高思愛(ài)提分演示（KJ)初中數(shù)學(xué)教師輔導(dǎo)講義[教師版]學(xué)員姓名王曉與 年級(jí)初一輔導(dǎo)科目初中數(shù)學(xué)學(xué)科教師衛(wèi)雅鑫上課時(shí)間2019-09-2411:30:00-12:30:00 知識(shí)圖譜相似三角形（二）知識(shí)精講一．相似三角形的綜合1．線段、周長(zhǎng)、面積問(wèn)題：利用相似多邊形的相似比為線段比（周長(zhǎng)比），面積比為相似比的平方的性質(zhì)求解相似圖形的面積比，周長(zhǎng)比，線段比的問(wèn)題．2．相似與平面直角坐標(biāo)系：在平面直角坐標(biāo)系中，求解與已知三角形相似三角形的坐標(biāo)問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為“邊角邊”或者“角角”來(lái)判定相似問(wèn)題，此類問(wèn)題一般答案不唯一．3．相似與圓：在圓中，相似三角形的出現(xiàn)一般都伴隨著射影定理和切線與割線問(wèn)題，這類題目的問(wèn)題一般為求解長(zhǎng)度問(wèn)題，利用相似三角形的判定模型與性質(zhì)，結(jié)合勾股定理求解．二．相似的應(yīng)用1．利用相似解決一些實(shí)際測(cè)量問(wèn)題（1）測(cè)高（不能直接用皮尺或刻度尺測(cè)量）測(cè)量不能到達(dá)頂部物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成正比例”的原理解決；（2）測(cè)距（不能直接測(cè)量的兩點(diǎn)之間的距離）測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)之間的距離，常構(gòu)造相似三角形解決．2．解相似三角形實(shí)際問(wèn)題的一般步驟（1）審題；（2）構(gòu)建圖形；（3）利用相似解決問(wèn)題三點(diǎn)剖析一．考點(diǎn)：1．相似三角形的綜合；2．相似的應(yīng)用．二．重難點(diǎn)：相似三角形的綜合．相似三角形的綜合例題例題1、如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過(guò)C點(diǎn)的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB．（1）求證：DC為⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為3，AD=4，求AC的長(zhǎng)．【答案】（1）DC為⊙O的切線（2）2【解析】（1）證明：連接OC∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∵AC平分∠DAB∴∠DAC=∠OAC∴∠DAC=∠OCA∴OC∥AD∵AD⊥CD∴OC⊥CD∴直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C；（2）解：連接BC，則∠ACB=90°．∵∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴，∴AC2=AD?AB，∵⊙O的半徑為3，AD=4，∴AB=6，∴AC=2．例題2、已知：如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AC=12cm，BD=16cm．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，直線EF從點(diǎn)D出發(fā)，沿DB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，EF⊥BD，且與AD，BD，CD分別交于點(diǎn)E，Q，F(xiàn)；當(dāng)直線EF停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)．連接PF，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜8）．解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形APFD是平行四邊形？（2）設(shè)四邊形APFE的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時(shí)刻t，使S四邊形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此時(shí)P，E兩點(diǎn)間的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）y=-t2+t+48（3）【解析】（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=8．在Rt△AOB中，AB==10．∵EF⊥BD，∴∠FQD=∠COD=90°．又∵∠FDQ=∠CDO，∴△DFQ∽△DCO．∴=．即=，∴DF=t．∵四邊形APFD是平行四邊形，∴AP=DF．即10-t=t，解這個(gè)方程，得t=．∴當(dāng)t=s時(shí)，四邊形APFD是平行四邊形．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，∵S菱形ABCD=AB?CG=AC?BD，即10?CG=×12×16，∴CG=．∴S梯形APFD=（AP+DF）?CG=（10-t+t）?=t+48．∵△DFQ∽△DCO，∴=．即=，∴QF=t．同理，EQ=t．∴EF=QF+EQ=t．∴S△EFD=EF?QD=×t×t=t2．∴y=（t+48）-t2=-t2+t+48．