點點練34拋物線

一基礎(chǔ)小題練透篇

1.已知點〃到點KO,1）的距離比它到直線7：y+2=0的距離小1,則點尸的軌跡方程

為（）

A."=一4比.彳2="

C.y=-4AD.y=4X

2.[2022?江西省南昌市摸底]設(shè)廠為拋物線GV=16y的焦點，直線/：尸一1,點

4為C上一點且|"1=5過點4作加L/于R則14Pl=（）

A.4B.3C.2D.1

3.已知拋物線/=8x的準(zhǔn)線為/,點尸是拋物線上的動點，直線△的方程為2x—y+3

=0,過點尸分別作冏/J_A垂足為機PN工1\,垂足為M則|用訓(xùn)+|外〔的最小值為（）

4.已知拋物線/=16%過點J/（2,0）的直線交拋物線于43兩點，尸為拋物線的焦點，

若。為坐標(biāo)原點，則匹邊形力加的面積是（）

A.20723.l（h/2C.5^/2D.嬰

5.[2022?湖南省湘潭市一模]已知拋物線C：/=2夕少（夕>0）的焦點為F,點T在。上，

5

且|/71=5,若點〃的坐標(biāo)為（0,1）,KMFLML則C的方程為（）

A.，=2）或"=8AB.，=/或"=8*

C."=2x或"=4疝./=彳或7=4才

6.已知直線人尸Hx—2）%>0）與拋物線G/=8x交于力，8兩點，尸為拋物線。

的焦點，若辦=2或則4的值是（）

A.|B.￥（;.2720.平

7.[2022?云南省昆明市檢測]。為坐標(biāo)原點，廠為拋物線G/=4x的焦點，P為C上

的一點，若I加1=3,則△〃⑺的面積為_______.

8.[2022?廣東省深圳市月考]已知拋物線G”=2px的焦點為兄點4為拋物線C上

橫坐標(biāo)為3的點，過點4的直線交x軸的正半軸于點8,且△力即為正三角形,則p=.

二能力小題提升篇

1.[2022?廣西柳州市摸底考試]已知廠是拋物線y=8x的焦點，直線1是拋物線的準(zhǔn)

線，則尸到直線，的距離為()

A.2B.4C.6D.8

2.[2022?廣西柳州聯(lián)考]拋物線爐=2日(0>0)的焦點為凡準(zhǔn)線為點尸為拋物線

上一點，為

錘Symb?！傅腎,垂足為力，若直線"'的斜率為一I陰=4,貝I］拋物線方程為()

A.y=4AB.y=4y/ix

C.y=8AD.y=8^3X

3.［2022?吉林省長春市質(zhì)量監(jiān)測］已知產(chǎn)是拋物線/=4x上的一動點，尸是拋物線的

焦點，點力(3,1),則|*|+|例的最小值為()

A.3B.245c.4D.4^2

4.［2022?江西省臨川月考］已知拋物線G「=2/(A>0)的焦點為尸，0為坐標(biāo)原點，

A,8為拋物線上兩點，|他=|朋且|朋+|91=半，則直線4?的斜率不可能為()

A.-平B.乎C.柄「羋

22

5.2(022?安徽省滁州市摸底］拋物線V=2.仿>0)的焦點為廠，其準(zhǔn)線與雙曲線9一5

oJ

=1相交于力，B兩點,若△力加為等邊三角形，則夕=.

6.［2022?江蘇省南京模擬］已知圓C;(十-3)2+/=4,點材在拋物線久y=4彳上運

動，過點“引直線上，4與圓C相切，切點分別為R0,則I圖I的取值范圍為________.

三高考小題重現(xiàn)篇

22

1.［2019?全國卷H］若拋物線/=2RY(P>0)的焦點是橢圓卷+］=1的一個焦點，則p

=()

A.2B.3C.4D.8

2.［2020?全國卷I］已知/I為拋物線C：/=2px(p>0)上一點，點A到。的焦點的距離

為12,到y(tǒng)軸的距離為9,則夕=()

A.2B.3C.6D.9

3.［2020?全國卷HI］設(shè)0為坐標(biāo)原點，直線不=2與拋物線C：產(chǎn)=2夕才(0>0)交于〃，E

兩點，若如L%則。的焦點坐標(biāo)為()

A.R0〉.&0)

C.(1,0)I).(2,0)

4.［2020?北京卷］設(shè)拋物線的頂點為0,焦點為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/,尸是拋物線上異于。的

一點，過〃作/UL/于0,則線段用的垂直平分線()

A.經(jīng)過點6B.經(jīng)過點P

C.平行于直線0D.垂直于直線8

5.［2021?北京卷］已知拋物線Gy=4x,C的焦點為E點.機在。上，若|￡必=6,則

"的橫坐標(biāo)是.

