函數(shù)的概念知識點1函數(shù)的概念1．函數(shù)的定義設是非空的實數(shù)集,如果對于集合中的任意一個數(shù),按照某種確定的對應關(guān)系,在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應,那么就稱為從集合到集合的一個函數(shù),記作.2．函數(shù)的定義域與值域函數(shù)中,叫做自變量,x的取值范圍叫做函數(shù)的定義域,與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．顯然,值域是集合的子集．3．對應關(guān)系除解析式、圖象表格外,還有其他表示對應關(guān)系的方法,引進符號統(tǒng)一表示對應關(guān)系．注意：（1）當為非空數(shù)集時,符號“”表示到的一個函數(shù)．（2）集合中的數(shù)具有任意性,集合中的數(shù)具有唯一性．（3）符號“”它表示對應關(guān)系,在不同的函數(shù)中的具體含義不一樣．知識點2同一個函數(shù)1．函數(shù)三要素由函數(shù)的定義可知,一個函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應關(guān)系和值域．2．相同函數(shù)值域是由定義域和對應關(guān)系決定的,如果兩個函數(shù)的定義域和對應關(guān)系相同,我們就稱這兩個函數(shù)是同一函數(shù)．兩個函數(shù)如果僅對應關(guān)系相同,但定義域不同,則它們不是相同的函數(shù)．知識點3區(qū)間1．區(qū)間的概念(為實數(shù),且)定義名稱符號數(shù)軸表示閉區(qū)間開區(qū)間半閉半開區(qū)間半開半閉區(qū)間2．其他區(qū)間的表示定義符號知識點4常見函數(shù)的定義域和值域函數(shù)函數(shù)關(guān)系式定義域值域正比例函數(shù)反比例函數(shù)一次函數(shù)二次函數(shù)題型一 函數(shù)關(guān)系的判斷1．下列四種說法中，不正確的是（填序號）．①在函數(shù)值域中的每一個數(shù)，在定義域中都至少有一個數(shù)與之對應；②函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合；③定義域和對應關(guān)系確定后，函數(shù)的值域也就確定了；④若函數(shù)的定義域中只含有一個元素，則值域也只含有一個元素．【答案】②【詳解】在函數(shù)值域中的每一個數(shù)，在定義域中都至少有一個數(shù)與之對應，①正確；若函數(shù),定義域為，但值域為，故②錯誤，定義域和對應關(guān)系確定后，函數(shù)的值域也就確定了，故③正確，由于對任意的，有唯一的與之對應，故函數(shù)的定義域中只含有一個元素，則值域也只含有一個元素，④正確，故答案為：②2．下列關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是（填序號）．①乘坐出租車時，所付車費與乘車距離的關(guān)系；②某同學學習時間與其學習成績的關(guān)系；③人的睡眠質(zhì)量與身體狀況的關(guān)系．【答案】②③【詳解】對于①，所付車費與乘車距離是一種確定性關(guān)系，是函數(shù)關(guān)系；而對于②，③中的兩個變量是非確定性關(guān)系，不是函數(shù)關(guān)系．故答案為：②③3．（多選）下列圖象中，表示函數(shù)關(guān)系的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【詳解】根據(jù)函數(shù)的概念知，對于定義域內(nèi)任意，都有唯一確定的和它對應，由圖象可看出，表示函數(shù)關(guān)系的有AD；BC項的對應關(guān)系中，均出現(xiàn)了一個對應兩個值的情況，不符合函數(shù)的定義，不是函數(shù)．故選：AD．4．若函數(shù)的定義域為，值域為，則函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由函數(shù)定義可排除C，由值域為可排除A、B，只有D選項為定義域為，值域為的函數(shù)的圖象.故選：D.5．設,如下選項是從M到N的四種應對方式,其中是M到N的函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】對于A,集合M中的3對應了集合N中的兩個數(shù),A錯誤;對于B,集合M中的2對應了集合N中的兩個數(shù),B錯誤;對于C,集合M中的每個數(shù)在集合N中都有唯一的數(shù)對應,C正確;對于D,集合M中的3對應了集合N中的兩個數(shù),D錯誤,故選:C.6．已知集合，集合，下列圖象能建立從集合A到集合B的函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對選項A：存在點使一個與兩個對應，不符合，排除；對選項B：當時，沒有與之對應的，不符合，排除；對選項C：的范圍超出了集合的范圍，不符合，排除；對選項D：滿足函數(shù)關(guān)系的條件，正確.故選：D題型二 集合與區(qū)間的轉(zhuǎn)化7．不等式的解集用區(qū)間表達為．【答案】.【詳解】由不等式，解得或，即不等式的解集為.故答案為：.8．用區(qū)間表示下列數(shù)集：（1）；（2）；（3）且；（4）；（5）．【答案】【詳解】；；且；；.故答案為：；；；；.9．下列敘述正確的是（

