第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年天津市薊州一中高三（上）第一次學情調(diào)研數(shù)學試卷一、單選題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合M=﹛x|?3<x≤5﹜，N=﹛x|x<?5或x>5﹜，則M∪N=(

)A.﹛x|x<?5或x>?3﹜ B.﹛x|?5<x<5﹜

C.﹛x|?3<x<5﹜ D.﹛x|x<?3或x>5﹜2.設a，b是兩條直線，α，β是兩個平面，則a⊥b的一個充分條件是(

)A.a⊥α，b//β，α⊥β B.a⊥α，b⊥β，α//β

C.a?α，b⊥β，α//β D.a?α，b//β，α⊥β3.下列結論錯誤的是(

)A.若隨機變量ξ，η滿足η=2ξ+1，則D(η)=4D(ξ)

B.數(shù)據(jù)1，3，5，7，9，11，13的第60百分位數(shù)為9

C.用簡單隨機抽樣的方法從51個個體中抽取2個個體，則每個個體被抽到的概率都是151

D.根據(jù)分類變量X與Y的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到χ2=4.712.依據(jù)α=0.05的獨立性檢驗(x0.054.我國著名數(shù)學家華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休.”函數(shù)f(x)=x(e?x+A. B.

C. D.5.在正方體ABCD?A1B1C1D1A.43π B.6π 6.已知函數(shù)f(x)=ln(x2+1)，且a=f(0.20.2)，b=f(log3A.a>b>c B.c>a>b C.c>b>a D.b>c>a7.已知三棱柱ABC?A1B1C1的側棱垂直于底面，各頂點都在同一球面上，若該棱柱的體積為3，AB=2，A.8π B.9π C.10π D.11π8.下列命題正確的個數(shù)為(

)

①長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，則異面直線AD1與BD所成角的余弦值為105；

②對于命題：?x0∈R，x02+x0+1<0，則命題p的否定：?x∈R，x02+A.0 B.1 C.2 D.39.設an表示集合{1,2,3,…,n}的子集個數(shù)，bn=log2an，fk(x)=i=1kcos(bix)ai，其中k∈N?.給出下列命題：

①當k=1時，(7π8,0)是函數(shù)f1(2x?π4)A.①③ B.②④ C.①③④ D.②③④二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。10.已知a∈R，且復數(shù)a+2i1+i是純虛數(shù)，則a=

．11.二項式(2x?1x12.假設某市場供應的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占60%，乙廠產(chǎn)品占40%，甲廠產(chǎn)品的合格率為90%，乙廠產(chǎn)品的合格率為80%，在該市場中購買甲廠的兩個燈泡，則恰有一個是合格品的概率為______；若在該市場中隨機購買一個燈泡，則這個燈泡是合格品的概率為______．13.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期為π，其圖像向左平移π6個單位長度后所得圖像關于y14.若4x>y>0，則y4x?y+x15.已知a∈R，函數(shù)f(x)=x2+2x+a?2,x≤0?x2+2x?2a,x>0.若對任意x∈[?3,+∞)，三、解答題：本題共5小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題14分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bcosA+32a=c．

(1)求B的大??；

(2)若c=3,a+b=2，求△ABC的面積．

(3)已知sin17.(本小題15分)

如圖，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB//CD，PQ//CD，AD=CD=DP=2PQ=2AB=2，點E，F(xiàn)，M分別為AP，CD，BQ的中點．

(1)求證：EF//平面CPM；

(2)求平面QPM與平面CPM夾角的正弦值；

(3)若N為線段CQ上的點，且直線DN與平面QPM所成的角為π6，求N到平面CPM的距離．18.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，△PAD是等邊三角形，CD⊥平面PAD，E，F(xiàn)，G，O分別是PC，PD，BC，AD的中點．

(1)求證：PO⊥平面ABCD；

(2)求平面EFG與平面ABCD的夾角的大??；

(3)線段PA上是否存在點M，使得直線GM與平面EFG所成角為π6，若存在，求線段PM的長；若不存在，說明理由．19.(本小題15分)

已知常數(shù)a>0，函數(shù)f(x)=ln(1+ax)?2xx+2．

(Ⅰ)討論f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性；

(Ⅱ)若f(x)存在兩個極值點x1，x2，且20.(本小題16分)

