PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。第四節(jié)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用第1課時利用導(dǎo)數(shù)研究恒(能)成立問題【命題分析】恒(能)成立問題與有解問題是高考數(shù)學(xué)的重要知識,其中不等式恒成立問題經(jīng)常與導(dǎo)數(shù)及其幾何意義、函數(shù)、方程等知識相交匯,綜合考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力,一般作為壓軸題出現(xiàn).【核心考點·分類突破】考點一不等式恒成立問題角度1分離參數(shù)法求參數(shù)范圍[例1](2020·全國Ⅰ卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x.當(dāng)x≥0時,f(x)≥12x3+1恒成立,求a的取值范圍【解析】由f(x)≥12x3+1得ex+ax2-x≥12x3+1,其中①當(dāng)x=0時,不等式為1≥1,顯然成立,此時a∈R.②當(dāng)x>0時,分離參數(shù)a,得a≥-ex記g(x)=-exg'(x)=-(x令h(x)=ex-12x2-x-1(x則h'(x)=ex-x-1,令H(x)=ex-x-1,H'(x)=ex-1>0,故h'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,因此h'(x)>h'(0)=0,故函數(shù)h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以h(x)>h(0)=0,即ex-12x2-x故當(dāng)x∈(0,2)時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(2,+∞)時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.因此,g(x)max=g(2)=7-綜上,實數(shù)a的取值范圍是[7-e2解題技法分離參數(shù)法解決不等式恒成立問題的策略(1)觀察:已知含參數(shù)λ的不等式f(λ,x)≥0恒成立.(2)轉(zhuǎn)化:將不等式轉(zhuǎn)化為g(λ)≥h(x),即將參數(shù)λ與變量x分離,可以將λ單獨分離到不等式一邊,也可以將只含有λ的一個代數(shù)式分離到不等式的一邊.(3)求最值:求函數(shù)h(x)的最值或值域.求h(x)最大值或值域的方法要依據(jù)函數(shù)h(x)的形式確定,可以用導(dǎo)數(shù)法、均值不等式法、換元法、單調(diào)性法等.(4)得結(jié)論:若h(x)的最大值為M,則g(λ)≥M恒成立;若h(x)不存在最大值,其值域為(m,M)時,g(λ)≥M恒成立.對點訓(xùn)練(2024·湛江模擬)已知f(x)=x2若f(x)≤x-1對x∈[1,+∞)恒成立,求a的取值范圍.【解析】f(x)≤x-1恒成立,即a≥x2-(x-1)ex在[1,+∞)上恒成立,設(shè)g(x)=x2-(x-1)ex,g'(x)=x(2-ex),x∈[1,+∞)時,x>0,2-ex<0,所以在[1,+∞)上,g'(x)<0,所以函數(shù)g(x)=x2-(x-1)ex在[1,+∞)上單調(diào)遞減,所以g(x)max=g(1)=1,所以a≥1,故a的取值范圍為[1,+∞).角度2分類討論法求參數(shù)范圍[例2](2023·煙臺模擬)已知函數(shù)f(x)=x2+alnx.(1)討論f(x)的單調(diào)性;【解析】(1)因為f'(x)=2x+ax,x①若a≥0,則f'(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.②若a<0,令f'(x)=0,得x=-a當(dāng)x∈(0,-a2)時,f'(x)<0,f(當(dāng)x∈(-a2,+∞)時,f'(x)>0,f(x綜上所述,當(dāng)a≥0時,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)a<0時,f(x)在(0,-a2)上單調(diào)遞減,在(-(2)若f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.【解析】(2)由(1)知f'(x)=2x2+當(dāng)a>0時,f'(x)>0,所以f(x)單調(diào)遞增,又x→0+,f(x)→-∞,故f(x)≥0不恒成立;當(dāng)a=0時,f(x)=x2>0,符合題意;當(dāng)a<0時,f(x)在(0,-a2)上單調(diào)遞減,在(-所以f(x)min=f(-a2)=-a2+a由f(x)≥0恒成立,可得-a2+aln-a2≥0,解得a≥-2e,所以-2e≤綜上,a的取值范圍為[-2e,0].解題技法根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍的關(guān)鍵是將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題,此類問題關(guān)鍵是對參數(shù)分類討論,在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值,并判斷是否滿足題意,若不滿足題意,只需找一個值或一段內(nèi)的函數(shù)值不滿足題意即可.對點訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)=lnx-a(x-1),a∈R,x∈[1,+∞),且f(x)≤lnxx+1恒成立,求【解析】f(x)-lnxx+1構(gòu)造函數(shù)g(x)=xlnx-a(x2-1)(x≥1),g'(x)=lnx+1-2ax,令F(x)=g'(x)=lnx+1-2ax,F'(x)=1-①若a≤0,則F'(x)>0,g'(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,g'(x)≥g'(1)=1-2a>0,所以g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,g(x)≥g(1)=0,從而f(x)-lnxx②若0<a<12,當(dāng)x∈[1,12a)時,F'所以g'(x)在[1,12從而g'(x)≥g'(1)=1-2a>0,所以g(x)在[1,12a)上單調(diào)遞增,g(x)≥從而f(x)-lnxx③若a≥12,則F'(x所以g'(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,g'(x)≤g'(1)=1-2a≤0.