1.5.2全稱量詞命題和存在量詞

命題的否定

一、命題的否定思考1

觀察下列命題，思考(1)與(2)，(3)與(4)的聯(lián)系.(1)56是7的倍數(shù)；

(2)56不是7的倍數(shù)；(3)空集是集合A={1，2，3}的真子集；

(4)空集不是集合A={1，2，3}的真子集.命題的否定

一般地，對命題p進(jìn)行否定，就得到一個(gè)新命題，記作￢p，讀作“命題的否定”

或“非p”.

思考2

原命題的真假與它的否定的真假有什么關(guān)系？一個(gè)命題和它的否定不能同時(shí)為真命題，也不能同時(shí)為假，只能一真一假.二、全稱量詞命題的否定思考3(教材P29探究)

寫出下列命題的否定：

(1)

所有的矩形都是平行四邊形；

(2)

每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)；

(3)

?x∈R，x+|x|≥0.命題的否定

(1)并非所有的矩形都是平行四邊形；(2)并非每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)；(3)并非所有的x∈R，x+|x|≥0￢p:存在一個(gè)矩形不是平行四邊形；￢p:存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)；￢p:?x∈R，x+|x|<0.思考4

探究思考3中命題的否定形式有什么特征?全稱量詞命題全稱量詞命題的否定?x∈M，p(x)?x∈M，￢p(x)二、全稱量詞命題的否定例1(教材P29例3)

寫出下列全稱量詞命題的否定：

(1)

所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù)；

(2)

每一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上；

(3)

對任意x∈Z，x2的個(gè)位數(shù)字不等于3.存在一個(gè)能被3整除的整數(shù)不是奇數(shù).存在一個(gè)四邊形，它的四個(gè)頂點(diǎn)不在同一個(gè)圓上.?x∈Z，x2的個(gè)位數(shù)字等于3.訓(xùn)練1(教材P31練習(xí)1改編)

寫出下列命題的否定：

(1)

?x∈Z，n∈Q；

(2)

任意奇數(shù)的平方還是奇數(shù)；

(3)

每個(gè)平行四邊形都是中心對稱圖形；(4)對任意k∈R，函數(shù)y=kx+b隨x值的增大而減小.?x∈Z，n?Q.存在一個(gè)奇數(shù)的平方不是奇數(shù).有一個(gè)平行四邊形不是中心對稱圖形.存在k∈R，函數(shù)y=kx+b不隨x值的增大而減小.三、存在量詞命題的否定思考5(教材P30探究)寫出下列命題的否定:

(1)

存在一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對值是正數(shù)；

(2)

有些平行四邊形是菱形；

(3)

?x∈R，x2-2x+3=0.命題的否定

(1)不存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對值是正數(shù)；￢p:所有實(shí)數(shù)的絕對值都不是正數(shù);(2)沒有一個(gè)平行四邊形是菱形；￢p:任意一個(gè)平行四邊形都不是菱形;(3)不存在x∈R，x2-2x+3=0.￢p:?x∈R，x2-2x+3≠0思考6

探究中命題的否定形式有什么變化?存在量詞命題存在量詞命題的否定?x∈M，p(x)?x∈M，￢p(x)三、存在量詞命題的否定例2(教材P30例4)

寫出下列存在量詞命題的否定：

(1)

?x∈R，x+2≤0；

(2)

有的三角形是等邊三角形；

(3)

有一個(gè)偶數(shù)是素?cái)?shù).?x∈R，x+2>0.所有的三角形都不是等邊三角形.任意一個(gè)偶數(shù)都不是素?cái)?shù).訓(xùn)練2(教材P31練習(xí)2)

寫出下列命題的否定：

(1)

有些三角形是直角三角形；

(2)

有些梯形是等腰梯形；

(3)

存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對值不是正數(shù).所以三角形都不是直角三角形.所有梯形都不是等腰梯形.任意實(shí)數(shù)的絕對值是正數(shù).原詞語至少有一個(gè)至多有一個(gè)至少有n個(gè)至多有n個(gè)否定詞語一個(gè)也沒有至少有兩個(gè)至多有(n-1)個(gè)至少有(n+1)個(gè)常見詞語的否定形式從集合視角來看，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？四、依據(jù)含量詞命題的綜合運(yùn)用例3“存在x∈R，x2+2x+a=0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

法一：即對任意x∈R，x2+2x+a≠0為真命題.所以Δ=4-4a<0，故a>1.法二：存在x∈R，x2+2x+a=0，則Δ=4-4a≥0，故a≤1.又因?yàn)樵}為假命題，故a>1.原命題p原命題的否定￢p集合A集合A的補(bǔ)集?UA設(shè)集合A={x|p(x)}，命題的否定與集合的關(guān)系四、依據(jù)含量詞命題的綜合運(yùn)用訓(xùn)練3(作業(yè)P200第10題)

已知命題p：?x∈R，x2－2x＋m＝0，命題q：－2<m<2