PAGE1-河南省鶴壁市淇濱高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期第四次周考試題分值150分；考試時(shí)間：120分鐘；命題人：高一數(shù)學(xué)組留意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上一、單選題（每題5分共60分）1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知集合，，則（）A． B． C． D．3．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C．，且 D．，且4．下列各式正確的是（）A． B．C． D．5．下列函數(shù)中，隨x（x>0）的增大，增長(zhǎng)速度最快的是（）A．y=1，x∈Z B．y=x C．y=2x D．y=6．設(shè)，，，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，則的值是（）A． B． C． D．8．若a和b是異面直線，a和c是平行直線，則b和c的位置關(guān)系是（）A．平行 B．異面C．異面或相交 D．相交、平行或異面9．下列函數(shù)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A． B． C． D．10．下列兩個(gè)函數(shù)相等的是()A．y＝與y＝x B．y＝與y＝|x|C．y＝|x|與y＝ D．y＝與y＝11．以下函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)的是A． B．C． D．12．設(shè)函數(shù)f(x)＝3x2－1，則f(a)－f(－a)的值是()A．0 B．3a2－1C．6a2－2 D．6a2第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明二、填空題（每題5分共20分）13．集合的非空子集個(gè)數(shù)是_____．14．_____；15．已知一個(gè)球的表面積和體積相等，則它的半徑為．16．已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)的值為_(kāi)_________．三、解答題17（10）．計(jì)算以下式子的值:（1）（2）（3）18（12分）．已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值集合．19（12）．已知四棱錐中平面，點(diǎn)在棱上，且，底面為直角梯形，分別是的中點(diǎn)．（1）求證：//平面；（2）求截面與底面所成二面角的大?。?0（12分）．如圖，已知平面，為矩形，分別為的中點(diǎn)，.（1）求證：平面；（2）求證：面平面；（3）求點(diǎn)到平面的距離.21(12分)．如圖，直三棱柱中，，是棱的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求二面角的大小.22（12分）．定義區(qū)間的長(zhǎng)度均為,其中(1)若函數(shù)的定義域?yàn)橹涤驗(yàn)閷懗鰠^(qū)間長(zhǎng)度的最大值；(2)若關(guān)于的不等式組的解集構(gòu)成的各區(qū)間長(zhǎng)度和為6,求實(shí)數(shù)的取值范圍；參考答案1．D【分析】依據(jù)并集的定義求解.【詳解】因?yàn)榧?，，所?故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2．A【解析】解A=(0,1)B=(0,),3．D【分析】可看出，要使得有意義，需滿意，然后解出的范圍即可．【詳解】解：要使有意義，則，解得且，的定義域?yàn)椋遥蔬x：．4．D【分析】根式化簡(jiǎn)及零指數(shù)意義.【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)為負(fù)數(shù)時(shí)等式不成立，故A不正確；對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)無(wú)意義，故B不正確；對(duì)于C，，左邊為正，右邊為負(fù)，故C不正確；對(duì)于D，，故D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】根式化簡(jiǎn)留意根指數(shù)的奇偶性.5．D【解析】試題分析：指數(shù)函數(shù)模型增長(zhǎng)速度最快，并且e＞2，因而y＝ex增長(zhǎng)速度最快.考點(diǎn)：函數(shù)圖像.6．A【分析】求出的范圍即得的大小關(guān)系.【詳解】由題得，,，，所以.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平.7．C【分析】首先計(jì)算出，再把的值帶入計(jì)算即可．【詳解】依據(jù)題意得，所以，所以選擇C【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)求值的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．8．C【分析】借助正方體模型，找出三條直線a，b，c，符合題意，推斷b，c的位置關(guān)系.【詳解】解：考慮正方體ABCD﹣A'B'C'D'中，直線AB看做直線a，直線B'C'看做直線b，即直線a和直線b是異面直線，若直線CD看做直線c，可得a，c平行，則b，c異面；若直線A'B'看做直線c，可得a，c平行，則b，c相交.若b，c平行，由a，c平行，可得a，b平行，這與a，b異面沖突，故b，c不平行.