2022-2023學(xué)年遼寧省大連市高新區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一個(gè)選項(xiàng)正確）

1.（3分）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）

A.△

2.(3分)在RtZ\ABC中，/C=90°,AB=5,AC=3,則sinB的值是(

A.3B.Ac.3D.5

5543

3.(3分)點(diǎn)PG,-2)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(1,2)B.(-2,1)C.(-1.-2)D.(-1,2)

4.(3分)用配方法解方程7-4x=-2,下列配方正確的是()

A.(x-2)2=2B.(x+2)2=2C.(%-2)2=-2D.(%-2)2=0

5.（3分）如圖，A8是O。的直徑，AC,8C是的弦，若乙4=20°,則N8的度數(shù)為

C.40°D.60°

6.（3分）將拋物線y=2（x-3）2+2向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，平移后

所得拋物線的解析式為（）

A.y=2（x-5）2+5B.y=2r2

C.y=2（x-1）2+5D.y=2（x-1）2-1

7.（3分）在一個(gè)不透明的袋子里裝有紅球6個(gè)、黃球4個(gè)，這些球除顏色外都相同.小

明從袋子中摸一次，摸到黃球的概率是（）

A.2B.3C.2D..3-

55310

8.（3分）關(guān)于x的一元二次方程，-2x+Z=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是（）

A.ZW1B.心＞1C.k=}D.女21

9.（3分）如圖，在AABC中，以C為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AC、BC于點(diǎn)E、

F,再分別以E、尸為圓心，大于上E尸的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M連結(jié)CN交

2

AB于點(diǎn)。，過。作BC的平行線交AC于M,若8c=3,AC=2,則。M=（）

A.5B.AC.3D.A

6543

10.（3分）如圖，小明在某次投籃中，球的運(yùn)動(dòng)路線是拋物線y=-0.2?+3.5的一部分,

若命中籃圈中心，則他與籃圈底的距離/是（）

二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）

11.（3分）關(guān)于x的一元二次方程，-3x+f=0的一個(gè)根為-1,則另一個(gè)根是,

t—.

12.（3分）二次函數(shù)y=-（x-2）2+1,當(dāng)*>3時(shí)，y隨x的增大而.

13.（3分）從n個(gè)蘋果和3個(gè)桔子中任選1個(gè)，若選中蘋果的概率是2,則n的值

3

為.

14.（3分）如圖，在二488中，點(diǎn)E在邊BC上，OE交對角線AC于F,若CE=2BE,

△CEF的面積等于4,那么△AFD的面積等于

BE

AD

15.（3分）如圖，在矩形A8C￡＞中，AB=2貶,以點(diǎn)A為圓心，AZ）長為半徑畫弧交8c

于點(diǎn)E,連接AE,ZBAE=30°,則陰影部分的面積為

16.（3分）如圖，在中，AB=AC=a,將△ABC繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△O8E,

若點(diǎn)E恰好為AC的中點(diǎn)，則8c的長為（用含“的代數(shù)式表示）.

三、解答題（本題共4小題，其中17題9分，18、19、20題各10分，共39分）

17.（9分）小明用描點(diǎn)法畫拋物線y=-f+4x-3.

（1）請幫小明完成下面的表格，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)在所給的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，連線

從而畫出此拋物線;

X???-1012345

y=-8—0——-3-8

r+4工

-3

（2）直接寫出拋物線的對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo).

18.（10分）某景區(qū)檢票口有4、B、C共3個(gè)檢票通道.小德和小禹兩人到該景區(qū)游玩,

兩人分別從3個(gè)檢票通道中隨機(jī)選擇一個(gè)檢票.

（1）小德選擇A檢票通道的概率是；

（2）用畫樹狀圖或列表法求小德和小禹兩人選擇的檢票通道恰好相同的概率.

19.（10分）如圖，在△4BC中，點(diǎn)。在BC邊上，ZADC^ABAC,CD=\,BD=3,求

AC的長.

B

20.（10分）疫情期間“停課不停學(xué)”，遼寧省初中數(shù)學(xué)學(xué)科開通公眾號進(jìn)行公益授課，9

月份該公眾號關(guān)注人數(shù)為5000人，11月份該公眾號關(guān)注人數(shù)達(dá)到7200人，若從9月份

到11月份，每月該公眾號關(guān)注人數(shù)的平均增長率相同，求該公眾號關(guān)注人數(shù)的月平均增

長率.

