2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題四十八：與解題方法有關(guān)的閱讀理解典例分析例.（2022吉林中考）下面是王倩同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并補(bǔ)充完整．【作業(yè)】如圖①，直線，與的面積相等嗎？為什么？解：相等．理由如下：設(shè)與之間的距離為，則，．∴．【探究】（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)在，之間時(shí)，設(shè)點(diǎn)，到直線的距離分別為，，則．證明：∵（2）如圖③，當(dāng)點(diǎn)在，之間時(shí)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則．證明：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則，∴．∴．∴．由【探究】（1）可知，∴．（3）如圖④，當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，連接交于點(diǎn)．若點(diǎn)，，所對(duì)應(yīng)的刻度值分別為5，1.5，0，的值為．專題過(guò)關(guān)1.（2022北京中考）下面是證明三角形內(nèi)角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°，已知：如圖，,求證：方法一證明：如圖，過(guò)點(diǎn)A作方法二證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作2.（2022嘉興中考）小惠自編一題：“如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC⊥BD，OB＝OD．求證：四邊形ABCD是菱形”，并將自己的證明過(guò)程與同學(xué)小潔交流．小惠：證明：∵AC⊥BD，OB＝OD，∴AC垂直平分BD．∴AB＝AD，CB＝CD，∴四邊形ABCD是菱形．小潔：這個(gè)題目還缺少條件，需要補(bǔ)充一個(gè)條件才能證明．若贊同小惠的證法，請(qǐng)?jiān)诘谝粋€(gè)方框內(nèi)打“√”；若贊成小潔的說(shuō)法，請(qǐng)你補(bǔ)充一個(gè)條件，并證明．3.（2022樂山中考）華師版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第121頁(yè)習(xí)題19.3第2小題及參考答案．2．如圖，在正方形ABCD中，．求證：．證明：設(shè)CE與DF交于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是正方形，∴，．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．某數(shù)學(xué)興趣小組在完成了以上解答后，決定對(duì)該問(wèn)題進(jìn)一步探究（1）【問(wèn)題探究】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且．試猜想的值，并證明你的猜想．（2）【知識(shí)遷移】如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且．則______．（3）【拓展應(yīng)用】如圖，在四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)E、F分別在線段AB、AD上，且．求的值．4.（2022黃岡中考）問(wèn)題背景：一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個(gè)結(jié)論．如圖1，已知AD是△ABC的角平分線，可證＝．小慧的證明思路是：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，構(gòu)造相似三角形來(lái)證明＝．（1）嘗試證明：請(qǐng)參照小慧提供的思路，利用圖2證明＝；（2）應(yīng)用拓展：如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是邊BC上一點(diǎn)．連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊AB上的E點(diǎn)處．①若AC＝1，AB＝2，求DE的長(zhǎng)；②若BC＝m，∠AED＝，求DE的長(zhǎng)（用含m，的式子表示）．5.（2022西寧中考）八年級(jí)課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：將因式分解．【觀察】經(jīng)過(guò)小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：解法一：原式解法二：原式【感悟】對(duì)項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無(wú)法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）【類比】（1）請(qǐng)用分組分解法將因式分解；【挑戰(zhàn)】（2）請(qǐng)用分組分解法將因式分解；【應(yīng)用】（3）“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，我們利用它驗(yàn)證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a和，斜邊長(zhǎng)是3，小正方形的面積是1．根據(jù)以上信息，先將因式分解，再求值．6.（2022鹽城中考）【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】

小明在練習(xí)簿的橫線上取點(diǎn)O為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加一個(gè)間距畫同心圓，描出了同心圓與橫線的一些交點(diǎn)，如圖1所示，他發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)的位置有一定的規(guī)律．

【提出問(wèn)題】

小明通過(guò)觀察，提出猜想：按此步驟繼續(xù)畫圓描點(diǎn)，所描的點(diǎn)都在某二次函數(shù)圖象上．

【分析問(wèn)題】

小明利用已學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，以圓心O為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的橫線所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)O且垂直于橫線的直線為y軸，相鄰橫線的間距為一個(gè)單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示．當(dāng)所描的點(diǎn)在半徑為5的同心圓上時(shí)，其坐標(biāo)為______．

【解決問(wèn)題】

請(qǐng)幫助小明驗(yàn)證他的猜想是否成立．

【深度思考】

小明繼續(xù)思考：設(shè)點(diǎn)P(0,m)，m為正整數(shù)，以O(shè)P為直徑畫⊙M，是否存在所描的點(diǎn)在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，說(shuō)明理由．7.（2022蘇州中學(xué)三模）閱讀下面材料：在學(xué)習(xí)《圓》這一章時(shí)，老師給同學(xué)們布置了一道尺規(guī)作圖題：尺規(guī)作圖：如圖，過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線.已知：P為⊙O外一點(diǎn).求作：經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的⊙O的切線.小敏的作法如下：如圖，(1)連接OP，作線段OP的垂直平分線MN交OP于點(diǎn)C.(2)以點(diǎn)C為圓心，CO的長(zhǎng)為半徑作圓，交⊙O于A，B兩點(diǎn).(3)作直線PA，PB.所以直線PA，PB就是所求作的切線.老師認(rèn)為小敏的作法正確.請(qǐng)回答：(1)連接OA，OB后，可證∠OAP＝∠OBP＝90°，其依據(jù)是_________.(2)如果⊙O的半徑等于3，點(diǎn)P到切點(diǎn)的距離為4，求點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離.8.（2022周口扶溝二模）在學(xué)完菱形的性質(zhì)和判定后，某數(shù)學(xué)興趣小組嘗試?yán)檬诌叺臄?shù)學(xué)工具——三角板和圓規(guī)作出一個(gè)菱形，且菱形的其中一個(gè)內(nèi)角為60°．下面是他們探究過(guò)程中的部分討論片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．任務(wù)：（1）甲同學(xué)的作法中，判定四邊形ACDE為菱形的依據(jù)是________________________.（2）你認(rèn)為乙同學(xué)作圖得出的四邊形AOCD是有一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由．（3）如圖3，丙同學(xué)模仿甲同學(xué)的方法，用含45°角的直角三角板作出了其中一個(gè)內(nèi)角為45°的菱形ABMN，已知點(diǎn)P是線段MC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AB＝10，當(dāng)∠PAB＝15°時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P到直線MN的距離．9.（2022周口川匯區(qū)一模）下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究問(wèn)題的片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成任務(wù)．題目背景：在中，，，點(diǎn)在上．（1）作圖探討：在外側(cè)，以為邊作；小明：如圖1，分別以，為圓心，以，為半徑畫弧交于點(diǎn)，連接，．則即為所求作的三角形．小軍：如圖2，分別過(guò)，作，的垂線，兩條垂線相交于點(diǎn)，則即為所求作的三角形．選擇填空：小明得出的依據(jù)是，小軍得出的依據(jù)是；（填序號(hào)）①②③④（2）測(cè)量發(fā)現(xiàn)：如圖3，在（1）中的條件下，連接．興趣小組用幾何畫板測(cè)量發(fā)現(xiàn)和的面積相等．為了證明這個(gè)發(fā)現(xiàn)，嘗試延長(zhǎng)線段至點(diǎn)，使，連接．請(qǐng)你完成證明過(guò)程．（3）遷移應(yīng)用：如圖4，已知，，點(diǎn)在上，，，若在射線上存在點(diǎn)，使，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的的長(zhǎng)．10.（2022河南虞城二模）動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題一直是初中幾何的一個(gè)難點(diǎn)，為培養(yǎng)學(xué)生的思維，劉老師采用了觀察、發(fā)現(xiàn)、推測(cè)、驗(yàn)證、拓展的過(guò)程，讓學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)、分析和解決的過(guò)程，逐步培養(yǎng)思維的形成．以下是劉老師對(duì)一道動(dòng)點(diǎn)題的課堂實(shí)錄，請(qǐng)仔細(xì)分析：?jiǎn)栴}情境：如圖，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，過(guò)點(diǎn)B作，點(diǎn)P為斜邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥CP交BD于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)P作交AC于點(diǎn)M，交BD于點(diǎn)N．劉老師：在這個(gè)問(wèn)題情境中，你能初步得到哪些結(jié)論？并說(shuō)明理由．小明：我發(fā)現(xiàn)△PNB也是一個(gè)等腰直角三角形；理由：∵BC⊥BD，∴∠CBD＝90°．∵，∴∠MNB＝90°．∵等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，∠A＝∠ABC＝45°，∴∠ABD＝∠BPN＝45°，∴BN＝PN，…………………①∴△PNB為等腰直角三角形．小紅：我發(fā)現(xiàn)四邊形MNBC是矩形；理由：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC．∵BD⊥BC，∴．∵，∴四邊形MNBC為平行四邊形．…………②∵∠ACB＝90°，∴平行四邊形MNBC為矩形．…………③小亮：我發(fā)現(xiàn)△CMP≌△PNQ；…劉老師：同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)都很好，那么我們能不能按照這樣的發(fā)現(xiàn)思路解決以下任務(wù)呢？任務(wù)：（1）課堂實(shí)錄中①的依據(jù)是______；②的依據(jù)是______；③的依據(jù)是______．（2）小亮的發(fā)現(xiàn)是否正確？若正確，請(qǐng)證明；若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拓展研究：若AC＝BC＝1，當(dāng)△PBQ是等腰三角形時(shí)，直接寫出PC的長(zhǎng)．11.（2022河南永城一模）閱讀材料如圖1，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，小明在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時(shí)，通過(guò)延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接CF，證明△ADE≌△CFE，再證四邊形DBCF是平行四邊形即得證．

