2024-2025學(xué)年度北外新華高三年級第一學(xué)期第一次段考數(shù)學(xué)試卷一、單選題共8題共40分1.若集合，，則（）A. B.[0，1]C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得集合，，再求其并集即可．【詳解】由，得，故，由，得，故，故．故選：D．2.下列函數(shù)中，既為偶函數(shù)，又在（0，+∞）上為增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】要判斷函數(shù)是否為偶函數(shù)，只要檢驗f（-x）=f（x）是否成立即可；然后再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行判斷即可．【詳解】A：，f（-x）=-x-為奇函數(shù)，不符合條件；B：y=f（x）=2-x2，f（-x）=2-（-x）2=2-x2=f（x），為偶函數(shù)，但是在（0，+∞）上單調(diào)遞減，不符合題意；C：y=x2+log2|x|，f（-x）=（-x）2+log2|-x|=f（x）為偶函數(shù)，且x＞0時，f（x）=x2+log2x在（0，+∞），上單調(diào)遞增，符合題意；D：y=2|x|-x2滿足f（-x）=f（x），即為偶函數(shù)，但是在（0，+∞）有，不是單調(diào)遞增，不符合題意．故選C．【點睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的定義的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．3.函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【詳解】由條件求得，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性同增異減即可得解.【解答】由題意可得函數(shù)，則令，求得，故的定義域為，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的減區(qū)間.所以由二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在上的減區(qū)間為，故選：B.4.已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，對于任意的，且，都有，，則的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給出的條件求出函數(shù)在上的單調(diào)性，根據(jù)奇偶性求出上的單調(diào)性以及零點，進而求出的解集.【詳解】解：由題意函數(shù)中，，為奇函數(shù)，∴，∵對于任意的，且，都有，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，若，則；若，則，此時.故選：D.5.已知定義在上的函數(shù)滿足，則曲線在點處的切線方程為A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用方程組法求出函數(shù)解析式，然后利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，由點斜式可得切線方程.【詳解】因為，所以，聯(lián)立可解得，所以，所以.所以曲線y=fx在點處的切線方程為故所求的切線方程為.故選：C.6.已知正實數(shù)，滿足，則最大值為（）A. B.1 C.2 D.9【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式以及一元二次不等式求解.【詳解】因為，所以,所以，即所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，解得或時等號成立，所以當(dāng)時有最大值為9.故選:D.7.心形代表浪漫的愛情，人們用它來向所愛之人表達(dá)愛意.一心形作為建筑立面造型，呈現(xiàn)出優(yōu)雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，營造出一個精神和自然聚合的空間.圖是由此抽象出來的一個“心形”圖形，這個圖形可看作由兩個函數(shù)的圖象構(gòu)成，則“心形”在軸上方的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)奇偶性和最值排除錯誤答案即可.【詳解】A選項：，故A錯誤；B選項：記，則，故為奇函數(shù)，不符合題意，故B錯誤；C選項：記，則，故為偶函數(shù)，當(dāng)時，，此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，故C正確；D選項：記，則，故既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，不符合題意，故D錯誤.故選：C.8.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】，構(gòu)造函數(shù)，利用作差法比較函數(shù)的大小確定函數(shù)值的大小.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，令，，則所以在單增，所以，所以，所以，所以.令,，，所以在為減函數(shù)，所以，所以，所以，所以，所以.故選：D.【點睛】方法點睛：比較幾個數(shù)值的大小可以將這些數(shù)值看作幾個函數(shù)的函數(shù)值，通過比較函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的大小確定函數(shù)值的大小.函數(shù)比較大小可以用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性來確定，還可以借助于函數(shù)不等式、切線不等式放縮等手段比大小.二、多選題共3題共18分9.下列說法正確的是（）A.函數(shù)（且）的圖象恒過定點B.若命題“”為真命題，則實數(shù)的取值范圍是C.