PAGE22-廣西南寧三中2025屆高三數(shù)學(xué)考試試題二理（含解析）留意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答：用簽字筆干脆答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合A，然后再求兩集合的交集即可【詳解】解：由，得，所以，因?yàn)?，所以，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查集合的交集運(yùn)算，考查肯定值不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題2.i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)等于（）A.i B.﹣i C.1 D.﹣1【答案】A【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則干脆求解即可得到結(jié)果.【詳解】故選：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3.已知，則“”是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】A【解析】【分析】“a＞1”?“”，“”?“a＞1或a＜0”，由此能求出結(jié)果．【詳解】a∈R，則“a＞1”?“”，“”?“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要條件．故選A．【點(diǎn)睛】充分、必要條件的三種推斷方法．1．定義法：干脆推斷“若則”、“若則”的真假．并留意和圖示相結(jié)合，例如“?”為真，則是的充分條件．2．等價(jià)法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件．4.下列函數(shù)中，與函數(shù)y的定義域相同的函數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】可以求出的定義域?yàn)?，然后求每個(gè)選項(xiàng)函數(shù)的定義域即可．【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

的定義域?yàn)?；的定義域?yàn)椋坏亩x域?yàn)?；的定義域?yàn)椋?/p>

∴與函數(shù)定義域相同的函數(shù)為．

故選：D．【點(diǎn)睛】考查函數(shù)定義域的定義及求法，指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域．5.已知，，，則a,b,c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：因?yàn)椋杂芍笖?shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，，因此,故選A.考點(diǎn)：1、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；2、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及多個(gè)數(shù)比較大小問(wèn)題.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及多個(gè)數(shù)比較大小問(wèn)題，屬于中檔題.多個(gè)數(shù)比較大小問(wèn)題能綜合考查多個(gè)函數(shù)的性質(zhì)以及不等式的性質(zhì)，所以也是經(jīng)常是命題的熱點(diǎn)，對(duì)于這類問(wèn)題，解答步驟如下：（1）分組，先依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)將所給數(shù)據(jù)以為界分組；（2）比較，每一組內(nèi)數(shù)據(jù)依據(jù)不同函數(shù)的單調(diào)性比較大??；（3）整理，將各個(gè)數(shù)按依次排列.6.二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（）A.5 B.10 C.-20 D.40【答案】D【解析】【分析】先求出二項(xiàng)式綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式，然后令的次數(shù)為0，求出，從而可求出綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)【詳解】解：二項(xiàng)式綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，則，所以綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，故選：D.【點(diǎn)睛】此題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題7.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】∵等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，解得故選B．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的其次項(xiàng)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要留意等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的合理運(yùn)用．8.函數(shù)y＝xcosx＋sinx的圖象大致為()．A. B. C. D.【答案】D【解析】由于函數(shù)y=xcosx+sinx為奇函數(shù)，故它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以解除選項(xiàng)B，由當(dāng)時(shí)，y=1>0，當(dāng)x=π時(shí)，y=π×cosπ+sinπ=?π<0.由此可解除選項(xiàng)A和選項(xiàng)C.故正確的選項(xiàng)為D.故選D.9.在平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，在所取的點(diǎn)恰好滿意的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：由題意可知所取的點(diǎn)應(yīng)在圖中陰影部分.從而其概率為.故本題正確答案為C．考點(diǎn)：古典概型．10.下面有5個(gè)命題中，真命題的編號(hào)是（）①函數(shù)的最小正周期是②終邊在軸上的角的集合是③在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)④把函數(shù)的圖象向右平移得到的圖象⑤函數(shù)在上是減函數(shù)A.①④ B.①③④ C.③④ D.②③⑤【答案】A【解析】【分析】①利用二倍角公式化簡(jiǎn)，再依據(jù)余弦函數(shù)的周期公式計(jì)算可得；②通過(guò)的取值，推斷終邊在軸上的角的集合；③構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)性，進(jìn)而得出的零點(diǎn)，即兩函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；④依據(jù)三角函數(shù)的平移變換規(guī)則推斷；⑤依據(jù)誘導(dǎo)公式，將函數(shù)化為余弦型，進(jìn)而依據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，可以推斷⑤的真假；進(jìn)而得到答案．