四、解答題（本題共3小題，其中21題9分，22、23題各10分，共29分）

21.（9分）數(shù)學(xué)興趣小組測量建筑物AB的高度.如圖，在建筑物AB前方搭建高臺CD

進(jìn)行測量.高臺C。到AB的距離8c為6米，在高臺頂端。處測得點(diǎn)A的仰角為40°,

測得點(diǎn)3的俯角為30°.

（1）填空：ZADB=°；

（2）求建筑物A8的高度（結(jié)果保留整數(shù)）.

（參考數(shù)據(jù)：sin40°M）.64,cos40°弋0.77,tan40°=0.84,百毛1.73）

A

22.（10分）如圖，O。是△ABC的外接圓，AB是OO的直徑，過。作0。J_AC于點(diǎn)E,

延長OE至點(diǎn)。，連結(jié)CD,使NO=NA.

（1）求證：CO是。。的切線；

23.（10分）某公司研發(fā)了一款成本為30元的新型產(chǎn)品，投放市場進(jìn)行銷售.按照物價(jià)部

門規(guī)定，銷售單價(jià)不低于成本且不高于70元，調(diào)研發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y（個(gè)）與銷售單

價(jià)x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示.

（1）求每天的銷售量了（個(gè)）與銷售單價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少元？

五、解答題（本題共3小題，其中24、25題各11分，26題12分，共34分）

24.（11分）如圖，在RtZVIBC中，ZACB=90°,AC=Scm,BC=6cm.。為AC中點(diǎn)，

過。作。EJ_AC交48于點(diǎn)E.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)，沿射線OE以Icm/s的速度運(yùn)動(dòng).過

。作OM〃A8,過P作于點(diǎn)M.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r（s）.△PQM與△ABC

重疊部分圖形的面積為S(cm2).

(1)當(dāng)點(diǎn)M落在BC邊上時(shí)，求，的值;

(2)當(dāng)點(diǎn)M在AABC內(nèi)部時(shí)，求S關(guān)于f的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量f的取值范

圍.

25.(11分)綜合與實(shí)踐

問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問題：如圖1,在AABC中，AB=AC,點(diǎn)

。在8c邊上，AD=AE,ZADE^^ZBAC,延長84至點(diǎn)F,連結(jié)EF.求證：ZDAC

2

=ZEAF.

獨(dú)立思考：(1)請解答王老師提出的問題.

實(shí)踐探究：(2)在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問

題，請你解答.

“如圖2,連結(jié)BE交AC于G,若/AGE=/GEF,AB=AF,求證AG=Lc￡>.”

2

問題解決：(3)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組同學(xué)解決完上述問題后，感悟了此題的數(shù)學(xué)思想方法，對

此題進(jìn)行變式，提出新的問題，請你解答.

“如圖3,在△ABC中，AB=2AC.點(diǎn)。在BC邊上，點(diǎn)F在△ABC內(nèi).AD=^-AF,

22

ZDAF=ZADC,NADB=NBAC,連結(jié)8F交AO于點(diǎn)E,求逆的值”.

CD

圖1圖2圖3

26.(12分)如圖，拋物線y—^j?+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)3,與y軸交于

2

點(diǎn)C(0,-2),連接AC,BC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)尸在第四象限的拋物線上，設(shè)△ABC的面積為Si，△P8C的面積為S2,當(dāng)S2=

時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

5

(3)點(diǎn)M在拋物線上，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo).

2022-2023學(xué)年遼寧省大連市高新區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一個(gè)選項(xiàng)正確）

1.（3分）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念，進(jìn)行判斷即可.把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如

果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形.

【解答】解：選項(xiàng)A、8、D的圖形都不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形.

選項(xiàng)C的圖形能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后與原來的圖形重合，

所以是中心對稱圖形.

故選：C.

2.（3分）在RtZ\ABC中，ZC=90°,AB=5,AC=3,則sinB的值是（）

A.3B.Ac.3D.S

5543

【分析】直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出sinB的值.

