第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年四川省綿陽(yáng)市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在復(fù)平面內(nèi)，i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=(1+i)(2?i)，則z的實(shí)部為(

)A.?1 B.1 C.2 D.32.已知平面向量a=(x?1,4)，b=(2,x+3)，若a⊥b，則A.?2 B.?53 C.523.等腰直角△ABC的面積為1，以斜邊AB所在直線為軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成的幾何體的體積為(

)A.π3 B.2π3 C.π 4.將函數(shù)f(x)=sin(2x?π3)的圖象先向左平移π6個(gè)單位，縱坐標(biāo)不變，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，得到函數(shù)g(x)A.g(x)=sin(x?2π3) B.g(x)=sin5.若a，b，l是空間中三條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題中真命題是(

)A.若a//β，a?α，α∩β=l，則a//lB.若α⊥β，α∩β=l，a⊥l，則a⊥β

C.若a?α，b?β，a//b，則α//βD.若α⊥β，a?α，b?β，則a⊥b6.已知tan(α+π4)=7，則A.724 B.247 C.?77.在日常生活中，我們會(huì)看到兩個(gè)人共提一桶水或者共提一個(gè)行李包這樣的情景.假統(tǒng)行李包或者水桶所受重力為G，作用在行李包或者水桶上的兩個(gè)拉力分別為F1，F(xiàn)2，且|F1|=|F2|，F(xiàn)A.當(dāng)α=2π3時(shí)，|F1|=|G| B.當(dāng)α=π3時(shí)，|F1|=|G|2

8.某數(shù)學(xué)興趣小組為測(cè)量一古建筑物的高度，設(shè)計(jì)了測(cè)算方案，如圖，在該建筑物旁水平地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得其頂點(diǎn)M的仰角分別為30°，60°，45°，且AB=BC=50m，則該古建筑的高度為(

)A.1510m

B.205m

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AC的四等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)C)，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，則下列結(jié)論正確的是(

)A.2AD=AB+AC

B.AD=332

C.10.函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,?π2<φ<0)的部分圖象如圖所示，下列正確的是(

)A.ω=2，φ=?π3

B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=π3對(duì)稱

C.若f(α2)=1，則f(α?π611.《九章算術(shù)》中稱一個(gè)正方體內(nèi)兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”(如圖所示)，已知該正方體ABCD?A1B1C1A.正方體ABCD?A1B1C1D1的內(nèi)切球的體積等于該牟合方蓋的內(nèi)切球的體積

B.該牟合方蓋的內(nèi)切球的體積與其中一個(gè)圓柱體的體積之比為2：3

C.該牟合方蓋的內(nèi)切球被平面A1C三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在復(fù)平面內(nèi)，i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=i，則|z|=______．13.已知角α的終邊在第一象限，cos(α+π4)=3514.如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在BC上，且BC=4BE，連接DE交AC于點(diǎn)G，若CG=mAB+nAD，則m2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知a=(sinx,cosx)，b=(23cosx,?2cosx)，c=(?cosx,3sinx)．

(1)若a?b與c共線，求sin2x；

(2)若函數(shù)f(x)=16.(本小題15分)

風(fēng)力發(fā)電的原理是利用風(fēng)力帶動(dòng)風(fēng)機(jī)葉片旋轉(zhuǎn)，當(dāng)風(fēng)吹向葉片時(shí)驅(qū)動(dòng)風(fēng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)，風(fēng)能轉(zhuǎn)化成動(dòng)能，進(jìn)而來推動(dòng)發(fā)電機(jī)發(fā)電.如圖，風(fēng)機(jī)由一座塔和三個(gè)葉片組成，每?jī)蓚€(gè)葉片之間的夾角均為2π3，現(xiàn)有一座風(fēng)機(jī)，葉片旋轉(zhuǎn)軸離地面100米，葉片長(zhǎng)40米.葉片按照逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，并且每5秒旋轉(zhuǎn)一圈.風(fēng)機(jī)葉片端點(diǎn)P從離地面最低位置開始，轉(zhuǎn)動(dòng)t秒后離地面的距離為?米，在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，?關(guān)于t的函數(shù)解析式為?(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π)．

(1)求函數(shù)?(t)的解析式；

(2)當(dāng)風(fēng)機(jī)葉片端點(diǎn)P從離地面最低位置開始，在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，求點(diǎn)P離地面的高度不低于80米的時(shí)長(zhǎng)．17.(本小題15分)

如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1的側(cè)面積為72+362，底面△ABC為等腰直角三角形，AB=AC，AA1=6，M，N分別是A1B和AC1的中點(diǎn)．

(1)求證：MN//平面ABC；

(2)取18.(本小題17分)

