第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年江西省宜春市上高縣高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（8月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)滿足2+2z1?i=iz，則z等于(

)A.1+i B.?1+i C.1?i D.?1?i2.已知集合A={x|y=lg(3?x)}，B={y|y=?xA.(?∞,3] B.(?∞,3) C.[0,3] D.[0,3)3.已知直線l：y=kx+1與圓C：(x+1)2+y2=r2(r>0)，則“?k∈R，直線A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知角α，β滿足tanαtanβ=?3,cos(α+β)=12，則A.?14 B.?1 C.385.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是(

)A.14 B.13 C.126.若曲線y=ln(x+2a)的一條切線為y=ex?2b(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，其中a，b為正實(shí)數(shù)，則1ea+A.[2,e) B.(e,4] C.[4,+∞) D.[e,+∞)7.已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若(1?2x)2021=b0+bA.?12021 B.12021 C.20218.著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休.”事實(shí)上，有很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，如：(x?a)2+(y?b)2可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)M(x,y)與點(diǎn)N(a,b)的距離.A.42 B.22 C.二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說(shuō)法正確的是(

)A.數(shù)據(jù)12，13，14，15，17，19，23，24，27，30的70%分位數(shù)是23.5

B.已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0的解集為(?∞,1)∪(5,+∞)，則不等式bx+c>0的解集是{x|x>56}

C.函數(shù)f(x+1)的定義域?yàn)閇0,1]，則f(2x)的定義域?yàn)?0.已知a>0，b>0，直線l1：x+(a?4)y+1=0，l2：2bx+y?2=0，且l1⊥A.0<ab≤2 B.a2+4b2≥8 11.數(shù)學(xué)有時(shí)候也能很可愛(ài)，如題圖所示是小D同學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種曲線，因形如小恐龍，因此命名為小恐龍曲線.對(duì)于小恐龍曲線C1：x2+A.該曲線與x=8最多存在3個(gè)交點(diǎn)

B.如果曲線如題圖所示(x軸向右為正方向，y軸向上為正方向)，則a>0

C.存在一個(gè)a，使得這條曲線是偶函數(shù)的圖像

D.a=3時(shí)，該曲線中x≥8的部分可以表示為y關(guān)于x的某一函數(shù)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知命題“?x∈[1,4]，x2?mx+4≥0”是假命題，則m的取值范圍是______．13.設(shè)函數(shù)f(x)=ax?9,x<a8?(x?3)2,x≥a14.對(duì)于函數(shù)y=f(x)和y=g(x)，及區(qū)間D，存在實(shí)數(shù)k，b使得f(x)≥kx+b≥g(x)對(duì)任意x∈D恒成立，則稱y=f(x)在區(qū)間D上優(yōu)于y=g(x).若f(x)=ax(x?1)在區(qū)間(0,+∞)上優(yōu)于g(x)=lnx，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)

某地為調(diào)查年齡在35?50歲段人群每周的運(yùn)動(dòng)情況，從年齡在35?50歲段人群中隨機(jī)抽取了200人的信息，將調(diào)查結(jié)果整理如下：女性男性每周運(yùn)動(dòng)超過(guò)2小時(shí)6080每周運(yùn)動(dòng)不超過(guò)2小時(shí)4020(1)根據(jù)以上信息，能否有99%把握認(rèn)為該地年齡在35?50歲段人群每周運(yùn)動(dòng)超過(guò)2小時(shí)與性別有關(guān)？

(2)用樣本估計(jì)總體，從該地年齡在35?50歲段人群中隨機(jī)抽取3人，設(shè)抽取的3人中每周運(yùn)動(dòng)不超過(guò)2小時(shí)的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)．

參考公式：K2=n(ad?bc)P(0.100.050.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.82816.(本小題12分)

已知在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=an1+2an．

(1)求證：數(shù)列{1an}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{anan+1}的前n項(xiàng)和Sn．

(2)17.(本小題12分)