【解答】解：如圖，,??在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=3,AB=5,

.,.sinB=N-=2.

AB5

故選：A.

A.（1,2）B.（-2,1）C.（-1.-2）D.（-1,2）

【分析】根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號相反，即點(diǎn)尸（x,y）關(guān)于原點(diǎn)。

的對稱點(diǎn)是P'（-r,-y），進(jìn)而得出答案.

【解答】解：點(diǎn)P(I,-2)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,2).

故選：D.

4.(3分)用配方法解方程f-4x=-2,下列配方正確的是()

A.(x-2)2=2B.(x+2)2=2C.(%-2)2=-2D.(x-2)2=0

【分析】根據(jù)配方法即可求出答案.

【解答】解:x2-4x+4=-2+4,

(x-2)2=2,

故選：A.

5.(3分)如圖，48是。。的直徑，AC,BC是。。的弦，若NA=20°,則NB的度數(shù)為

【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角為90°,即可求解.

【解答】解：是。。的直徑，

AZC=90°,

?.24=20°,

AZB=90°-ZA=70°,

故選：A.

6.(3分)將拋物線_y=2(x-3)2+2向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，平移后

所得拋物線的解析式為()

A.y—2(x-5)2+5B.y=2j?

C.y=2(x-1)2+5D.y=2(x-1)2-1

【分析】根據(jù)左加右減，上加下減的平移規(guī)律求解即可.

【解答】解：將拋物線y=2(x-3)2+2向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，平

移后所得拋物線的解析式為y=2(x-3+2)2+2+3,

即y=2(x-1)2+5,

故選：c.

7.（3分）在一個(gè)不透明的袋子里裝有紅球6個(gè)、黃球4個(gè)，這些球除顏色外都相同.小

明從袋子中摸一次，摸到黃球的概率是（）

A.2B.3C..2D.A.

55310

【分析】根據(jù)概率公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：???一個(gè)不透明的袋子里裝有紅球6個(gè)、黃球4個(gè)，

???小明從袋子中摸一次，摸到黃球的概率=_±=2,

4+65

故選：C.

8.（3分）關(guān)于x的一元二次方程？-2x+A=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)%的取值范圍是（）

A.kWlB.k>TC.k=lD.k卻

【分析】根據(jù)所給的方程找出“，b,c的值，再根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程7-2x+&=0

有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，得出A=b2-4ac》0,從而求出％的取值范圍.

【解答】解：b--2,c—k,

而方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

A=?-4ac=4-440,

“W1；

故選：A.

9.（3分）如圖，在AABC中，以C為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AC、BC于點(diǎn)E、

F,再分別以E、F為圓心，大于工E尸的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)N,連結(jié)CN交

2

A8于點(diǎn)。，過。作BC的平行線交AC于M,若8c=3,AC=2,則。A/=（）

【分析】由作圖知道C。是角平分線，再有平行得到三角形相似，利用相似的性質(zhì)求解.

【解答】解：設(shè)

由作圖得：。平分NACB,

:.NACD=NBCD,

'JBC//DM,

：.ZACD^ZMDC,△AZWs/\ABC,

.,.DM=CM=x,M=DM,

ACBC

即：—=三，

23

解得：尸且，

5

故選：B.

10.（3分）如圖，小明在某次投籃中，球的運(yùn)動(dòng)路線是拋物線y=-0.2?+3.5的一部分,

若命中籃圈中心，則他與籃圈底的距離/是（）

【分析】如圖，實(shí)際是求AB的距離，而OA已知，所以只需求出OB即可；而。8的長,

又是C點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以把C點(diǎn)的縱坐標(biāo)3.05代入解析式即可解答.

把C點(diǎn)縱坐標(biāo)＞=3.05代入中得:

x=±1.5（舍去負(fù)值），

即。8=1.5,

所以l=AB=2.5+\.5=4.

故選：c.

二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）

11.（3分）關(guān)于x的一元二次方程,-3x+t=0的一個(gè)根為-1,則另一個(gè)根是4,t

--4.

【分析】設(shè)另一個(gè)根為根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得-1+m=3,-m=t,進(jìn)一步求解即

可.

