西北工大821自動(dòng)控制原理講義

第三章線(xiàn)性系統(tǒng)的時(shí)域分析法

?時(shí)域分析法在經(jīng)典控制理論中的地位和作用

時(shí)域分析法是三大分析方法之一，在時(shí)域中研究問(wèn)題，重點(diǎn)討論過(guò)渡過(guò)

程的響應(yīng)形式。

?時(shí)域分析法的特點(diǎn)：1).直觀、精確。2).比較煩瑣。

§3.1概述

1.典型輸入

2.性能指標(biāo)

?穩(wěn)一基本要求

?準(zhǔn)f穩(wěn)態(tài)要求:SS

她匕竺”

?快一過(guò)渡過(guò)程要求0%=/l（GO）

§3.2一階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)及動(dòng)態(tài)性能

設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右所示

]

Ts+1

開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G（S）=4

S

K1

—K11

閉環(huán)傳遞函數(shù)①(S)==—"=7r=-=--

—s+K/[75+1T

sT

r(?)=1(。時(shí)：

1T11

C(s)=①(s)R(s)==--------1

s(”$s+4

TT

C(O=1-”c(0)=0,c(oo)=1%%

9.ss

d89

1--t1

c'(t)=-eTc'(0)=了

T2T3T

依h（t）特點(diǎn)及4定義有:

〃9)=1—)#=0.95

￡T'=1-0.95=0.05

——ts=In0.05=—3

??4=3T

一階系統(tǒng)特征根分布與時(shí)域響應(yīng)的關(guān)系:

T

例1已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右

其中：G(s)=1°

0.25+1

加上K0,KE環(huán)節(jié)，使[減小為原

來(lái)的0.1倍，且總放大倍數(shù)不變，求K0,KH

解：依題意，要使閉環(huán)系統(tǒng)/=0.1x0.2=0.02,且閉環(huán)增益=10。

10

lOK。

①(s)=Ko.——=K。.。冷胃

°1+KHG(S)。］?10K”0.2s+l+10K〃

0.25+1

10KO/(l+10K")

0.2,

—s+1

l+10Kn〃

02

T=——-——=0.02

K=0.9

令1二°，聯(lián)立解出,H

K=10g°=10A=10

1+1QKH

例2已知某單位反饋系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為

丸⑺=1-e-a,

求(1).閉環(huán)傳遞函數(shù)①(s);(2).單位脈沖響應(yīng)；(3).開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。

解：⑴左⑺="⑺=ae~at

(2)①(s)=L[k(t)]=-^―

s+a

⑶“虛...①(s)+①(s)G(s)=G(s)①(s)=[l—①(s)]G(s)

a

①(S)=s+a=a=a

1一①(s)]as+a-as

s+a

一階系統(tǒng)分析開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(5)=-

s

閉環(huán)傳遞函數(shù)①(s)=」一

Ts+1

?線(xiàn)性系統(tǒng)重要特性：系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的導(dǎo);數(shù)響應(yīng)，等于系統(tǒng)對(duì)該信號(hào)響

積分

導(dǎo)數(shù)

應(yīng)的

積分

§3.3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)及動(dòng)態(tài)性能

1.二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)形式及分類(lèi)

1）二階系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)及標(biāo)準(zhǔn)形式:

典型結(jié)構(gòu)如右______〃s(s+2a0?)

R"E.|—『IC

K

①⑸s(Ts+l)-

s(7i+1)+K

2g4

22

S+^(Ons+(Dm

標(biāo)準(zhǔn)形式：

12

^>(s)=-------------------=............----------

T-s2+2^75+1$2+2Ms+①：

E：系統(tǒng)的（閉環(huán)系統(tǒng)）阻尼比，阻尼系數(shù)

閉環(huán)系統(tǒng)固有頻率，龍1尼自然頻率

2）二階系統(tǒng)分類(lèi)：=苫母土后T■電i

sinCOntcosG)nt

。＜0:負(fù)阻尼系統(tǒng)*

J=0：零阻尼系統(tǒng)12=匚為

O<J<1:欠阻尼系統(tǒng)

