專題6-2立體幾何截面與最值歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u題型01截面形狀判斷 1題型02利用相交線法做截面 2題型03利用平行線法做截面 5題型04截面計算：柱體周長 7題型05截面計算：柱體面積 8題型06錐體中截面周長與面積 9題型07臺體中截面周長與面積 10題型08球截面 11題型09截面最值：球截面最值 12題型10截面最值：柱體最值 13題型11截面最值：錐體最值 14題型12截面最值：綜合型最值 15題型13恒平行型求截面 16題型14恒垂直型求截面 18題型15動點型截面 19高考練場 21題型01截面形狀判斷【解題攻略】一般地，立體幾何中的截面問題，有兩種處理方法：1.是利用平行關(guān)系找交線，2.是利用共面直線延長相交得交點.【典例1-1】．（2022下·浙江溫州·高三校聯(lián)考）圓錐內(nèi)接一個正方體，現(xiàn)有一個平面截這個幾何體，則截面圖形不可能是（

）A．B．C．D．【典例1-2】（2021下·高三課時練習(xí)）圖中的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得，現(xiàn)用一個豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形可能是（

）A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤【變式1-1】（2019·全國·高三假期作業(yè)）一個三棱錐的各棱長均相等，其內(nèi)部有一個內(nèi)切球，即球與三棱錐的各面均相切（球在三棱錐的內(nèi)部，且球與三棱錐的各面只有一個交點），過一條側(cè)棱和對邊的中點作三棱錐的截面，所得截面圖形是（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2020下·山東棗莊·高三滕州市第一中學(xué)新校?？茧A段練習(xí)）如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得到的組合體，現(xiàn)用一個豎直的平面去截這個組合體，則截面圖形可能是（

）A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤【變式1-3】用平面截正方體，截面不可能是（

）A．菱形 B．等腰梯形C．正五邊形 D．正六邊形題型02利用相交線法做截面【解題攻略】基礎(chǔ)模型：如下圖E、F是幾等分點，不影響作圖。可以先默認(rèn)為中點，等學(xué)生完全理解了，再改成任意等分點。做出過三E,F,C1點的截面特征：1、三點中，有兩點連線在表面上。本題如下圖是EF（這類型的關(guān)鍵）；2、“第三點”是在外棱上，如C1，注意：此時合格C1點特殊，在于它是幾何體頂點，實際上無論它在何處，只要在棱上就可以。最后處有解釋。以“第三點”所在的表面中，，剔除掉與EF所在的表面平行，尋找合適的表面來做交線如下圖，符合的有c1的表面有三個，紅色的和EF平行而不會相交，去掉，可供選擇的是上表面（藍(lán)色）或者右表面（綠色的），先用上表面（紅色的）來做：所以，先補(bǔ)出擴(kuò)展EF直線所在的前側(cè)面。如左下第一圖開始。并延長EF交A1B1于G此時G也在上表面了，連接GP，出來與棱A1D1交點H.連接HB，則的如右圖的截面。再用右表面綠色的來做：則發(fā)現(xiàn)，右邊面和EF相交于前側(cè)面下方，如左下第一圖開始，延長EF交C1C于I此時I也在右表面了，連IC1交棱CB于J.連接FJ，則出右圖的截面。最終，兩個合在一起，就是如圖的截面。以上過程，與EF是否中點，幾何體是否正方體無掛具體的G,H,I,J都可以通過對應(yīng)的E、F幾等分點以及幾何體長寬高的不同變化來計算出來，這個幾何體也不一定是長方體，還可以是斜棱柱，都不影響這個作圖?！镜淅?-1】在棱長為2的正方體中，E是棱的中點，則過B、E、三點的平面截正方體所得的截面圖形的面積為（

）A．5 B． C． D．【典例1-2】如圖，正方體的棱長為1，P為的中點，Q為線段上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面多邊形記為S，則下列命題正確的是（）A．當(dāng)時，S為等腰梯形B．當(dāng)時，S與的交點R滿足C．當(dāng)時，S為六邊形D．當(dāng)時，S的面積為【變式1-1】如圖，直四棱柱的所有棱長均為，，是側(cè)棱的中點，則平面截四棱柱所得的截面圖形的周長是（