如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，CD=BE=2，O為BC的中點(diǎn).將△ADE沿DE折起，得到如圖2所示的四棱錐A′?BCDE，其中A′O=3．

(1)求證：A′O⊥平面BCDE；

(2)求點(diǎn)B到平面18.(本小題12分)已知橢圓C：x2a2+y2b(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程(Ⅱ)過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q′，試問(wèn)△FPQ′的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19.(本小題12分)

定義運(yùn)算：mnpq=mq?np，已知函數(shù)f(x)=lnxx?11a，g(x)=1x?1．

(1)若函數(shù)f(x)的最大值為0，求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若函數(shù)?(x)=f(x)+g(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1答案解析1.D

【解析】解：由2+2z1?i=iz得2+2z=iz+z，即(1?i)z=?2

∴z=?21?i=?2(1+i)2=?1?i．

故選：2.D

【解析】解：A中，3?x>0，x<3，則A=(?∞,3)，

B中，y=?x2+6x=?(x?3)2+9≤3，

則3.B

【解析】解：根據(jù)題意，圓C：(x+1)2+y2=r2(r>0)，其圓心C(?1,0)，半徑為r，

直線l：y=kx+1，恒過(guò)點(diǎn)(0,1)，

由?k∈R，直線l與圓C有公共點(diǎn)，

可得(0,1)在圓內(nèi)或圓上即可，

即將(0,1)代入圓的方程可得(0+1)2+12≤r2(r>0)，

解得r≥2，

又r∈(2,+∞)?r∈[2，+∞)，

即“?k∈R4.A

【解析】解：∵tanαtanβ=?3，

∴sinαsinβ=?3cosαcosβ，

∵cos(α+β)=cosαcosβ?sinαsinβ=4cosαcosβ=12，

∴cosαcosβ=18，

∴cos(α?β)=cosαcosβ+sinαsinβ=?2cosαcosβ=?15.B

【解析】解：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有A44=24種可能，

丙不在排頭，且甲或乙在排尾的情況有C21C21A22=8種可能，6.C

【解析】解：y′=1x+2a，令1x+2a=e，則x=1e?2a，有y=ln(1e?2a+2a)=?1，

即e(1e?2a)?2b=?1，即ae+b=1，

又a，b為正實(shí)數(shù)，則1ea+1b=(1ea+1b7.A

【解析】解：令x=12，得(1?2×12)2021=b0+b12+b222+…+b202122021=0．

又因?yàn)閎0=1，所以a1=b12+b222+…+b202122021=?1．

由8.A

【解析】解：∵y=f(x)=x2+4x+8+x2?4x+8=(x+2)2+(0+2)2+(x?2)2+(0?2)2，

則f(x)可看作x軸上一點(diǎn)P(x,0)到點(diǎn)A(?2,?2)與點(diǎn)B(2,2)的距離之和，即|PA|+|PB|，

則可知當(dāng)A，P，B三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PB|取得最小值，

即(|PA|+|PB|)9.ABD

【解析】解：對(duì)于A，由10×70%=7，可知樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)是第7項(xiàng)和第8項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

即為23+242=23.5，故A正確；

對(duì)于B，不等式ax2+bx+c<0的解集為(?∞,1)∪(5,+∞)，可知a<0，

由題意可得x=1與x=5是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0的兩根，

所以?ba=6ca=5，解得b=?6ac=5a．

所以不等式bx+c>0可化為?6ax+5a>0，解得x>56，故B正確；

對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)f(x+1)的定義域?yàn)閇0,1]，所以0≤x≤1，則1≤x+1≤2，

所以1≤2x≤2，解得0≤x≤1，所以f(2x)的定義域?yàn)閇0,1]，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，因?yàn)?a=4b=36，所以a=log336，b=log436，

所以2a10.ABD

【解析】解：由l1⊥l2，得2b+a?4=0，即a+2b=4，

a>0，b>0，則a+2b=4≥22ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b，即a=2，b=1時(shí)等號(hào)成立，