）A．用區(qū)間可表示為 B．用區(qū)間可表示為C．用集合可表示為 D．用集合可表示為【答案】D【詳解】對于A，用區(qū)間可表示為，錯誤；對于B，用區(qū)間可表示為，錯誤；對于C，用集合可表示為，錯誤；對于D，用集合可表示為，正確；故選：D10．已知區(qū)間[－2a，3a＋5]，則a的取值范圍為．【答案】(－1，＋∞)【詳解】由題意可知3a＋5>－2a，解得a>－1.故a的取值范圍是(－1，＋∞)．故答案為：(－1，＋∞)【點睛】本題考查了區(qū)間的定義，需掌握區(qū)間的特征，屬于基礎題.11．用區(qū)間表示下列集合：(1)；(2)不等式的所有解組成的集合．【答案】(1)(2)【詳解】（1）（2）,所以不等式所有解的集合是12．區(qū)間之間可以像集合之間那樣進行“交、并、補”運算嗎？若，，如何表示？【答案】答案見解析【詳解】區(qū)間只是集合的一種表示形式，因此對于集合的“交、并、補”運算仍然成立．若，，則．題型三 求具體函數(shù)的定義域13．函數(shù)定義域為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題知，解得，所以函數(shù)的定義域為．故選：B.14．已知集合，，則集合中的元素的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】根據(jù)可得，解得，即可得，又，所以，因此集合中的元素的個數(shù)為2個.故選：B15．函數(shù)的定義域為．【答案】【詳解】的定義域滿足，解得且，故定義域為，故答案為：16．求函數(shù)的定義域．【答案】【詳解】由函數(shù)有意義，則滿足，解得，所以函數(shù)的定義域為．故答案為：．17．函數(shù)的定義域是【答案】【詳解】依題意，，即，，即.故答案為：18．求下列函數(shù)的定義域：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）要使函數(shù)有意義，需滿足，解得，所以的定義域為．（2）要使函數(shù)有意義，需滿足解得．所以函數(shù)的定義域為．（3）要使函數(shù)有意義，需滿足，解得．所以函數(shù)的定義域為．題型四 同一個函數(shù)19．下列各組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】選項A，解析式等價，定義域也相同，所以是同一個函數(shù)；選項B，解析式化簡后相同，但定義域不同，因為分母不能取0，所以不是同一個函數(shù)；選項C，解析式化簡后都是1，但定義域不同，因為0的0次冪沒有意義，所以不是同一個函數(shù)；選項D，解析式不同，定義域也不同，所以不是同一個函數(shù).故選:A.20．中文“函數(shù)”一詞，最早是由近代數(shù)學家李善蘭翻譯的，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，下列選項中是同一個函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與【答案】C【詳解】對于A，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，兩個函數(shù)定義域不同，A不是；對于B，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為或，兩個函數(shù)定義域不同，B不是；對于C，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，且，兩個函數(shù)定義域相同，對應法則也相同，C是；對于D，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，兩個函數(shù)定義域不同，D不是.故選：C21．（多選）下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】A.，定義域都為R，故表示同一函數(shù)；B.，故不是同一函數(shù)；C.，解析式相同，定義域都為R，故表示同一函數(shù)；D.，的定義域為R，的定義域為，故不是同一函數(shù)，故選：AC22．（多選）下列各組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】BC【詳解】A選項中：與對應關(guān)系不同，故不是同一函數(shù)，故A不正確；B選項中：與定義域都為R，且對應關(guān)系相同，故是同一函數(shù)，故B正確；C選項中：當時，，當時，，所以，故與是同一函數(shù)，故C正確；D選項中：函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為R，兩個函數(shù)定義域不同，故不是同一函數(shù)，故D不正確.故選：BC．23．下列各組函數(shù)：①，；②，；③，；④，；⑤汽車勻速運動時，路程與時間的函數(shù)關(guān)系與一次函數(shù)．其中表示相同函數(shù)的是（填入所有正確項的序號）．【答案】③⑤【詳解】①不同，定義域不同，的定義域為，的定義域為；②不同，對應關(guān)系不同，，；③中，，解得，中，令，解得，故定義域、對應關(guān)系都相同，③相同；④，，故對應關(guān)系不同，④不同；⑤相同，定義域、對應關(guān)系都相同．故答案為：③⑤題型五 求函數(shù)值24．已知函數(shù)，則．【答案】【詳解】由函數(shù)，可得當自變量，其函數(shù)值均為，所以.故答案為：.25．已知函數(shù)的定義域為R，，，均滿足．若，則（