【詳解】解：①，它的最小正周期為，正確；②是偶數(shù)時(shí)，的終邊落在軸上，所以②錯(cuò)誤；③設(shè)恒成立，所以在上單調(diào)遞增，而存在唯一零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；④把函數(shù)的圖象向右平移，得到的圖象，故④正確；函數(shù)在上是增函數(shù)，故⑤錯(cuò)誤故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的學(xué)問(wèn)點(diǎn)是命題的真假推斷及其應(yīng)用，余弦型函數(shù)的周期性，終邊相同的角，正弦函數(shù)的性質(zhì)，圖象的平移變換，及三角函數(shù)的單調(diào)性，嫻熟駕馭上述基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．11.設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)，使（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可知，可得，設(shè)，則，進(jìn)而利用雙曲線定義可用表示出，依據(jù)勾股定理求得和關(guān)系，從而可求出雙曲線的離心率【詳解】解：因?yàn)?，所以，設(shè)，則，因?yàn)?，所以可得，因?yàn)椋?，則，所以，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了雙曲線的簡(jiǎn)潔性質(zhì)，考查了學(xué)生對(duì)雙曲線定義的理解和運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題12.已知函數(shù)，函數(shù)滿意，若函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，則全部這些零點(diǎn)之和為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由奇偶性定義可知為奇函數(shù)且，由此可得關(guān)于對(duì)稱；由可知關(guān)于對(duì)稱且，由此可知關(guān)于對(duì)稱且，由對(duì)稱性可知除外，其余零點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，由此可求得結(jié)果.【詳解】為奇函數(shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱且圖象關(guān)于對(duì)稱圖象關(guān)于對(duì)稱令得：圖象關(guān)于對(duì)稱且有一個(gè)零點(diǎn)為，其余零點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱全部零點(diǎn)之和為故選：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性和對(duì)稱性的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠通過(guò)函數(shù)解析式和抽象函數(shù)關(guān)系式確定函數(shù)的對(duì)稱中心，從而可確定零點(diǎn)所具有的對(duì)稱關(guān)系.二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.在等比數(shù)列中，，且，_____．【答案】3【解析】【分析】由等比數(shù)列性質(zhì)可知，依據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可求得結(jié)果.【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)的應(yīng)用，涉及到對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14.若向量，的夾角為，且，，則向量與向量的夾角為_(kāi)_______．【答案】【解析】分析】依據(jù)題意，設(shè)向量與向量的夾角為，因?yàn)橄蛄?，的夾角為，且，，求得和，依據(jù)，即可求得夾角為.【詳解】設(shè)向量與向量的夾角為，向量，的夾角為，且，，則又故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求向量的夾角，解題關(guān)鍵是駕馭向量的數(shù)量積公式，考查了分析實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．15.已知函數(shù)，則的解集為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)分段函數(shù)解析式，分類探討分別計(jì)算，再取并集即可；【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋越獾?，?dāng)時(shí)，時(shí)，因?yàn)?，所以，解得綜上可得不等式的解集為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，分段函數(shù)不等式的解法，考查分類探討思想，屬于中檔題.16.已知四面體四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若平面ABC，，且，，則球O的表面積為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】由PB⊥平面ABC，AB⊥AC可得四個(gè)直角三角形，可知PC的中點(diǎn)O為外接球球心，不難求解．【詳解】解：由PB⊥平面ABC，AB⊥AC，可得圖中四個(gè)直角三角形，且PC為△PBC，△PAC的公共斜邊，故球心O為PC的中點(diǎn)，由AC＝1，AB＝PB＝2，PC＝3，∴球O的半徑為，其表面積為：9π．故答案為9π．【點(diǎn)睛】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問(wèn)題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對(duì)于外切的問(wèn)題要留意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問(wèn)題，留意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑．三、解答題：（共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23為選考題，考生依據(jù)要求作答）（一）必考題：共60分.17.為了比較兩種治療失眠癥藥（分別成為A藥，B藥）的療效，隨機(jī)地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者服用一段時(shí)間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r(shí)間（單位：h）試驗(yàn)的觀測(cè)結(jié)果如下：服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間：0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間：3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5（1）分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計(jì)算結(jié)果來(lái)看，哪種藥的效果好？（2）完成莖葉圖，從莖葉圖來(lái)看，哪種藥療效更好？【答案】（1）服用A藥睡眠時(shí)間平均增加2.3；服用B藥睡眠時(shí)間平均增加1.6；從計(jì)算結(jié)果來(lái)看，服用A藥的效果更好；（2）A藥