所以g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,從而g(x)≤g(1)=0,f(x)-lnx綜上,a的取值范圍是[12,+∞)角度3“最值法”解決不等式恒成立問題[例3]已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)=(x-1)ex-ax22,若f(x)≤3在(0,2]上恒成立,求實數(shù)【解析】函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=xex-ax=x(ex-a),①若a≤1,則在(0,2]上,f'(x)>0恒成立,f(x)單調(diào)遞增,因此f(x)max=f(2)=e2-2a>3,不符合題意;②若1<a<e2,令f'(x)=0得x=lna,當(dāng)x∈(0,lna)時,f'(x)<0,當(dāng)x∈(lna,2]時,f'(x)>0,因此f(x)在(0,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,2]上單調(diào)遞增,又因為f(0)=-1<3,所以只需f(2)≤3即可,即e2-2a≤3,解得e2-32≤③若a≥e2,則在(0,2)上,f'(x)<0恒成立,f(x)單調(diào)遞減,因此f(x)<f(0)=-1<3,符合題意.綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是[e2-解題技法在不等式恒成立問題中,如果不能分離參數(shù)或分離參數(shù)后的函數(shù)的最值比較難求,可以把含參不等式整理成f(x,a)>0或f(x,a)≥0的形式,然后從研究函數(shù)的性質(zhì)入手,通過討論函數(shù)的單調(diào)性和極值,直接用參數(shù)表達函數(shù)的最值,然后根據(jù)題意,建立關(guān)于參數(shù)的不等式,解不等式即得參數(shù)的取值范圍.(1)如果f(x,a)有最小值g(a),則f(x,a)>0恒成立?g(a)>0,f(x,a)≥0恒成立?g(a)≥0;(2)如果f(x,a)有最大值g(a),則f(x,a)<0恒成立?g(a)<0,f(x,a)≤0恒成立?g(a)≤0.對點訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)=aln(x+1),a∈R.若對任意的x∈[0,+∞),都有f(x)≥x-12x2恒成立,求實數(shù)a的取值范圍【解析】對任意的x∈[0,+∞),都有f(x)≥x-12x2恒成立,即aln(x+1)-x+12x2令h(x)=aln(x+1)-x+12x2(x則h'(x)=ax+1-1+x=x2+①當(dāng)a≥1時,h'(x)≥0恒成立,所以函數(shù)h(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,因此h(x)min=h(0)=0,所以a≥1符合條件.②當(dāng)a<1時,由h'(x)=0,x≥0,解得x=1-當(dāng)x∈(0,1-a)時,h'(x)<0;當(dāng)x∈(1-a,+∞)時,h'(x)>0,h(x)min=h(1-a)<h綜上可知,實數(shù)a的取值范圍為[1,+∞).考點二不等式能成立問題[例4]已知函數(shù)f(x)=x2-4ln(x+1).(1)求函數(shù)f(x)的極值;【解析】(1)因為f(x)=x2-4ln(x+1),定義域為(-1,+∞),所以f'(x)=2x-4x+1=令f'(x)=0,可得x=1或x=-2(舍去),由f'(x)>0,得x>1;由f'(x)<0,得-1<x<1,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1).當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如表:x(-1,1)1(1,+∞)f'(x)-0+f(x)↘1-4ln2↗故當(dāng)x=1時,f(x)有極小值,并且極小值為f(1)=1-4ln2,無極大值.(2)存在x∈(-1,+∞),使不等式f(x)-a≤0成立,求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(2)存在x∈(-1,+∞),使不等式f(x)-a≤0成立,等價于f(x)min≤a,由(1)知f(x)min=f(1)=1-4ln2,所以a≥1-4ln2,即實數(shù)a的取值范圍為[1-4ln2,+∞).解題技法已知不等式能成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法(1)函數(shù)法:討論參數(shù)范圍,借助函數(shù)單調(diào)性求解.(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問題加以解決.(3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,進而構(gòu)造兩個函數(shù),然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.一般地,①?x∈D,使得a>f(x)有解,則只需a>f(x)min;②?x∈D,使得a<f(x)有解,則只需a<f(x)max.對點訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)=12x2-(a+2)x+2alnx(a∈R).設(shè)函數(shù)g(x)=-(a+2)x,若至少存在一個x0∈[e,4],使得f(x0)>g(