【解答】解：設(shè)另一個(gè)根為，小

；一元二次方程）-3x+f=0的一個(gè)根為-1,

???-l+/n=3,-m=t,

解得：m=4,t=-4.

故答案為：4,-4.

12.（3分）二次函數(shù)y=-（x-2）2+1,當(dāng)x>3時(shí)，v隨x的增大而減小.

【分析】首先確定對稱軸，然后結(jié)合其開口方向確定答案即可.

【解答】解：???二次函數(shù)y=-（x-2）2+1的對稱軸為：x=2,且開口向下，

...當(dāng)x>2時(shí)，y隨x的增大而減小，

...當(dāng)x>3時(shí)，y隨x的增大而減小，

故答案為：減小.

13.（3分）從〃個(gè)蘋果和3個(gè)桔子中任選1個(gè)，若選中蘋果的概率是2,則n的值為

3

6_.

【分析】根據(jù)概率公式得3_=2,然后利用比例性質(zhì)求”的值.

n+33

【解答】解：根據(jù)題意得：」_=2,

n+33

3n=2（H+3）,

3n-2〃=6,

〃=6,

經(jīng)檢驗(yàn)，〃=6是方程的解.

故答案為：6.

14.（3分）如圖，在中，點(diǎn)E在邊5。上，。后交對角線AC于凡若CE=2BE,

△CE尸的面積等于4,那么△4尸。的面積等于9.

BE

AD

【分析】先證明△AQFSACEF,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得結(jié)果.

【解答】解：：CE=2BE,

設(shè)BE=x,則CE=2x,BC=3x,

：四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AD//BC,AD=BC=3x,

：./\ADF^/XCEF,

.SAADF/AD、29

S/kCEFCE4

???△CEF的面積等于4,

SA74DF=-^-SAACD=4=9,

4

故答案為：9.

15.（3分）如圖，在矩形A8CD中，AB=2M,以點(diǎn)4為圓心，長為半徑畫弧交BC

于點(diǎn)E,連接AE,ZBAE=30°,則陰影部分的面積為依二

一~3—

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出ND4B=NB=90°,AB=2?,可以求出AE的長，由/

BAE=30°,可以得出ND4E的度數(shù)，再分別求出矩形ABC。、Z\A8E和扇形D4E的面

積即可.

【解答】解：???四邊形A8C。是矩形，

AZDAB=ZB=90°,

VZBA￡=30°,

：.BE=^AE,

2

,:AB=2M，

：.AE1=AB1+BEr,

即4爐=（小巧）2+做比）2,

解得AE=4,

：.AD=AE=4,BE=1AE=2,

2

VZDAE^ZDAB-ZBAE=90°-30°=60°,

陰影部分的面積S=S矩形A8CZ）-SAABE-S扇形。AE

=4X2通-工X2X2代-」°兀X4、

2360

=8?-2百-當(dāng)T

3

=6^3--1T.

3

故答案為：6愿一gTT.

3

16.（3分）如圖，在△A8C中，AB=AC=a,將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△OBE,

若點(diǎn)E恰好為AC的中點(diǎn)，則BC的長為叵（用含〃的代數(shù)式表示）.

-2—

由A8=AC=4,E為4c的中點(diǎn)，得AE=CE=』AC=2,

2

由旋轉(zhuǎn)得BE=BC,所以CF=EF=LCE=1,再根據(jù)勾股定理得BC2-CF2=AB1-AF2

2

=BF2,即可求出BC的長.

【解答】解：如圖，作8FL4c于點(diǎn)F,則/4FB=/CFB=90°,

'：AB=AC=a,E為4c的中點(diǎn),

'.AE=CE=^-AC=^ci,

22

由旋轉(zhuǎn)得BE=BC,

ACF=EF=X.CE=^a,

24

：.AF=AE+EF=3-a,

4

'：BC2-CF1=AB1-AF1=BF1,

2

故答案為：返〃

2

三、解答題(本題共4小題，其中17題9分，18、19、20題各10分，共39分)

17.(9分)小明用描點(diǎn)法畫拋物線y=-f+4x-3.

(1)請幫小明完成下面的表格，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)在所給的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，連線

(2)直接寫出拋物線的對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo).

yA

L

「

I

r2，-4

1-

-4

-L

-—

-

I

3I心

n.-?1-i

I.42,-

J.

