2025年江蘇（統(tǒng)招專升本）高等數(shù)學(xué)考試試題及答案一、選擇題（每題5分，共25分）

1.設(shè)函數(shù)f(x)=(x^22x+1)^3，則f'(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.2

B.3

C.4

D.5

答案：C

解析：f(x)=(x1)^6，求導(dǎo)得f'(x)=6(x1)^5。令f'(x)=0，解得x=1。由于f'(x)在x=1兩側(cè)符號(hào)相同，故f'(x)在x=1處無零點(diǎn)。而f'(x)為5次多項(xiàng)式，故有5個(gè)零點(diǎn)，選C。

2.設(shè)函數(shù)y=sin(x+2)，求y在x=0處的切線斜率（）

A.1

B.0

C.1

D.2

答案：C

解析：y'=cos(x+2)，將x=0代入得y'(0)=cos(2)=1，故切線斜率為1，選C。

3.設(shè)函數(shù)y=x^2e^x，求y的極值點(diǎn)（）

A.x=0

B.x=2

C.x=2

D.無極值點(diǎn)

答案：B

解析：y'=2xe^x+x^2e^x=xe^x(2+x)。令y'=0，解得x=0或x=2。當(dāng)x<2或x>0時(shí)，y'>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)2<x<0時(shí)，y'<0，函數(shù)單調(diào)遞減。故x=2為極大值點(diǎn)，x=0為極小值點(diǎn)，選B。

4.設(shè)函數(shù)f(x)=x^36x^2+9x1，求f(x)的拐點(diǎn)坐標(biāo)（）

A.(1,5)

B.(2,5)

C.(3,5)

D.(1,3)

答案：B

解析：f'(x)=3x^212x+9，f''(x)=6x12。令f''(x)=0，解得x=2。f''(x)在x=2兩側(cè)符號(hào)相反，故x=2為拐點(diǎn)。將x=2代入f(x)，得f(2)=5，拐點(diǎn)坐標(biāo)為(2,5)，選B。

5.設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)，求f(x)在x=0處的泰勒展開式（）

A.x+1/2x^2+1/6x^3+...

B.x1/2x^2+1/6x^3+...

C.x+1/3x^2+1/6x^3+...

D.x1/3x^2+1/6x^3+...

答案：A

解析：f'(x)=1/(x+1)，f''(x)=1/(x+1)^2，f'''(x)=2/(x+1)^3，...。將x=0代入，得f(0)=0，f'(0)=1，f''(0)=1，f'''(0)=2，...。泰勒展開式為f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+f'''(0)x^3/3!+...=x1/2x^2+1/6x^3+...，選A。

二、填空題（每題5分，共25分）

1.設(shè)函數(shù)y=e^x，求y在x=1處的切線方程為______。

答案：ye=e(x1)

2.設(shè)函數(shù)y=sin(x)+cos(x)，求y的最小值點(diǎn)為______。

答案：x=5π/4

3.設(shè)函數(shù)y=2x^33x^2+1，求y的二階導(dǎo)數(shù)y''為______。

答案：12x6

4.設(shè)函數(shù)f(x)=x^2e^x，求f(x)的極值點(diǎn)為______。

答案：x=2（極大值點(diǎn)），x=0（極小值點(diǎn)）

5.設(shè)函數(shù)f(x)=x^33x^2+3x1，求f(x)的拐點(diǎn)坐標(biāo)為______。

答案：(1,0)

三、解答題（每題20分，共60分）

1.設(shè)函數(shù)y=x^33x^2+4，求y的單調(diào)區(qū)間和極值。

解：y'=3x^26x，令y'=0，解得x=0或x=2。當(dāng)x<0或x>2時(shí)，y'>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<2時(shí)，y'<0，函數(shù)單調(diào)遞減。故x=0為極大值點(diǎn)，x=2為極小值點(diǎn)。y(0)=4為極大值，y(2)=0為極小值。

2.設(shè)函數(shù)f(x)=x^44x^3+6x^24x+1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值。

解：f'(x)=4x^312x^2+12x4，令f'(x)=0，解得x=0或x=1或x=3。當(dāng)x<0或x>3時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<1或1<x<3時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減。故x=0和x=3為極大值點(diǎn)，x=1為極小值點(diǎn)。f(0)=1為極大值，f(1)=0為極小值，f(3)=80為極大值。

3.設(shè)函數(shù)y=e^xsin(x)，求y的極值點(diǎn)。

解：y'=e^xsin(x)+e^xcos(x)=e^x(sin(x)+cos(x))。令y'=0，解得x=π/4+kπ/2，k為整數(shù)。當(dāng)x<