6.[2021?山東卷]已知。為坐標(biāo)原點，拋物線G/=2以（0>0）的焦點為尸，P為C上

一點,PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且圖J■例若I尸0=6,則C的準(zhǔn)線方程為.

四經(jīng)典大題強化篇

1.[2022?重慶模擬]如圖，己知拋物線/=2勿（夕〉0）上一點M2,加）到焦點/的距離為

3,直線/與拋物線交于力（X】，必），以如也）兩點，且y>0,刑<0,而?宓=12（0為坐標(biāo)原

點）.

（1）求拋物線的方程;

（2）求證直線/過定點.

2.[2022?山西省運城市模擬]已知Wl,2)在拋物線C：f=2px±.

(1)求拋物線。的方程；

(2)48是拋物線。上的兩個動點，如果直線目的斜率與直線用的斜率之和為2,證

明：直線44過定點.

點點練34拋物線

一基礎(chǔ)小題練透篇

1.答案：B

解析：由題意，點尸到點尸(0,1)的距離等于它到直線尸一1的距離，則點夕的軌

跡是以尸為焦點，尸一1為準(zhǔn)線的拋物線，則點〃的軌跡方程為"=4乂

2.答案：C

解析：拋物線方程G/=16y,準(zhǔn)線方程為：y=-4,因為|/網(wǎng)=5,所以點力到準(zhǔn)線

的距離為5,且％>0,直線/：尸一1與準(zhǔn)線方程的距離為占3,所以|力戶|=5—3=2.

3.答案：B

解析：令拋物線7=8x的焦點為尸，則/⑵0),連接例如圖,

因，是拋物線的準(zhǔn)線，點〃是拋物線上的動點，且陰J_/于第于是得\PM\=\PF\,

點月（2,0）到直線入；2*一，+3-0的距離d-。一逑，又PN11舌N,顯

竟J+*：（-?1?）!-5

然點尸在點尸與N之間，于是有仍必+|網(wǎng)=|陽+|網(wǎng)24當(dāng)且僅當(dāng)尸，月N三點共線

時取“=”，所以|月必+|掰的最小值為d=逑.

4.答案：A

解析：拋物線爐=16x的準(zhǔn)線方程為x=-4,設(shè)力（小，yi）,8（x2,%）,由拋物線的

定乂可知，汨+4=12,為=8,K=16X8,由拋物線的對稱性，不妨令yi=8y區(qū),設(shè)直線

]x=zny+2,

48的方程為x=my+2,由？得，一16Q-32=0,幾^二一32,???度=一2m，四

(y=16x,

邊形如量的面積S=J的?|yi-y2|=1x4X10\/2=2(h/2.

5.答案：A

解析：設(shè)7為（吊，外），則訪一（龍，義一1）,又由尸4，0）,所以麻=得，—1）,

乙乙

因為初所以訪?訪'=0,可得梟一乂）+1=0,

乙

9

由「=2px0,聯(lián)立方程組，消去的可得加-4外+4=0,所以H=2,故7（J2）,

又由囹=刖+衿，所以衿即*5什4=0,解得夕=1或0=4,

所以C的方程為/=2x或/=8x

6.答案：C

解析：直線/：y=k（x-2）（A>0）過（2,0）,即直線/過拋物線的焦點/（2,0）,

畫出圖象如圖所示，過力作直線垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為〃；過8作直線垂直于拋物線

的準(zhǔn)線，垂足為C,過B作BELAD,交AD于R

依題意"=2融設(shè)|"1=2，即=21（￡>0）,

則|力￡|=|力〃|-18a=b|例|=|"1+|母1=32，|BE\=yj（302-t2=2^2f,

所以直線/的斜率力一告一2班.

7.答案：*

解析：由題意，拋物線。的焦點為尸（1,0）,準(zhǔn)線方程為k一1,由|所|=3,

設(shè)尸（筋y）,則x+l=3,x=2,所以尸±2啦，即點尸的坐標(biāo)為（2,±2m）,

則的面積為5=1X1X

8.答案:2

解析：由題意可知，當(dāng)8在焦點戶的右側(cè)時，|明=3+圣附=3—*

乙乙

又|功|=3（3+Q,所以；（3+會=3-m解得夕=2；

當(dāng)5在焦點尸的左側(cè)時，同理可得〃=18,此時點8在x軸的負(fù)半軸，不合題意.

