第1章集合與邏輯單元綜合檢測(cè)一、填空題1．已知全集，，則【答案】【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義直接求解.【解析】由題全集，，所以.故答案為：.2．下列寫法中，正確的有①；②；③；④.【答案】①【分析】根據(jù)元素與集合，集合與集合關(guān)系可判斷.【解析】空集是任何非空集合的真子集，故①正確，②錯(cuò)誤，，故③錯(cuò)誤，空集是不含任何元素的集合，故④錯(cuò)誤.故答案為：①.3．集合，則實(shí)數(shù)【答案】2【分析】根據(jù)集合間關(guān)系可知，即可求出.【解析】因?yàn)椋?，解得，故答案為?4．陳述句“存在實(shí)數(shù)x，”的否定為.【答案】所有實(shí)數(shù)x，【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定形式可得.【解析】由存在量詞命題的否定形式可知：“存在實(shí)數(shù)x，”的否定為“所有實(shí)數(shù)x，”.故答案為：所有實(shí)數(shù)x，5．已知集合，用列舉法表示為.【答案】【分析】根據(jù)集合的意義直接表示集合.【解析】，故答案為：.6．用反證法證明“若,則或”時(shí),應(yīng)假設(shè).【答案】且【分析】根據(jù)反證法，假設(shè)原命題的結(jié)論的否定即可.【解析】“或”的否定為“且”.故答案為：且7．已知集合，且，則.【答案】【分析】根據(jù)題意，列出方程，求得的值，結(jié)合集合元素的互異性，即可求解.【解析】因?yàn)?，所以或，解得或，?dāng)時(shí)，，，集合不滿足元素的互異性，所以舍去；當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以．故答案為：．8．已知，.若是的充分非必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【答案】【點(diǎn)睛】由是的充分非必要條件，集合的包含關(guān)系列出不等式組，解之即可.【解析】因?yàn)槭堑某浞址潜匾獥l件，所以是的真子集，則（不同時(shí)取等號(hào)），解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故答案為：.9．集合，集合，則．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出方程組的解即可.【解析】依題意，由，解得或，所以.故答案為：10．如圖，已知是全集，、、是的三個(gè)子集用交、并、補(bǔ)關(guān)系將圖中的陰影部分可表示為

【答案】【分析】根據(jù)韋恩圖及集合的運(yùn)算表示即可.【解析】由韋恩圖可知陰影部分表示集合中集合的補(bǔ)集與集合的公共部分，所以可以表示為.故答案為；11．若集合，，若滿足的所有m的值組成的集合記為Q，則Q的真子集個(gè)數(shù)為．【答案】7【分析】根據(jù)子集關(guān)系可分類求解，進(jìn)而得到，根據(jù)子集的個(gè)數(shù)公式即可求解.【解析】由可得，由于，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則，解得，當(dāng)時(shí)，則，解得，所以,故Q的真子集個(gè)數(shù)為，故答案為：712．集合有10個(gè)元素，設(shè)M的所有非空子集為每一個(gè)中所有元素乘積為，則.【答案】1【分析】分析可得M的所有非空子集為可分為4類，分別分析4類子集中，所有元素乘積，綜合即可得答案.【解析】集合M的所有非空子集為可以分成以下幾種情況①含元素0的子集共有個(gè)，這些子集中所有元素乘積；②不含元素0，含元素1且含有其他元素的子集有個(gè)③不含元素0，不含元素1，但含其他元素的子集有個(gè)其中②③中元素是一一對(duì)應(yīng)的，且為相反數(shù)，則的和為0，④只含元素1的子集1個(gè)，滿足，綜上：所有子集中元素乘積.故答案為：1二、單選題13．下列元素與集合的關(guān)系中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系、常見數(shù)集的定義判斷即可.【解析】表示全體實(shí)數(shù)組成的集合，則，故A錯(cuò)誤；表示全體有理數(shù)組成的集合，則，故B錯(cuò)誤；表示全體正整數(shù)組成的集合，則，故C正確；表示全體自然數(shù)組成的集合，則，故D錯(cuò)誤.故選：C.14．已知:整數(shù)能被2整除，：整數(shù)能被6整除，則是的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】B【分析】根據(jù)題意分別判斷充分性和必要性即可得到答案.【解析】充分性：因?yàn)?整數(shù)能被2整除，所以設(shè)此數(shù)為，則不一定為整數(shù)，即不一定能被6整除，故充分性不成立；必要性：因?yàn)椋赫麛?shù)能被6整除，所以設(shè)此數(shù)為，則一定為整數(shù)，即一定能被2整除，故必要性成立.綜上所述，是的必要非充分條件.故選：B15．已知非空集合且，設(shè)，，則對(duì)于的關(guān)系，下列問題正確的是（

）A． B． C． D．的關(guān)系無法確定【答案】C【分析】由集合與元素、集合與集合之間的關(guān)系從兩個(gè)方面推理論證即可求解.【解析】，有，從而有，進(jìn)一步，即，所以，，有，從而有，進(jìn)一步有，即，所以，綜上所述，有.故選：C.16．設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為“取整函數(shù)”，如：，.現(xiàn)有關(guān)于“取整函數(shù)”的兩個(gè)命題：①集合是單元素集：②對(duì)于任意，成立，則以下說法正確的是（