X

(-^CDntCOSCDnt

“2=-g±他Ji。"

O'leTdtsinCOnt

X

■

JiI

1=1：臨阻尼系統(tǒng)_

eotee

xxo"ie-d號(hào)后)t

空1：過(guò)阻尼系統(tǒng)

2.欠阻尼二階系統(tǒng)分析：

⑴二階欠阻尼系統(tǒng)極點(diǎn)的兩種表示：八j

1

直角坐標(biāo)表示：

IX

512=CT±JX

0-=-4Sn0

=一匆〃±川1一

“極”坐標(biāo)表示：

模=%

“極”角=￡

cos夕夕J

sinQ=Jl—S

⑵二階欠阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)

2

C(s)=①(s)R(s)=^+2^y+^)-^+2^)J_

s-+2Ms+co,；s

_1(s+g)+g

s

左?)=/?)=乙-[(1)(5)]=匚1⑵

（S+我,）2+（'1_&2以）2

h(0)=0

丸⑺響應(yīng)特征:<"(0)=0

包絡(luò)線(xiàn)收斂速鹿

阻尼振蕩頻率口^7?！?/p>

⑶指標(biāo)計(jì)算:

由k(t)=0得：sinJl-￥cot=0

即：J1一I?0/=0,萬(wàn),2萬(wàn),?一

依乙定義，應(yīng)有=71

tp代入⑴式：9=1+”玩/丹

。％;她必―3（4）

h(GO)

由(1)依4定義忽略正弦因子影響，以包括線(xiàn)進(jìn)入5%誤差帶的時(shí)刻為^

有:,<0.05

4

―&①g=lnO.O5+ln71-?

,_-In0.05-In7i孑?!竺3.5

⑸

'她她

峰值時(shí)間%71

得」超調(diào)量6%=廣后

X100%與q無(wú)關(guān)￡=0.707最佳

調(diào)節(jié)時(shí)間4=-0=5%)自＜0.8,￡〉37。偏于保守

（3）極點(diǎn)分布與1。）響應(yīng)間關(guān)系

3)當(dāng)k=1.6時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

2

10100①〃

解：1）當(dāng)左=10時(shí)：①（s）=

22

O.l^+s+10s+10^+100+2(^cDns+CD^

=Vwo=io

JP_=JP_=

2a)n2x10-

K=10'=60。"0.5a%=ie>.3%

K=5(3=45°=0.707a%=5%

(3=30。^=~cr%=0.43%

K=1.6("1.25>1)

t7i_3.14

=0.363

「叫71-0.52X10

9%=/g=i6.3%

3.53.5.

t=—=-------=0A.7

s'窕“0.5x10

K10K

2)①(s)=

O.h2+s+Ks2+105+10^

,_J2_

’23”

la)n=/LOK

10令1

=0.707=

2y/10K

10V2=2VIO￥

100x2=4xl0K->K=5(?=VlO^=V10x5=7.07)

1.6161616

3)①(s)

O.I52+5+1.6s2+105+16(s+2)(s+8)(s+；)(s+；)

‘1/2

T=-

'x2T查「86圖3-17

」=4f工=3.3

T=-4

28

33

4=3.3x(=三=1.65

例2某典型欠阻尼二階系統(tǒng)

，5%<b%<16.3%

要求

2<?！?lt;5

試確定系統(tǒng)極點(diǎn)的允許范圍

解：

b%=5"=0.707.尸=45°

b%=16.3"=0.5-分=60°

要求等價(jià)為:>。<￡<60。

2<a)n<5

例3

系統(tǒng)如下圖示

=時(shí)的響應(yīng)為公。

求號(hào),&，。

解：依題可知

/z(oo)=2

"p=0?75”

b%=2.8-2=9%

2

①⑸=,&&=_Kg：=[a=①；

22

s+as+K2S+2自①ns+①；a—2J①葭

/z(oo)=lims.①(s).E(s)=lims."宿----j_=K、=2(2)

s-oz。s+as+K2S

(4)