將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象D.的零點所在的一個區(qū)間為【答案】ACD【解析】【分析】對A，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義即可求解；對B，由二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷；對C，根據(jù)三角函數(shù)的平移原則即可判斷；對D，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合零點存在性定理即可判斷.【詳解】對于A，令，解得，，所以恒過定點，故選項A正確；對于B，因為，，為真命題，則，解得，故B錯誤；對于C，函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象，故C正確；對于D，因為在上均單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，又，，則根據(jù)零點存在性定理知其零點所在的一個區(qū)間為，故D正確.故選：ACD10.若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（）．A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知可得在上有兩個變號零點，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個不等的正根判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，因為函數(shù)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在上有兩個變號零點，而，因此方程有兩個不等的正根，于是，即有，，，顯然，即，A錯誤，BCD正確.故選：BCD11.已知函數(shù)，的定義域均為R，且，，，則下列說法正確的有（）A. B.為偶函數(shù)C.的周期為4 D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)及得，通過賦值，結(jié)合判斷A；根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)判斷B；通過賦值根據(jù)周期函數(shù)的定義判斷C；根據(jù)函數(shù)的周期為6，并且結(jié)合及賦值法求得，進而求和判斷D.【詳解】對于A：，故A正確；對于B：根據(jù)及得，令，，可得，且，可得，令，則，則，即，可知為偶函數(shù)，故B正確；對于C：令，則，可知，，可得，則，所以，可知周期為6，故C錯誤；對于D：因為，且，，令，，可得，所以，則，，，，所以，又周期為6，所以，故D正確.故選：ABD【點睛】方法點睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題.三、填空題共3題共15分12.計算：________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則即可計算.【詳解】原式.故答案為：.13.已知函數(shù)，函數(shù)，若對任意，存在，使得，則實數(shù)m的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】由題可得，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題即得.【詳解】由題意得由題可得，時，故在上單調(diào)遞增，，由題可得，時，時，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，即，解得故答案為：.14.已知函數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個零點，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，作出函數(shù)的大致圖象，令gx=0可得，或，由條件結(jié)合圖象可得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，f'x<0，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，f'x>0，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，與一次函數(shù)相比，函數(shù)增長速度更快，從而，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，f'x>0，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，f'x<0，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，與對數(shù)函數(shù)相比，一次函數(shù)增長速度更快，從而，當(dāng)，且時，，根據(jù)以上信息，可作出函數(shù)的大致圖象如下：函數(shù)的零點個數(shù)與方程的解的個數(shù)一致，方程，可化為，所以或，由圖象可得沒有解，所以方程的解的個數(shù)與方程解的個數(shù)相等，而方程的解的個數(shù)與函數(shù)y=fx的圖象與函數(shù)由圖可知：當(dāng)時，函數(shù)y=fx的圖象與函數(shù)的圖象有3個交點故答案為：.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.四、解答題共5題共77分15.已知集合，且.（1）若“命題，”是真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由命題是真命題，可知，又，可得的取值范圍；（2）由是的充分不必要條件,得是的真子集，又，可得的取值范圍.【小問1詳解】因為，所以命題是真命題，可知，因為，，，,故的取值范圍是.【小問2詳解】若是的充分不必要條件,得是的真子集，，，解得，故的取值范圍是.16.已知函數(shù)滿足．