所以0<ab≤2，A選項(xiàng)正確；

由a+2b=4，有16=(a+2b)2=a2+4b2+4ab≤2(a2+4b2)，

當(dāng)且僅當(dāng)a=2b，即a=2，b=1時(shí)等號(hào)成立，所以有a2+4b2≥8，B選項(xiàng)成立；

由a+2b=4，有a=4?2b，a>0，b>0，則0<b<2，

a2+b2=(4?2b)2+b2=5b2?16b+16，11.ABC

【解析】解：對(duì)于A，曲線C1方程x2+y3?axy=20，

令x=8，得關(guān)于y的一元三次方程y3?8ay+44=0，

令f(y)=y3?8ay+44，則f′(y)=3y2?8a，

f′(y)=0最多兩根，即函數(shù)f(y)最多兩個(gè)極值點(diǎn)，

即方程y3?8ay+44=0最多有三個(gè)實(shí)根，選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B，若曲線如題圖所示，則存在x0>0，使得x=x0與曲線圖像有三個(gè)交點(diǎn)，

即存在x0>0，關(guān)于y的方程y3?ax0y+x02?20=0有三個(gè)實(shí)根．

令f(y)=y3?ax0y+x02?20，則f′(y)=3y2?ax0，

假設(shè)a≤0，?x0>0，都有f′(y)≥0，即f(y)單調(diào)遞增，

則方程y3?ax0y+x02?20=0在(0,+∞)最多有一個(gè)實(shí)根，與題圖矛盾，假設(shè)錯(cuò)誤．

所以a>0，選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C，當(dāng)a=0時(shí)，曲線C1：x2+y3=20，即函數(shù)y=320?x2的圖像，

設(shè)f(x)=320?x2，x∈R，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

12.(5,+∞)

【解析】解：由題意可知，?x∈[1,4]，x2?mx+4<0恒成立，

即?x∈[1,4]，m>x+4x恒成立，

函數(shù)f(x)=x+4x在[1,2)上單調(diào)遞減，在(2,4]上單調(diào)遞增，

又f(1)=5，f(4)=5，∴f(x)max=5，∴m>5，

即m的取值范圍是(5,+∞)．

故答案為：(5,+∞)．

由題意可知，?x∈[1,4]，x2?mx+4<0恒成立，即?x∈[1,4]13.[0,4]

【解析】解：①當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在(?∞,a)上單調(diào)遞減，因此f(x)不存在最大值；

②當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=?9,x<08?(x?3)2,x≥0，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)max=f(3)=8>?9，

故函數(shù)f(x)存在最大值；

③當(dāng)0<a≤3時(shí)，故函數(shù)f(x)在(a,3)上單調(diào)遞增，在(3,+∞)上單調(diào)遞減，

故x≥a時(shí)，f(x)=8?(x?3)2≤8，

當(dāng)x<a時(shí)，函數(shù)f(x)在(?∞,a)上單調(diào)遞增，此時(shí)f(x)<f(a)=a2?9，

于是a2?9≤8時(shí)函數(shù)存在最大值．又0<a≤3，解得0<a≤3；

④當(dāng)a>3時(shí)，函數(shù)在(a,+∞)上單調(diào)遞減，f(x)≤f(a)=8?(a?3)2，

在(?∞,a)上單調(diào)遞增，此時(shí)f(x)<f(a)=a2?9，

故當(dāng)8?(a?3)2≥a2?914.{1}

【解析】解：因?yàn)閒(1)=g(1)=0，且f′(x)=a(2x?1),g′(x)=1x，

若f(x)=ax(x?1)在區(qū)間(0,+∞)上優(yōu)于g(x)=lnx，

可知符合條件的直線y=kx+b應(yīng)為f(x)，g(x)在x=1的公切線，

則f′(1)=g′(1)，可得a=1，

則切線方程為y=x?1，

令?(x)=f(x)?x+1=(x?1)2≥0在(0,+∞)上恒成立，

令H(x)=lnx?x+1，求導(dǎo)可得H′(x)=1x?1=1?xx，

當(dāng)x∈(0,1)，可得H′(x)>0，H(x)在(0,1)單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(1,+∞)，可得H′(x)<0，H(x)在(1,+∞)單調(diào)遞減，