In0.09=

---------=0.7665

71

⑸

n7AAs2

,=0.60833(〃=52.55°)

1+0.76652

⑸一(4)：

a)n=-------/=5.236弧/秒(6)

0.75V1-0.6082

(5).(6)^(1)

2

K2=CD^=5.236=27.4

<a—240yti—2x0.608x5.236=6.37

K[=2

系統(tǒng)極點(diǎn)分布：

p=arcco/=52.5°

con—5.236

3.過(guò)阻尼二階系統(tǒng)性能估算：

"[S]

iF02

?①⑶=-----------=-----吆------0>1)(1).」一

T2s?+2步+152+2^5+(y?2

11

-2g土渥2。；

§1,24°"=3①“士①N42T

2

2-8：

s+q(J—+0"C+T)(s+2)(s+[)

------.......—T>T⑵

.號(hào)與12

?找出，包與4,（之間的關(guān)系:

?2/1.,1、7z11、1

???S-+2物,5+0“=(5+-)(5+—)=5-+(—+—)5+—

12，2

比較：1

1+11+11+二

/72JL⑶

2①"221

師2冊(cè)/與

?求階躍響應(yīng):

11

「=1⑺1(O21

CG)====①(s)—=——p—=-+

r1

sS(s+-；\s+-)S

，2

1亍1

/7(?)=1+—----e1+-----eT1

e-De-D

6A

求（表達(dá)式：依《定義:

11

0.95=1+———e+^fe

e-De-D

12

fT(3)

解：^=/e)=/*(^)

?過(guò)阻尼二階系統(tǒng)求才思路:

35791113151719

TJT\

K(O；_______\(On_4=1/L-7?工)0].[4/(P86B3-17yts

s2+2gs+0：停/=1/[c+卜—1)°J上(缺例

題:

例:

①(s)=---------------------=--------.........=..........--------

0.1S2+2^,5+??252+105+16(5+2)(5+8)

r1—1

con=V16=47^=-=0.5

A>-4>!=3.3告4=33.7=1.65〃

『2x45〉1/=w=0.125^=1.251

?注：

1）當(dāng)今〉5（J〉1.4）時(shí)，欠阻尼二階系統(tǒng)，戶(hù)37；——近似用一階系統(tǒng)代替

12

2）過(guò)阻尼二階系統(tǒng)零極點(diǎn)分布與動(dòng)態(tài)性能之間的關(guān)系

i.5=-工極點(diǎn)對(duì)4影響較大---主導(dǎo)極點(diǎn)

（△>6時(shí)）岡

i匚4與十值、!值有關(guān)（!~冷）一苓一丁F

’2‘2

3）系統(tǒng)相當(dāng)于兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)的特性

欠阻尼

二階系

統(tǒng)動(dòng)態(tài)

性能計(jì)

算復(fù)

習(xí)：

⑴極點(diǎn)的表示方法:

舉例：系統(tǒng)如右圖示,5KaC

S(S+34.5)

求K”分別取值為1500,200,13.5時(shí)的動(dòng)態(tài)性能:

5K.

解：開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)=

s(s+34.5)

開(kāi)環(huán)增益K=5K,,/34.5

5K.

①(s)=

1+34.5s+5K?

-32.4一2.08

E1

①L麻丫_71__J

K34.5值'3.5e——

a"2%b%=e'，=7-"K

PMT0“劭”

0.2;/=78.5

150086.20.03752%0.20.004

6

0.545;/二57O

20031.60.1213%0.20.034

5

卜…GO

13.58.22良=-32.401.450.511

1

力⑺響應(yīng)曲線(xiàn)見(jiàn)右下圖。

3單位斜坡響應(yīng)與氣討論:

誤差傳遞函數(shù):

①對(duì)=正熱

s(s+34.5)

『+34.5s+5Kti

E(s)=①/s).R(s)

「(￡)=，1

=①eG"

s

s(s+34.5)134.51

%=e?)|一8=lims.E(s)=lims.