）A．0 B． C． D．【答案】D【詳解】令，得，所以；令，，得，又，所以；令，得；令，，得.故選：D.26．若，的值為.【答案】【詳解】因為，則.故答案為：.27．已知定義域為的函數(shù)滿足，求出是（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】D【詳解】令則，所以，故選：D28．已知，則.【答案】14【詳解】在中，令，解得，所以.故答案為：1429．如果函數(shù)滿足，且，那么.【答案】7【詳解】.故答案為：.30．已知，.(1)求，的值；(2)求，的值.【答案】(1)，(2)，【詳解】（1）因為，所以，因為，所以.（2）由（1）知，.題型六 根據(jù)函數(shù)值求自變量或參數(shù)31．如圖，表示從集合到集合的函數(shù)，若，則的值為（

）A．1 B．2 C．1或2 D．3【答案】C【詳解】由圖可知，若，則或2.故選：C.32．已知函數(shù)，若，則a的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，得，解得.故選：A33．已知函數(shù)，，下表列出了時各函數(shù)的取值，則（

）xm84nA．， B．，C．， D．，【答案】B【詳解】由表知，，，解得，所以，所以.故選：B34．已知，則使得的x值為（

）A．1 B． C．0 D．2【答案】C【詳解】令，所以，故，所以，故選：C35．已知函數(shù)，滿足.(1)求實數(shù)的值；(2)求當時，的值；【答案】(1)(2)【詳解】（1）已知，，解得.（2）當時，，所以.36．已知函數(shù).(1)當時，求的值；(2)若，求實數(shù)的值.【答案】(1)4；(2)或.【詳解】（1）∵函數(shù)，∴當時，；（2）函數(shù)的定義域為，因為，所以，即，解得或；所以或.題型七 抽象函數(shù)的定義域37．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由函數(shù)的定義域為，可得函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是，故選：C.38．已知函數(shù)的定義域是，則下列函數(shù)中，定義域為且的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】A選項，由題意得且，解得且，不合要求，A錯誤；B選項，中，且，解得，不合要求，B錯誤；C選項，中，令且，解得且，滿足要求，C正確；D選項，中，令且，解得且，不合要求，D錯誤.故選：C39．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為．【答案】【詳解】因為函數(shù)的定義域為，即，所以，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：40．函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是.【答案】【詳解】由題意可得，解得.所以函數(shù)的定義域為.故答案為：41．若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為．【答案】【詳解】因為，所以，所以的定義域為，要使有意義，需滿足，解得，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：.42．（1）已知的定義域為，求的定義域；（2）若函數(shù)的定義域為，求的定義域．【答案】（1）；（2）．【詳解】（1）∵的定義域為，∴要求的定義域，即解不等式組，解得或，故的定義域為．（2）∵的定義域為，∴，則，即的定義域為，∴要求的定義域，即解不等式組，解得，故的定義域為．題型八 一次、二次、反比例函數(shù)的值域43．已知函數(shù)，函數(shù)的值域是什么？【答案】答案見解析【詳解】當時，；當時，；當時，.所以函數(shù)的值域是{0，1，4}44．函數(shù)在的值域為.【答案】【詳解】因為，則，可得，所以在的值域為.故答案為：.45．求值域：(1)，(2)，【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以函數(shù)的值域為.（2）因為，其中對稱軸為，且，則時，函數(shù)有最小值為，當時，函數(shù)有最大值為，所以函數(shù)值域為.46．下列函數(shù)定義域和值域不同的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】對于A，的定義域和值域都是，A錯；對于B，的定義域為，值域為，B對；對于C，的定義域和值域都是，C錯；對于D，的定義域和值域都是，D錯.故選：B.47．（多選）下列函數(shù)中，定義域和值域都是的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【詳解】選項A，D，與都為一次函數(shù)，所以它們的定義域和值域都為，故A，D正確選項B，為二次函數(shù)，定義域為，且，所以其值域為，故B不正確，選項C，為反比例函數(shù)，定義域是，值域是，都不是．故C不正確，故選：AD.48．給出下列4個函數(shù)：①；②；③﹔④．其中值域為的函數(shù)有（寫出所有正確的序號）【答案】②④【詳解】