姓名班級考號姓名班級考號密○封○裝○訂○線密○封○裝○訂○線密封線內(nèi)不要答題密○封○裝○訂○線密○封○裝○訂○線密○封○裝○訂○線密○封○裝○訂○線密封線內(nèi)不要答題第3章圓錐曲線與方程全卷滿分150分考試用時120分鐘一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.拋物線y=116x2的準(zhǔn)線方程是()A.y=4B.y=8C.y=-4D.y=-82.已知雙曲線E與橢圓C:x26+y22=1的焦點(diǎn)相同,且E的離心率是C的離心率的3倍,則雙曲線A.x2-y23=1B.y2-x212=1C.x223.斜率存在的直線l過點(diǎn)(0,-1),且與雙曲線C:y24-x2=1有且只有一個公共點(diǎn),則直線l的斜率為(A.±3B.±2C.2或3D.±3或±24.在同一坐標(biāo)系中,方程a2x2+b2y2=1與ax+by2=0(a>b>0)的曲線大致是()ABCD5.已知F1,F2分別是雙曲線M:y24?x2m2=1(m>0)的下、上焦點(diǎn),直線y=255x是M的一條漸近線,離心率為34的橢圓E與M的焦點(diǎn)相同,P是橢圓E與雙曲線M的一個公共點(diǎn),則A.8B.6C.10D.126.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,直線l與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),且與y軸相交于點(diǎn)P,若PA=3PB,AF=8,BF=4,則p=()A.1B.2C.3D.47.已知圓x2+y2=4與x軸的交點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)P是直線l:y=-x+6上的任意一點(diǎn),橢圓C以A,B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P,則橢圓C的離心率e的取值范圍為()A.15,22B.0,558.設(shè)F1,F2分別為雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),圓F1與雙曲線的漸近線相切,過F2且與圓F1相切的直線與雙曲線的一條漸近線垂直A.815二、多項(xiàng)選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分)9.已知方程x216+k?y29?A.方程x2B.當(dāng)k>9時,方程x216+kC.當(dāng)-16<k<9時,方程x216+kD.當(dāng)方程x216+k10.已知圓O的半徑為定長r,A是圓O所在平面內(nèi)一個定點(diǎn),P是圓上任意一點(diǎn),線段AP的垂直平分線l和直線OP相交于點(diǎn)Q.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時,下列判斷正確的是()A.當(dāng)點(diǎn)A在圓O內(nèi)(不與圓心重合)時,點(diǎn)Q的軌跡是橢圓B.點(diǎn)Q的軌跡可能是一個定點(diǎn)C.點(diǎn)Q的軌跡可能是拋物線D.當(dāng)點(diǎn)A在圓O外時,點(diǎn)Q的軌跡是雙曲線的一支11.設(shè)F是拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),直線l過點(diǎn)F,且與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()A.AB≥4B.OA+OB>8C.若點(diǎn)P(2,2),則PA+AF的最小值是3D.△OAB的面積的最小值是212.某文物考察隊(duì)在挖掘時,挖出了一件宋代小文物,該文物外面是紅色透明藍(lán)田玉材質(zhì),里面是一個球形綠色水晶寶珠,其軸截面(如圖)由半橢圓C1:x2a2+y2b2=1(x≥0)與半橢圓C2:x2c2+y2d2=1(x<0)組成,其中a2=b2+c2,a>b>c>0,設(shè)點(diǎn)F0,F1,F2是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn),A1,A2和B1,B2是軸截面與x,y軸的交點(diǎn),陰影部分是寶珠軸截面,其以曲線x2+y2=4為邊界,F1,F2在寶珠珠面上,若A.半橢圓C1的離心率是3B.半橢圓C1上的點(diǎn)到F0的距離的最小值為27C.半橢圓C2的焦距為4D.半橢圓C2的長軸長與短軸長之比大于半橢圓C1的長軸長與短軸長之比三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13.某學(xué)習(xí)小組研究一種如圖1所示的衛(wèi)星接收天線,發(fā)現(xiàn)其軸截面的輪廓線為拋物線的一部分,如圖2,在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星信號波束呈近似平行的狀態(tài)射入,經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)F處,已知衛(wèi)星接收天線的口徑(直徑)為4.8m,深度為1m,則該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為m.

圖1圖214.已知拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線l過點(diǎn)F且與拋物線交于A,B兩點(diǎn),與x軸交于C(2p,0),若AB=17,則△OCF的面積為.

