14思考與練習(xí)

1.什么叫張量張量有什么性質(zhì)

答：張量：由假設(shè)干個當(dāng)坐標系改變時滿足轉(zhuǎn)換關(guān)系的分量組成的集合,

稱為張量，需要用空間坐標系中的三個矢量，即9個分量才能完整

地表示。

它的重要特征是在不同的坐標系中分量之間可以用一定的線性關(guān)系

來換算。

基本性質(zhì)：

1）張量不變量張量的分量一定可以組成某些函數(shù)八號），這些函

數(shù)值與坐標軸無關(guān)，它不隨坐標而改變，這樣的函數(shù)，叫做張量不變

量。二階張量存在三個獨立的不變量。

2）張量可以疊加和分解幾個同階張量各對應(yīng)的分量之和或差定義為

另一個同階張量。兩個一樣的張量之差定義為零張量。

3）張量可分為對稱張量、非對稱張量、反對稱張量假設(shè)張量具有

性質(zhì)與=%,就叫對稱張量；假設(shè)張量具有性質(zhì)與二一與，且當(dāng)i二j

Pij工。戶

時對應(yīng)的分量為0,則叫反對稱張量；如果張量，就叫非對稱

張量。任意非對稱張量可以分解為一個對稱張量和一個反對稱張量。

4）二階對稱張量存在三個主軸和三個主值如果以主軸為坐標軸，

則兩個下角標不同的分量均為零，只留下兩個下角標一樣的三個分

量，叫作主值。

2.若何表示任意斜微分面上的應(yīng)力

答：假設(shè)過一點的三個互相垂直的微分面上的九個應(yīng)力分量，則借助靜

力平衡條件，該點任意方向上的應(yīng)力分量可以確定。

如圖14-1所示，設(shè)過Q點任一斜切面的法線N與三個坐標軸的方向

余弦為Lm,n,

l=cos(N,x);

m=cos(N,y);

n=cos(N,z)o

假設(shè)斜微分面ABC的面積為dF,

微分面OBC(x面)、OCA(y面)、OAB(z

面)的微分面積分別為dFx、dFy、dFz,

則各微分面之間的關(guān)系為

dFx=ldF；dFy二mdF；dFz=ndF

圖14-1任意斜切微分面上的應(yīng)力

又設(shè)斜微分面ABC上的全應(yīng)力為S,

它在二坐標軸方向卜的分量為Sx、

Sy、Sz,由靜力平衡條件2乙=°,得:

整理得

Sx=axl+ryxm+T^n

Sv=Trvl+(yYtn+T7Vn?

S=rl+vm+(y.n

zxzyz(14-6)

用角標符號簡記為邑二°也i,j=x,y,z)

顯然，全應(yīng)力§2=s-；

斜微分面上的正應(yīng)力b為全應(yīng)力S在法線N方向的投影，它等于

工，S\S?在N方向上的投影之和，即

??OO

=al+(jm+an4-2(Tbn+T/wt+T^nl)

xyzxvyz(14-7)