（3）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥EF于點(diǎn)M，PN⊥BD于點(diǎn)N，若S四邊形APFE：S菱形ABCD=17：40，則-t2+t+48=×96，即5t2-8t-48=0，解這個(gè)方程，得t1=4，t2=-（舍去）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥EF于點(diǎn)M，PN⊥BD于點(diǎn)N，當(dāng)t=4時(shí)，∵△PBN∽△ABO，∴==，即==．∴PN=，BN=．∴EM=EQ-MQ=3-=．PM=BD-BN-DQ=16--4=．在Rt△PME中，PE===（cm）．例題3、在平面直角坐標(biāo)系XOY中，一次函數(shù)y=x+3的圖象是直線l1，l1與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)．直線l2過(guò)點(diǎn)C（a，0）且與直線l1垂直，其中a＞0．點(diǎn)P、Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，其中點(diǎn)P沿射線AB運(yùn)動(dòng)，速度為每秒4個(gè)單位；點(diǎn)Q沿射線AO運(yùn)動(dòng)，速度為每秒5個(gè)單位．（1）寫出A點(diǎn)的坐標(biāo)和AB的長(zhǎng)；（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)了多少秒時(shí)，以點(diǎn)Q為圓心，PQ為半徑的⊙Q與直線l2、y軸都相切，求此時(shí)a的值．【解析】（1）∵一次函數(shù)y=x+3的圖象是直線l1，l1與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，∴y=0時(shí)，x=-4，∴A（-4，0），AO=4，∵圖象與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，3），BO=3，∴AB=5；（2）由題意得：AP=4t，AQ=5t，==t，又∠PAQ=∠OAB，∴△APQ∽△AOB，∴∠APQ=∠AOB=90°，∵點(diǎn)P在l1上，∴⊙Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持與l1相切，①當(dāng)⊙Q在y軸右側(cè)與y軸相切時(shí)，設(shè)l2與⊙Q相切于F，由△APQ∽△AOB，得：∴=，∴PQ=6；故AQ=10，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：=2（秒）；連接QF，則QF=PQ，∵直線l2過(guò)點(diǎn)C（a，0）且與直線l1垂直，F(xiàn)Q⊥l2，∴∠APQ=∠QFC=90°，AP∥FQ，∴∠PAQ=∠FQC，∴△QFC∽△APQ，∴△QFC∽△APQ∽△AOB，得：=，∴=，∴=，∴QC=，∴a=OQ+QC=OC=，②如圖2，當(dāng)⊙Q在y軸的左側(cè)與y軸相切時(shí)，設(shè)l2與⊙Q相切于E，由△APQ∽△AOB得：=，∴PQ=，則AQ=4-=2.5，∴則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：=（秒）；故當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)了2秒或秒時(shí)，以點(diǎn)Q為圓心，PQ為半徑的⊙Q與直線l2、y軸都相切，連接QE，則QE=PQ，∵直線l2過(guò)點(diǎn)C（a，0）且與直線l1垂直，⊙Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持與l1相切于點(diǎn)P，∴∠AOB=90°，∠APQ=90°，∵∠PAO=∠BAO，∴△APQ∽△AOB，同理可得：△QEC∽△APQ∽△AOB得：=，∴=，=，∴QC=，a=QC-OQ=，綜上所述，a的值是：和，隨練隨練1、如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BC=OB，CE是⊙O的切線，切點(diǎn)為D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CE，垂足為E，則CD：DE的值是____A.B.1C.2D.3【答案】C【解析】如圖，連接OD，∵AB是⊙O的直徑，BC=OB，∴OA=OB=BC，∵CE是⊙O的切線，∴OD⊥CE，∵AE⊥CE，∴OD∥AE，∴△COD∽△CAE，∴==，∴=2．故選C．隨練2、如圖，在△ABC中，，以為直徑作圓，交于點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）當(dāng)，時(shí)，求及的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）8；【解析】該題考查的是圓綜合．（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴OD//AC．（2）連結(jié)，∵為直徑，∴，∴，∵，，∴，∴，∵與圓相切，∴，∴，∵，∴，∵，，∴△ADC∽△AFD，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．隨練3、在銳角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE為高，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，連接DE、EF、FD．則以下結(jié)論中一定正確的個(gè)數(shù)有____①EF=FD；②AD：AB=AE：AC；③△DEF是等邊三角形；④BE+CD=BC；⑤當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，BE=DE．A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)【答案】C【解析】①∵BD、CE為高，∴△BEC、△BDC是直角三角形．∵F是BC的中點(diǎn)，∴EF=DF=BC．