.*丁

.|

.4

.，

.,

.—

.f

rn.

II.-IT

LJ

-4-

—

-

-

!

.

~T

【分析】（1）將x=0,x=2,x=3分別代入函數(shù)解析式中，求出相應(yīng)的y的值即可;

（2）根據(jù)（1）中的圖象，可以直接寫出拋物線的對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：（1）-7+4x-3,

.,.當(dāng)x=0時(shí)，y--3；當(dāng)x=2時(shí)，y=l；當(dāng)x=3時(shí)，y=0；

故答案為：-3,1,0；

拋物線如右圖所示；

（2）由圖象可得，

該拋物線的對稱軸為直線x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,1）.

18.（10分）某景區(qū)檢票口有A、B、C共3個(gè)檢票通道.小德和小禹兩人到該景區(qū)游玩,

兩人分別從3個(gè)檢票通道中隨機(jī)選擇一個(gè)檢票.

（1）小德選擇A檢票通道的概率是1；

一3一

（2）用畫樹狀圖或列表法求小德和小禹兩人選擇的檢票通道恰好相同的概率.

【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可;

（2）畫樹狀圖展示所有9種等可能的情況數(shù)，找出符合條件的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公

式求解.

【解答】解：（1）；檢票口有4,3,C共3個(gè)檢票通道，

...小德選擇4檢票通道的概率是」.

3

故答案為：1.

3

（2）根據(jù)題意畫樹狀圖為：

開始

共有9種等可能的情況，其中小德和小禹選擇的檢票通道恰好相同的有3種情況,

則小德和小禹兩人選擇的檢票通道恰好相同的概率是旦=工.

93

19.（10分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)。在BC邊上，ZADC=ABAC,CD=\,BD=3,求

AC的長.

【分析】由題意可得BC=BO+C￡>=4,根據(jù)/AZ）C=NBAC,公共角NC=/C,即可證

明△AOCS^BAC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)果.

【解答】解：：C￡>=1,BD=3,

：.BC=BD+CD^4,

ZADC=ZBAC,ZC=ZC,

：./\ADC^/\BAC,

???C-D二--A-C，

ACBC

即AC2=CD'BC^4,

：.AC=2（負(fù)值舍去）.

20.（10分）疫情期間“停課不停學(xué)”，遼寧省初中數(shù)學(xué)學(xué)科開通公眾號進(jìn)行公益授課，9

月份該公眾號關(guān)注人數(shù)為5000人，11月份該公眾號關(guān)注人數(shù)達(dá)到7200人，若從9月份

到11月份，每月該公眾號關(guān)注人數(shù)的平均增長率相同，求該公眾號關(guān)注人數(shù)的月平均增

長率.

【分析】設(shè)該公眾號關(guān)注人數(shù)的月平均增長率為X,根據(jù)題意題意列出方程，解方程即

可.

【解答】解：設(shè)該公眾號關(guān)注人數(shù)的月平均增長率為X,

根據(jù)題意得：5000（1+x）2=7200,

解得：xi=0.2=20%,切=-2.2（舍去），

答：該公眾號關(guān)注人數(shù)的月平均增長率20%.

四、解答題（本題共3小題，其中21題9分，22、23題各10分，共29分）

21.（9分）數(shù)學(xué)興趣小組測量建筑物AB的高度.如圖，在建筑物AB前方搭建高臺CD

進(jìn)行測量.高臺C。到A8的距離BC為6米，在高臺頂端。處測得點(diǎn)A的仰角為40°,

測得點(diǎn)B的俯角為30°.

（1）填空：ZADB=70°；

（2）求建筑物A8的高度（結(jié)果保留整數(shù)）.