5—>05->052+34.55+5^V元=/

（/計(jì)算列表見(jiàn)上頁(yè)表）

結(jié)論：

1.系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，穩(wěn)態(tài)性能均與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)（K.,K）有關(guān)

2.性能之間對(duì)參數(shù)的要求有時(shí)是有矛盾的

從6要求K。盡量大

必須折中，使各方面要求滿(mǎn)足，若兼顧不到,

從tr%要求K。盡量小.

則需校正

三改善二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的方法

系統(tǒng)（如火炮系統(tǒng)）存在超調(diào)的原因

一內(nèi)部原因：系統(tǒng)內(nèi)部有貫性，有儲(chǔ)能元件

〔外部原因：結(jié)構(gòu)參數(shù)滲不合理

1.比例加微分控制一一提前控制

改善系統(tǒng)性能的原理（定性分析）見(jiàn)下頁(yè)圖以說(shuō)明之。

2.測(cè)速反饋控制一一增加阻尼

二解軸船㈱標(biāo)-棘

分類(lèi)

琳性能計(jì)就式

1.螂都圖

（國(guó)（3-23）1+0.6）0.2『.圖（3—24）1+。"

打，.---------------------------，：--------------

—延遲時(shí)間3

4（她）九二也

2,閉環(huán)傳遞函枷上刑跳小絲2冉

0<^<1X

+2如$+。；(3-29)3.5

Sf=CO$-1明節(jié)時(shí)間3,

3.參數(shù)：Q"

峰值即叼冊(cè)（3-26）^^^

4.階廂應(yīng)：

-MR

。義＜1

泌5’

項(xiàng)=]--——=sin（%解量(7%:1

f?胤叫沸

CI

1"

1延嬲M〃㈣幽毆

項(xiàng)=1+^-+7；-之s)=

-1-1L-1郎+D&+1)

4%&>Q■(3-31)1+1.5^+^

1

上升帆:

恒戈%）/=也

陽(yáng)節(jié)時(shí)闞:S*■/=（尹

飛

/?=a)；(7%=0

（6）二階系統(tǒng)性能的改善

帶閉環(huán)零點(diǎn)的欠阻尼二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能計(jì)算:

如右系統(tǒng):

?①⑸=Ws+l)。：

s(s+2g)+(7；s+l)Q"2

(力+1)以2,

s2+Q&+Td(O")a)"S+a)：

2

_o)(5+a)

n絡(luò)

*22(3—42)

as~+2^dcons+a＞；

式中：a^—

Td

芍7+弩(3-43)

?1（0響應(yīng)：

(3-44)

其中：〃=

-7i+arctg①"J-+arctg———「92(3-46)

”卻①“屐

?指標(biāo)計(jì)算:

(3-47)

(3-49)

22-

3+-ln(tz-2&①“+a)n)-Intz-

(3-50)

RKc

-0^s(s+i)

開(kāi)環(huán)增益K對(duì)系統(tǒng)性能的影響

如右系統(tǒng):

開(kāi)環(huán)傳函:G(s)=—

s(s+l)

開(kāi)環(huán)增益：K

閉環(huán)傳函：0(5)=----------=-~%--------3

s+s+Ks~+2^Pa>ns+atn

-1+Ji-4Ki--------------

特征未艮：兒2=—-:----------------=一弧土人/1一￥①.