（1）類比遷移如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，且AE＝EF，求證：AC＝BF．小明發(fā)現(xiàn)可以類比材料中的思路進(jìn)行證明．證明：如圖2，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)M，使MD＝FD，連接MC，……請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成證明過(guò)程．（2）方法運(yùn)用如圖3，在等邊△ABC中，D是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)），連接AD．把線段CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE．F是線段BE的中點(diǎn)，連接DF，CF．①請(qǐng)你判斷線段DF與AD的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；②若AB＝4，CFCD請(qǐng)直接寫出CF的長(zhǎng)．12.（2022河南桐柏一模）習(xí)過(guò)相似三角形后，劉老師布置了一道思考題．問(wèn)題情境：如圖1，等腰三角形ABC中，，CD為AB邊上的中線，M為CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)E，連接CE，若點(diǎn)N為AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EN，當(dāng)，時(shí)，求EN的最小值．小明在分析這道題時(shí)，發(fā)現(xiàn)思路不明顯，他采用從特殊到一般的方法進(jìn)行探究，以下是他的探究過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成下列任務(wù)．

原題中動(dòng)點(diǎn)較多，小明準(zhǔn)備先從動(dòng)點(diǎn)的條件入手分析：分析一：如圖2，等腰三角形ABC中，，CD為AB邊上的中線，若，點(diǎn)M為CD的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，連接CE，點(diǎn)N為AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EN，探究EN是否存在最小值；過(guò)程：連接AE，∵CD垂直平分AB，，M是CD的中點(diǎn)，∴，，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴，∵，∴≌，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴當(dāng)時(shí)有最小值；分析二：如圖3，等腰三角形ABC中，，CD為AB邊上的中線，若，且M，N分別為CD、CA的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，連接CE，EN，求證：．任務(wù)：（1）小明在分析一中判斷EN的最小值時(shí)運(yùn)用了______原理；（填序號(hào)）①兩點(diǎn)之間線段最短；②垂線段最短；③平行線間距離；④點(diǎn)到圓的距離．（2）請(qǐng)完成分析二的證明；（3）請(qǐng)直接寫出問(wèn)題情境中EN的最小值．13.（2022河南天一大聯(lián)考）定義：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．如圖1，AC為⊙O的切線，點(diǎn)A為切點(diǎn)，AB為⊙O內(nèi)一條弦，∠CAB即為弦切角，（1）古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》是一部不朽的數(shù)學(xué)巨著，全書共13卷，以第1卷的23個(gè)定義、5個(gè)公設(shè)和5個(gè)公理作為基本出發(fā)點(diǎn)，給出了119個(gè)定義和465個(gè)命題及證明．第三卷中命題32一弦切角定理的內(nèi)容是：“弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對(duì)的圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角度數(shù)．”如下給出了弦切角定理不完整的“已知”和“求證”，請(qǐng)補(bǔ)充完整，并寫出“證明”過(guò)程．已知：如圖2，AC為⊙O的切線，點(diǎn)A為切點(diǎn)，AB為⊙O內(nèi)一條弦，點(diǎn)D在⊙O上，連接OA，OB，BD，AD．求證：______．證明：（2）如圖3，AB為⊙O切線，A為切點(diǎn)，點(diǎn)C是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，CD交⊙O于E，連接OE，OC，AE．若AD＝10，AE＝2，求弦CE的長(zhǎng)．14.（2022河南實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）小雯同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問(wèn)題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問(wèn)題變得非常容易．【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】例如：如圖1，在中，，，D是外一點(diǎn)，且，求的度數(shù)．若以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑作輔助圓，如圖2所示，則C，D兩點(diǎn)必在上，是的圓心角，是的圓周角，則（1）．【初步運(yùn)用】（1）如圖3，已知線段和直線l，用直尺和圓規(guī)在l上作出所有的點(diǎn)P，使得（不寫作法，保留作圖痕跡，你作圖過(guò)程中用到哪些數(shù)學(xué)原理？請(qǐng)寫出一條．【問(wèn)題拓展】（2）如圖4，已知矩形，，，M為邊上的點(diǎn)．若滿足的點(diǎn)M恰好有兩個(gè)，則m的取值范圍為_________．15.（2022河南虞城二模）思考題：如圖，正方形中，點(diǎn)P為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)M，的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接，求證：≌．在分析過(guò)程中，小明找不到解題思路，便和同學(xué)們一起討論，以下是討論過(guò)程：小紅：可以得出；理由：連接，點(diǎn)M和點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱，∴，又∵，∴，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．①①小亮：是等腰直角三角形；理由：由小紅的結(jié)論得，∴，，∴；∵，∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②②∴是等腰直角三角形；小明：我好像知道該怎么解決問(wèn)題了．請(qǐng)仔細(xì)閱讀討論過(guò)程，完成下述任務(wù)．任務(wù)：（1）小紅的討論中①的依據(jù)是_______________，小亮的討論中②的依據(jù)是_______________；（2）請(qǐng)幫小明證明≌；拓展研究：（3）若，連接，直接寫出的最小值．16.（2022商丘二模）下圖是小明復(fù)習(xí)全等三角形時(shí)遇到的一個(gè)問(wèn)題并引發(fā)的思考，請(qǐng)幫助小明完成以下學(xué)習(xí)任務(wù)．如圖，OC平分，點(diǎn)P在OC上，M、N分別是OA、OB上點(diǎn)，，求證：．小明的思考：要證明，只需證明即可．證法：如圖1，∵OC平分，∴，又∵，，∴，∴；請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成以下任務(wù)：（1）小明得出的依據(jù)是______（填序號(hào)）．①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL（2）如圖②，在四邊形ABCD中，，的平分線和的平分線交于CD邊上點(diǎn)P，求證：．（3）在（2）的條件下，如圖③，若，，當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角是45°時(shí)，的面積是______．17.（2022三門峽一模）數(shù)學(xué)老師在給同學(xué)們講完下面例題后，告訴同學(xué)們，知道平行線、角平分線和等腰三角形中的任意兩個(gè)條件，可證明第三個(gè)條件成立．如圖，已知，BD平分∠ABC，可證：．

受此啟發(fā)，麗麗想到了另一種用尺規(guī)作角平分線的方法．（1）請(qǐng)你幫她完善下面作圖步驟：已知：如圖，．求作：的平分線OP．作法：①在OA上任取一點(diǎn)C；②在內(nèi)作，使；③在CD上截取______；④作射線OP，射線OP即為所求．

