1.3.2空間向量運算的坐標表示【學習目標】1.類比平面向量,知道空間向量及其運算的坐標表示.2.基于運算,能探究空間向量模的坐標公式、空間兩點間的距離公式.3.類比平面向量,知道空間向量平行、垂直、夾角的坐標表示.◆知識點一空間向量運算的坐標表示若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則加法a+b=

減法a-b=

數(shù)乘λa=,λ∈R

數(shù)量積a·b=

【診斷分析】判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)(1)已知向量a=(1,-1,-2),b=(-4,2,0),則a+b=(-3,1,-2). ()(2)已知向量a=(3,5,1),b=(2,2,3),c=(4,-1,-3),則向量2a-3b+4c的坐標為(16,0,-19). ()◆知識點二空間向量運算的坐標表示的應用若a≠0,b≠0,a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則共線a∥b??(λ∈R)

垂直a⊥b??

向量長度|a|==

向量夾角公式cos<a,b>==

空間兩點間的距離公式設P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空間中任意兩點,O為坐標原點,則P1P2=OP2-OP1=,P1P【診斷分析】判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)(1)在空間直角坐標系中,向量AB的坐標與終點B的坐標相同. ()(2)設a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)且b≠0,若a∥b,則x1x2=y1y2(3)若四邊形ABCD是平行四邊形,則AB與DC的坐標相同. ()(4)已知非零向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),若a⊥b,則x1x2+y1y2+z1z2=0. ()◆探究點一空間向量的坐標運算例1已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求a+b,a-b,a·b,2a·(-b),(a+b)·(a-b).變式(1)(多選題)[2024·福州六校高二期中]已知向量a=(1,2,2),b=(6,-3,2),則下列結(jié)論正確的是 ()A.a+b=(7,-1,4)B.a-b=(-5,-1,0)C.a·b=4D.|a|=5(2)如圖,在四面體A-BCD中,若向量AB=(-3,5,2),CD=(-7,-1,-4),E,F分別為BC,AD的中點,則EF的坐標為 ()A.(2,3,3)B.(-2,-3,-3)C.(5,-2,1)D.(-5,2,-1)◆探究點二空間向量平行、垂直的坐標表示及應用例2已知空間三點A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).設a=AB,b=AC.(1)若|c|=3,c∥BC,求c;(2)若ka+b與ka-2b互相垂直,求k.變式(1)設x,y∈R,向量a=(x,1,0),b=(2,y,2),c=(1,-2,1),且a⊥b,b∥c,則|a+b|= ()A.14 B.10C.29 D.27(2)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC,E是側(cè)棱CC1上的任意一點,在線段A1C1上是否存在一個定點P,使得D1P總垂直于AE?請說明理由.[素養(yǎng)小結(jié)]利用空間向量證明垂直、平行的一般步驟:(1)建立空間直角坐標系,建系時要盡可能地利用條件中的垂直關系.(2)建立空間圖形與空間向量之間的關系,用空間向量表示出問題中所涉及的點、直線、平面的要素.(3)通過空間向量的運算求出直線的方向向量,再研究平行、垂直關系.(4)根據(jù)運算結(jié)果解釋相關問題.◆探究點三利用空間向量的坐標運算求夾角及長度例3如圖,在棱長為2的正方體中,E,F分別是DD1,DB的中點,G在棱CD上,且CG=13CD,H是C1G的中點.建立適當?shù)目臻g直角坐標系,解決下列問題(1)求證:EF⊥B1C;(2)求cos<EF,C1G(3)求FH的長.變式1已知向量a=(5,3,1),b=-2,t,-25,若a與b的夾角為鈍角變式2如圖①所示,在△ABC中,∠ABC=60°,∠BAC=90°,AD是BC邊上的高,沿AD把△ABD折起,使∠BDC=90°,得到如圖②所示的四棱錐A-BCD.(1)證明:平面ADB⊥平面BDC;(2)設E為BC的中點,求直線AE與直線DB所成角的余弦值.[素養(yǎng)小結(jié)]利用空間向量的坐標運算求夾角與距離的一般步驟:(1)建系:根據(jù)題目中的幾何圖形建立恰當?shù)目臻g直角坐標系.(2)求坐標:①求出相關點的坐標;②寫出向量的坐標.(3)論證、計算:結(jié)合公式進行論證、計算.(4)轉(zhuǎn)化:轉(zhuǎn)化為夾角與距離問題.拓展[20