=4K

特征參數(shù)：L11

}-........=......――

2?！?4K

動(dòng)態(tài)指標(biāo)：

小,、E(S)15(5+1)

誤差傳函:①(S)=------=--------------=-------------

2

eR(s)]1KS+S+K

s(s+l)

穩(wěn)態(tài)誤差：e=e(oo)=lims.①(s).—=lim—；----------=一

ss20e522°S2+S+KK

*注r=1⑺時(shí)ess=0(講原理)

不同K時(shí)系統(tǒng)的性能指標(biāo)比較

K0.160.510

0.160.510

6⑶

S?+s+0.16j2+s+0.5s?+s+10

4.24=0.2,4=0.84”-0.5±j0.54=-0.5土川.12

'1.255=50.7070.158

%[10.4T2.=1.250.7073.16

動(dòng)1.006.2831.01

態(tài)

性<7%05%60.4%

能和K

77

4t5=3,3x5=16.5

6.2520.1

改善二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的方法舉例

原系統(tǒng)(a)測(cè)速反饋(b)比例加微分(c)

?、10?、1010(1+10^,5)

G(s)=G(s)==電)=s(s+l)

s(s+l)s(s+l)+10K,s

10/(1+10K,)

——s(s+l)

1+10K,

不，、io

①(s)=^--------不，、io10(110^)

52++10①(s)=+

529+(1+10^)5+10$2+(1+10K,)s+10

=V10=3.16=V10=3.16(on=V10=3.16

1+10x0216_j_

:---=0.158^=-

2x3.16--2x3.16-22

夕=81°〃=60。￡=60°

1

-a=z=-----=-4.63

%0.216

n71

一=1.01”=1.15"P92兀一tg-g

n=1.05"

①”p(3-47)

7

。%=產(chǎn)/必=60.4%=16.3%

a<^a>n=2.93戶(hù)92

3.535CT%：<'n-23%

4=h=7"上=2.215”J=0.50-49)

弧

122

P92353+—ln((2-2g+0")-lna--

2

「(3-5SJ?

K=10=」K=10

K—=3.16

1+10K,3.16

ess=1/K=0.1(r(?)=t)ess=0.1(r(0=0

ess=1/1^=0.316(r(?)=0

問(wèn)題討論:

1開(kāi)環(huán)增益會(huì)影響系統(tǒng)的性能指標(biāo)

＞改變指標(biāo)的原因:

G(s)=%

開(kāi)環(huán)增益K0

s(Ts+l)

KK

不/、BO

①(s)=------———閉環(huán)增益KB

s(Ts+V)+KT1,

0——S2+——5+1

K°Ko

K0變化一特征多項(xiàng)式系數(shù)變化一特征根變化一以。變化一性能變化

＞開(kāi)環(huán)增益變化對(duì)性能的改善是有限的，指標(biāo)對(duì)K0的要求往往是矛盾

的只能采取折中方案，兼顧不同的要求。

妙'b%T“快”與“準(zhǔn)”兩項(xiàng)指標(biāo)相矛盾

2.閉環(huán)增益K"不改變系統(tǒng)性能指標(biāo)，KB只改變輸出的比例尺度

KB

7(。

.s2+A+4)s+i

3.系統(tǒng)的性能不僅取決于閉環(huán)極點(diǎn)，而且與閉零點(diǎn)有關(guān)。前者決定響應(yīng)的

模態(tài)，后者決定模態(tài)的加權(quán)系數(shù)。

4.不同輸入下穩(wěn)態(tài)誤差分析

5.比例一微分控制的原理一一提前控制（圖示）

e=-h

e=e+Tde=e-Tdh

6.測(cè)速反饋改善性能的原理一一增加阻尼（從結(jié)構(gòu)圖解釋?zhuān)?/p>

7.兩種方案

比例一微分測(cè)速反饋

1）對(duì)噪聲敏感；信號(hào)弱，需放大;有濾波作用，信號(hào)強(qiáng)，不需放

大；

2）較簡(jiǎn)單，成本低；復(fù)雜，成本高；

3）不改變開(kāi)環(huán)增益，，不改變；改變開(kāi)環(huán)增益，

4）引入一個(gè)閉零點(diǎn)J,b%T）。不引入閉零點(diǎn)。

8.附加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的作用:原系統(tǒng)與測(cè)速反饋系統(tǒng)相比較

原系統(tǒng)測(cè)速反饋系統(tǒng)