（2）補(bǔ)全上面作圖．（保留作圖痕跡）（3）為了說(shuō)明這一方法的正確性，需要對(duì)其進(jìn)行證明．下面給出了不完整的“已知”，請(qǐng)結(jié)合（2）的圖形將已知補(bǔ)充完整，并寫出證明過(guò)程．已知：如圖，C是邊OA上任意一點(diǎn)，，P是CD上的點(diǎn)，且___=______，作射線OP．求證：OP平分．18.（2022三門峽二模）閱讀材料，并完成相應(yīng)任務(wù)．問(wèn)題背景：在《阿基米德全集》中記述了偉大的古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、物理學(xué)家阿基米德提出的關(guān)于圓的一些問(wèn)題，其中有這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，AB和BC是的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，則從點(diǎn)M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即．（1）如圖2，牛牛同學(xué)嘗試運(yùn)用“截長(zhǎng)法”說(shuō)明“”，于是他在CD上截取，連接MA，MB，ME，MC．請(qǐng)根據(jù)牛牛的思路完成證明過(guò)程；（2）如圖3，在中，，，若，則AE的長(zhǎng)度為_______．19.（2022濮陽(yáng)二模）下面是某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題作的探究活動(dòng)：?jiǎn)栴}：如圖1，已知，，點(diǎn)A在邊上，點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn)，以線段為斜邊作，，（C和O在的兩側(cè)），連接，將線段繞C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接．（1）如圖1，小明同學(xué)得出，他的判斷理由是（）A．B．C．D．（2）如圖2，小穎同學(xué)作于D，她認(rèn)為與存在某種數(shù)量關(guān)系，那么與是否有數(shù)量關(guān)系？如果有數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你寫出與的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；（3）如圖1，小華說(shuō)，當(dāng)，當(dāng)是直角三角形時(shí)，可求出的值，請(qǐng)你直接寫出的值．20.（2022開封一模）閱讀理解：如圖（1），△ABC中，以B為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，與BC和BA分別交于點(diǎn)X，Y再分別以點(diǎn)X，Y為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)D，作射線BD與AC交干點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作交AB于．觀察思考：依據(jù)上述操作可，①∠ABE與∠CBE的大小關(guān)系為_____________；②BF與EF的數(shù)關(guān)系為_____________．拓展延伸：如圖（2）在△ABC中，∠ABC的平分線與三角形外角∠ACG的平分線交于點(diǎn)D，過(guò)D作分別交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，請(qǐng)判斷EF與BF，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．問(wèn)題解決：如圖（3），在中，，，連接BD，將△ABD沿BD折疊，使點(diǎn)A落在直線DC上方的處，當(dāng)△DC是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AB的長(zhǎng)度．21.（2022焦作一模）下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究用不同方法作一條線段的垂直平分線的討論片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù)．小晃：如圖1，（1）分別以A，B為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P；（2）分別作的平分線，交點(diǎn)為E；（3）作直線．直線即為線段的垂直平分線．簡(jiǎn)述作圖理由：由作圖可知，，所以點(diǎn)P在線段的垂直平分線上，，因?yàn)榉謩e是的平分線，所以，所以，所以點(diǎn)E在線段的垂直平分線上，所以是線段的垂直平分線．小航：我認(rèn)為小晃的作圖方法很有創(chuàng)意，但是可以改進(jìn)如下，如圖2，（1）分別以A，B為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P；（2）分別在線段上截取；（3）連接，交點(diǎn)為E；（4）作直線．直線即為線段的垂直平分線．……

