高思愛提分演示（KJ)初中數(shù)學(xué)學(xué)生輔導(dǎo)講義[學(xué)生版]學(xué)員姓名王曉與 年級初一輔導(dǎo)科目初中數(shù)學(xué)學(xué)科教師衛(wèi)雅鑫上課時間2019-09-2411:30:00-12:30:00 知識圖譜全等三角形知識精講一．三角形基本知識1． 三角形三邊關(guān)系（1）三角形任何兩邊的和大于第三邊（2）三角形三邊關(guān)系定理的推論：三角形任何兩邊之差小于第三邊．即、、三條線段可組成三角形兩條較小的線段之和大于最大的線段．2．三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于．推論1：直角三角形的兩個銳角互余．推論2：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．推論3：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角．3．三角形的外角三角形的外角與相鄰的內(nèi)角互為鄰補角，因為每個內(nèi)角均有兩個鄰補角，因此三角形共有六個外角，其中有三個與另外三個相等．每個頂點處的兩個外角是相等的．4．三角形角平分線相關(guān)結(jié)論：（1）兩條內(nèi)角平分線相交（如圖1）結(jié)論：（2）兩條外角平分線相交（如圖2）結(jié)論：（3）內(nèi)角平分線與外角平分線相交（如圖3）結(jié)論：二．全等三角形的性質(zhì)和判定1．全等三角形的判定方法：（1）邊角邊定理(SAS)：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（2）角邊角定理(ASA)：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（3）邊邊邊定理(SSS)：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（4）角角邊定理(AAS)：兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（5）斜邊、直角邊定理(HL)：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．2．角平分線的性質(zhì)（1）角平分線上的點到角兩邊的距離相等；（2）角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．3．全等三角形中的輔助線（1）倍長中線構(gòu)造全等（2）角平分線構(gòu)造全等三．等腰/等邊三角形性質(zhì)和判定1．等腰三角形的性質(zhì)和判定（1）等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．性質(zhì)3：等腰三角形底邊上任意一點到兩腰距離之和等于一腰上的高．（2）等腰三角形的判定判定1：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）；判定2：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形；2．等邊三角形的性質(zhì)和判定（1）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于．（2）等邊三角形判定判定1：如果一個三角形的三個角都相等，那么它是等邊三角形．判定2：有一個角是的等腰三角形是等邊三角形．3．直角三角形性質(zhì)定理在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．方法點撥1．對于三角形中角度的計算，常常利用添加不同輔助線的辦法，把大角劃為小角，或把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，從而挖掘或聯(lián)系相關(guān)性質(zhì)解題．三角形或者星形中常見輔助線的作法如下：三點剖析一．考點：三角形三邊關(guān)系，全等三角形的性質(zhì)及判定，等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)和判定二．重難點：全等三角形的性質(zhì)及判定，等腰/等邊三角形的性質(zhì)和判定三．易錯點：1．全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角不正確；2．三角形三邊關(guān)系應(yīng)用不正確．三角形基本知識例題例題1、方程x2-9x+18=0的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個三角形的周長為（）A.12B.12或15C.15D.不能確定例題2、正三角形△ABC的邊長為3，依次在邊AB、BC、CA上取點A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，則△A1B1C1的面積是（）A.B.C.D.例題3、中，，AE平分，，CG是外角的平分線，若，則__________AABCDEFG例題4、在中，平分，點為直線上一動點，于點（1）如圖1，當(dāng)，，點與點重合時，；（2）如圖2，當(dāng)點在延長線時，求證：；（3）如圖3，當(dāng)點在邊所示位置時，請直接寫出與，等量關(guān)系式.隨練隨練1、如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，對角線AC，BD相交于點O，則OA的取值范圍是（）A.2cm＜OA＜5cmB.2cm＜OA＜8cmC.1cm＜OA＜4cmD.3cm＜OA＜8cm隨練2、(2013初二上期中第二十中學(xué))如圖，△ABC中，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分線與AD相交于點P，連結(jié)PC，若△ABC的面積為，則△BPC的面積為（）AAPBDCA.B.C.D.