所以H(x)≤H(0)=0，即lnx≤x?1在(0,+∞)上恒成立，

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{1}．

故答案為：{1}．

由題意可得符合條件的直線15.解：(1)由K2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200×(60×20?80×40)2100×100×140×60≈9.524>6.635．

故有99%把握認(rèn)為該地35?50歲年齡段人每周運(yùn)動(dòng)超過(guò)2小時(shí)與性別有關(guān)．

(2)抽取的3人中每周運(yùn)動(dòng)不超過(guò)2小時(shí)的人數(shù)為X，

則X～B(3,310)，X=0，1，2，3，X0123P34344118927故E(X)=3×310【解析】(1)根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)公式，即可求解；

(2)先判斷X服從二項(xiàng)分布，X=0，1，2，3，依次求出概率，再結(jié)合期望公式，即可求解．

本題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列、期望的求解，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．16.證明：(1)因?yàn)閿?shù)列{an}中，a1=1，an+1=an1+2an．

所以an≠0，

故1an+1=1+2anan=1an+2，

即1an+1?1an=2，

所以數(shù)列{1an}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，

則1an=1+2(n?1)=2n?1，

anan+1=1(2n?1)(2n+1)=12(12n?1?12n+1)【解析】(1)結(jié)合已知遞推關(guān)系，兩邊取倒數(shù)，然后由等差數(shù)列的定義即可證明；

(2)先由(1)求出a，然后結(jié)合正弦定理，和差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可求A，再由余弦定理及基本不等式可求bc的范圍，最后由三角形面積公式可求．

本題主要考查了數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，等差數(shù)列的定義，裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用，還考查了正弦定理，和差角公式，余弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．17.解：(1)連接OD，OE，因?yàn)樵诘妊苯侨切蜛BC中，∠B=∠C=45°,CD=BE=2,CO=BO=3，

在△COD中，OD=CO2+CD2?2CO?CDcos45°=5，

同理得OE=5，

因?yàn)锳D=A′D=A′E=AE=22,A′O=3，

所以A′O2+OD2=A′D2，A′O2+OE2=A′E2，所以∠A′OD=∠A′OE=90°，

所以A′O⊥OD，A′O⊥OE，OD∩OE=O，OD，OE?平面BCDE，

所以A′O⊥平面BCDE；

(2)取DE中點(diǎn)H，則OH⊥OB，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，

OH，OB，OA′所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則O(0,0,0),A′(0,0,3【解析】(1)利用余弦定理求得OD，OE，結(jié)合已知條件得A′O2+OD2=A′D2，A′O2+OE2=A′E2，從而∠A′OD=∠A′OE=90°，再利用線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；

(2)取DE中點(diǎn)H，則OH⊥OB.以18.解：(Ⅰ)由題意可知：c=1，2a=4，即a=2，

b2=a2?c2=3，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：x24+y23=1；

(Ⅱ)設(shè)直線l的方程為x=my+1，

與橢圓的方程聯(lián)立，得x=my+1x24+y23=1,

消去x，得(3m2+4)y2+6my?9=0，

∴△=(6m)2?4×(?9)×(3m2+4)=144(m2+1)>0，

設(shè)Q(x1,y1)，P(x2,y2)，則Q′(x1,?y1)，

由根與系數(shù)的關(guān)系，得y1+y2=?6m4+3m2，y1?y2=?94+3m2；

直線PQ′的斜率為k=y2?(?y1)x【解析】(Ⅰ)根據(jù)橢圓的定義與幾何性質(zhì)