故正確；②∵∠ADB=∠AEC=90°，∠A公共，∴△ABD∽△ACE，得AD：AB=AE：AC．故正確；③∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．∵F是BC的中點(diǎn)，∴EF=BF，DF=CF．∴∠ABF=∠BEF，∠ACB=∠CDF．∴∠BFE+∠CFD=120°，∠EFD=60°．又EF=FD，∴△DEF是等邊三角形．故正確；④若BE+CD=BC，則可在BC上截取BH=BE，則HC=CD．∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．又∵BH=BE，HC=CD，∴∠BHE+∠CHD=120°，∠EHD=60°．所以存在滿足條件的點(diǎn)，假設(shè)成立，但一般情況不一定成立，故錯(cuò)誤；⑤當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，在Rt△BCE中，BC=BE，在Rt△ABD中，AB=2AD，由B、C、D、E四點(diǎn)共圓可知，△ADE∽△ABC，∴==，即=，∴BE=DE，故正確；故此題選C．隨練4、如圖，一次函數(shù)y=-2x的圖象與二次函數(shù)y=-x2+3x圖象的對(duì)稱軸交于點(diǎn)B．（1）寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)____；（2）已知點(diǎn)P是二次函數(shù)y=-x2+3x圖象在y軸右側(cè)部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將直線y=-2x沿y軸向上平移，分別交x軸、y軸于C、D兩點(diǎn)．若以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)___．【答案】（1）(，-3)（2）（2，2），（，），（，），（，）【解析】（1）∵拋物線y=-x2+3x的對(duì)稱軸為x=-=，∴當(dāng)x=時(shí)，y=-2x=-3，即B點(diǎn)（，-3）；（2）設(shè)D（0，2a），則直線CD解析式為y=-2x+2a，可知C（a，0），即OC：OD=1：2，則OD=2a，OC=a，根據(jù)勾股定理可得：CD=a．以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，當(dāng)∠CDP=90°時(shí)，若PD：DC=OC：OD=1：2，則PD=a，設(shè)P的橫坐標(biāo)是x，則P點(diǎn)縱坐標(biāo)是-x2+3x，根據(jù)題意得：，解得：，則P的坐標(biāo)是：（，），若DC：PD=OC：OD=1：2，同理可以求得P（2，2），當(dāng)∠DCP=90°時(shí)，若PC：DC=OC：OD=1：2，則P（，），若DC：PD=OC：OD=1：2，則P（，）．故答案為：（2，2），（，），（，），（，）．隨練5、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=2x+2的圖象與x軸交于A，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，0），（其中a＞0），直線l過(guò)動(dòng)點(diǎn)M（0，m）（0＜m＜2），且與x軸平行，并與直線AC、BC分別相交于點(diǎn)D、E，P點(diǎn)在y軸上（P點(diǎn)異于C點(diǎn)）滿足PE=CE，直線PD與x軸交于點(diǎn)Q，連接PA．（1）寫出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)0＜m＜1時(shí)，若△PAQ是以P為頂點(diǎn)的倍邊三角形（注：若△HNK滿足HN=2HK，則稱△HNK為以H為頂點(diǎn)的倍邊三角形），求出m的值；（3）當(dāng)1＜m＜2時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)m，使CD?AQ=PQ?DE？若能，求出m的值（用含a的代數(shù)式表示）；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）A（-1，0），C（0，2）；（2）m=；（3）當(dāng)1＜m＜2時(shí)，若a＞1，則存在實(shí)數(shù)m=，使CD?AQ=PQ?DE；若0＜a≤1，則m不存在．【解析】（1）在直線解析式y(tǒng)=2x+2中，當(dāng)y=0時(shí)，x=-1；當(dāng)x=0時(shí)，y=2，∴A（-1，0），C（0，2）；（2）當(dāng)0＜m＜1時(shí)，依題意畫出圖形，如答圖1所示．∵PE=CE，∴直線l是線段PC的垂直平分線，∴MC=MP，又C（0，2），M（0，m），∴P（0，2m-2）；直線l與y=2x+2交于點(diǎn)D，令y=m，則x=，∴D（，m），設(shè)直線DP的解析式為y=kx+b，則有，解得：k=-2，b=2m-2，∴直線DP的解析式為：y=-2x+2m-2．令y=0，得x=m-1，∴Q（m-1，0）．已知△PAQ是以P為頂點(diǎn)的倍邊三角形，由圖可知，PA=2PQ，∴=2，即=2，整理得：（m-1）2=，解得：m=（＞1，不合題意，舍去）或m=，∴m=．（3）當(dāng)1＜m＜2時(shí)，假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使CD?AQ=PQ?DE．依題意畫出圖形，如答圖2所示．由（2）可知，OQ=m-1，OP=2m-2，由勾股定理得：PQ=（m-1）；∵A（-1，0），Q（m-1，0），B（a，0），∴AQ=m，AB=a+1；∵OA=1，OC=2，由勾股定理得：CA=．∵直線l∥x軸，∴△CDE∽△CAB，∴=；又∵CD?AQ=PQ?DE，∴=，∴=，即=，解得：m=．∵1＜m＜2，∴當(dāng)0＜a≤1時(shí)，m≥2，m不存在；當(dāng)a＞1時(shí)，m=．