已知函數(shù)f(x)=aex?sinx?a.(注：e=2.718281…是自然對數(shù)的底數(shù))．

(1)當a=2時，求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

(2)當a>0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,π2)內(nèi)有唯一的極值點x1．

(ⅰ)求實數(shù)a的取值范圍；

(ⅱ)求證：f(x)在區(qū)間(0,π)內(nèi)有唯一的零點參考答案1.A

2.C

3.C

4.C

5.B

6.D

7.A

8.D

9.C

10.?2

11.60

12.0.18

0.86

13.sin(2x+14.5415.[116.解：(1)∵bcosA+32a=c，

∴由正弦定理可得sinBcosA+32sinA=sinC，

又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

∴32sinA=sinAcosB，

∵sinA≠0，∴cosB=32，

∵B∈(0,π)，∴B=π6；

(2)∵B=π6,c=3，

∴由余弦定理可得cosB=a2+3?b22×a×3=32，17.解：(1)證明：連接EM，因為AB/?/CD，PQ/?/CD，所以AB/?/PQ，

又因為AB=PQ，所以四邊形PABQ為平行四邊形，

因為點E和M分別為AP和BQ的中點，所以EM/?/AB且EM=AB，

因為AB/?/CD，CD=2AB，F(xiàn)為CD的中點，所以CF/?/AB且CF=AB，

可得EM//CF且EM=CF，即四邊形EFCM為平行四邊形，

所以EF/?/MC，又EF?平面MPC，CM?平面MPC，

所以EF/?/平面MPC．

(2)因為PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，

故以D為原點，分別以DA，DC，DP所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，

依題意可得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，

P(0,0,2)，Q(0,1,2)，M(1,1,1)，

PM=(1,1,?1),PQ=(0,1,0),CM=(1,?1,1),PC=(0,2,?2)，

設n=(x,y,z)為平面PQM的法向量，

則n?PM=0n?PQ=0，即x+y?z=0y=0，取n=(1,0,1)，

設m=(a,b,c)為平面PMC的法向量，

則m?PC=0m?CM=0，即2b?2c=0a?b+c=0，取m=(0,1,1)，

所以cos<m,n>=m?n|m|?|n|=12，

設平面PQM與平面PMC夾角為θ，

所以sinθ=1?(12)2=32，

即平面PQM與平面PMC夾角的正弦值為32．

(3)設QN=λQC(0≤λ≤1)，即QN=λQC=(0,λ,?2λ)，

則N(0,λ+1,2?2λ)．

從而DN=(0,λ+1,2?2λ)．

18.解：(1)證明：∵△PAD是等邊三角形，O是AD的中點，

∴PO⊥AD，

又CD⊥平面PAD，PO?平面PAD，

∴CD⊥PO，

又AD∩CD=D，AD?平面ABCD，CD?平面ABCD，

∴PO⊥平面ABCD；

(2)由(1)得PO⊥平面ABCD，連接OG，建立以O為原點，以AD，OG，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸的空間直角坐標系O?xyz，如圖所示：

底面ABCD是邊長為4的正方形，則O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,4,0)，C(?2,4,0)，D(?2,0,0)，G(0,4,0)，P(0,0,23)，E(?1,2,3)，F(xiàn)(?1,0,3)，

則FE=(0,2,0)，EG=(1,2,?3)，

設平面EFG的法向量為n=(x,y,z)，

則n?FE=2y=0n?EG=x+2y?3z=0，取x=3，則y=0，z=1，

∴平面EFG的法向量為n=(3,0,1)，

又平面ABCD的法向量為OP=(0,0,23)，

∴|cos<OP，n>|=|OP?n||OP|?|n|=232×23=12，

又平面EFG與平面ABCD的夾角為銳角，

∴平面EFG與平面ABCD的夾角為π3；

(3)假設線段PA上存在點M，使得直線19.解：(Ⅰ)∵f(x)=ln(1+ax)?2xx+2．

∴f′(x)=a1+ax?4(x+2)2=ax2?4(1?a)(1+ax)(x+2)2，

∵(1+ax)(x+2)2>0，

∴當1?a≤0時，即a≥1時，f′(x)>0恒成立，則函數(shù)f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，

當0<a<1時，由f′(x)=0得x=±2a(1?a)a，

若f′x<0得，0<x<2a1?aa，

若f′x>0得，x>2a1?aa，

則函數(shù)f(x)在(0,2a(1?a)a)單調(diào)遞減，在(2a(1?a)a,+∞)單調(diào)遞增．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，當a≥1時，f′(x)>0，此時f(x)不存在極值點．

因此要使f(x)存在兩個極值點x1，x2，則必有0<a<1，

又f(x)的極值點可能是x1=2a(1?a)a，x2=?2a(1?a)a，

由f(x)的定義域可知x>?1a且x≠?2，

∴?2a(1?a)a>?1a且?2a(1?a)a≠?2，解得a≠12，

則x1，x2分別為函數(shù)20.解：(1)f(x)=2ex?sinx?2，

f′(x)=2ex?cosx，

切線的斜率k=f′(0)=2?1=1，又f(0)=0，

∴切線方程為y=x．

(2)(ⅰ)f′(x)=aex?cosx，

①當a≥1時，當x∈(0,π2)時，aex>1，cosx∈(0,1)，

∴f′(x)>0，

∴y=f(x)在(0,π2)上單調(diào)遞增，沒有極值點，不合題意，舍去；

②當0<a<1時，

f′′(x)=aex+sinx>0，∴f′(x)在(0,π2)上遞增，

又f′(0)=a?1<0，f′(π2)=aeπ2>0，

∴f′(x)在(0,π2)上有唯一零點x1，

當x∈(0,x1)時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；

當x∈(x1,π2)時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，

∴函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,π2)內(nèi)有唯