15.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0),過點(diǎn)M(0,-b)的直線l與雙曲線C在第一象限切于點(diǎn)A,F為雙曲線C的右焦點(diǎn),若直線AF的斜率為1416.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不僅是著名的物理學(xué)家,也是著名的數(shù)學(xué)家,他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長半軸與短半軸的乘積.已知平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面積為23π,兩焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.若過點(diǎn)P(1,0)的直線l與C交于不同的兩點(diǎn)A,四、解答題(本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)求滿足下列條件的曲線的方程:(1)離心率為34,長軸長為8的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)與橢圓x224+y240=1有相同焦點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn)(18.(本小題滿分12分)已知拋物線E:y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M(4,y0)到焦點(diǎn)F的距離為5.(1)求拋物線E的方程;(2)直線l與圓C:x2+y2-4x=0相切且與拋物線E相交于A,B兩點(diǎn),若△AOB的面積為4(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的方程.19.(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi),已知點(diǎn)F(0,2),動點(diǎn)P與點(diǎn)F之間的距離比點(diǎn)P到x軸的距離大2.(1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程;(2)過點(diǎn)F任作一直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),直線OA,OB與直線y=-2分別交于點(diǎn)M,N,求證:以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F.20.(本小題滿分12分)已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,中心在原點(diǎn),離心率為233,且過點(diǎn)(6,1(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,且動點(diǎn)C(m,n),D(m,-n)在雙曲線上,直線BC與直線AD交于點(diǎn)P,M(-2,0),N(2,0),求PM·PN21.(本小題滿分12分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>1≥b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過點(diǎn)F2作直線l(與x軸不重合)交C于M,N兩點(diǎn),且當(dāng)M為C的上頂點(diǎn)時,(1)求C的方程;(2)若A是C的右頂點(diǎn),設(shè)直線l,AM,AN的斜率分別為k,k1,k2,求證:k1k122.(本小題滿分12分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,上頂點(diǎn)為A,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且F1F2=2(1)求C的方程;(2)若橢圓E:x2a2+y2b2=λ(λ>0且λ≠1),則稱E為C的λ倍相似橢圓,如圖,已知E是C的3倍相似橢圓,直線l:y=kx+m與兩橢圓C,E交于四點(diǎn)(依次為M,N,P,Q),且MN=NP,證明:點(diǎn)答案全解全析1.C2.C3.D4.D5.D6.D7.B8.C9.BCD10.ABD11.ACD12.BC1.C將y=116x2化為標(biāo)準(zhǔn)形式為x2=16y,則準(zhǔn)線方程為y=-4.故選C2.C由題意設(shè)雙曲線E的方程為x2a2?y2b2=1∵橢圓C:x26+y22=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±2∴雙曲線E中,c=2,離心率為3×26=∴a=2,∴b2=c2-a2=2,故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22?y3.D由題意設(shè)直線l的方程為y=kx-1,聯(lián)立y24?x2=1,y=kx?1,消去y,整理可得(當(dāng)k2=4,即k=±2時,方程只有一解,滿足直線l與雙曲線有且只有一個公共點(diǎn);當(dāng)k≠±2時,令Δ=4k2+12(k2-4)=0,解得k=±3,此時方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根,滿足直線l與雙曲線有且只有一個公共點(diǎn).所以k=±2或k=±3.