）A． B．C． D．【變式1-2】在正方體中，棱長為3，E為棱上靠近的三等分點，則平面截正方體的截面面積為（

）A． B． C． D．【變式1-3】在棱長為3的正方體A1B1C1D1-ABCD中，M是棱B1C1上靠近B1的三等分點，過A、D1、M作正方體的截面，則這個截面將正方體分成兩部分的體積之比（體積較小的與體積較大的之比）為（

）A． B． C． D．題型03利用平行線法做截面【解題攻略】基礎(chǔ)模型：如下圖E、F是幾等分點，不影響作圖?？梢韵饶J(rèn)為中點，等學(xué)生完全理解了，再改成任意等分點。做出過三E,F,C1點的截面特征：1、三點中，有兩點連線在表面上。本題如下圖是EF（這類型的關(guān)鍵）；2、“第三點”是在外棱上，如C1，注意：此時合格C1點特殊，在于它是幾何體頂點，實際上無論它在何處，只要在棱上就可以。最后處有解釋。平行線法。本題用平行線法，并不太快捷，不過也成立。平行線法特征：有兩點連線在表面：EF，在前側(cè)面方法如下：尋找C1點所在的與線EF的所在紅色表面平行的面：里邊側(cè)面（綠色的）在這個面內(nèi)，過C1做EF平行線，顯然必須擴(kuò)展這個面了。如第三圖。注意！注意！，E與F分別在右側(cè)面和下側(cè)面上（紅色面就不要用了）注意這仨面的相交棱，下邊過C1做EF平行線，交這倆棱于K,L第二排圖分別連FK與EL，交點為J與H。出截面，與第一種方法一致。【典例1-1】已知，，是正方體的棱，，的中點，則平面截正方體所得的截面是（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【典例1-2】在正方體中，點Q是棱上的動點，則過A，Q，三點的截面圖形是（

）A．等邊三角形 B．矩形 C．等腰梯形 D．以上都有可能【變式1-1】在棱長為3的正方體中，O為AC與BD的交點，P為上一點，且，則過A，P，O三點的平面截正方體所得截面的周長為（

）A． B．C． D．【變式1-2】．正方體棱長為4，M，N，P分別是棱的中點，則過M，N，P三點的平面截正方體所得截面的面積（）A． B． C． D．【變式1-3】已知正方體，平面和線段，，，分別交于點E，F(xiàn)，G，H，則截面EFGH的形狀不可能是（）A．梯形 B．正方形 C．長方形 D．菱形題型04截面計算：柱體周長【典例1-1】已知直三棱柱的側(cè)棱長為，，.過、的中點、作平面與平面垂直，則所得截面周長為（

）A． B． C． D．【典例1-2】在棱長為6的正方體中，點，分別是棱，的中點，過，，三點作該正方體的截面，則截面的周長為A． B．C． D．【變式1-1】已知正方體的棱長為6，E、F分別是、的中點，則平面CEF截正方體所得的截面的周長為______．【變式1-2】在正方體中，，為棱的四等分點（靠近點），為棱的四等分點（靠近點），過點，，作該正方體的截面，則該截面的周長是（

）A． B． C． D．【變式1-3】已知正四棱柱中，，點M是線段的中點，點N是線段上靠近D的三等分點，若正四棱柱被過點，M，N的平面所截，則所得截面的周長為（

）A． B． C． D．題型05截面計算：柱體面積【典例1-1】棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱A1D1，AA1的中點，過E，F(xiàn)，C1三點的平面截正方體所得的截面的面積為（