（參考數(shù)據(jù)：sin40°-0.64,cos400=0.77,tan40°-0.84,收心1.73）

【分析】（1）過點(diǎn)力作。垂足為E,根據(jù)題意可得：ZAD￡=40°,NBDE=

30°,然后利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答；

⑵根據(jù)題意可得：DE=BC=6米,然后分別在RtAWE和RtZXQEB中，利用銳角三

角函數(shù)的定義求出AE,BE的長，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：（1）過點(diǎn)。作。E_LAB,垂足為E,

A

山題意得：

ZADE=40°,NBDE=30°,

:.NADB=NADE+NBDE=40°+30°=70°,

故答案為：70；

（2）由題意得：OE=BC=6米，

在RtZXAQE中，ZADE=40°,

.*.AE=￡）E?tan40°^6X0.84=5.04（米），

在RtZiQEB中，ZBDE=30°,

.*.BE=DE?tan30°=6X返=2代-3.46（米），

3

：.AB=AE+EB=5.M+3.46^9（米），

二建筑物AB的高度約為9米.

22.(10分)如圖，。。是△ABC的外接圓，A8是。。的直徑,過。作ODLAC于點(diǎn)E,

延長?！曛咙c(diǎn)。，連結(jié)CZ),使/。=/A.

(1)求證：CO是。。的切線；

(2)若AB=CD=2爬,求AC的長.

【分析】(1)連接OC,根據(jù)垂直的定義得到NQEC=90°,求得ND+N￡>CE=90°,

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NA=NACO,推出OCLCZ),根據(jù)切線的判定定理即可得

到結(jié)論;

(2)根據(jù)勾股定理得到0。=而而曰=亞麗=5,根據(jù)三角形的面積公式得到

C￡=OC<D=V5X275=2,根據(jù)垂徑定理即可得到結(jié)論.

0D5

【解答】(1)證明：連接0C,

'：OD±AC,

:.NDEC=90°,

：.ZD+ZDCE=90°,

ZA=ZD,

：.ZA+ZDCE=9Q°,

'：OA=OC,

：.ZA=ZACO,

：.ZACO+ZDCE=90°,

：.OC±CD,

：oc是。。的半徑，

.?.CD是。。的切線：

(2)解：，:AB=CD=2后,

:.oc=娓,

:?0D=7CD2OC2V20+5=5，

SACOO=2。。CD=1.0D-CE,

22

.CF=QC<D=V5X2V5=2.

*'-OD5，

,JODLAC,

：.AC=2CE=4.

23.（10分）某公司研發(fā)了一款成本為30元的新型產(chǎn)品，投放市場進(jìn)行銷售.按照物價(jià)部

門規(guī)定，銷售單價(jià)不低于成本且不高于70元，調(diào)研發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y（個(gè)）與銷售單

價(jià)x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示.

（1）求每天的銷售量y（個(gè)）與銷售單價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少元？

（個(gè)）

60-----

40-------r—"'Ys.

!?

II

°______4060工（元）

【分析】（1）由待定系數(shù)法可得函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)每天獲得的利潤為w元，由題意得二次函數(shù)，寫成頂點(diǎn)式，可求得答案.

【解答】解：（1）設(shè)〉=自+。（&W0）,

將點(diǎn)（40,60）,（60,40）代入得：（40k+b=60,

I60k+b=40

解得『"I,

lb=100

，每天的銷售量y（個(gè)）與銷售單價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-x+100；

（2）設(shè)每天獲得的利潤為卬元，

由題意得w=G-30）（-x+100）=-/+130x-3000=-（x-65）2+1225,

???按照物價(jià)部門規(guī)定，銷售單價(jià)不低于成本且不高于70元，

.?.30WxW70,

2<0,拋物線開口向下，

.,.當(dāng)x=65時(shí)，卬有最大值，w最大值=1225,

???銷售單價(jià)為65元時(shí)，每天獲得的利潤最大，最大利潤是1225元.

五、解答題（本題共3小題，其中24、25題各11分，26題12分，共34分）

24.（11分）如圖，在RtZSABC中，ZACB=90°,AC=Scm,BC=6cm.。為AC中點(diǎn)，

過。作。交4B于點(diǎn)E.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)，沿射線。E以km/s的速度運(yùn)動(dòng).過

。作過P作于點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為Ms）.△PDW與△ABC

重疊部分圖形的面積為S（c〃P）.

（1）當(dāng)點(diǎn)M落在BC邊上時(shí)，求f的值；

（2）當(dāng)點(diǎn)M在aABC內(nèi)部時(shí)，求S關(guān)于f的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量/的取值范

圍.