（1）求證：周期函數(shù)（2）若，求的值．（3）若時，，試求，時，函數(shù)的解析式．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由題意條件推出，得到函數(shù)的周期；（2）由（1）中的函數(shù)周期得到；（3）根據(jù)函數(shù)的周期和時的函數(shù)解析式，求出時的函數(shù)解析式，再由函數(shù)周期及，求出時的函數(shù)解析式，得到答案.【小問1詳解】證明：由題意知，則．用代替x得，故是周期為4的周期函數(shù)．【小問2詳解】若，則．【小問3詳解】當(dāng)時，，則，又周期為4，所以．當(dāng)時，，則，根據(jù)周期為4，則．又，所以．所以解析式為17.在國家大力發(fā)展新能源汽車產(chǎn)業(yè)政策影響下，我國新能源汽車的產(chǎn)銷量高速增長，某地區(qū)2021年底新能源汽車保有量為1500輛，2022年底新能源汽車保有量為2250輛，2023年底新能源汽車保有量為3375輛．（1）設(shè)從2021年底起經(jīng)過年后新能源汽車保有量為輛，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試從且和且兩種函數(shù)模型中選擇一個最恰當(dāng)?shù)哪Ｐ蛠砜坍嬓履茉雌嚤Ｓ辛康脑鲩L趨勢，并說明理由，求出新能源汽車保有量關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）2021年底該地區(qū)傳統(tǒng)能源汽車保有量為50000輛，且傳統(tǒng)能源汽車保有量每年下降，若每年新能源汽車保有量按（1）中求得的函數(shù)模型增長，試估計到哪一年底新能源汽車保有量將超過傳統(tǒng)能源汽車保有量．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）應(yīng)選函數(shù)模型是且，理由見解析，（2）2030年底【解析】【分析】（1）由于新能源汽車保有量每年增長得越來越快，所以應(yīng)該選擇指數(shù)模型，然后將和代入函數(shù)中可求出，從而可求得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)從2021年底起經(jīng)過年后傳統(tǒng)能源汽車保有量為輛，則有，由題意得，化簡后兩邊取對數(shù)可求得結(jié)果.【小問1詳解】由于新能源汽車保有量每年增長得越來越快，因此應(yīng)該選擇指數(shù)模型，應(yīng)選函數(shù)模型是且，由題意得，解得，所以．【小問2詳解】設(shè)從2021年底起經(jīng)過年后傳統(tǒng)能源汽車保有量為輛，則有，令，即，化簡得，解得，故從2021年底起經(jīng)過9年后，即2030年底新能源汽車的保有量將超過傳統(tǒng)能源汽車的保有量．18.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：．【答案】（1）答案見解析（2）證明過程見解析【解析】【分析】（1）先求定義域，再求導(dǎo)，分，，和四種情況，求出函數(shù)的單調(diào)性；（2）變形得到，構(gòu)造，定義域為，求導(dǎo)，結(jié)合零點存在性定理得到存在唯一的，使得，故，并得到的單調(diào)性和最小值，求出最小值.【小問1詳解】的定義域為，故，若時，令得，令得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，若時，，故在上單調(diào)遞增，若時，，令得或，令得，故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若時，，令得或，令得，故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】，即，令，定義域為，，其在上單調(diào)遞增，又，，由零點存在性定理得，存在唯一的，使得，即，故，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也是最小值，其中，兩邊取對數(shù)得，故，所以，證畢.【點睛】關(guān)鍵點點睛：由導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性和零點存在性定理得到，存在唯一的，使得，故，并求出的最小值，證明出不等式.19.設(shè)函數(shù)的定義域為.給定閉區(qū)間，若存在，使得對于任意，①均有，則記；②均有，則記.（1）設(shè)，求；（2）設(shè).若對于任意，均有，求的取值范圍；（3）已知對于任意?與均存在.證明：“為上的增函數(shù)或減函數(shù)”的充要條件為“對于任意兩個不同的?與中至少一個成立”.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）通過導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在區(qū)間單調(diào)性即可；（2）通過導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性及極值，以及是在處的切線，在分類討論和即可；（3）根據(jù)充要條件證明步驟，必要性、充分性分開證明即可.【小問1詳解】因為時，恒成立，故在上為嚴(yán)格增函數(shù)，因此.【小問2詳解】因為，而，因為，故是在處的切線而存極值點，而，可得到如下情況：

極小值極大值情況一：當(dāng)時，此時，此時，不符題意舍去.情況二：當(dāng)時，此時與在上均為嚴(yán)格增函數(shù)，因此當(dāng)時，恒成立，因此，而在上成立，進而，故.【小問3詳解】先證明必要性：若為上的嚴(yán)格增函數(shù)，則任取，，因為，所以或或或，因為為上的嚴(yán)格增函數(shù)，所以可得：或或或，所以不難可得：，所以或成立.同時對為上的嚴(yán)格減函數(shù)，同理可證.下面證明充分性：當(dāng)與其中一式成立時，不可能為常值函數(shù)，先任取，總有或，假設(shè)存在，使得，記，則，因為存在，則或，不妨設(shè)，則，否則當(dāng)，此時，矛盾，進而可得，則，因此