隨練3、如圖，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點E，則∠AEC=____°．隨練4、在中，BD，CE是它的兩條角平分線，且BD，CE相交于點M，于點N．將記為，記為，記為．（1）如圖1，若，，則__________°，___________°；（2）如圖2，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）若，，用含和的代數(shù)式表示的度數(shù)．（直接寫出結(jié)果即可）全等三角形的性質(zhì)和判定例題例題1、已知，如圖，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是線段BC、CD上的點，且．求證：例題2、如圖，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分別是PA，PB，AB上的點，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，則∠P的度數(shù)為（）A.44°B.66°C.88°D.92°例題3、如圖：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，給出以下五個結(jié)論：①AE=CF；②∠APE=∠CPF；③△EPF是等腰直角三角形；④EF=AP；⑤S四邊形AEPF=S△ABC．當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時（點E不與A，B重合），上述結(jié)論中始終正確的序號有____．例題4、如圖，已知△ABC三個內(nèi)角的平分線交于點O，點D在CA的延長線上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，則∠BCA的度數(shù)為____．例題5、數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分線CF于點F，求證：AE=EF．經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點M，連接ME，則AM=EC，易證△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進一步的研究：（1）小穎提出：如圖2，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B，C外）的任意一點”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；（2）小華提出：如圖3，點E是BC的延長線上（除C點外）的任意一點，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立．你認為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由．例題6、已知△ABC是等邊三角形，E是AC邊上一點，F(xiàn)是BC邊延長線上一點，且，連接BE、EF．（1）如圖1，若E是AC邊的中點，猜想BE與EF的數(shù)量關(guān)系為________．（2）如圖2，若E是線段AC上的任意一點，其它條件不變，上述線段BE、EF的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，寫出你的猜想并加以證明．（3）如圖3，若E是線段AC延長線上的任意一點，其它條件不變，上述線段BE、EF的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，寫出你的猜想并加以證明隨練隨練1、如圖，矩形ABCD中，E為CD的中點，連接AE并延長交BC的延長線于點F，連接BD、DF，則圖中全等的直角三角形共有____A.3對B.4對C.5對D.6對隨練2、已知：在△AOB和△COD中，，．（1）如圖①，若，求證：①；②．（2）如圖②，若，則AC與BD間的等量關(guān)系式為______________，∠APB的大小為___________（直接寫出結(jié)果，不證明）隨練3、已知，點P是直角三角形ABC斜邊AB上一動點（不與A，B重合），分別過A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，Q為斜邊AB的中點．（1）如圖1，當(dāng)點P與點Q重合時，AE與BF的位置關(guān)系是____，QE與QF的數(shù)量關(guān)系式____；（2）如圖2，當(dāng)點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（3）如圖3，當(dāng)點P在線段BA（或AB）的延長線上時，此時（2）中的結(jié)論是否成立？請畫出圖形并給予證明．等腰三角形和等邊三角形例題例題1、已知等腰△ABC中，AD⊥BC于點D，且AD=BC，則△ABC底角的度數(shù)為（）A.45°B.75°C.45°或15°或75°D.60°例題2、已知等邊三角形的邊長為3，點P為等邊三角形內(nèi)任意一點，則點P到三邊的距離之和為（）A.B.C.D.不能確定例題3、如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點E．在△ABC外有一點F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC．（1）求證：BE=CF；（2）在AB上取一點M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點N，連接ME．求證：①ME⊥BC；②DE=DN．隨練隨練1、如圖，點C是線段AB上的一個動點，△ACD和△BCE是在AB同側(cè)的兩個等邊三角形，DM，EN分別是△ACD和△BCE的高，點C在線段AB上沿著從點A向點B的方向移動（不與點A，B重合），連接DE，得到四邊形DMNE．這個四邊形的面積變化情況為____A.逐漸增大B.逐漸減小C.始終不變D.先增大后變小隨練2、如圖，在第1個△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在邊A1B上任取一點D，延長CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2個△A1A2D；在邊A2D上任取一點E，延長A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3個△A2A3E，…按此做法繼續(xù)下去，則第n個三角形中以An為頂點的內(nèi)角度數(shù)是____A.（）n?75°B.（）n-1?65°C.（）n-1?75°D.（）n?85°隨練3、在△ABC中，，，將線段BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段BD．（1）如圖1，直接寫出的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆唬?）如圖2，，，判斷△ABE的形狀并加以證明；（3）在（2）的條件下，連結(jié)DE，若，求的值．AADBCADBCE全等三角形綜合例題例題1、如圖，過邊長為1的等邊△ABC的邊AB上一點P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點，當(dāng)PA=CQ時，連PQ交AC邊于D，則DE的長為____A.B.C.D.不能確定隨練拓展拓展1、如圖1，M是鐵絲AD的中點，將該鐵絲首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如圖2．則下列說法正確的是____A.點M在AB上B.點M在BC的中點處C.點M在BC上，且距點B較近，距點C較遠D.點M在BC上，且距點C較近，距點B較遠拓展2、如圖，任意四邊形ABCD中，AC和BD相交于點O，把△AOB、△AOD、△COD、△BOC的面積分別記作、、、，則下列各式成立的是（）A.B.C.D.拓展3、如圖，對面積為1的逐次進行以下操作：第一次操作，分別延長、、至、、，使得，，，順次連接、、，得到，記其面積為；第二次操作，分別延，，至，，，使得，，，順次連接，，得到，記其面積為……，按此規(guī)律繼續(xù)下去，可得到，則其面積為_________．第次操作得到，則的面積．拓展4、如圖鋼架中，焊上等長的13根鋼條來加固鋼架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，則∠A的度數(shù)是____．拓展5、問題：如圖1，在△ABC中，BE平分，CE平分．若，則________；若，則_____________．探究：（1）如圖2，在△ABC中，BD、BE三等分，CD、CE三等分．若，則______________；（2）如圖3，在△ABC中，BE平分，CE平分外角．若，則__________；（3）如圖4，在△ABC中，BE平分外角，CE平分外角．若，則___________．拓展6、如圖，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，點O是AB的中點，且AB=，將一塊直角三角板的直角頂點放在點O處，始終保持該直角三角板的兩直角邊分別與AC、BC相交，交點分別為D、E，則CD+CE=（）A.B.C.2D.拓展7、在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1．過點C作直線l∥AB，P為直線l上一點，且AP=AB．則點P到BC所在直線的距離是（）A.1B.1或C.1或D.或拓展8、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，四邊形ABCD是矩形，頂點A、B、C、D的坐標(biāo)分別為（7，0），（7，4），（-4，4），（-4，0），點E（5，0），點P在CB邊上運動，使△OPE為等腰三角形，則滿足條件的點P有____個．拓展9、如圖1，點A是線段BC上一點，△ABD和△ACE都是等邊三角形．（1）連結(jié)BE，CD，求證：BE=CD；（2）如圖2，將△ABD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△AB′D′．①當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為____度時，邊AD′落在AE上；②在①的條件下，延長DD’交CE于點P，連接BD′，CD′．當(dāng)線段AB、AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時，△BDD′與△CPD′全等？并給予證明．拓展10、在中，，點D是射線CB上的一動點（不與點B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作，使，，連接CE．（1）如圖1，當(dāng)點D在線段CB上，且時，那么度；（2）設(shè)，．①如圖2，當(dāng)點D在線段CB上，時，請你探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②如圖3，當(dāng)點D在線段CB的延長線上，時，請將圖3補充完整，并直