4.2指數(shù)函數(shù)（精講）考點一指數(shù)函數(shù)的判斷【例1-1】（2021·全國·高一專題練習(xí)）下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤.其中一定為指數(shù)函數(shù)的有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【解析】形如且為指數(shù)函數(shù)，其解析式需滿足①底數(shù)為大于0，且不等于1的常數(shù)，②系數(shù)為1，③指數(shù)為自變量，所以只有②是指數(shù)函數(shù)，①③④⑤都不是指數(shù)函數(shù)，故選：B.【例1-2】（2022·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（

）A．或 B． C． D．且【答案】C【解析】由指數(shù)函數(shù)定義知，同時，且，所以解得.故選：C【一隅三反】1．（2021·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)，，，，其中指數(shù)函數(shù)的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因為形如的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)，所以和是指數(shù)函數(shù)．故選：B．2．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則等于（

）A．或 B．C． D．【答案】C【解析】由題意可得，解得.故選：C.3（2021·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)和都是指數(shù)函數(shù)，則______.【答案】【解析】因為函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，所以，由是指數(shù)函數(shù)，所以，所以，故答案為：.考點二指數(shù)函數(shù)的定義域與值域【例2-1】（2021·全國·高一課時練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)定義域為，值域為(2)定義域為R，值域為(3)定義域為，值域為(4)定義域為R，值域為【解析】(1)由題意知，∴，∴函數(shù)的定義域為．∵，∴，∴函數(shù)的值域為．(2)由題意知函數(shù)的定義域為R．∵，∴，∴函數(shù)的值域為．(3)由題意知，∴，∴，∴函數(shù)的定義域為．∵，∴，又，∴，∴，∴，∴函數(shù)的值域為．(4)由題意知定義域為R．∵，∴．又，∴函數(shù)的值域為．【例2-2】（2022·河南開封）若函數(shù)f(x)＝的定義域是[1，＋∞)，則a的取值范圍是（

）A．[0，1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞)C．(0，1) D．(2，＋∞)【答案】B【解析】∵ax－a≥0，∴ax≥a，∴當(dāng)a＞1時，x≥1．故函數(shù)定義域為[1，＋∞)時，a＞1．故選：B．【例2-3】（2022·江蘇）若在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，則原問題轉(zhuǎn)化為在恒成立，即在恒成立，又當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故實數(shù)的取值范圍是，故選：C．【一隅三反】1．（2022·福建）若關(guān)于的方程有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】方程有解，有解，令，則可化為有正根，則在有解，又當(dāng)時，所以，故選：．2．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，因為，所以函數(shù)的值域為.故選：C3．（2022·湖北·武漢市第十五中學(xué)高一期末）函數(shù)（，且）在上的最大值為13，則實數(shù)的值為___________.【答案】或【解析】∵令，則，則，其對稱軸為.該二次函數(shù)在上是增函數(shù).①若，由，得，故當(dāng)，即時，，解得(舍去).②若，由，可得，故當(dāng)，即時，.∴或(舍去).綜上可得或.故答案為：或.4．（2021·全國·高一課前預(yù)習(xí)）求下列函數(shù)的定義域、值域.（1）；（2）y=4x-2x+1；（3）；（4）(a為大于1的常數(shù))【答案】（1）R，(0，1)；（2）R，[)；（3），；（4）(-∞，-1)∪[1，+∞)，[1，a)∪(a，+∞)【解析】(1)函數(shù)的定義域為R(∵對一切xR，3x≠-1).∵，又∵3x>0，1+3x>1，∴，