二能力小題提升篇

1.答案：B

解析：由「=8x得夕=4,所以尸到直線，的距離為夕=4.

2.答案：A

解析：設(shè)準(zhǔn)線）與X軸交點為A；

???直線"的斜率為一■，???NEfF=N/1"=60°,???由拋物線的定義知|%=|川=

4,???△"!/為等邊三角形，???|4?|=4,???在Rt△力切中，|例=2,，p=2,???拋物線方

程為，=4乂

3.答案：C

解析：過尸作燈/垂直準(zhǔn)線，必為垂足，=|勿I，所以|胡|+|呼12MM24（當(dāng)且

僅當(dāng)機N,月縱坐標(biāo)相等時取等號）.

4.答案：C

解析：因為〃為拋物線Gy=2px（p>0）的焦點，所以尸（*0）,

又|40|=|"1,即△40為等腰三角形，所以X產(chǎn)二要=*

又點/在拋物線y=2內(nèi)上，

所以《=2pX^=p則％=±*^,BPA號±*^），

所以由拋物線的焦半徑公式可得：|羽=M+介］,

又I/-I+|如I=今^,所以|印|=當(dāng)，即數(shù)+亨=券，所以xg=4pf

*乙乙乙

則點=2pX4〃=8-,即%=±2娘°，所以8（40，±2娘0）；

2啦〃一乎"

'（%呼）’8（4夕，2乖p）時，/0的斜率為女胡=乙

當(dāng)

,P5；

4P-4

—2y[2p遍

彳尋呼耳，8（4夕，一2包）時，的斜率為七22A/2

當(dāng)1尸

.P3，

4kz

「2物+率，

P

當(dāng),B（4p,2yl2p）時，力"的斜率為左s=---------=V-；

.P3

40一彳

一2業(yè)+率r-

當(dāng)4（4夕，~2yl2p）時，N6的斜率為孔尸------------=一￥；

25

4f

故ABD都能取到，C不能取到.

5.答案：6

解析：由題設(shè)，彳0，9,令尸—g弋入1—^=1得kt、6.」,/.|AB\=N方+12,

仍|)23(4+12)

又△?!斷為等邊三角形，則△4="由+12,，由勾股定理知：|"V-

=p?解得/=36,又標(biāo)0,

?*?p—6.

6.答案：[2^2,4)

解析：如圖，連接⑦mCM,依題意，CPLMP,CQIMQ,而16Pl=|0|=2,

而|相|=|.，陽，則以/垂直平分線段PQ,于是得四邊形物S的面現(xiàn)為RtZXOW面積的2

倍,

從而得)用??|閭=2?)刎??小，即

P

lnn2\CP\?1^140d-16l2r廠

1PQ=一商—=IM=4、1一國產(chǎn)

設(shè)點M(￡,s),而C(3,0),s=4t(^0),則1cM2=(t-3)2+s=^-2r+9=

(r-1)2+828,

當(dāng)且僅當(dāng)￡=1時取“="，V￡20,|掰2W[8,+oo),

因此得0〈y*pW，即品1—常產(chǎn)1，得2啦W|聞＜4,

所以I尸0的取值范圍為[2乖，4).

三高考小題重現(xiàn)篇

1.答案：D

解析：由題意，知拋物線的焦點坐標(biāo)為（50）,橢圓的焦點坐標(biāo)為（土小，0）,所以

5=，^,解得〃=8.

2.答案：C

解析：設(shè)焦點為E點力的坐標(biāo)為（加用）,由拋物線定義得|力尸|=照+導(dǎo)

???點4到y(tǒng)軸距離為9,???的=9,

???9+與=12,

乙

?'?夕=6.

3.答案：B

—2

解析：由拋物線的對稱性不妨設(shè)〃在A?軸上方1在x軸下方.由；:得以2,25），

{y=2px

￡（2,一2?）,,：ODLOE,.??而?良三4一40=0,：.p=l,...C的焦點坐標(biāo)為0J.

4.答案：B

解析：不妨設(shè)拋物線的方程為了=2px（p>0）,Kxo,用）（加>0）,則（一1"），/修0）

直線內(nèi)o的斜率為子，從而線段用的垂直平分線的斜率為《，又線段內(nèi)0的中點為（o,3,

所以線段用的垂直平分線的方程為7-弓=上（jr-0）,即26一2如斗總=0,將點尸的橫

乙yb

坐標(biāo)代入，得2網(wǎng)）—=0,又2誠=京，所以尸加所以點。在線段用的垂直平

分線上.

5.答案：5

解析：設(shè)點，"的坐標(biāo)為（劉，乃），則有|播/|=m+