故選D.4.D兩個方程可變形為x21a2+y21b2=1①,y2=-abx②,因?yàn)閍>b>0,故①表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,5.D由題意得2m=255,∴m=5,∴雙曲線∴F1(0,-3),F2(0,3),∵橢圓E與雙曲線M的焦點(diǎn)相同,∴設(shè)橢圓E的方程為y2a2+x2b2=1(a>b>0),則c=3,又由橢圓和雙曲線的定義可得PF1+PF2=8,|PF1-PF2|=4,∴PF1·PF2=(PF1+6.D過點(diǎn)A,B分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線AD,BM,垂足分別為D,M,且AD,BM與y軸分別相交于E,N,則△PAE∽△PBN,得PAPB=由拋物線的定義知AF=AD,BF=BM,所以PAPB=AEBN=AD故選D.7.B由題意,不妨令A(yù)(-2,0),B(2,0),則橢圓的半焦距c=2,易知P到A,B兩點(diǎn)距離之和的最小值為B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B'與A的距離.設(shè)B'(m,n),可得nm?2=1,n+02=6?m+22,解得m=6,n=4,所以B'(6故emax=225=55,又e∈(0,1),所以e8.C如圖所示,漸近線l的方程為y=-bax,即bx+ay=0,過F1作AF1⊥l于點(diǎn)A則點(diǎn)F1(-c,0)到l的距離為AF1=|?bc|b2+a2=b,所以O(shè)A=OF12設(shè)直線BF2與圓F1相切于點(diǎn)B,與直線l交于點(diǎn)C,因?yàn)锽F2與圓F1相切,且BF2⊥l,所以C為BF2的中點(diǎn),易得OC=b2,則cos∠COF2=OCOF2=b2c,又cos∠AOF1=cos∠COF2,所以ac=b9.BCD對于A,當(dāng)方程x216+k?y29?k=1表示圓時,16+k對于B,當(dāng)k>9時,x216+k?y29?k=1可化為x216+k+對于C,當(dāng)-16<k<9時,16+k>0,9-k>0,方程x216+k?y2對于D,當(dāng)方程x216+k?y29?k=1表示雙曲線時,c2=16+k+9-k=25;當(dāng)方程表示橢圓時,c2=16+k-(k故選BCD.10.ABD對于A,如圖1,連接QA,OA,圖1則QA=QP,所以QO+QA=QO+QP=OP=r.因?yàn)辄c(diǎn)A在圓內(nèi),所以O(shè)A<OP,由橢圓的定義可知點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè),A為焦點(diǎn),r為長軸長的橢圓,故A正確.對于B,當(dāng)點(diǎn)A在圓上時,點(diǎn)Q與圓心重合,軌跡為定點(diǎn),故B正確.對于D,如圖2,連接QA,OA,圖2則QA=QP,所以|QA-QO|=|QP-QO|=OP=r.因?yàn)辄c(diǎn)A在圓外,所以O(shè)A>OP,由雙曲線的定義可知點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè),A為焦點(diǎn),r為實(shí)軸長的雙曲線,故D正確.對于C,當(dāng)點(diǎn)A與圓心O重合時,點(diǎn)Q的軌跡為圓,綜合選項(xiàng)A,B,D可知點(diǎn)Q的軌跡不可能為拋物線,故C錯誤.故選ABD.11.ACD易知F(1,0),不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限.若直線l的斜率不存在,則A(1,2),B(1,-2),此時AB=4,OA+OB=2OA=25<8,此時S△OAB=12×4×1=2,故B錯誤若直線l的斜率存在,設(shè)為k,顯然k≠0,則直線l的方程為y=k(x-1),聯(lián)立y=k(x?1),y2=4x,消去y,得k2x2-(2設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2k∴AB=x1+x2+2=4+4k2原點(diǎn)O到直線l的距離d=kk∴S△OAB=12×AB×d=12綜上,AB≥4,S△OAB≥2,故A正確,D正確;如圖,過點(diǎn)A向準(zhǔn)線作垂線,垂足為N,則PA+AF=PA+AN,故當(dāng)P,A,N三點(diǎn)共線時,PA+AF取得最小值,最小值為xP+1=3,故C正確.故選ACD.12.BC∵F1,F2是半橢圓C2:x2c2+y2d2=1(x<0)的焦點(diǎn),∴F1,F2關(guān)于原點(diǎn)對稱,且F0又∵∠F1F0F2=60°,∴△F1F0F2為正三角形,故OF0=3OF1,∵F1,F2在圓x2+y2=4上,∴OF1=2,∴OF0=23.易知半橢圓C1:x2a2+y2b2=1(x≥0)的短軸與半橢圓C2:x2c2+a2-b2=OF02=(23)2=12,d2-c2=OF∴d=b,a2?b2=12,d2?c2=4,∴a2-c2=16,∴b∴半橢圓C1的方程為x228+y216=1(x≥0),半橢圓C2的方程為x對于A,半橢圓C1的離心率e=ca=2對于B,半橢圓C1上的點(diǎn)到F0距離的最小值為27?23,對于C,半橢圓C2的焦距為F1F2=4,正確;對于D,半橢圓C1的長軸長與短軸長之比為2a2b=478∵23∴半橢圓C2的長軸長與短軸長之比小于半橢圓C1的長軸長與短軸長之比,不正確.故選BC.13.答案1.44解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0),由已知條件可得點(diǎn)A(1,2.4),所以2p=2.42,解得p=2.88,所以所求焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1.44,0),因此該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為1.44m.14.