B

1

ADC

【分析】（1）根據(jù)題意可得AB=10cm,DM=5cm,再根據(jù)DW〃A8,可得N

PDM=NB,ZPMD=ZACB=90＜，,從而可證△尸。WS^ABC,根據(jù)相似三角形的性

質(zhì)可得尸。=2耳機(jī)，以此即可求解；

3

（2）當(dāng)點(diǎn)M在AABC內(nèi)部時(shí)，在（1）的情況下，達(dá)到了最大值，①當(dāng)0＜忘3時(shí)，5

=SAPDM，此時(shí)PD=t,由可得PM=A+,。例=W+,以此即可算出

551

S；②當(dāng)3＜后空時(shí)，過E作EQLOW交。M于點(diǎn)。，S=SEDMN=SAEDQ+S

3

ENMQ，根據(jù)題意可得OE=3,四邊形ENMQ為矩形，再由得OQ=a,

5

QE=H,s1x—X—=^＞根據(jù)△PENS/\EOQ得EN=&（t-3＞以此

5AEDQ255255

即可算出5.

【解答】解：（1）如圖，此時(shí)點(diǎn)“落在BC邊上，

,ABWAC2+BC2=1CP?，

?.?。為AC中點(diǎn)，DM//AB,

.1

*：DE.LAC,

：.ZPDC=90°,

?：DM〃AB,

：./A=/MDC,

?.,NA+N8=90°,ZPDM+ZMDC=90°,

:?/PDM=NB,

9：PMLDM,

???NPMQ=NACB=90°,

△尸0Ms△ABC,

?PDDMpnPD5

ABBC106

：.PD=^.cm,

3

；，=空+(s),

當(dāng)點(diǎn)M落在BC邊上時(shí)，f的值為臣；

3

(2)由(1)可知，當(dāng)點(diǎn)M在AABC內(nèi)部時(shí)，在(1)的情況下，達(dá)到了最大值,

當(dāng)點(diǎn)尸位于點(diǎn)。位置時(shí)，達(dá)到了最小值，

①當(dāng)0<fW3時(shí)，S=SADM，

此時(shí)PD=t,

根據(jù)△PDWsAABC,可得旦1出13_,

ABACBC

即

1086

55x

?。13462

一△PDMW't^t^t，

②當(dāng)3<rw2?時(shí)，如圖，過E作EQ_L￡>M交。M于點(diǎn)。,

B

S=S四邊形￡QMN=SZ\E￡)Q+S四邊形ENMQ，

為AC中點(diǎn)，DELAC,

J.DE//BC,

DE=yBC=3'

\'EQ±DM,PM1DM,

J.EQ//PM,四邊形ENMQ為矩形,

:.ADQEs^DMP,

：ADQEs^BCA,

?DE_DQ_QE,即3_DQ_QE,

**AB"BCT、元話T，

：.DQ^^-,QE=^-,

55

?1乂9x1254

一△cEDQ而*后X了書’

此時(shí)，PD=t,PE=t-3,

*：DMIIAB,

:.APENsAEDQ,

?PEEN即主2?

EDDQ39_

5

?,0=春(53)，

"S四邊形EN*QE?EN《-I(t-3)=-||-(t-3)>

??S=S四邊形EQMN=S/、EOQ+S四邊形ENMQ=A^"+"2^1(［一3)二3。,一旦1,

25252525

2

綜上，當(dāng)0<fW3時(shí)，s^-Lt；當(dāng)3<fW里■時(shí)，s=r36_t_§4.

2532525

25.（11分）綜合與實(shí)踐

問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問題：如圖1,在△4BC中，A8=AC,點(diǎn)

。在BC邊上，AD=AE,ZADE^^ZBAC,延長班至點(diǎn)尸，連結(jié)EF.求證：ZDAC

2

=NEAF.

獨(dú)立思考：（1）請解答王老師提出的問題.

實(shí)踐探究：（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問

題，請你解答.

“如圖2,連結(jié)8E交AC于G,若NAGE=NGEF,AB=AF,求證47=工。9.”

2

問題解決：（3）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組同學(xué)解決完上述問題后，感悟了此題的數(shù)學(xué)思想方法，對

此題進(jìn)行變式，提出新的問題，請你解答.