斜切微分面上的切應(yīng)力為1=§2-。2（14-8）

所以，過一點的三個正交微分面上9個應(yīng)力分量，可以求出過該點

任意方向微分面上的應(yīng)力，也就是說，這9個應(yīng)力分量可以全面表示該

點應(yīng)力狀況，亦即可以確定該點的應(yīng)力狀態(tài)。

3.應(yīng)力張量不變量若何表達

答：應(yīng)力張量的三個不變量為

其中“、，2、心為應(yīng)力張量第一、第二、第三不變量。

4.應(yīng)力偏張量和應(yīng)力球張量的物理意義是什么

答：應(yīng)力：在外力的作用下，變形體內(nèi)各質(zhì)點就會產(chǎn)生相互作用的力，

稱為內(nèi)力。單位面積上的內(nèi)力稱為應(yīng)力，可采用截面法進展分析

應(yīng)力球張量：也稱靜水應(yīng)力狀態(tài)，其任何方向都是主方向，且主應(yīng)力

一樣，均為平均應(yīng)力。

特點:在任何切平面上都沒有切應(yīng)力，所以不能使物體產(chǎn)生形狀變化,

而只能產(chǎn)生體積變化，即不能使物體產(chǎn)生塑性變形。

應(yīng)力偏張量：是由原應(yīng)力張量分解出應(yīng)力球張量后得到的。應(yīng)力偏張

量的切應(yīng)力分量、主切應(yīng)力、最大切應(yīng)力及應(yīng)力主軸等都與原應(yīng)力張

量一樣。

特點：應(yīng)力偏張量只使物體產(chǎn)生形狀變化，而不能產(chǎn)生體積變化C材

料的塑性變形是由應(yīng)力偏張量引起的。

5.平面應(yīng)力狀態(tài)和純切應(yīng)力狀態(tài)有何特點？

答：平面應(yīng)力狀態(tài)的特點為：變形體內(nèi)各質(zhì)點與某坐標軸垂直的平面上

沒有應(yīng)力。

純切應(yīng)力狀態(tài)：

6.等效應(yīng)力有何特點寫出其數(shù)學(xué)表達式。

答：等效應(yīng)力的特點：等效應(yīng)力不能在特定微分平面上表示出來，但它

可以在一定意義上“代表〃整個應(yīng)力狀態(tài)中的偏張量局部，因而與

材料的塑性變形密切有關(guān)。人們把它稱為廣義應(yīng)力或應(yīng)力強度。等

效應(yīng)力也是一個不變量。其數(shù)學(xué)表達式如下：

等效應(yīng)力在主軸坐標系中定義為

在任意坐標系中定義為

7.受力物體內(nèi)一點的應(yīng)力張量為

’505080、

500-75

180-75-3oJ(MPa),

試求外法線方向余弦為l=m=l/2,n=友的斜切面上的全應(yīng)力、

正應(yīng)力和切應(yīng)力。

解：設(shè)全應(yīng)力為S,Sx,%,s:分別為S在三軸中的分量，

則有：

ns=50x—+50x—+80x—==106.6

r2272

5=50x1+0x1-75x-L=-28.0

y22V2

5,=80xl-75xl-30x^=-18.7

-22V2

52=S：+S；+S：

則得到S=111.79MPa

a=Sxl+Sym+Szn則得到o=26.1MPa

222

-^r=S-a則得到r=108.7MPa

8.受力體內(nèi)一點的應(yīng)力張量分別為

0-10"

-100'

(TO010>

1720、

②=In17a200'

<00100>

-40、

,1o（MPa）

0一4,

1）畫出該點的應(yīng)力單元體；

2）求出該點的應(yīng)力張量不變量、主應(yīng)力及主方向、主切應(yīng)力、

最大切應(yīng)力、等效應(yīng)力、應(yīng)力偏張量和應(yīng)力球張量；

3）畫出該點的應(yīng)力莫爾圓。

解：1）略

2）在①狀態(tài)下：

Ji=,+%'+巴二10

222

j2=-（）+%，+%+&=200

J3=5。、巴+2xy^yz^zx_(dyz+zx+xy)—Q

32

式(14—10)和由cr-J,(7-J2o--J3=0

=>6=20,02=0,。3=-10

7一1科=0M_1

L五L雙

11

zF.〃T

代入公式對于%=20時：

I

對于』=o時：

對于0'3=—10時：

<T1

r12=±=±10?=1%=0

/3=0

主切應(yīng)力

最大切應(yīng)力

b=KJ(b]-，尸+(5_,)2+5-CT]/=,3J；r—

等效應(yīng)力：6="00

應(yīng)力偏張量:

20

0-10

T

-40

0

亍

20

-100

T

0加=；((7]+%+。3)=1(20+0-10)=^

故

，40