）A．9 B． C． D．【典例1-2】在棱長為2的正方體中，點，分別是棱，的中點，則經(jīng)過，，三點的平面截正方體所得的截面的面積為（

）．A． B． C． D．【變式1-1】如圖，在棱長為2的正方體中，，，分別為，，，的中點，過，，三點的平而截正方體所得的截面面積為（

）A．4 B． C． D．【變式1-2】在棱長為2的正方體中，為的中點，則過三點的平面截正方體所得的截面面積為（

）A． B． C． D．【變式1-3】如圖，已知正方體的棱長為2，點是線段的中點，平面經(jīng)過點，則正方體被平面截得的截面面積為（

）A．2 B．4 C．4 D．題型06錐體中截面周長與面積【典例1-1】在正四面體中，，若以三角形為視角正面的三視圖中，其左視圖的面積是（

）A． B． C． D．【典例1-2】如圖，已知三棱錐，點P是的中點，且，過點P作一個截面，使截面平行于和，則截面的周長為_________.【變式1-1】已知正四面體的內(nèi)切球的表面積為36，過該四面體的一條棱以及球心的平面截正四面體，則所得截面的面積為A．27 B．27 C．54 D．54【變式1-2】在三棱錐中，，G為的重心，過點G作三棱錐的一個截面，使截面平行于直線PB和AC，則截面的周長為_________.【變式1-3】已知四棱錐中，平面，四邊形為正方形，，平面過，，的中點，則平面截四棱錐所得的截面面積為（

）A． B． C． D．題型07臺體中截面周長與面積【典例1-1】一個正四棱臺上?下底面邊長分別為2，4，高為3，則經(jīng)過相對兩側(cè)棱的截面的面積為______.【典例1-2】如圖，四棱臺的底面為菱形，P、Q分別為的中點．若∥平面BPQD，則此棱臺上下底面邊長的比值為___________．【變式1-1】正三棱臺上底面邊長2，下底面邊長為4，高為3，則該正三棱臺的斜高為___________．【變式1-2】.如果棱臺的兩底面積分別是S，S′，中截面的面積是S0，那么A．2＝＋ B．S0＝C．2S0＝S＋S′ D．S0＝2S′S【變式1-3】（2023下·湖北武漢·高三華中師大一附中?？迹┰谡睦馀_中，，，M為棱的中點，當(dāng)正四棱臺的體積最大時，平面截該正四棱臺的截面面積是（

）．A． B． C． D．題型08球截面【解題攻略】用一個平面去截球，若平面經(jīng)過球心，所得的截面稱為球的大圓；若平面不經(jīng)過球心，所得的截面稱為球的小圓。小圓圓心與球心的連線必垂直于小圓面。且滿足勾股數(shù)組【典例1-1】已知三棱錐的所有棱長均為3，球O與棱PA，PB，PC都相切，且平面ABC被球O截得的截面面積為，則球O的半徑為（

）．A．1 B． C． D．或【典例1-2】已知正四面體的棱長為2，，，分別為，，的中點，則正四面體的外接球被平面所截的截面面積是（

）A． B． C． D．【變式1-1】已知正方體棱長為6，如圖，有一球的球心是的中點，半徑為2，平面截此球所得的截面面積是（

）．A． B． C． D．【變式1-2】球O與棱長為2的正方體的各個面都相切，點M為棱的中點，則平面AMC截球O所得截面的面積為（

）A． B． C． D．【變式1-3】如圖，已知球是棱長為1的正方體的內(nèi)切球，則平面截球的截面面積為（

）A． B． C． D．題型09截面最值：球截面最值【典例1-1】如圖，在三棱錐中，平面平面CBD，，點M在AC上，，過點M作三棱錐外接球的截面，則截面圓面積的最小值為（

）A． B． C． D．【典例1-2】已知三棱錐P-ABC的棱長均為6，且四個頂點均在球心為O的球面上，點E在AB上，，過點E作球O的截面，則截面面積的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1-1】若球是正三棱錐的外接球，，，點在線段上，，過點作球的截面，則所得的截面中面積最小的截面的面積為（

）A． B． C． D．【變式1-2】一個空心球玩具里面設(shè)計一個棱長為4的內(nèi)接正四面體，過正四面體上某一個頂點所在的三條棱的中點作球的截面，則該截面圓的面積是（