任務(wù)：（1）小晃得出點(diǎn)P在線段的垂直平分線上的依據(jù)是__________；（2）小航作圖得到的直線是線段的垂直平分線嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由；（3）如圖3，已知，點(diǎn)C，D分別為射線上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接，交點(diǎn)為E，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．22.（2022河南鄧州一模）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．尺規(guī)作圖起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題，指的是只用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖，并且只允許使用有限次，來(lái)解決不同的平面幾何作圖問(wèn)題，在初中階段，我們學(xué)習(xí)過(guò)五種基本尺規(guī)作圖，并且運(yùn)用基本尺規(guī)作圖方法，結(jié)合圖形性質(zhì)可以作出更多的數(shù)學(xué)圖形．如圖①，在中，，小明用尺規(guī)作底邊BC的垂直平分線的過(guò)程如下：①以點(diǎn)A為圓心，小于AB長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E；②分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P；③作射線AP，則AP垂直平分BC．（1）根據(jù)小明的作圖方法，如圖①，他得出“AP垂直平分BC”的依據(jù)是______；（2）如圖②，已知在四邊形ABCD中，，，求作對(duì)角線BD的垂直平分線，小明只用無(wú)刻度直尺作直線AC，就得到對(duì)角線BD的垂直平分線，請(qǐng)你幫助小明說(shuō)明理由．（3）請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺完成下列作圖（要求：不寫作法及證明，僅保留畫圖痕跡）①如圖③，與是全等的兩個(gè)等邊三角形，且點(diǎn)B，C，D在一條直線上，請(qǐng)作出邊AC的中點(diǎn)F；②如圖④，的四個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)作出對(duì)角線BD的一個(gè)三等分點(diǎn)E．V（4）如圖⑤Rt中，，，，DE垂直平分AB，交邊AB，AC于點(diǎn)D，E，將繞點(diǎn)A自由旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)D、E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別記為、，當(dāng)點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出BE的長(zhǎng)．23.（2022北京密云二模）閱讀材料并解決問(wèn)題：已知：在中，．求作：AB邊上的高線CF．作法：①以點(diǎn)C為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑作弧，交AB邊于點(diǎn)D，連接CD；②分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在BD下方相交于點(diǎn)E；③作射線CE交BD于點(diǎn)F．所以線段CF即為的AB邊的高線．（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連接BE和DE．在和中∴∴∴CE平分∴______⊥______，即CF為的AB邊的高線（______）．（填寫推理的依據(jù)）24.（2022嘉興中考）設(shè)是一個(gè)兩位數(shù)，其中a是十位上的數(shù)字（1≤a≤9）．例如，當(dāng)a＝4時(shí)，表示的兩位數(shù)是45．（1）嘗試：①當(dāng)a＝1時(shí)，152＝225＝1×2×100＋25；②當(dāng)a＝2時(shí)，252＝625＝2×3×100＋25；③當(dāng)a＝3時(shí)，352＝1225＝；……（2）歸納：與100a(a＋1)＋25有怎樣的大小關(guān)系？試說(shuō)明理由．（3）運(yùn)用：若與100a的差為2525，求a的值．25.（2022涼山中考）閱讀材料：材料1：若關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩個(gè)根為x1，x2，則x1＋x2＝，x1x2＝材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，求m2n＋mn2的值．解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，∴m＋n＝1，mn＝－1，則m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問(wèn)題：（1）材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩個(gè)根為x1，x2，則x1＋x2＝；x1x2＝．（2）類比應(yīng)用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩根分別為m、n，求的值．（3）思維拓展：已知實(shí)數(shù)s、t滿足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求值．26.（2022株洲中考）閱讀材料：十六世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家弗朗索瓦·韋達(dá)發(fā)現(xiàn)了一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，可表述為“當(dāng)判別式時(shí)，關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根、有如下關(guān)系：，”．此關(guān)系通常被稱為“韋達(dá)定理”．已知二次函數(shù)．（1）若，，且該二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，求的值；（2）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，該二次函數(shù)的圖象與軸相交于不同的兩點(diǎn)、，其中、，且該二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在矩形的邊上，其對(duì)稱軸與軸、分別交于點(diǎn)、，與軸相交于點(diǎn)，且滿足．①求關(guān)于的一元二次方程的根的判別式的值；②若，令，求的最小值．27.（2022永州中考）已知關(guān)于的函數(shù)．（1）若，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，求該函數(shù)的表達(dá)式和最小值；（2）若，，時(shí)，函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，求的取值范圍．（3）閱讀下面材料：設(shè)，函數(shù)圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，若，兩點(diǎn)均在原點(diǎn)左側(cè)，探究系數(shù)，，應(yīng)滿足的條件，根據(jù)函數(shù)圖像，思考以下三個(gè)方面：①因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以；②因?yàn)椋瑑牲c(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，所以對(duì)應(yīng)圖象上的點(diǎn)在軸上方，即；③上述兩個(gè)條件還不能確保，兩點(diǎn)均在原點(diǎn)左側(cè)，我們可以通過(guò)拋物線的對(duì)稱軸位置來(lái)進(jìn)一步限制拋物線的位置：即需．綜上所述，系數(shù)，，應(yīng)滿足的條件可歸納為：請(qǐng)根據(jù)上面閱讀材料，類比解決下面問(wèn)題：若函數(shù)的圖象在直線的右側(cè)與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．28.（2022山西中考）閱讀與思考下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)小論文，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)一元二次方程根的情況我們知道，一元二次方程的根就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象（稱為拋物線）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．拋物線與x軸的交點(diǎn)有三種情況：有兩個(gè)交點(diǎn)、有一個(gè)交點(diǎn)、無(wú)交點(diǎn)．與此相對(duì)應(yīng)，一元二次方程的根也有三種情況：有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根、無(wú)實(shí)數(shù)根．因此可用拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定一元二次方程根的情況下面根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（，）和一元二次方程根的判別式，分別分和兩種情況進(jìn)行分析：（1）時(shí)，拋物線開口向上．①當(dāng)時(shí)，有．∵，∴頂點(diǎn)縱坐標(biāo)．∴頂點(diǎn)在x軸的下方，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（如圖1）．②當(dāng)時(shí)，有．∵，∴頂點(diǎn)縱坐標(biāo)．∴頂點(diǎn)在x軸上，拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)（如圖2）．∴一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．③當(dāng)時(shí)，……（2）時(shí)，拋物線開口向下．……任務(wù)：（1）上面小論文中的分析過(guò)程，主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是（從下面選項(xiàng)中選出兩個(gè)即可）；A．?dāng)?shù)形結(jié)合B．統(tǒng)計(jì)思想C．分類討論．D．轉(zhuǎn)化思想（2）請(qǐng)參照小論文中當(dāng)時(shí)①②的分析過(guò)程，寫出③中當(dāng)時(shí)，一元二次方程根的情況的分析過(guò)程，并畫出相應(yīng)的示意圖；（3）實(shí)際上，除一元二次方程外，初中數(shù)學(xué)還有一些知識(shí)也可以用函數(shù)觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)，例如：可用函數(shù)觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)一元一次方程的解．請(qǐng)你再舉出一例為29.（2022河南上蔡三模）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．下面是小宇同學(xué)的化簡(jiǎn)過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．解：原式第一步第二步第三步．第四步（1）任務(wù)一：填空：①以上化簡(jiǎn)步驟中，第__________步是約分得到的，約分的依據(jù)是__________；②第__________步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是__________．（2）任務(wù)二：請(qǐng)直接寫出該分式化簡(jiǎn)后的正確結(jié)果，并代入求值．30.（2022開封一模）（2）下面是某同學(xué)解不等式的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．解：去分母，得：第一步去括號(hào)，得：第二步移項(xiàng)，得：第三步合并同類項(xiàng)，得：第四步系數(shù)化為1，得：第五步任務(wù)一：填空：①以上解題過(guò)程中，第一步是依據(jù)____________進(jìn)行變形的．②第____________步開始出現(xiàn)錯(cuò)，這一步錯(cuò)誤的原因是____________．任務(wù)二：請(qǐng)直接寫出該不等式的正確解集：____________．任務(wù)三：根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就解不等式時(shí)需要注意的事項(xiàng)提出一條合理化建議．31.（2022許昌一模）下面是小穎同學(xué)解二元一次方程組的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．解方程組：．解：①，得③，第一步，②③，得，第二步，．第三步，將代入①，得．第四步，所以，原方程組的解為．第五步．填空：（1）這種求解二元一次方程組的方法叫做______．、代入消元法、加減消元法（2）第______步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，具體錯(cuò)誤是______；（3）直接寫出該方程組的正確解：______．32.（2022山西百校聯(lián)考）閱讀下面材料，解答提出的問(wèn)題．德國(guó)著名數(shù)學(xué)家高斯在上小學(xué)時(shí)就已求出計(jì)算公式，其推導(dǎo)方法如下：設(shè)，①則．②由①+②，得，所以，．即．（1）請(qǐng)利用上述公式計(jì)算______．（2）類比上述方法并證明：．（3）若（其中為正整數(shù)），直接寫出的值．33.（2022合肥四十五中三模）先閱讀、觀察、理解，再解答后面的問(wèn)題：第1個(gè)等式：第2個(gè)等式：第3個(gè)等式：（1）依此規(guī)律，猜想：________（直接寫出最后結(jié)果）；（2）依據(jù)上述規(guī)律計(jì)算：．34.（2022合肥六四中三模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：第2個(gè)等式：第3個(gè)等式：第4個(gè)等式：第5個(gè)等式：……按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫出第6個(gè)等式：_______________；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式：___________________（用含n的等式表示），并證明．35.（2022山西侯馬二模）（2）下面是小明同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行分解因式的過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．任務(wù)：①在上述過(guò)程中，第一步所依據(jù)的數(shù)學(xué)公式用字母表示為______；②第四步分解因式的方法是提公因式法，其依據(jù)的運(yùn)算律為______；③第______步出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是______；④分解因式正確的結(jié)果為______．36.（2022大同二模）（2）下面是小明同學(xué)進(jìn)行因式分解的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．因式分解：解：原式第一步第二步第三步任務(wù)一：填空：①以上解題過(guò)程中，第一步進(jìn)行整式乘法用到的是___________公式；②第三步進(jìn)行因式分解用到的方法是___________法．任務(wù)二：同桌互查時(shí)，小明的同桌指出小明因式分解的結(jié)果是錯(cuò)誤的，具體錯(cuò)誤是______________________．任務(wù)三：小組交流的過(guò)程中，大家發(fā)現(xiàn)這個(gè)題可以先用公式法進(jìn)行因式分解，再繼續(xù)完成，請(qǐng)你寫出正確的解答過(guò)程．2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題四十八：與解題方法有關(guān)的閱讀理解典例分析例.（2022吉林中考）下面是王倩同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并補(bǔ)充完整．【作業(yè)】如圖①，直線，與的面積相等嗎？為什么？解：相等．理由如下：設(shè)與之間的距離為，則，．∴．【探究】（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)在，之間時(shí)，設(shè)點(diǎn)，到直線的距離分別為，，則．證明：∵（2）如圖③，當(dāng)點(diǎn)在，之間時(shí)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則．證明：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則，∴．∴．∴．由【探究】（1）可知，∴．（3）如圖④，當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，連接交于點(diǎn)．若點(diǎn)，，所對(duì)應(yīng)的刻度值分別為5，1.5，0，的值為．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式可得，由此即可得證；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，先根據(jù)平行線的判定可得，再根據(jù)相似三角形的判定可證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，然后結(jié)合【探究】（1）的結(jié)論即可得證；（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)相似三角形的判定證出，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形的面積公式可得，，由此即可得出答案．【小問(wèn)1詳解】證明：，，．【小問(wèn)2詳解】證明：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則，．．．由【探究】（1）可知，．【小問(wèn)3詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，，，點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的刻度值分別為5，，0，，，，又，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．專題過(guò)關(guān)1.（2022北京中考）下面是證明三角形內(nèi)角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°，已知：如圖，,求證：方法一證明：如圖，過(guò)點(diǎn)A作方法二證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作【答案】答案見解析【解析】【分析】選擇方法一，過(guò)點(diǎn)作，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到，，再根據(jù)平角的定義，即可得到三角形的內(nèi)角和為．【詳解】證明：過(guò)點(diǎn)作，則，．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）點(diǎn)，，在同一條直線上，．（平角的定義）．即三角形的內(nèi)角和為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2.（2022嘉興中考）小惠自編一題：“如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC⊥BD，OB＝OD．求證：四邊形ABCD是菱形”，并將自己的證明過(guò)程與同學(xué)小潔交流．小惠：證明：∵AC⊥BD，OB＝OD，∴AC垂直平分BD．∴AB＝AD，CB＝CD，∴四邊形ABCD是菱形．小潔：這個(gè)題目還缺少條件，需要補(bǔ)充一個(gè)條件才能證明．若贊同小惠的證法，請(qǐng)?jiān)诘谝粋€(gè)方框內(nèi)打“√”；若贊成小潔的說(shuō)法，請(qǐng)你補(bǔ)充一個(gè)條件，并證明．【答案】贊成小潔的說(shuō)法，補(bǔ)充證明見解析【解析】【分析】先由OB＝OD，證明四邊形是平行四邊形，再利用對(duì)角線互相垂直，從而可得結(jié)論．【詳解】解：贊成小潔的說(shuō)法，補(bǔ)充證明：∵OB＝OD，四邊形是平行四邊形，AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定，菱形的判定，掌握“菱形的判定方法”是解本題的關(guān)鍵．3.（2022樂山中考）華師版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第121頁(yè)習(xí)題19.3第2小題及參考答案．2．如圖，在正方形ABCD中，．求證：．證明：設(shè)CE與DF交于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是正方形，∴，．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．某數(shù)學(xué)興趣小組在完成了以上解答后，決定對(duì)該問(wèn)題進(jìn)一步探究（1）【問(wèn)題探究】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且．試猜想的值，并證明你的猜想．（2）【知識(shí)遷移】如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且．則______．（3）【拓展應(yīng)用】如圖，在四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)E、F分別在線段AB、AD上，且．求的值．【答案】（1）1；證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作AN∥EG交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，利用正方形ABCD，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°求證△ABM≌△ADN即可．（2）過(guò)點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作AN∥EC交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，利用在矩形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，求證△ABM∽△ADN．再根據(jù)其對(duì)應(yīng)邊成比例，將已知數(shù)值代入即可．（3）先證是等邊三角形，設(shè)，過(guò)點(diǎn)，垂足為，交于點(diǎn)，則，在中，利用勾股定理求得的長(zhǎng)，然后證，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例即可求解．【小問(wèn)1詳解】，理由為：過(guò)點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作AN∥EG交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形AMFH是平行四邊形，四邊形AEGN是平行四邊形，

∴AM＝HF，AN＝EG，

在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°

∵EG⊥FH，

∴∠NAM＝90°，

∴∠BAM＝∠DAN，

在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN

∴△ABM≌△ADN

∴AM＝AN，即EG＝FH，∴；【小問(wèn)2詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作AN∥EC交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形AMFH是平行四邊形，四邊形AEGN是平行四邊形，