G(s)=^—

G(s)=-------------

s(s+1)s(s+V)+10Kts

D(5)=52+5+10D(s)=s2+(i+i0KJs+lO

你不變缶T

=^^=0.158.1+10x0.216”n

J=-----；=——=0.5〈

2V102V10

附加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，改變了閉環(huán)極點(diǎn)的位置（前左）增加了阻尼，改善了指標(biāo)。

9.附加閉環(huán)零點(diǎn)的作用一一測(cè)速反饋系統(tǒng)與比例一微分控制系統(tǒng)相比較

10.附加閉環(huán)極點(diǎn)的作用

§3.4高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)

1.高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

高階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)一般可表示為

①(s)=竺2=Ke(s—Z])(s—Z2)…(s-Z"J

“R(s)(s—4)(s—4)???(§—4)

r(0=1時(shí)C(s)=①(s)」=除(6-zj(s-Z2)…(s-zQ

Ss(s-4)(s-4)…(s-4,)

CCc

=￡1+1+2+.?.+?

ss_4s_4s-4

h(t)—CQ+qe'"++,,,+

2.閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，偶極子

主導(dǎo)極點(diǎn)：距虛軸較近，對(duì)過(guò)渡過(guò)程影響較大的閉環(huán)極點(diǎn)。(三倍距離

偶極子：靠得很近，作用可以相互抵消的閉環(huán)零極點(diǎn)對(duì)。(,距離)

10

3.高階系統(tǒng)性能估算一一零點(diǎn)、極點(diǎn)法

估算思路：略去非主導(dǎo)極點(diǎn)和偶極子，用主導(dǎo)零極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的低階系統(tǒng)估

算高階系統(tǒng)性能指標(biāo)。

步驟：

1)由①(S)---閉環(huán)零極點(diǎn)圖；

2)略去非主導(dǎo)零、極點(diǎn)(3倍于主導(dǎo)極點(diǎn)距虛軸的距離)；

3)略去不非?？拷c(diǎn)的偶極子；

4)利用教材幾。.⑹表，用相應(yīng)的公式進(jìn)行動(dòng)態(tài)性能估算。

例：系統(tǒng)主導(dǎo)零、極點(diǎn)分布如右圖示，計(jì)算其性

能指標(biāo)

解：按《第二行對(duì)應(yīng)公式：

fp=(萬(wàn)，J/。

仄a3萬(wàn)13?

72cl~-~r~1__4T

=--e4“=—=e=0.095>0.05

2aJ2

3+ln(A/D.E/E)

0

3+ln(?(1)3245

aa

附加零、極點(diǎn)對(duì)二階欠阻尼系統(tǒng)的影響：（定性分析）

附加零點(diǎn):

附加極點(diǎn)：

2

（以+D卜+2初,,s+①：

結(jié)論

tJ,cr%T

(1).附加點(diǎn)：使

極ta%

IpT,'J

（2）.附加的零（極）點(diǎn)越靠近原點(diǎn)，對(duì)系統(tǒng)的影響越大。

欠阻尼二階系統(tǒng)附加零極點(diǎn)后動(dòng)態(tài)特性的計(jì)算（例）

極

點(diǎn)

分

布

圖

原振蕩二階附加一個(gè)零點(diǎn)附加一個(gè)極點(diǎn)附加一個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)極

系統(tǒng)點(diǎn)

f-乃+一e

n71-67i+rlp-D

t=-------

tp=~D~n

PDPDq=-令a-m

a%=e~a,tp

xl°°"%=10()￡產(chǎn)％a=-(-)2

AF，2=令哈哈

3+In(方)ApAC

3+ln(1)Q)-------

DFBD

a%=(—?—”叫+)x1(%

性6a%=（一或砒+qe”<100%BF

B

ts=3+InJ(c〉巧,cr%w0時(shí))

=3+爪2(,

能tT%豐0時(shí)）

百

t=3+3匕％<巧,。％=0臣

指t=3+In|q|s

(o-%=0時(shí)),°

c

標(biāo)

計(jì)

算

公

式

3兀

5%

37r

5乃

兀

3兀

=

tp

t——