）A． B． C． D．【變式1-3】棱長為的正方體的所有頂點均在球的球面上，分別為的中點，則平面截球所得圓的面積為（

）A． B． C． D．題型10截面最值：柱體最值【典例1-1】已知正方體的棱長為為線段上的動點，為的中點，過點，的平面截該正方體所得截面為.若為五邊形，則此時的取值范圍為（

）A． B． C． D．【典例1-2】已知正方體的體積為，點在線段上(點異于兩點)，點為線段的中點，若平面截正方體所得的截面為四邊形，則線段BM的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式1-1】已知正方體的棱長為2，M、N分別為、的中點，過、的平面所得截面為四邊形，則該截面最大面積為（

）A． B． C． D．【變式1-2】已知正方體的體積為1，點在線段上（點異于，兩點），點為線段的中點，若平面截正方體所得的截面為四邊形，則線段的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1-3】如圖，正方體的棱長為1，為的中點，為線段上的動點，過點，，的平面截該正方體所得的截面記為．①當(dāng)時，為四邊形；②當(dāng)時，與的交點滿足；③當(dāng)時，為六邊形；④當(dāng)時，的面積為．則下列選項正確的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④題型11截面最值：錐體最值【典例1-1】正三棱錐的底面邊長是2，E，F(xiàn)，G，H分別是SA，SB，BC，AC的中點，則四邊形EFGH面積的取值范圍是（

）A． B．C． D．【典例1-2】如圖，已知四面體為正四面體，，，分別是，中點.若用一個與直線垂直，且與四面體的每一個面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為（

）A．1 B． C．2 D．【變式1-1】如圖：正三棱錐中，，側(cè)棱，平行于過點的截面，則平面與正三棱錐側(cè)面交線的周長的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1-2】如圖，在四面體中，，，，、分別是，中點.若用一個與直線垂直，且與四面體的每個面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為（

）A． B． C． D．【變式1-3】在長方體中，，過點作平面與分別交于兩點，若與平面所成的角為，則截面面積的最小值是（

）A． B． C． D．題型12截面最值：綜合型最值【典例1-1】已知正四面體的棱長為4，點在棱上，且，過作四面體外接球的截面，則所作截面面積的最小值為（

）A． B． C． D．【典例1-2】正三棱錐，為中點，，，過的平面截三棱錐的外接球所得截面的面積范圍為（

）A． B．C． D．【變式1-1】正方體為棱長為2，動點，分別在棱，上，過點的平面截該正方體所得的截面記為，設(shè)，，其中，，下列命題正確的是____________.（寫出所有正確命題的編號）①當(dāng)時，為矩形，其面積最大為4；②當(dāng)時，的面積為；③當(dāng)，時，設(shè)與棱的交點為，則；④當(dāng)時，以為頂點，為底面的棱錐的體積為定值.【變式1-2】在三棱錐中，頂點P在底面的射影為的垂心O（O在內(nèi)部），且PO中點為M，過AM作平行于BC的截面，過BM作平行于AC的截面，記，與底面ABC所成的銳二面角分別為，，若，則下列說法錯誤的是（