∴AM＝HF，AN＝EG，在矩形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，

∵EG⊥FH，

∴∠NAM＝90°，

∴∠BAM＝∠DAN．

∴△ABM∽△ADN，∴，

∵，，AM＝HF，AN＝EG，

∴，∴；故答案為：【小問(wèn)3詳解】解：∵，，∴是等邊三角形，∴設(shè)，過(guò)點(diǎn)，垂足為，交于點(diǎn)，則，在中，，∵，，∴，，又∵，∴，∵，，∴，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合性較強(qiáng)，難度較大，是一道難題．4.（2022黃岡中考）問(wèn)題背景：一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個(gè)結(jié)論．如圖1，已知AD是△ABC的角平分線，可證＝．小慧的證明思路是：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，構(gòu)造相似三角形來(lái)證明＝．（1）嘗試證明：請(qǐng)參照小慧提供的思路，利用圖2證明＝；（2）應(yīng)用拓展：如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是邊BC上一點(diǎn)．連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊AB上的E點(diǎn)處．①若AC＝1，AB＝2，求DE的長(zhǎng)；②若BC＝m，∠AED＝，求DE的長(zhǎng)（用含m，的式子表示）．【答案】（1）詳見解析（2）①DE=；②【解析】【分析】（1）利用AB∥CE，可證得，即，由AD平分∠BAC，可知AC=EC，即可證得結(jié)果；（2）利用（1）中的結(jié)論進(jìn)行求解表示即可．【小問(wèn)1詳解】解：∵AB∥CE，∴∠BAD=∠DEC，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠CAD=∠DEC，∴AC=EC，∵∠BDA=∠CDE，∴，∴，即，∴；【小問(wèn)2詳解】①由折疊可知，AD平分∠BAC，CD=DE，由（1）得，，∵AC＝1，AB＝2，∴，∴，解得：CD=，∴DE=CD=；②由折疊可知∠AED＝∠C=，∴，由①可知，∴，∴，即：．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是相似三角形的綜合運(yùn)用，靈活轉(zhuǎn)化比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5.（2022西寧中考）八年級(jí)課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：將因式分解．【觀察】經(jīng)過(guò)小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：解法一：原式解法二：原式【感悟】對(duì)項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無(wú)法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）【類比】（1）請(qǐng)用分組分解法將因式分解；【挑戰(zhàn)】（2）請(qǐng)用分組分解法將因式分解；【應(yīng)用】（3）“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，我們利用它驗(yàn)證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a和，斜邊長(zhǎng)是3，小正方形的面積是1．根據(jù)以上信息，先將因式分解，再求值．【答案】（1）（2）（3），9【解析】【分析】（1）直接將前兩項(xiàng)和后兩項(xiàng)組合，利用平方差公式再提取公因式，進(jìn)而分解因式即可；（2）先分組，利用完全平方公式再提取公因式，進(jìn)而分解因式即可；（3）分組，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面積得到，，整體代入得出答案即可．【小問(wèn)1詳解】解：；【小問(wèn)2詳解】解：；【小問(wèn)3詳解】解：，∴根據(jù)題意得，，∴原式．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分組分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的應(yīng)用，正確分組再運(yùn)用公式法分解因式是解題關(guān)鍵．6.（2022鹽城中考）【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】

小明在練習(xí)簿的橫線上取點(diǎn)O為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加一個(gè)間距畫同心圓，描出了同心圓與橫線的一些交點(diǎn)，如圖1所示，他發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)的位置有一定的規(guī)律．

【提出問(wèn)題】

小明通過(guò)觀察，提出猜想：按此步驟繼續(xù)畫圓描點(diǎn)，所描的點(diǎn)都在某二次函數(shù)圖象上．

【分析問(wèn)題】

小明利用已學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，以圓心O為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的橫線所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)O且垂直于橫線的直線為y軸，相鄰橫線的間距為一個(gè)單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示．當(dāng)所描的點(diǎn)在半徑為5的同心圓上時(shí)，其坐標(biāo)為______．

【解決問(wèn)題】

請(qǐng)幫助小明驗(yàn)證他的猜想是否成立．

【深度思考】

小明繼續(xù)思考：設(shè)點(diǎn)P(0,m)，m為正整數(shù)，以O(shè)P為直徑畫⊙M，是否存在所描的點(diǎn)在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，說(shuō)明理由．27.【答案】(?3,4)或(3,4)

【解析】【分析問(wèn)題】解：根據(jù)題意，可知：所描的點(diǎn)在半徑為5的同心圓上時(shí)，其縱坐標(biāo)y=5?1=4，

∵橫坐標(biāo)x=±52?42=±3，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為(?3,4)或(3,4)．