B藥

6

0．

89565

25825

1．

792346812

7823567934

2．

46157

2501

3．

2

從莖葉圖來(lái)看，A的數(shù)據(jù)大部分集中在其次、三段，B的數(shù)據(jù)大部分集中在第一、二段，故A藥的藥效好.【解析】(1)設(shè)A藥觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，B藥觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.由觀測(cè)結(jié)果可得：＝×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，＝×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上計(jì)算結(jié)果可得＞，因此可看出A藥的療效更好．(2)由觀測(cè)結(jié)果可繪制如下莖葉圖：從以上莖葉圖可以看出，A藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有的葉集中在莖2,3上，而B(niǎo)藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有的葉集中在莖0,1上，由此可看出A藥的療效更好．考點(diǎn)：莖葉圖、平均數(shù).18.在中，角所對(duì)的邊分別為，已知的面積，．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）求周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由三角形面積公式可得，利用正弦定理邊化角可配湊出余弦定理的形式，求得，依據(jù)的范圍可求得結(jié)果；（Ⅱ）依據(jù)（Ⅰ）中結(jié)論可求得，由正弦定理得到，，將三角形周長(zhǎng)利用三角恒等變換學(xué)問(wèn)可化為，依據(jù)的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得的范圍，即為所求周長(zhǎng)的范圍.【詳解】（Ⅰ）由得：，由正弦定理得：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：又，的周長(zhǎng)即，即周長(zhǎng)的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的相關(guān)學(xué)問(wèn)，涉及到正弦定理邊化角的應(yīng)用、余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用、三角形周長(zhǎng)取值范圍的求解等學(xué)問(wèn)；求解周長(zhǎng)的取值范圍時(shí)，通常利用正弦定理將邊化為角，依據(jù)三角恒等變換的學(xué)問(wèn)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域的求解問(wèn)題；易錯(cuò)點(diǎn)是忽視角所處的范圍，造成求解錯(cuò)誤.19.已知三棱錐（如圖一）的平面綻開(kāi)圖（如圖二）中，四邊形為邊長(zhǎng)等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐中：（I）證明：平面平面；（Ⅱ）若點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線與平面所成的角最大時(shí)，求二面角的余弦值.圖一圖二【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】(1)設(shè)AC中點(diǎn)為O,證明PO垂直AC,OB,結(jié)合平面與平面垂直判定,即可.(2)建立直角坐標(biāo)系,分別計(jì)算兩相交平面的法向量,結(jié)合向量的數(shù)量積公式,計(jì)算夾角,即可.【詳解】（Ⅰ）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，.由題意，得，，.因?yàn)樵谥?，，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)樵谥?，，，，，所?因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，平面，所以是直線與平面所成的角，且，所以當(dāng)最短時(shí)，即是的中點(diǎn)時(shí)，最大.由平面，，所以，，于是以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則由得：.令，得，，即.設(shè)平面的法向量為，由得：，令，得，，即..由圖可知，二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本道題考查了二面角計(jì)算以及平面與平面垂直的判定,難度較大.20.已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)下的距離為10.（1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F的的直線與拋物線C交于兩點(diǎn)，且拋物線在兩點(diǎn)處的切線分別交x軸于兩點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由拋物線的定義，可得到，即可求出，從而得到拋物線的方程；（Ⅱ）直線的斜率肯定存在，可設(shè)斜率為，直線為，設(shè)，，由可得，，，然后對(duì)求導(dǎo)，可得到的斜率及方程表達(dá)式，進(jìn)而可表示出，同理可得到的表達(dá)式，然后對(duì)化簡(jiǎn)可求出范圍．【詳解】解：（Ⅰ）已知到焦點(diǎn)的距離為10，則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為10.∵拋物線的準(zhǔn)線為，∴，解得，∴拋物線的方程為.（Ⅱ）由已知可推斷直線的斜率存在，設(shè)斜率為，因?yàn)椋瑒t：.設(shè)，，由消去得，，∴，.由于拋物線也是函數(shù)的圖象，且，則：.令，解得，∴，從而.同理可得，，∴.∵，∴的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的方程的求法，考查了拋物線中弦長(zhǎng)的有關(guān)計(jì)算，考查了計(jì)算實(shí)力，屬于難題．21.設(shè)函數(shù).（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值是4，求的值.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（I）求得函數(shù)的的導(dǎo)航，分類探討即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到答案.（II）由（I）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)最小值不滿意題意；當(dāng)時(shí)，由（I）得是函數(shù)在上的微小值點(diǎn)，分類探討，即可求解.【詳解】（I）.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，解得，由解得.綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減.（II）由（I）知，當(dāng)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在上的最小值為，即，沖突.當(dāng)時(shí)，由（I）得是函數(shù)在上的微小值點(diǎn).當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)的最小值為，即，符合條件.②當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)的最小值為即，沖突.③當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)的最小值為即.令（），則，∴在上單調(diào)遞減，而，∴在上沒(méi)有零點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解.綜上，實(shí)數(shù)的值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