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查空間兩直線的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想和分類探討思想，以及推理實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.9．D【分析】選項(xiàng)中所涉及到的函數(shù)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的才能符合條件，要從這兩個(gè)方面進(jìn)行推斷，這兩個(gè)方面可以借助于圖象，也可以干脆利用奇函數(shù)的定義和函數(shù)單調(diào)性的判定方法進(jìn)行求解.【詳解】選項(xiàng)A中，設(shè)函數(shù)，，函數(shù)是偶函數(shù)，不符合題意；選項(xiàng)B中，設(shè)函數(shù)，，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，選項(xiàng)B不符合題意；選項(xiàng)C中，函數(shù)的定義域?yàn)?，則為非奇非偶函數(shù)，選項(xiàng)C不符合題意；選項(xiàng)D中，是單調(diào)遞增且滿意，則是奇函數(shù)，符合條件.故選D.【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，留意它們的判定方法，屬基礎(chǔ)題.10．B【解析】試題分析：對(duì)于選項(xiàng)A,y＝＝|x|，它與y＝x的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，對(duì)于選項(xiàng)D,y＝＝|x|與y＝＝x(x≠0)的定義域不同．對(duì)于選項(xiàng)C,y＝＝x，它與y＝|x|的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同．這樣解除后可知，選B.考點(diǎn)：函數(shù)的概念點(diǎn)評(píng)：同一函數(shù)的定義就是定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同的時(shí)候，屬于基礎(chǔ)題．11．C【解析】對(duì)于A，不確定；對(duì)于B，單調(diào)增，且，所以無(wú)零點(diǎn)；對(duì)于C，,在區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)；對(duì)于D，單調(diào)增，且.所以必?zé)o零點(diǎn).故選C.12．A【解析】故選A.13．3【分析】干脆寫出集合的非空子集即可.【詳解】集合的非空子集有：，故答案為：3.14．【分析】依據(jù)根式的運(yùn)算法則，干脆計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查根式的化簡(jiǎn)求值，屬于基礎(chǔ)題型.15．3【解析】試題分析：設(shè)出球的半徑，求出球的體積和表面積，利用相等關(guān)系求出球的半徑即可．解：設(shè)球的半徑為r，則球的體積為：，球的表面積為：4πr2因?yàn)榍虻捏w積與其表面積的數(shù)值相等，所以=4πr2，解得r=3故答案為：3．考點(diǎn)：球的體積和表面積；旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）．16．【解析】分析：先依據(jù)冪函數(shù)定義求出冪函數(shù)表達(dá)式，然后計(jì)算即可.詳解：設(shè)冪函數(shù)為：因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，故，所以=，所以=,故答案為點(diǎn)睛：考查冪函數(shù)的定義和簡(jiǎn)潔計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.17．（1）2；（2）5；（3）；【分析】應(yīng)用對(duì)數(shù)、指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求值即可.【詳解】（1），（2），（3）【點(diǎn)睛】本題考查了指對(duì)數(shù)的運(yùn)算，應(yīng)用指對(duì)數(shù)間的關(guān)系，及指對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求值，屬于簡(jiǎn)潔題.18．（1）；（2）．【分析】（1）求出集合A和B，依據(jù)補(bǔ)集的定義求出．（2）由條件可得，依據(jù)子集關(guān)系可得或．【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，則且，．（2），．因?yàn)榉匠痰膬筛鶠?和a，當(dāng)時(shí)，，符合，當(dāng)時(shí)，再由，可得，實(shí)數(shù)a的取值集合為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合關(guān)系中參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，兩個(gè)集合的交集、并集、補(bǔ)集的定義和求法，屬于基礎(chǔ)題．19．（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【分析】試題分析：本題以四棱錐為背景，第（1）小題設(shè)計(jì)為證明線面平行；第（2）小題求二面角的大小，解決方法多樣，既可以用綜合法，也可以用向量法求解．