【解決問(wèn)題】證明：設(shè)所描的點(diǎn)在半徑為n(n為正整數(shù))的同心圓上，則該點(diǎn)的縱坐標(biāo)為(n?1)，

∴該點(diǎn)的橫坐標(biāo)為±n2?(n?1)2=±2n?1，

∴該點(diǎn)的坐標(biāo)為(?2n?1,n?1)或(2n?1,n?1)．

∵(±2n?1)2=2n?1，n?1=2n?1?12，

∴該點(diǎn)在二次函數(shù)y=12(x2?1)=12x2?12的圖象上，

∴小明的猜想正確．

【深度思考】解：設(shè)該點(diǎn)的坐標(biāo)為(±2n?1,n?1)，⊙M的圓心坐標(biāo)為(0,12m)，

∴(±2n?1?0)2+(n?1?12m)2=12m，

∴m=n2n?1=(n?1+1)2n?1=(n?1)2+2(n?1)+1n?1=n?1+2+1n?1．在學(xué)習(xí)《圓》這一章時(shí)，老師給同學(xué)們布置了一道尺規(guī)作圖題：尺規(guī)作圖：如圖，過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線.已知：P為⊙O外一點(diǎn).求作：經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的⊙O的切線.小敏的作法如下：如圖，(1)連接OP，作線段OP的垂直平分線MN交OP于點(diǎn)C.(2)以點(diǎn)C為圓心，CO的長(zhǎng)為半徑作圓，交⊙O于A，B兩點(diǎn).(3)作直線PA，PB.所以直線PA，PB就是所求作的切線.老師認(rèn)為小敏的作法正確.請(qǐng)回答：(1)連接OA，OB后，可證∠OAP＝∠OBP＝90°，其依據(jù)是_________.(2)如果⊙O的半徑等于3，點(diǎn)P到切點(diǎn)的距離為4，求點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離.【答案】（1）直徑所對(duì)的圓周角是直角；（2）【解析】【分析】（1）直接根據(jù)圓周角定理即可得出∠OAP=∠OBP=90°，由切線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）連接OA,AB交OP于點(diǎn)E,根據(jù)切線的性質(zhì)，可得∠OAP=90°，AE⊥OP,根據(jù)勾股定理求出OP,再根據(jù)等面積法求出AE,即可求出AB.【詳解】（1）解：連接OA，OB后，可證∠OAP=∠OBP=90°，其依據(jù)是：直徑所對(duì)的圓周角是直角；由此可證明直線PA，PB都是⊙O的切線，其依據(jù)是：經(jīng)過(guò)半徑外端，且與半徑垂直的直線是圓的切線．故答案為直徑所對(duì)的圓周角是直角；經(jīng)過(guò)半徑外端，且與半徑垂直的直線是圓的切線．（2）連接OA,AB交OP于點(diǎn)E,因?yàn)镻A是⊙O的切線，所以∠OAP=90°，在直角三角形OAP中，由勾股定理可得:OP=5,因?yàn)锳E⊥OP,所以,所以AE=,所以AB=.【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定以及圓周角定理和直角三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握切線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì).8.（2022周口扶溝二模）在學(xué)完菱形的性質(zhì)和判定后，某數(shù)學(xué)興趣小組嘗試?yán)檬诌叺臄?shù)學(xué)工具——三角板和圓規(guī)作出一個(gè)菱形，且菱形的其中一個(gè)內(nèi)角為60°．下面是他們探究過(guò)程中的部分討論片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．任務(wù)：（1）甲同學(xué)的作法中，判定四邊形ACDE為菱形的依據(jù)是________________________.（2）你認(rèn)為乙同學(xué)作圖得出的四邊形AOCD是有一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由．（3）如圖3，丙同學(xué)模仿甲同學(xué)的方法，用含45°角的直角三角板作出了其中一個(gè)內(nèi)角為45°的菱形ABMN，已知點(diǎn)P是線段MC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AB＝10，當(dāng)∠PAB＝15°時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P到直線MN的距離．【答案】（1）見詳解（2）是；理由見詳解（3）或【解析】【分析】（1）根據(jù)甲同學(xué)的作圖可知AE=ED=DC=AC，四條邊均相等即所畫的為菱形，故可知其判斷依據(jù)為四條邊都相等；（2）解直角三角形得出∠COE＝60°，再證，結(jié)合CD＝OC＝OA，證得四邊形AOCD為平行四邊形，再根據(jù)AO＝OC，判斷平行四邊形AOCD為菱形，且其中一個(gè)內(nèi)角為60°；（3）過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥MN于點(diǎn)Q，則PQ的長(zhǎng)即為點(diǎn)P到直線MN的距離，分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)P在線段MB上時(shí)，根據(jù)∠PAB＝15°，∠ABC＝45°，得到∠APC＝30°，在Rt△APC中，即可求得PC＝AC＝，進(jìn)而求出PM，再在Rt△MPQ中即可求得PQ；②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，同理可求得PQ．【小問(wèn)1詳解】四條邊都相等的四邊形是菱形；【小問(wèn)2詳解】是，理由如下：連接OD，如圖1所示，由題意，可知直線MN垂直平分線段OB，∴CE⊥OB，OE＝OB＝OC，在Rt△OCE中，cos∠COE＝＝，∴∠COE＝60°，∵CD＝OC＝OD，∴△OCD為等邊三角形，∴∠OCD＝60°，∴∠COE＝∠OCD，∴，又∵CD＝OC＝OA，∴四邊形AOCD為平行四邊形，∵AO＝OC，∴平行四邊形AOCD為菱形，且其中一個(gè)內(nèi)角為60°；【小問(wèn)3詳解】或，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥MN于點(diǎn)Q，則PQ的長(zhǎng)即為點(diǎn)P到直線MN的距離，分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)P在線段MB上時(shí)，如解圖2所示，在Rt△ABC中，AB=10，∠ABC=∠BAC=45°，則有BC=AC=AB=，∵∠PAB＝15°，∠ABC＝45°，∴∠APC＝∠ABC－∠PAB＝30°，∴PC＝AC＝，∴PB＝PC－BC＝，∴PM＝MB－PB＝，在Rt△PMQ中，∵∠PMQ＝45°，∴PQ＝PM＝，②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，如解圖3所示，易得∠PAC＝30°，∴PC＝＝，∴PM＝MB＋BC－PC＝，∴PQ＝PM＝，綜上所述，點(diǎn)P到直線MN的距離為或．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，注重分類討論的思想是解答本題的關(guān)鍵．9.（2022周口川匯區(qū)一模）下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究問(wèn)題的片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成任務(wù)．題目背景：在中，，，點(diǎn)在上．（1）作圖探討：在外側(cè)，以為邊作；小明：如圖1，分別以，為圓心，以，為半徑畫弧交于點(diǎn)，連接，．則即為所求作的三角形．小軍：如圖2，分別過(guò)，作，的垂線，兩條垂線相交于點(diǎn)，則即為所求作的三角形．選擇填空：小明得出的依據(jù)是，小軍得出的依據(jù)是；（填序號(hào)）①②③④（2）測(cè)量發(fā)現(xiàn)：如圖3，在（1）中的條件下，連接．興趣小組用幾何畫板測(cè)量發(fā)現(xiàn)和的面積相等．為了證明這個(gè)發(fā)現(xiàn)，嘗試延長(zhǎng)線段至點(diǎn)，使，連接．請(qǐng)你完成證明過(guò)程．（3）遷移應(yīng)用：如圖4，已知，，點(diǎn)在上，，，若在射線上存在點(diǎn)，使，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的的長(zhǎng)．【答案】（1）①；③（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定即可得出結(jié)論；（2）由條件，，，可知，又，得到，，所以，在中，，可得，從而得證；（3）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，由（1）（2）可知，且；根據(jù)，，有，由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可知，結(jié)合，可得，根據(jù)，由得到，所以，然后在和中繼續(xù)利用銳角三角函數(shù)求出和的長(zhǎng)，最后利用即得解．【小問(wèn)1詳解】解：如圖1，分別以B，C為圓心，以AD，CD為半徑畫弧交于點(diǎn)E，連接BE，CE，∴，又∵，在和中，∴（）如圖2，分別過(guò)，作，的垂線，∴，，即，，∵，，∴，，∴，，在和中，∴（）故選：①；③【小問(wèn)2詳解】證明：∵，，，∴，在和中，∴（）∴，即，又∵，∴，∴，又∵在中，，∴，∴．【小問(wèn)3詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，又∵，，∴，，都是，∴，，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，在中，，∴，在中，，∴，又由（1）（2）可知，，∴，∴，∴的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形全等判定與性質(zhì)，三角形的中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)解直角三角形等知識(shí)以及知識(shí)遷移應(yīng)用的能力．通過(guò)作適當(dāng)?shù)妮o助線從而達(dá)到能夠應(yīng)用前面兩問(wèn)的結(jié)論和全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵．10.（2022河南虞城二模）動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題一直是初中幾何的一個(gè)難點(diǎn)，為培養(yǎng)學(xué)生的思維，劉老師采用了觀察、發(fā)現(xiàn)、推測(cè)、驗(yàn)證、拓展的過(guò)程，讓學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)、分析和解決的過(guò)程，逐步培養(yǎng)思維的形成．以下是劉老師對(duì)一道動(dòng)點(diǎn)題的課堂實(shí)錄，請(qǐng)仔細(xì)分析：?jiǎn)栴}情境：如圖，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，過(guò)點(diǎn)B作，點(diǎn)P為斜邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥CP交BD于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)P作交AC于點(diǎn)M，交BD于點(diǎn)N．劉老師：在這個(gè)問(wèn)題情境中，你能初步得到哪些結(jié)論？并說(shuō)明理由．小明：我發(fā)現(xiàn)△PNB也是一個(gè)等腰直角三角形；理由：∵BC⊥BD，∴∠CBD＝90°．∵，∴∠MNB＝90°．∵等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，∠A＝∠ABC＝45°，∴∠ABD＝∠BPN＝45°，∴BN＝PN，…………………①∴△PNB為等腰直角三角形．小紅：我發(fā)現(xiàn)四邊形MNBC是矩形；理由：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC．∵BD⊥BC，∴．∵，∴四邊形MNBC為平行四邊形．…………②∵∠ACB＝90°，∴平行四邊形MNBC為矩形．…………③小亮：我發(fā)現(xiàn)△CMP≌△PNQ；…劉老師：同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)都很好，那么我們能不能按照這樣的發(fā)現(xiàn)思路解決以下任務(wù)呢？任務(wù)：（1）課堂實(shí)錄中①的依據(jù)是______；②的依據(jù)是______；③的依據(jù)是______．（2）小亮的發(fā)現(xiàn)是否正確？若正確，請(qǐng)證明；若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拓展研究：若AC＝BC＝1，當(dāng)△PBQ是等腰三角形時(shí)，直接寫出PC的長(zhǎng)．【答案】（1）等角對(duì)等邊；兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；有一個(gè)角為直角的平行四邊形是矩形（2）正確，證明見解析（3）1或【解析】【分析】（1）根據(jù)題目進(jìn)行解答即可；（2）由矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定進(jìn)行證明即可；（3）分情況討論：①當(dāng)點(diǎn)Q在BC下方②當(dāng)點(diǎn)Q在BC上方，分別求解即可．【小問(wèn)1詳解】等角對(duì)等邊；兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；有一個(gè)角為直角的平行四邊形是矩形；【小問(wèn)2詳解】正確；∵平行四邊形MNBC為矩形，∴MC＝NB，∠CMP＝∠QNP＝90°，∵△PNB為等腰直角三角形，∴NB＝NP，∴MC＝NP．∵PC⊥PQ，∴∠MPC＋∠NPQ＝90°，∵∠MPC＋∠MCP＝90°，∴∠MCP＝∠NPQ，在△MPC和△NQP中，，∴△MPC≌△NQP（ASA）；【小問(wèn)3詳解】1或．分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)Q在BC下方，且PQ＝BQ時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，∴PC＝1；②如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上方，且PB＝BQ時(shí)，設(shè)AM＝PM＝x，則PN＝1－x，∴．∵PM＝QN，即PM＝NQ＝BQ＋NB＝PB＋PN，∴，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定、勾股定理等，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．11.（2022河南永城一模）閱讀材料如圖1，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，小明在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時(shí)，通過(guò)延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接CF，證明△ADE≌△CFE，再證四邊形DBCF是平行四邊形即得證．

（1）類比遷移如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，且AE＝EF，求證：AC＝BF．小明發(fā)現(xiàn)可以類比材料中的思路進(jìn)行證明．證明：如圖2，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)M，使MD＝FD，連接MC，……請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成證明過(guò)程．（2）方法運(yùn)用如圖3，在等邊△ABC中，D是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)），連接AD．把線段CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE．F是線段BE的中點(diǎn)，連接DF，CF．①請(qǐng)你判斷線段DF與AD的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；②若AB＝4，CFCD請(qǐng)直接寫出CF的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析（2）①線段DF與AD的數(shù)量關(guān)系為：AD＝2DF，證明見解析；②CF的長(zhǎng)為1或2【解析】【分析】（1）類比材料，運(yùn)用倍長(zhǎng)中線輔助線作法，證得結(jié)論．（2）①運(yùn)用倍長(zhǎng)中線輔助線作法，結(jié)合三角形全等證明及等邊三角形性質(zhì)，得出結(jié)論．②運(yùn)用分類討論思想，分別求出CF為△BDE的中位線和CF不是△BDE的中位線，兩種情況下，CF的長(zhǎng)．【小問(wèn)1詳解】（1）證明：如圖，延長(zhǎng)AD至M，使MD＝FD，連接MC，

