8.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)面PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E為PD中點，AD=2．(Ⅰ)求證：平面AEC⊥平面PCD．【答案】(Ⅰ)證明：取AD中點為O，BC中點為F，由側(cè)面PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD，故FO⊥PO，又FO⊥AD，則FO⊥平面PAD，∴FO⊥AE，又CD?FO，則CD⊥AE，又E是PD中點，則AE⊥PD，由線面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD，又AE?平面AEC，故平面AEC⊥平面PCD；基礎(chǔ)課04基本不等式課時評價·提能基礎(chǔ)鞏固練1.若實數(shù)a，b滿足a+b=1，則A.2 B.1 C.12 D.[解析]∵ab≤a∴ab≤122，即ab≤14∴abmax=12.函數(shù)y=3x+A.4 B.23?3 C.2[解析]因為x>1，所以y=3x?1+1x?1+3≥23x?13.已知正實數(shù)x，y滿足2x+1y=A.2 B.4 C.8 D.12[解析]由x>0，y>0且2所以4xy?當且僅當4yx=xy，即x=4，y=4.若?1<x<1A.最大值?1 B.最小值?1 C.最大值1[解析]由?1<x<所以y=?12?1?x2+11?x=?12[1?x+115.下列不等式恒成立的是（D）.A.x+1xC.a+b2[解析]對于A，當x<0時，不等式顯然不成立，故A對于B，“a+b≥2ab”成立的條件為“a≥0,對于C，當a=?b≠0時，不等式顯然不成立，故對于D，由a2+b2?2ab=a?故選D.6.若用32m2的材料制造某種長方體形狀的無蓋車廂，規(guī)定車廂寬度為2A.38?373m3 B.16[解析]設(shè)長方體車廂的長為xm，高為?m，則2x∴16=x+解得0<∴0∴車廂的容積V=2x?≤16m3,當且僅當x=2?,∴車廂容積的最大值為16m3.7.最大視角問題是德國數(shù)學家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般被稱為“米勒問題”.如圖，樹頂A離地面12米，樹上另一點B離地面8米，若某人站在高臺上仰視此樹，其雙眼在離地面2米的C處，則tan∠ACB的最大值為（CA.55 B.1010 C.1515[解析]如圖，過點C作CD⊥AB，交AB于點D，則AB=4,設(shè)∠BCD=α,CD=xx>0在Rt△ACD中，tan∠所以tan∠ACB=tan∠ACD?α=10x?6x1+10x?6x=8.已知正實數(shù)a，b滿足ab+a+b=A.26?3 B.22 [解析]因為a>0,b>所以ab+1=由a=2?bb+1>0，得0所以a+當且僅當3t=2t，即t=62則a+2b的最小值為26?綜合提升練9.（多選題）已知a，b是兩個正數(shù)，4是2a與16b的等比中項，則下列說法正確的是（A.ab的最小值為1 B.ab的最大值為1C.1a+1b的最小值為94[解析]因為2a?16b所以a+4b=4≥24ab，可得ab≤1，當且僅當a所以ab的最大值為1，故A錯誤，B正確.因為1a+1b=1a+1b?a+4b?14=141+4+4ba+ab≥110.（多選題）以下說法正確的是（AB）.A.若x>0，則2B.當a2+C.關(guān)于x的不等式x2+2x≥ax在[D.當x∈(0,π2)[解析]對于A，因為x>0，所以3x+3x≥23x?3x=6(當且僅當3x=3x，即x=1對于B，因為a2+b2≥2ab，所以2a2+b2≥a+b2對于C,關(guān)于x的不等式x2+2x≥ax在[1,2]上有解等價于a≤x對于D，當x∈(0,π2)時，sinx∈0,1，令t=sinx∈0,1，ft=t+2t，由對勾函數(shù)的性質(zhì)易知f11.設(shè)x,y∈R,a>1,b>1，若ax=[解析]因為ax=by=6又loga6?所以1x=log因為a>1,b>1當且僅當2a=b，即a=4,b所以ab≤所以1x所以1x+1y12.（雙空題）已知實數(shù)x，y，z不全為0，則w=y2+2xzx[解析]w=y2+2xzx2+y2+z2≥yw=y2+2xzx2+y2+z2應用情境練13.某社區(qū)決定建立一個取暖供熱站.已知供熱站每月自然消費（單位：萬元）與供熱站到社區(qū)的距離（單位：千米）成反比，每月供熱費（單位：萬元）與供熱站到社區(qū)的距離成正比.如果在距離社區(qū)20千米處建立供熱站，自然消費與供熱費分別為0.5萬元和8萬元，那么要使這兩項費用之和最小，供熱站應建在離社區(qū)5千米處.[解析]設(shè)供熱站建在離社區(qū)x千米處，自然消費y1=k1x萬元，由題意得,當x=20時，y1所以k1=20所以y1=10所以兩項費用之和為y1當且僅當10x=2x5，即x=所以要使這兩項費用之和最小，供熱站應建在離社區(qū)5千米處.14.畢達哥拉斯樹，也叫“勾股樹”，是由畢達哥拉斯根據(jù)勾股定理畫出來的一個可以無限重復的樹形圖形（如圖1）.現(xiàn)由畢達哥拉斯樹部分圖形作出圖2，△ABC為銳角三角形，面積為1,∠ACB=π6，以△ABC的三邊為邊長的正方形的中心分別為M1,M2[解析]由題意知，S△ABC=設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c因為S△ABC=12absin∠由余弦定理得c2在△M2AM3中，A由余弦定理可得M2又S△ABC=12bcsin∠同理，M1M2故M1M22+M2M32+M3M12=創(chuàng)新拓展練15.已知a>0，b>0，曲線fx=lnx?2x+4在[解析]由fx=lnx∴f又f1=2，∴直線l：∵點Ma,b在直線l上又a>0，b>0，∴1a+1b+1=∴1a+16.已知函數(shù)fx（1）若f1=1，且n（2）求證：函數(shù)y=fx在[[解析]（1）若f1=1，則m+∵m>0，n>?2∴1m