）A．若，則B．若，則C．可能值為D．當(dāng)取值最大時，題型13恒平行型求截面【典例1-1】在通用技術(shù)教室里有一個三棱錐木塊如圖所示，，，兩兩垂直，（單位：），小明同學(xué)計劃通過側(cè)面內(nèi)任意一點將木塊鋸開，使截面平行于直線和，則該截面面積（單位：）的最大值是__________．【典例1-2】一棱長為4的正四面體木塊如圖所示，P是棱的中點，過點P將木塊鋸開，使截面平行于棱和，則截面的面積為（）A．2 B． C． D．4【變式1-1】某中學(xué)開展勞動實習(xí)，對棱長為3的正方體木塊進(jìn)行加工.如圖，學(xué)生需要分別過頂點A和對角線BD對正方體木塊進(jìn)行平面切割，兩個切割面與棱，，，分別交于點M，F(xiàn)，E，N，要求兩次切割所得到的截面平行，且，則兩個截面間的距離為_____________.【變式1-2】如圖，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面為正方形，且側(cè)棱與底面垂直，點O1為A1C1，B1D1的交點，點O2為AC，BD的交點，連接O1O2，點O為O1O2的中點．過點O且與直線AB平行的平面截這個四棱柱所得截面面積的最小值和最大值分別為1和，則四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面積為（）A．10 B．12 C．13 D．14【變式1-3】.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點．則下列結(jié)論正確的是（）A．直線DB1與平面AEF垂直B．直線A1G與平面AEF平行C．平面AEF截正方體所得的截面面積為D．三棱錐A1?AEF的體積等于題型14恒垂直型求截面【解題攻略】證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質(zhì)定理；三是平行線法（若兩條平行線中一條垂直于這個平面，則另一條也垂直于這個平面），解題時，注意線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；另外，在證明線線垂直時，要注意題中隱含的垂直關(guān)系，如等腰三角形的底邊上的高、中線和頂角的角平分線三線合一、矩形的內(nèi)角、直徑所對的圓周角、菱形的對角線互相垂直、直角三角形（或給出線段長度，經(jīng)計算滿足勾股定理）、直角梯形等等．【典例1-1】已知正方體的棱長為1，E為線段上的點，過點E作垂直于的平面截正方體，則截面圖形的周長為______.【典例1-2】已知直三棱柱的側(cè)棱長為，，.過、的中點、作平面與平面垂直，則所得截面周長為（

）A． B． C． D．【變式1-1】如圖，正三棱柱的高為4，底面邊長為，D是的中點，P是線段上的動點，過BC作截面于E，則三棱錐體積的最小值為（

）A．3 B． C． D．12【變式1-2】在下面四個正方體中，點、、均為所在棱的中點，過、、作正方體截面，則下列圖形中，平面不與直線垂直的是（

）A． B．C． D．【變式1-3】已知正方體的邊長為，為邊上靠近的三等分點，過且垂直于直線的平面被正方體所截的截面面積為（

）A． B． C． D．題型15動點型截面【典例1-1】（2023上·北京海淀·高三北京交通大學(xué)附屬中學(xué)?？迹┤鐖D，在棱長為1的正方體中，E是棱上的一個動點，給出下列四個結(jié)論：①三棱錐的體積為定值；②存在點使得平面：③的最小值為；④對每一個點E，在棱上總存在一點P，使得平面；⑤M是線段上的一個動點，過點的截面垂直于，則截面的面積的最小值為其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【典例1-2】（2023下·北京密云·高三統(tǒng)考）如圖，在邊長為1的正方體中，是棱上的一個動點，給出下列四個結(jié)論，其中正確的是（

）

A．三棱錐的體積為定值B．存在點，使得平面C．是線段上的一個動點，過點的截面垂直于，則截面的面積的最小值為D．對每一個點，在棱上總存在一點，使得平面【變式1-1】（2023·河南·校聯(lián)考三模）如圖，在棱長為1的正方體中，是截面上的一個動點（不包含邊界），若，則的最小值為（

）

A． B． C． D．【變式1-2】（2023·河南·校聯(lián)考三模）如圖，在棱長為1的正方體中，E為的中點，M是截面上的一個動點（不包含邊界），，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，直三棱柱中，，點分別是棱的中點，點在棱上，且，截面內(nèi)的動點滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．2高考練場1.．用一平面去截一長方體，則截面的形狀不可能是（

）A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．七邊形2.棱長為6的正方體中，點E是線段的中點，點F在線段上，，則正方體被平面所截得的截面面積為（

）A． B． C． D．.3.在正方體中，P，Q分別是棱，的中點，則過點B，P，Q的截面形狀是______.4.已知正方體的棱長為1，點分別為的中點，則過點的截面的周長為（

）