在△BDF和△CDM中，∵，∴△BDF≌△CDM（SAS），∴MC＝BF，∠M＝∠BFM，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA，∵∠EFA＝∠BFM，∴∠M＝∠MAC，∴AC＝MC，∴AC＝BF；【小問(wèn)2詳解】（2）①解：線段DF與AD的數(shù)量關(guān)系為：AD＝2DF，證明如下：延長(zhǎng)DF至點(diǎn)M，使DF＝FM，連接BM、AM，如圖所示：

∵點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，∴BF＝EF，在△BFM和△EFD中，∵，∴△BFM≌△EFD（SAS），∴BM＝DE，∠MBF＝∠DEF，∴BM∥DE，∵線段CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE，∴CD＝DE＝BM，∠BDE＝120°，∴∠MBD＝180°﹣120°＝60°，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ABM＝∠ABC+∠MBD＝60°+60°＝120°，∵∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∴∠ABM＝∠ACD，在△ABM和△ACD中，∵，∴△ABM≌△ACD（SAS），∴AM＝AD，∠BAM＝∠CAD，∴∠MAD＝∠MAC+∠CAD＝∠MAC+∠BAM＝∠BAC＝60°，∴△AMD是等邊三角形，∴AD＝DM＝2DF；②解：CF的長(zhǎng)為1或2．當(dāng)CF為△BDE的中位線時(shí)，CFCDDE，∴C為BD的中點(diǎn)，∴CD＝BC＝4，∴CFCD＝2，如圖，當(dāng)CF不是△BDE的中位線時(shí)，連接CE，取BC的中點(diǎn)N，連接FN，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥CE，過(guò)點(diǎn)G作GI⊥CD于點(diǎn)I，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H，

∵△CDE為等腰三角形，∠CDE＝120°，∴∠DCE＝30°，∴DGCD，CGCE，∵CFCD，∴DG＝CF，∵N為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，∴NF是△BCE的中位線，∴NF∥CE，NFCE＝CG，∴∠CNF＝∠DCE＝30°，∴HFNF，GICG，∴HF＝GI，NH＝CI，∵FC＝GD，∴Rt△FCH≌Rt△GDI（HL），∴CH＝DI，∴NH+CH＝CI+DI，即NC＝CD，∴CD＝2，即CF＝1，綜上所述，CF的長(zhǎng)為1或2．【點(diǎn)睛】本題考查了倍長(zhǎng)中線的輔助線作法，全等三角形的證明及中位線的性質(zhì)，在倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形的基礎(chǔ)上，綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．12.（2022河南桐柏一模）習(xí)過(guò)相似三角形后，劉老師布置了一道思考題．問(wèn)題情境：如圖1，等腰三角形ABC中，，CD為AB邊上的中線，M為CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)E，連接CE，若點(diǎn)N為AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EN，當(dāng)，時(shí)，求EN的最小值．小明在分析這道題時(shí)，發(fā)現(xiàn)思路不明顯，他采用從特殊到一般的方法進(jìn)行探究，以下是他的探究過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成下列任務(wù)．

原題中動(dòng)點(diǎn)較多，小明準(zhǔn)備先從動(dòng)點(diǎn)的條件入手分析：分析一：如圖2，等腰三角形ABC中，，CD為AB邊上的中線，若，點(diǎn)M為CD的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，連接CE，點(diǎn)N為AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EN，探究EN是否存在最小值；過(guò)程：連接AE，∵CD垂直平分AB，，M是CD的中點(diǎn)，∴，，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴，∵，∴≌，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴當(dāng)時(shí)有最小值；分析二：如圖3，等腰三角形ABC中，，CD為AB邊上的中線，若，且M，N分別為CD、CA的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，連接CE，EN，求證：．任務(wù)：（1）小明在分析一中判斷EN的最小值時(shí)運(yùn)用了______原理；（填序號(hào)）①兩點(diǎn)之間線段最短；②垂線段最短；③平行線間距離；④點(diǎn)到圓的距離．（2）請(qǐng)完成分析二的證明；（3）請(qǐng)直接寫出問(wèn)題情境中EN的最小值．【答案】（1）②（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）由分析一的證明過(guò)程即可求解；（2）連接AE，證明∽，得到，再得到，證明∽，得到，證明，再利用三線合一即可證明；（3）當(dāng)時(shí)EN的長(zhǎng)最短，由點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，一直等于90°，故點(diǎn)E可看成在以BD為直徑，O為圓心的內(nèi)部的圓周上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作交于點(diǎn)，交AC于點(diǎn)，此時(shí)即為所求EN的最小值，根據(jù)解直角三角形的方法求出的長(zhǎng)，故可求解．【小問(wèn)1詳解】由分析一知當(dāng)時(shí)有最小值，即垂線段最短，故填②；【小問(wèn)2詳解】接AE，∵CD垂直平分AB，，∴．∵，，∴，∴∽，∴，∵D，M分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴BD=AB，DM=CD∴，∴，∵，∴∽，∴，∴，∴，∵N是AC的中點(diǎn)，∴．

【小問(wèn)3詳解】求EN的最小值，即為時(shí)EN的長(zhǎng)．在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，一直等于90°，∴點(diǎn)E可看成在以BD為直徑，O為圓心的內(nèi)部的圓周上的動(dòng)點(diǎn)，如圖所示．過(guò)點(diǎn)O作交于點(diǎn)，交AC于點(diǎn)，此時(shí)即為所求EN的最小值．∵，，CD垂直平分AB，∴，，∴，∴，∴，∴，∴EN的最小值為．