用向量法解答此題時(shí)，則先建立以為原點(diǎn)，以分別為建立空間直角坐標(biāo)系，第（1）小題只需證明直線MQ的方向向量與平面PCB的法向量的數(shù)量積為零；第（2）小題先求平面MCN的法向量，平面ABCD的法向量，然后代入向量公式即得答案．用綜合法解答此題時(shí)，第（1）小題，取AP的中點(diǎn)E，則四邊形DCNE是平行四邊形，可得MQ//從而//平面．第（2）小題，由于截面與底面只有一個(gè)公共點(diǎn)C，所以須要作協(xié)助線或進(jìn)行命題轉(zhuǎn)化，留意到平面底面所以截面與面所成的二面角即為面與面所成的二面角，從而利用三垂線定理作出二面角，解三角形可求得二面角的大?。囶}解析：方法（一）：(1)以為原點(diǎn)，以分別為建立空間直角坐標(biāo)系，由，分別是的中點(diǎn)，可得：,∴，設(shè)平面的的法向量為，則有：令，則，∴，又平面∴//平面（2）設(shè)平面的的法向量為，又則有令，則，又為平面的法向量，∴，又截面與底面所成二面角為銳二面角，∴截面與底面所成二面角的大小為．方法（二）：

（1）//

又平面，平面,∴//平面（2）易證：平面底面所以截面與面所成的二面角即為面與面所成的二面角，因?yàn)槠矫嫠云矫妫桑?）可知四點(diǎn)共面所以為截面與平面所成的二面角的平面角．所以，所以

考點(diǎn)：線面平行，二面角．20．（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【分析】(1)利用線面平行的判定定理，找尋面PAD內(nèi)的一條直線平行于MN，即可證出；（2）先證出一條直線垂直于面PCD，依據(jù)第一問(wèn)結(jié)論知，MN也垂直于面PCD，利用面面垂直的判定定理即可證出；（3）依據(jù)等積法，即可求出點(diǎn)到平面的距離．【詳解】證明：（1）取中點(diǎn)為，連接分別為的中點(diǎn)，是平行四邊形，平面，平面，∴平面證明：（2）因?yàn)槠矫?，所以，?面PAD，而面，所以,由,為的終點(diǎn)，所以由于平面，又由（1）知，平面，平面，∴平面平面解：（3），，，則點(diǎn)到平面的距離為（也可構(gòu)造三棱錐）【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行、面面垂直的判定定理以及等積法求點(diǎn)到面的距離，意在考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力．21．（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】試題分析：（I）易證DC1⊥BD,再依據(jù)勾股定理證DC1⊥DC,從而可證得DC1⊥平面DCB,得到DC1⊥BC.(II)求二面角關(guān)鍵是作出二面角的平面角，取A1B1的中點(diǎn)為M，連結(jié)C1M、DM,證明∠C1DM是A1?BD?C1的平面角即可.（Ⅰ）證明：由題設(shè)知，三棱柱的側(cè)面為矩形．∵D是AA1的中點(diǎn)，∴DC=DC1又AC=AA1，∴DC12+DC2=CC12，∴DC1⊥DC又DC1⊥BD，且DC1∩DC=D，∴DC1⊥平面DCB．∴DC1⊥BC（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DC1⊥BC，又CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1∴BC⊥平面CDC1，∵B1C1∥BC∴B1C1⊥平面CDC1∴B1C1⊥A1C1，△A1C1B1為等腰直角三角形取A1B1的中點(diǎn)為M，連結(jié)C1M、DM∵直棱柱的底面A1B1C1⊥側(cè)面AB1，C1M⊥A1B1∴C1M⊥平面AB1，C1M⊥BD．由（Ⅰ）知，DC1⊥平面DCB，∴DC1⊥BD又C1M∩DC1=C1，∴BD⊥平面C1MD，MD⊥BD∴∠C1DM是A1?BD?C1的平面角．在Rt△C1MD中，C1M=A1C1，，∴sin∠C1DM==，∴∠C1DM=30o∴二面角A1?BD?C1的大小為30o．考點(diǎn)：本小題主要考查了線線，線面，面面之間的垂直與平行關(guān)系，以及二面角等學(xué)問(wèn).點(diǎn)評(píng)：駕馭線線，線面，面面平行與垂直的判定與性質(zhì)是求解空間的角與距離的關(guān)鍵.求角的步驟為：一作，二證，三指，四求.22．（1）；（2）；（3）定值為，證明見(jiàn)解析.【分析】（1）令求得函數(shù)的零點(diǎn)，令，求得定義域區(qū)間長(zhǎng)度最大時(shí)的值.（2）先求得不等式的解集，設(shè)不等式的解集為，依據(jù)的長(zhǎng)度為列不等式組，由此求得的取值范圍.（3）將原不等式轉(zhuǎn)化為分式不等式的形式，結(jié)合高次不等式的解法，求得不等式的解集，進(jìn)而求得不等式解集構(gòu)成的各區(qū)間的長(zhǎng)度和為定值.【詳解】（1）令，解得，此時(shí)為函數(shù)的最小值.令，解得，.故定義域區(qū)間長(zhǎng)度最大時(shí)，故區(qū)間的長(zhǎng)度為.（2）由得，解得，記.設(shè)不等式的解集為，不等式組的解集為.設(shè)不等式等價(jià)于，所以，，由于不等式組的解集的個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度和為，所以不等式組，當(dāng)是恒成立.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，得.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，分別常數(shù)得恒成立.當(dāng)