∴當(dāng)1＜m＜2時(shí)，若a＞1，則存在實(shí)數(shù)m=，使CD?AQ=PQ?DE；若0＜a≤1，則m不存在．相似的應(yīng)用例題例題1、如圖，為估算某河的寬度，在河對(duì)岸邊選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取點(diǎn)B，C，D，使得，，點(diǎn)E在BC上，并且點(diǎn)A，E，D在同一條直線上．若測(cè)得，，，則河的寬度AB等于（）AADBECA.B.C.30mD.20m【答案】B【解析】該題考查的是相似三角形的應(yīng)用．∵，，∴△BAE∽△CDE，∴，∵，，，∴，解得：，故答案是B．例題2、如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊，，測(cè)得邊DF離地圖的高度，，則樹高_(dá)____m．AABCDEF【答案】5.5【解析】該題考察的是相似三角形的性質(zhì)．相似圖形中，對(duì)應(yīng)邊成比例．由題得△DEF∽△DCB∴，代入數(shù)據(jù)得∴樹高是例題3、一天晚上，李明和張龍利用燈光下的影子長(zhǎng)來(lái)測(cè)量一路燈CD的高度．如圖，當(dāng)李明走到點(diǎn)A處時(shí)，張龍測(cè)得李明直立時(shí)身高AM與影子長(zhǎng)AE正好相等；接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走，走到點(diǎn)B處時(shí)，李明直立時(shí)身高BN的影子恰好是線段AB，并測(cè)得AB=1.25m，已知李明直立時(shí)的身高為1.75m，求路燈的高CD的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1m）．【答案】6.1【解析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件得到平行線，從而證得相似三角形．根據(jù)AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA得到MA∥CD∥BN，從而得到△ABN∽△ACD，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等列出比例式求解即可．設(shè)CD長(zhǎng)為x米，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA∴MA∥CD∥BN∴EC=CD=x∴△ABN∽△ACD，∴=即=解得：x=6.125≈6.1．經(jīng)檢驗(yàn)，x=6.125是原方程的解，∴路燈高CD約為6.1米．隨練隨練1、某校數(shù)學(xué)興趣小組為測(cè)量學(xué)校旗桿AC的高度，在點(diǎn)F處豎立一根長(zhǎng)為1.5米的標(biāo)桿DF，如圖所示，量出DF的影子EF的長(zhǎng)度為1米，再量出旗桿AC的影子BC的長(zhǎng)度為6米，那么旗桿AC的高度為（）A.6米B.7米C.8.5米D.9米【答案】D【解析】∵=即=，∴AC=6×1.5=9米．故選D．拓展拓展1、如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以每秒cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，將△PQC沿BC翻折，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P′．設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，若四邊形QPCP′為菱形，則t的值為_(kāi)___A.B.2C.2D.3【答案】B【解析】此題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，關(guān)鍵是熟記平行線分線段成比例定理的推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．推出比例式=，再表示出所需要的線段長(zhǎng)代入即可．首先連接PP′交BC于O，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得PP′⊥CQ，可證出PO∥AC，根據(jù)平行線分線段成比例可得=，再表示出AP、AB、CO的長(zhǎng)，代入比例式可以算出t的值．連接PP′交BC于O，∵若四邊形QPCP′為菱形，∴PP′⊥QC，∴∠POQ=90°，∵∠ACB=90°，∴PO∥AC，∴=，∵設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，∴AP=t，QB=t，∴QC=6-t，∴CO=3-，∵AC=CB=6，∠ACB=90°，∴AB=6，∴=，解得：t=2，故選：B．拓展2、如圖，在?ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BG⊥AE，垂足為G，BG=4，則△CEF的周長(zhǎng)為_(kāi)___A.8B.9.5C.10D.11.5【答案】A【解析】本題考查勾股定理、相似三角形的知識(shí)，相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比．本題意在綜合考查平行四邊形、相似三角形、和勾股定理等知識(shí)的掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想的考查．在?ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，可得△ADF是等腰三角形，AD=DF=9；△ABE是等腰三角形，AB=BE=6，所以CF=3；在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，可得AG=2，又△ADF是等腰三角形，BG⊥AE，所以AE=2AG=4，所以△ABE的周長(zhǎng)等于16，又由?ABCD可得△CEF∽△BEA，相似比為1：2，所以△CEF的周長(zhǎng)為8，因此選A．