【點(diǎn)睛】此題主要考查圓與幾何綜合，解題的關(guān)鍵是熟知等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形與相似三角形的判定與性質(zhì)、圓的性質(zhì)、解直角三角形的方法．13.（2022河南天一大聯(lián)考）定義：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．如圖1，AC為⊙O的切線，點(diǎn)A為切點(diǎn)，AB為⊙O內(nèi)一條弦，∠CAB即為弦切角，（1）古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》是一部不朽的數(shù)學(xué)巨著，全書共13卷，以第1卷的23個(gè)定義、5個(gè)公設(shè)和5個(gè)公理作為基本出發(fā)點(diǎn)，給出了119個(gè)定義和465個(gè)命題及證明．第三卷中命題32一弦切角定理的內(nèi)容是：“弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對(duì)的圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角度數(shù)．”如下給出了弦切角定理不完整的“已知”和“求證”，請(qǐng)補(bǔ)充完整，并寫出“證明”過(guò)程．已知：如圖2，AC為⊙O的切線，點(diǎn)A為切點(diǎn)，AB為⊙O內(nèi)一條弦，點(diǎn)D在⊙O上，連接OA，OB，BD，AD．求證：______．證明：（2）如圖3，AB為⊙O切線，A為切點(diǎn)，點(diǎn)C是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，CD交⊙O于E，連接OE，OC，AE．若AD＝10，AE＝2，求弦CE的長(zhǎng)．【答案】（1），證明見解析（2）弦CE的長(zhǎng)為21【解析】【分析】（1）過(guò)點(diǎn)，作，根據(jù)垂徑定理和圓周角定理可得，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，即可得，進(jìn)而即可證明；（2）過(guò)點(diǎn)作，勾股定理的長(zhǎng)，在中，勾股定理求得，進(jìn)而即可求得的長(zhǎng)．【小問(wèn)1詳解】求證：證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作，，，，，是的切線，，，，【小問(wèn)2詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作，AB為⊙O的切線，CD⊥AB，四邊形是矩形，，在中，設(shè)圓的半徑為，則，在中，即解得【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理以及切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14.（2022河南實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）小雯同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問(wèn)題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問(wèn)題變得非常容易．【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】例如：如圖1，在中，，，D是外一點(diǎn)，且，求的度數(shù)．若以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑作輔助圓，如圖2所示，則C，D兩點(diǎn)必在上，是的圓心角，是的圓周角，則（1）．【初步運(yùn)用】（1）如圖3，已知線段和直線l，用直尺和圓規(guī)在l上作出所有的點(diǎn)P，使得（不寫作法，保留作圖痕跡，你作圖過(guò)程中用到哪些數(shù)學(xué)原理？請(qǐng)寫出一條．【問(wèn)題拓展】（2）如圖4，已知矩形，，，M為邊上的點(diǎn)．若滿足的點(diǎn)M恰好有兩個(gè)，則m的取值范圍為_________．【22題答案】【答案】（1）45；作圖見解析，原理為圓周角定理，即一條弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半；（2）【解析】【分析】（1）由圓周角定理即可得到答案；先作等邊三角形，在以點(diǎn)O圓心，以O(shè)A為半徑作圓，由圓周角定理作圖即可；（2）在BC上截取BF=BA=2，連接AF，以AF為直徑作圓O，交AD于點(diǎn)E，連接EF，過(guò)點(diǎn)O作交EF于點(diǎn)H，交圓O于點(diǎn)G，，過(guò)點(diǎn)G作KQ⊥BC交BC于點(diǎn)Q，交AD于點(diǎn)K，故四邊形EFQK是矩形，由圖形可知，由勾股定理求出BF、BQ的長(zhǎng)，代入計(jì)算即可．小問(wèn)1詳解】，以點(diǎn)A為圓心，點(diǎn)B、C、D必在上是的圓心角，是的圓周角故答案為：45；作圖如下：數(shù)學(xué)原理：圓周角定理，即一條弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半；【小問(wèn)2詳解】如圖，在BC上截取BF=BA=2，連接AF，以AF為直徑作圓O，交AD于點(diǎn)E，連接EF，過(guò)點(diǎn)O作交EF于點(diǎn)H，交圓O于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作KQ⊥BC交BC于點(diǎn)Q，交AD于點(diǎn)K，故四邊形EFQK是矩形的半徑為，即即解得故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是圓綜合題目，考查了圓周角定理、作圖、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．15.（2022河南虞城二模）思考題：如圖，正方形中，點(diǎn)P為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)M，的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接，求證：≌．在分析過(guò)程中，小明找不到解題思路，便和同學(xué)們一起討論，以下是討論過(guò)程：小紅：可以得出；理由：連接，點(diǎn)M和點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱，∴，又∵，∴，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．①①小亮：是等腰直角三角形；理由：由小紅的結(jié)論得，∴，，∴；∵，∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②②∴是等腰直角三角形；小明：我好像知道該怎么解決問(wèn)題了．請(qǐng)仔細(xì)閱讀討論過(guò)程，完成下述任務(wù)．任務(wù)：（1）小紅的討論中①的依據(jù)是_______________，小亮的討論中②的依據(jù)是_______________；（2）請(qǐng)幫小明證明≌；拓展研究：（3）若，連接，直接寫出的最小值．【答案】（1）等腰三角形的三線合一；兩直線平行，同位角相等；（2）證明見解析；（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和平行線性質(zhì)求解即可；（2）由小紅的證明方法可證得，小亮的證明方法可證得是等腰直角三角形，再由正方形的邊相等，可得AD=CD，同角的余角相等，即可證明；（3）由圓周角所對(duì)的弦是直徑可知：點(diǎn)E在以為直徑的⊙上運(yùn)動(dòng)，求的最小值為求點(diǎn)A到⊙的最小距離，則可知當(dāng)點(diǎn)A，E，O在同一直線上時(shí)，最小，再用勾股定理即可求解．【小問(wèn)1詳解】證明：連接，點(diǎn)M和點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱，∴，又∵，∴，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴（等腰三角形三線合一）；由小紅的結(jié)論得，∴，，∴，∵，∴，（兩直線平行，同位角相等）故小紅的討論中①的依據(jù)是等腰三角形的三線合一，小亮的討論中②的依據(jù)是兩直線平行，同位角相等；【小問(wèn)2詳解】證明：在正方形中，，，連接，由點(diǎn)B與點(diǎn)M關(guān)于對(duì)稱知，又∵，∴．∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，又∵，∴，由點(diǎn)B與點(diǎn)M關(guān)于對(duì)稱及為等腰三角形，且為頂角平分線知：，則，又∵，∴，∴，由，，知≌；【小問(wèn)3詳解】如圖：在正方形中，，，∴點(diǎn)E在以為直徑的⊙上運(yùn)動(dòng)，求的最小值為求點(diǎn)A到⊙O的最小距離，當(dāng)點(diǎn)A，E，O在同一直線上時(shí)，最小，，．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓的相關(guān)性質(zhì)，圓周角所對(duì)的弦是直徑，勾股定理等知識(shí)，綜合掌握和運(yùn)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．16.（2022商丘二模）下圖是小明復(fù)習(xí)全等三角形時(shí)遇到的一個(gè)問(wèn)題并引發(fā)的思考，請(qǐng)幫助小明完成以下學(xué)習(xí)任務(wù)．如圖，OC平分，點(diǎn)P在OC上，M、N分別是OA、OB上點(diǎn)，，求證：．小明的思考：要證明，只需證明即可．證法：如圖1，∵OC平分，∴，又∵，，∴，∴；請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成以下任務(wù)：（1）小明得出的依據(jù)是______（填序號(hào)）．①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL（2）如圖②，在四邊形ABCD中，，的平分線和的平分線交于CD邊上點(diǎn)P，求證：．（3）在（2）的條件下，如圖③，若，，當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角是45°時(shí)，的面積是______．【答案】（1）②（2）見解析（3）8或【解析】【分析】（1）根據(jù)全等三角形判定定理即可選擇；（2）在AB上取點(diǎn)E，使得，連接PE，證明，，即可證明；（3）求出AP，BP長(zhǎng)，則可知分和兩種情況討論即可．【小問(wèn)1詳解】由題意可知，其證明全等的是兩邊及夾角，即：SAS，故選②；【小問(wèn)2詳解】在AB上取點(diǎn)E，使得，連接PE，∵AP平分，∴，又，，，，，，，，∵BP平分，，又，，，；【小問(wèn)3詳解】由（2）可知：，，，，，，，即：，，，，設(shè)，，，，，，，，，有一個(gè)內(nèi)角是45°，則分如下兩種：①，此時(shí)過(guò)點(diǎn)C作于F，過(guò)點(diǎn)D作于G，，，,，，設(shè)，由（2）可知：，，，解得：，；②，如下圖：延長(zhǎng)AP、BC交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)P作于M，，，∵的平分線和的平分線交于CD邊上點(diǎn)P，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，；故的面積是8或．故答案為：8或．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理以及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，綜合掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．17.（2022三門峽一模）數(shù)學(xué)老師在給同學(xué)們講完下面例題后，告訴同學(xué)們，知道平行線、角平分線和等腰三角形中的任意兩個(gè)條件，可證明第三個(gè)條件成立．如圖，已知，BD平分∠ABC，可證：．

受此啟發(fā)，麗麗想到了另一種用尺規(guī)作角平分線的方法．（1）請(qǐng)你幫她完善下面作圖步驟：已知：如圖，．求作：的平分線OP．作法：①在OA上任取一點(diǎn)C；②在內(nèi)作，使；③在CD上截取______；④作射線OP，射線OP即為所求．

（2）補(bǔ)全上面作圖．（保留作圖痕跡）（3）為了說(shuō)明這一方法的正確性，需要對(duì)其進(jìn)行證明．下面給出了不完整的“已知”，請(qǐng)結(jié)合（2）的圖形將已知補(bǔ)充完整，并寫出證明過(guò)程．已知：如圖，C是邊OA上任意一點(diǎn)，，P是CD上的點(diǎn)，且___=______，作射線OP．求證：OP平分．【答案】（1）CO（2）見解析（3）CP，CO，證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合等腰三角形等邊對(duì)等角即可填空；（2）根據(jù)作法補(bǔ)全作圖即可；（3）由（1）作法即可填空．根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)即可求證OP平分∠AOB．【小問(wèn)1詳解】解：根據(jù)題意結(jié)合等腰三角形等邊對(duì)等角即可知該空填CO．故答案為：CO；【小問(wèn)2詳解】如圖，即為補(bǔ)全的圖形；

【小問(wèn)3詳解】CP，CO證明：∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴平分．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線的定義等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．18.（2022三門峽二模）閱讀材料，并完成相應(yīng)任務(wù)．問(wèn)題背景：在《阿基米德全集》中記述了偉大的古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、物理學(xué)家阿基米德提出的關(guān)于圓的一些問(wèn)題，其中有這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，AB和BC是的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，則從點(diǎn)M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即．（1）如圖2，牛牛同學(xué)嘗試運(yùn)用“截長(zhǎng)法”說(shuō)明“”，于是他在CD上截取，連接MA，MB，ME，MC．請(qǐng)根據(jù)牛牛的思路完成證明過(guò)程；（2）如圖3，在中，，，若，則AE的長(zhǎng)度為_______．【答案】（1）見詳解（2）2【解析】【分析】（1）正確解讀題意，證