“如圖3,在△ABC中，AB=^-AC.點(diǎn)。在BC邊上，點(diǎn)F在△ABC內(nèi).AD=^-AF,

22

ZDAF=AADC,ZADB=ABAC,連結(jié)8F交AO于點(diǎn)E,求處的值”.

CD

【分析】（1）說明/D4￡=NCAF即可證明結(jié)論；

（2）首先利用SAS證明△AQC絲△AEF,得DC=EF,取BE的中點(diǎn)H,連接A”,可知

A”為的中位線，由NAHG=/AG”，則AG=AH=/EF，即可證明結(jié)論；

（3）延長BA至點(diǎn)M,使連接FM,利用兩邊成比例且夾角相等得△AOC

2

s[\kFM,從而說明AD//FM,得AABEs^MBF,設(shè)AB=3a,AC=2a,AM=&,

3

進(jìn)而解決問題.

【解答】（1）證明：*.?AO=4E,

：.ZADE=ZAED,

A180°-2AADE,

VZAD￡=1ZBAC,

AZDAE=180°-ZBAC=ZCAFf

：.ZDAC+ZCAE=ZCAE+ZEAF,

：.ZDAC=ZEAF；

(2)證明：..?AB=A凡AB=AC,

:.AF=AC9

又AD=AE,

：./\ADC^/\AEF(SAS),

：.DC=EF,

如圖2,取BE的中點(diǎn)“，連接A”,

,

：AB=AF9

???A為8尸的中點(diǎn),

???A”為的中位線，

J.AH//EF,AH=-lgp,

???NAHB=NGEF,

VAGEF=/AGE,

：.ZAHB=ZAGEf

：./AHG=/AGH,

(3)解：如圖3,延長區(qū)4至點(diǎn)M,使AC=M4M,連接尸M,

2

?.?AD■AC—3>

AFAM2

VZADC+ZADB=\SO°,ZADB=ZBACf

AZADC+ZBAC=\SO0,

VZBAC+ZCAM=180°,

JZADC=ZCAM,

,/ZADC=ZDAF,

：.ZDAF=ZCAMf

：.ZDAC=ZFAM9

：.△ADCs△4/5/,

ZADC=ZAFM,

,?NADC=NDAF,

：.ZDAF=NAFM,

C.AD//FM.

：.△ABESLMBF,

.AE二四

??而f

??泡8=洗心沏，

.?.設(shè)AB=3a,AC=2a,AM=^a,

3

.'.BM=AB+AM=3a+-^-a=^-a,

33

.AE=3a=9

??而二13'I?

Va

?能=卷版

又；AADC^AAFM,

???-D-C=-A-D-=—3,

HFAF2

：.DC=^-MF,

2

.AE寶股_&

26.(12分)如圖，拋物線丫=工/+加:+￡；與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)8,與y軸交于

2

點(diǎn)C(0,-2),連接AC,BC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P在第四象限的拋物線上，設(shè)△A8C的面積為Si，△PBC的面積為8，當(dāng)$2=

幺1時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

5

(3)點(diǎn)M在拋物線上，當(dāng)/M48=2NACO時(shí)，求點(diǎn)”的橫坐標(biāo).

【分析】(1)將A(-1,0)、C(0,-2)代入y=L2+^+c,列方程組并且解該方程

2

組求出b、C的值，即可得到拋物線的解析式為y=F-Xc-2；

(2)先求得B(4,0),則S“BC=LB，OC=5,再求得直線BC的解析式為y=L

2,2

-2,作軸于點(diǎn)H,交BC于點(diǎn)G,設(shè)P(x,Xc2--Ir-2),則G(x,Xc-2),

222

所以PG=-kr-2-(L2-Mr-2)=-可求得SAPBC=-f+dx,lilS&PBC=-S

22225

^ABC,得-/+4x=9X5,解方程求出x的值即可；

5

(3)取A8點(diǎn)中E,連接CE,則E(3,0),可證明△AOCs/\COB,得NACO=/

2

CBO,再證明N4CB=90°,貝UBE=CE=LB,即可證明NAEC=2NC8O=2N

2

ACO,再分兩種情況討論，一是點(diǎn)M在x軸的上方，則AM〃CE,可求得直線CE的解

析式為、=芻-2