）A．①②都是真命題 B．①是真命題②是假命題C．①是假命題②是真命題 D．①②都是假命題【答案】A【分析】對(duì)于①，分類討論、、、和五種情況分別求解即可判斷；對(duì)于②，分類討論為整數(shù)和不為整數(shù)時(shí)原式是否成立，對(duì)于不為整數(shù)時(shí)，進(jìn)一步分類討論其小數(shù)部分即可.【解析】對(duì)于①：當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，則，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，則，不符合題意；當(dāng)時(shí)，；則符合題意，不符合題意；綜上，是單元素集，故①正確.對(duì)于②：當(dāng)為整數(shù)時(shí)，成立；當(dāng)不為整數(shù)時(shí)，設(shè)（為整數(shù)，），當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，，則，，此時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，成立；綜上，對(duì)于任意，成立，故②正確.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：針對(duì)一般的函數(shù)新定義問題的方法和技巧：（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡(jiǎn)單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息的理解；（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對(duì)此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；（4）如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.三、解答題17．設(shè)集合,.(1)若，判斷集合A與B的關(guān)系；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值集合.【答案】(1)是的真子集(2)【分析】（1）解方程得到，得到是的真子集；（2）分，和三種情況，求出答案.【解析】（1），時(shí)，，故是真的子集（2），故，當(dāng)時(shí)，，滿足要求，當(dāng)時(shí)，若時(shí)，，解得，若時(shí)，，解得，故實(shí)數(shù)的取值集合為.18．求證：關(guān)于x的方程有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)數(shù)根的充要條件是.【答案】證明見解析【分析】結(jié)合判別式、根與系數(shù)關(guān)系，先證得充分性，然后證得必要性.【解析】①充分性：因?yàn)椋苑匠痰呐袆e式，且兩根積，所以方程有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)根.②必要性：若方程有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)根，設(shè)兩根為，則有，解得.綜合①②可知，方程有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)根的充要條件是，命題得證.19．已知，且，，且或(1)若，，求實(shí)數(shù)a的值.(2)若p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)2(2)【分析】（1）由題意結(jié)合數(shù)軸法易得，得到后再檢驗(yàn)一下，進(jìn)而確定；（2）利用充要條件與集合之間的關(guān)系得到，結(jié)合數(shù)軸可得或，從而得到a的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)?，，所以由?shù)軸法可得，解得，此時(shí)，或，滿足，，故.（2）因?yàn)閜是q的充分條件，所以，又因?yàn)?，所以結(jié)合數(shù)軸可得，或，得或，所以滿足p是q的充分條件的實(shí)數(shù)的取值范圍為.20．設(shè)集合；(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若集合中有兩個(gè)元素，求；(3)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；【答案】(1)或(2)(3)【分析】（1）由，代入后解方程并檢驗(yàn)是否滿足題意；（2）根據(jù)韋達(dá)定理和完全差的平方公式化簡(jiǎn)求值即可；（3）根據(jù)集合B元素情況分類求解即可.【解析】（1）由題意得，因?yàn)?，所以，所以即，化?jiǎn)得，即，解得或，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，滿足，當(dāng)時(shí)，，滿足，所以或.（2）因?yàn)榧现杏袃蓚€(gè)元素，所以方程有兩個(gè)根，所以且，，所以.（3）因?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，則，無解；當(dāng)時(shí)，則，所以；當(dāng)時(shí)，則，無解；綜上，.21．對(duì)于正整數(shù)，定義．對(duì)于任意的，稱為的第個(gè)分量，稱是的一個(gè)“協(xié)同子集”．如果同時(shí)滿足：①的元素個(gè)數(shù)不少于；②對(duì)于任何、、，存在，使得、、的第個(gè)分量都是．(1)對(duì)于，若是的一個(gè)恰好含有四個(gè)元素的“協(xié)同子集”，且其中兩個(gè)元素是和，直接寫出另外兩個(gè)元素；(2)證明：若是的一個(gè)“協(xié)同子集”，則的元素個(gè)數(shù)不超過；(3)證明：若是的一個(gè)“協(xié)同子集”，且的元素個(gè)數(shù)恰好是，則存在唯一的，使得中所有元素的第個(gè)分量都是．【答案】(1)、(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)“協(xié)同子集”的定義直接寫出另外兩個(gè)元素；（2）若為的一個(gè)“協(xié)同子集”，考慮元素，進(jìn)行判斷證明即可；（3）根據(jù)“協(xié)同子集”的定義，證明存在性和唯一性即可得到結(jié)論.【解析】（1）解：由題意可知，中兩個(gè)元素分別為和，這兩個(gè)元素第個(gè)分量都是，故中另外兩個(gè)元素分別為、.（2）解：對(duì)于，考慮元素；顯然，、、，對(duì)于任意的，、、不可能都為，可得、不可能都在“協(xié)同子集”中．又因?yàn)槿《?，則一定存在且唯一，而且，由的定義知道，，，，這樣，集合中元素的個(gè)數(shù)一定小于或等于集合中元素個(gè)數(shù)的一半，而集合中元素的個(gè)數(shù)為，所以中元素個(gè)數(shù)不超過．（3）證明：，，定義元素、的乘積為，顯然．我們證明“對(duì)任意的，都有.”假設(shè)存在、使得，則由（2）知，．此時(shí)，對(duì)于任意的，、、不可能同時(shí)為，矛盾，所以．因?yàn)橹兄挥袀€(gè)元素，我們記為中所有元素的乘積，根據(jù)上面的結(jié)論，我們知道，顯然這個(gè)元素的分量不能都為，不妨設(shè)，根據(jù)的定義，可以知道中所有元素的第個(gè)分量都為．下面再證明的唯一性：若還有，即中所有元素的第個(gè)分量都為，此時(shí)由（2）可知集合中元素個(gè)數(shù)至多為