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，滿足(b?a)(sinB+sinA)=c(sinC?sinA)．

(1)求B；

(2)若a=2，b=23，求△ABC的面積；

(3)求ac?bc?ab19.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA=PC=PD，底面ABCD是平行四邊形，O點(diǎn)為AD的中點(diǎn)，OB⊥OC，∠AOB=30°，PO=3．

(1)求證：PO⊥平面ABCD；

(2)若AD=2，求平面POB與平面PCD所成的二面角的正切值；

(3)當(dāng)PA與平面PCD的所成角最大時(shí)，求四棱錐P?ABCD的體積．

參考答案1.D

2.B

3.B

4.C

5.A

6.B

7.A

8.C

9.AD

10.ACD

11.AB

12.213.214.184915.解：(1)已知a=(sinx,cosx)，b=(23cosx,?2cosx)，c=(?cosx,3sinx)，

則a?b=(sinx?23cosx,3cosx)，

又a?b與c共線，

則3sinx(sinx?23cosx)=?3cos2x，

即63sinxcosx=3，

即sin2x=33；

(2)已知函數(shù)f(x)=a?16.解：(1)如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，

當(dāng)t=0時(shí)，風(fēng)車開始旋轉(zhuǎn)時(shí)某葉片的一個(gè)端點(diǎn)P在風(fēng)車的最低點(diǎn)，

設(shè)為P0，則P0(0,60)，

由題意得，ω=2π5，A+B=100+40?A+B=100?40?(0)=Asinφ+B=60，

解得A=40B=100φ=?π2，

所以?(t)=40sin(2π5t?π2)+100(t≥0)．

(2)令?(t)≥80，則?(t)=40sin(2π5t?π2)+100≥80，

即cos2π5t≤117.解：(1)證明：連接A1C，MN，

在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1/?/CC1，且AA1=CC1，AA1⊥A1C1，

∴四邊形AA1C1C是矩形，

∵N是AC1的中點(diǎn)，

∴A1C過點(diǎn)N且平分A1C，

∵在△A1BC中，M是A1B的中點(diǎn)，

∴MN是△A1BC的中位線，

∴MN/?/BC，

∵M(jìn)N?平面ABC，BC?平面ABC，

∴MN/?/平面ABC．

(2)∵點(diǎn)E，M分別是A1B1和A1B的中點(diǎn)，

∴BE與B1M的交點(diǎn)O為△A1B1B的重心，

連接A1O并延長(zhǎng)交BB1的中點(diǎn)，記為點(diǎn)F，

過O作OH//A1B，交A1B1于點(diǎn)H，

∴H為A1B1的三等分點(diǎn)(靠近A1點(diǎn))，

連接C1H18.解：(1)因?yàn)?b?a)(sinB+sinA)=c(sinC?sinA)，

由正弦定理可得：(b?a)(b+a)=c(c?a)，

整理可得：a2+c2?b2=ac，

由余弦定理可得cosB=a2+c2?b22ac=12，

而B∈(0,π)，

可得B=π3；

(2)因?yàn)閍=2，b=23，B=π3，

由余弦定理可得：b2=a2+c2?2accosB，

即12=4+c2?2c，

解得c=4或c=?2(舍)，

可得S△ABC=12acsinB=12×2×4×32=23；

(3)由(1)知B=π3，

所以ac?bc?abb2=sinAsinC?sinBsinC?sinAsinB19.解：(1)證明：∵PA=PD，O點(diǎn)為AD的中點(diǎn)，

∴PO⊥AD，

取BC的中點(diǎn)M，連接OM，

∵底面ABCD是平行四邊形，OB⊥OC，

∴BC=2OM=2AB，AB=OA=OD=CD，

∵∠AOB=30°，∴∠AOM=60°，∠CDO=60°，

∴△OCD是等邊三角形，∴OC=OD，

在△POC與△POD中，

PO=PO,OC=OD,PC=PD,∴△POC≌△POD(SSS)，

∴∠POC=∠POD=90°，PO⊥OC，

又OC∩AD=O，OC?平面ABCD，AD?平面ABCD，

∴PO⊥平面ABCD．

(2)延長(zhǎng)BO與CD交于點(diǎn)E，連接PE，

∵BO?平面POB，CD?平面PCD，

∴平面POB∩平面PCD=PE，

由AD=2，PO=3，得OC=1，CD=DE=1，OB=OE=3，PC=CE=2，

取PE中點(diǎn)F，連接CF，則CF⊥PE.∵OB=OE=3=PO，

∴△PBE為等腰直角三角形，

連接OF，則OF⊥PE，

∴∠OFC是平面POB與平面PCD所成的二面角的平面角，

∵OB⊥OC，PO⊥OC，OB∩P