∴，∴，∴值域為(0，1).(2)定義域為R，，∵2x>0，

∴即=-1時，y取最小值，同時y可以取一切大于的實數(shù)，∴函數(shù)的值域為[).(3)要使函數(shù)有意義可得到不等式，即，又函數(shù)是增函數(shù)，所以，即，即函數(shù)的定義域為，值域是.(4)∵，解之得(-∞，-1)∪[1，+∞)，∴定義域為(-∞，-1)∪[1，+∞)，又∵且，∴且，∴函數(shù)的值域為[1，)∪(，+∞).考點三指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性運用【例3-1】（2021·云南·會澤縣實驗高級中學(xué)校高一階段練習(xí)）若x滿足不等式，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得，因為在R上單調(diào)遞增，所以即x2+2x-3≤0，解得：，所以，即函數(shù)的值域是，故選:B.【例3-2】．（2022·湖南省衡南縣衡云中學(xué)高一開學(xué)考試）已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵是減函數(shù)，，所以，又，∴．故選：C．【例3-3】（2022·江蘇鹽城·高一期末）已知函數(shù)，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，，即，所以，又，所以，而遞增，故故選：D【一隅三反】1．（2022·云南麗江·高一期末）若，則a?b?c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為在上單調(diào)遞增，且，所以，即，因為在上單調(diào)遞減，且，所以，即，所以，即故選：A2（2021·新疆）若滿足不等式，則函數(shù)的值域是（） B． C． D．【答案】B【解析】由可得，因為在上單調(diào)遞增，所以即，解得：，所以，即函數(shù)的值域是，故選：B.3.（2021·浙江高一期末）已知函數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】）因為，當(dāng)時單調(diào)遞減，且，當(dāng)時，單調(diào)遞減，且，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，因為，所以，解得，即不等式的解集為故選：A考點四指數(shù)函數(shù)的定點【例4】（2022·山東淄博·高一期末）函數(shù)（且）的圖象必經(jīng)過點___________.【答案】【解析】因為函數(shù)，其中，，令得，把代入函數(shù)的解析式得，所以函數(shù)(且)的圖像必經(jīng)過點的坐標(biāo)為.故答案為：【一隅三反】1．（2022·江西省銅鼓中學(xué)高一期末）函數(shù)，（且）的圖象必經(jīng)過一個定點，則這個定點的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，解得，所以當(dāng)時，，所以函數(shù)過定點.故選：B2．（2022·四川內(nèi)江·高一期末）若冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)且過定點（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為是冪函數(shù)，所以或，又因為該冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，因為，所以函數(shù)過定點，故選：D3．（2021·河北·滄縣中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)（且），則函數(shù)的圖像恒過定點______．【答案】【解析】由解析式，當(dāng)，即時，所以的圖像恒過定點.故答案為：4．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）已知無論取何值函數(shù)（，且）的圖象恒過定點，且在冪函數(shù)的圖象上，則的解析式為__________；【答案】【解析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)（，且）的圖象恒過定點，設(shè)冪函數(shù)為，在冪函數(shù)的圖象上，可得：，解得，所以.故答案為：考點五指數(shù)函數(shù)的圖像問題【例5-1】（2022·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的圖象大致是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)，當(dāng)時，是增函數(shù)，當(dāng)時，的減函數(shù)，且時，，即圖象過點；符合條件的圖象是．故選：A．【例5-2】．（2022·全國·高一）已知函數(shù)，則函數(shù)的圖像經(jīng)過（

）．A．第一、二、四象限 B．第二、三、四象限C．第二、四象限 D．第一、二象限【答案】B【解析】因為，所以函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二象限，又的圖象是由的圖象沿y軸向下平移2個單位得到，所以函數(shù)的圖象經(jīng)過二、三、四象限，如圖，故選：B【一隅三反】1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)(是自然底數(shù))的大致圖像是（

）A．B．C． D．【答案】C【解析】，函數(shù)為偶函數(shù)，且過，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，故C符合.故選：C.2．（2022·全國·高一課時練習(xí)）如圖所示，函數(shù)的圖像是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，時，時，.故選：B.3．（2021·湖南·金海學(xué)校高一期中）在同一坐標(biāo)系中，二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時，指數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，且圖像恒過定點，此時，則二次函數(shù)的圖像開口向下，頂點坐標(biāo)為，故選項A錯誤，選項B正確；當(dāng)時，指數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，且圖像恒過定點，此時，則二次函數(shù)的圖像開口向上，頂點坐標(biāo)為，故選項C錯誤，選項D錯誤.故選：B.4．（2021·全國·高一課時練習(xí)）若函數(shù)圖象不過第二象限，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，則函數(shù)也為增函數(shù)，若圖象不過第二象限，則滿足，則，解得：，所以的取值范圍是.故選：A.考點六指數(shù)函數(shù)的綜合運用【例6】（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)判斷并證明在其定義域上的單調(diào)性；(2)若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)在上單調(diào)遞增；證明見解析(2)【解析】（1）在上單調(diào)遞增，證明如下：設(shè)，；，，又，，，在上單調(diào)遞增.（2），為上的奇函數(shù)，由得：，由（1）知：在上單調(diào)遞增，在上恒成立；當(dāng)時，，在上恒成立；令，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，即實數(shù)的取值范圍為.【一隅三反】1．（2022·全國·高一單元測試）已知定義域為R的函數(shù)是奇函數(shù)．(1)求的解析式；(2)用定義證明的單調(diào)性．【答案】(1)(2)在R上單調(diào)遞減，證明見解析【解析】（1）因為是R上的奇函數(shù)，所以，即，解得，則．又，則，解得，經(jīng)檢驗當(dāng)，時，是奇函數(shù)，所以．（2）證明：由（1）知，對任意的，R，且，有，因為，所以，所以，∴在R上單調(diào)遞減．2．（2022廣東）已知定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)有最小正周期2，且當(dāng)時，.(1)求函數(shù)在上的解析式；(2)判斷在上的單調(diào)性，并證明；(3)當(dāng)取何值時，方程在上有實數(shù)解.【答案】(1)(2)在上為減函數(shù)，證明見解析(3)【解析】（1）依題意，是定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)，所以，當(dāng)，，所以.（2）當(dāng)時，，在上為減函數(shù)，證明如下：任取，.由于，所以，所以在上為減函數(shù).（3）由（2）可知在上為減函數(shù)，所以，即，由于在上有實數(shù)解，所以.2．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·高一期末（文））已知函數(shù)（a為常數(shù)，且，）．請在下面三個函數(shù)：①；②；③中，選擇一個函數(shù)作為，使得具有奇偶性．(1)請寫出表達(dá)式，并求a的值；(2)當(dāng)為奇函數(shù)時，若對任意的，都有成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)【解析】(1)若選①：，則，定義域為，若函數(shù)為奇函數(shù)，則，故函數(shù)不能是奇函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，則，由，可得，化簡可得，則不