答案32解析易求得焦點(diǎn)F0,p2,又C(2p,0),∴kFC=∴直線l的方程為y=-14x+p聯(lián)立y=?14x+p2,x2=2py,消去設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-p2,x1x2=-p2由弦長公式可得AB=1+?142|x1-=174?p22+4∴S△OCF=12·OC·OF=12·2p·p15.答案4解析易知直線l的斜率存在,可設(shè)直線l的方程為y=kx-b(k>0),聯(lián)立x2a2?y2b2=1,y=kx?b,消去y并整理得(b2-a2k2)由題意得Δ=4a4b2k2+8a2b2(b2-a2k2)=0,即a2k2=2b2,代入方程(*)并化簡得x2-22ax+2a2=0,所以xA=2a,代入雙曲線方程可得yA=b,即A(2a,b),又F(c,0),所以kAF=b2a?c=142化簡得5e2-142e+16=0,解得e=425或e=216.答案x24+解析依題意得ab=23,a=2c,a易知直線l的斜率不能為0,設(shè)直線l的方程為x=my+1,聯(lián)立x=my+1,x24+y23=1,消去x,得(設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=-6m3m2+4,y1所以|y1-y2|=(y所以S△OAB=12×OP×|y1-y2|=6令t=m2+1(t≥1),則m2=t2-1,S△OAB=因?yàn)閥=3t+1t在[1,+∞)上單調(diào)遞增所以當(dāng)t=1,即m=0時,△OAB的面積取得最大值,為3217.解析(1)由題意得2a=8,e=ca=34,解得a=4,c=3,則b=a2若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216綜上,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216+y27(2)易知橢圓的焦點(diǎn)為(0,4)和(0,-4),所以雙曲線的焦點(diǎn)為(0,4)和(0,-4).(6分)設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2?x2b2=1(a>0,b>0),則由雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(1,15),得15a2?1b2=1聯(lián)立①②,解得a2=12,b2=4,故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為18.解析(1)由拋物線的定義知4+p2=5,∴p=2,(2分)因此拋物線E的方程為y2=4x.(3分)(2)由題意知,直線l的斜率不為0,設(shè)直線l的方程為x=my+n.∵直線l與圓C相切,圓心C(2,0),半徑r=2,∴|2?nm2+1=2,∴4m2=n2-4設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由x=my+n,y2=4x消去x故y1+y2=4m,y1y2=-4n,則AB=1+m2·|y1-y2|=1+m2·又原點(diǎn)O到直線l的距離d=n1+∴S△AOB=12AB·d=12∴(m2+n)n2=4,(10分)又4m2=n2-4n,∴n=±2.當(dāng)n=2時,m2=-1不成立;當(dāng)n=-2時,m2=3,∴m=±3.∴直線l的方程為x=±3y-2,即x±3y+2=0.(12分)19.解析(1)∵動點(diǎn)P與點(diǎn)F之間的距離比點(diǎn)P到x軸的距離大2,∴動點(diǎn)P與點(diǎn)F之間的距離等于點(diǎn)P到直線y=-2的距離,(2分)故點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)的拋物線,設(shè)其方程為x2=2py(p>0),又p2=2,∴p=4,故動點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2=8y.(4分)(2)證明:易知直線l的斜率存在,設(shè)其方程為y=kx+2,Ax1,x128,Bx2,x228,則lOA:y=x18由y=x18x,y=?2∴FM=?16x1,?4由y=kx+2,x2=8y得x2-8kx-16=0,∴x1x則FM·FN=?16x1,?4因此,以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F.(12分)20.解析(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2?y2b2則6a2?1b2=1,c2=a2+b2,ca=2(2)當(dāng)m=±3時,點(diǎn)P與點(diǎn)A,B重合,不符合題意,舍去.(5分)當(dāng)m≠±3時,直線AD:y=n?3?m(x+3),直線BC:y=nm兩直線方程左、右兩邊分別相乘得y2=n23?m2(x2-3).又因?yàn)閙23-n2=1,即-3n2=3-m2,所以y2=-13(x2-3),即x23+y2=1故PM·PN=(PO+OM)·(PO?OM)且PO∈(1,3],所以PM·PN∈(-1,1].(12分21.解析(1)△MNF1的周長=MF1+MN+NF1=MF1+MF2+NF2+NF1=4a=8,解得a=2,(2分)則橢圓C:x24+y2b2當(dāng)M為C的上頂點(diǎn)時,直線l:xc+由xc+yb=1,x24+