒng)考期中）已知方程（m為常數）．(1)求證：不論m為何值，該方程總有兩個不相等的實數根．(2)，是原方程的兩根，且，求m的值．(3)若函數（m為常數）不論m為何值，該函數的圖像都會經過一個定點，求定點