∵在?ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，∴AB∥DC，∠BAF=∠DAF，∴∠BAF=∠F，∴∠DAF=∠F，∴AD=FD，∴△ADF是等腰三角形，同理△ABE是等腰三角形，AD=DF=9；∵AB=BE=6，∴CF=3；∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，可得：AG=2，又BG⊥AE，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周長(zhǎng)等于16，又∵?ABCD∴△CEF∽△BEA，相似比為1：2，∴△CEF的周長(zhǎng)為8．故選A．拓展3、如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線AD交BC于D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AD交AB于E，以AE為直徑作⊙O．（1）求證：點(diǎn)D在⊙O上；（2）求證：BC是⊙O的切線；（3）若AC=6，BC=8，求△BDE的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）【解析】（1）證明：連接OD，∵△ADE是直角三角形，OA=OE，∴OD=OA=OE，∴點(diǎn)D在⊙O上；（2）證明：∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠CAD=∠DAB，∵OD=OA，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴AC∥OD，∴∠C=∠ODB=90°，∴BC是⊙O的切線；（3）在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，∴根據(jù)勾股定理得：AB=10，設(shè)OD=OA=OE=x，則OB=10-x，∵AC∥OD，△ACB∽△ODB，∴==，即=，解得：x=，∴OD=，BE=10-2x=10-=，∵=，即=，∴BD=5，過(guò)E作EH⊥BD，∵EH∥OD，∴△BEH∽△BOD，∴=，即=，∴EH=，∴S△BDE=BD?EH=．拓展4、在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（0，4），點(diǎn)E在OB上，且∠OAE=∠0BA．（Ⅰ）如圖①，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（Ⅱ）如圖②，將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′，連接A′B、BE′．①設(shè)AA′=m，其中0＜m＜2，試用含m的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值時(shí)點(diǎn)E′的坐標(biāo)；②當(dāng)A′B+BE′取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E′的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）①②【解析】本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平移的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．此題難度較大，需要學(xué)生對(duì)知識(shí)有一個(gè)系統(tǒng)的掌握．（Ⅰ）根據(jù)相似三角形△OAE∽△OBA的對(duì)應(yīng)邊成比例得到=，則易求OE=1，所以E（0，1）；（Ⅱ）如圖②，連接EE′．在Rt△A′BO中，勾股定理得到A′B2=（2-m）2+42=m2-4m+20，在Rt△BE′E中，利用勾股定理得到BE′2=E′E2+BE2=m2+9，則A′B2+BE′2=2m2-4m+29=2（m-1）2+27．所以由二次函數(shù)最值的求法知，當(dāng)m=1即點(diǎn)E′的坐標(biāo)是（1，1）時(shí)，A′B2+BE′2取得最小值．（Ⅰ）如圖①，∵點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（0，4），∴OA=2，OB=4．∵∠OAE=∠0BA，∠EOA=∠AOB=90°，∴△OAE∽△OBA，∴=，即=，解得OE=1，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1）；（Ⅱ）①如圖②，連接EE′．由題設(shè)知AA′=m（0＜m＜2），則A′O=2-m．在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，得A′B2=（2-m）2+42=m2-4m+20．∵△A′E′O′是△AEO沿x軸向右平移得到的，∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．∴∠BEE′=90°，EE′=m．又∵BE=OB-OE=3，∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=m2+9，∴A′B2+BE′2=2m2-4m+29=2（m-1）2+27．當(dāng)m=1時(shí)，A′B2+BE′2可以取得最小值，此時(shí)，點(diǎn)E′的坐標(biāo)是（1，1）．②如圖②，過(guò)點(diǎn)A作AB′⊥x，并使AB′=BE=3．易證△AB′A′≌△EBE′，∴B′A′=BE′，∴A′B+BE′=A′B+B′A′．當(dāng)點(diǎn)B、A′、B′在同一條直線上時(shí)，A′B+B′A′最小，即此時(shí)A′B+BE′取得最小值．易證△AB′A′∽△OBA′，∴==，∴=，AO=2，∴AA′=×2=，∴