專題3用導數(shù)研究函數(shù)的極值一、考情分析函數(shù)與導數(shù)一直是高考中的熱點與難點,研究函數(shù)的極值是導數(shù)在函數(shù)中的一個重要應用,也是高考考查的重點,本專題從求函數(shù)的極值、確定函數(shù)極值點的個數(shù)、由函數(shù)極值點個數(shù)確定參數(shù)范圍、含參數(shù)的函數(shù)極值的討論、由極值點滿足條件求解不等式問題等幾個方面幫助高三學生把握極值問題求解問題.二、解題秘籍(一)求函數(shù)的極值1.函數(shù)的極值與導數(shù)的關系(1)函數(shù)的極小值與極小值點若函數(shù)f(x)在點x＝a處的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小,f′(a)＝0,而且在點x＝a附近的左側f′(x)<0,右側f′(x)>0,則點a叫做函數(shù)的極小值點,f(a)叫做函數(shù)的極小值.(2)函數(shù)的極大值與極大值點若函數(shù)f(x)在點x＝b處的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大,f′(b)＝0,而且在點x＝b附近的左側f′(x)>0,右側f′(x)<0,則點b叫做函數(shù)的極大值點,f(b)叫做函數(shù)的極大值.2.求函數(shù)f(x)極值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導數(shù)f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函數(shù)定義域內的所有根；④列表檢驗f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側值的符號.如果左正右負,那么f(x)在x0處取極大值；如果左負右正,那么f(x)在x0處取極小值.3.對極值理解：(1)極值點不是點,注意極值與極值點的區(qū)別；(2)若f(x)在(a,b)內有極值,那么f(x)在(a,b)內絕不是單調函數(shù),即在區(qū)間上單調的函數(shù)沒有極值．(3)根據函數(shù)的極值可知函數(shù)的極大值f(x0)比在點x0附近的點的函數(shù)值都大,在函數(shù)的圖象上表現(xiàn)為極大值對應的點是局部的“高峰”；函數(shù)的極小值f(x0)比在點x0附近的點的函數(shù)值都小,在函數(shù)的圖象上表現(xiàn)為極小值對應的點是局部的“低谷”．一個函數(shù)在其定義域內可以有許多極小值和極大值,在某一點處的極小值也可能大于另一個點處的極大值,極大值與極小值沒有必然的聯(lián)系,即極小值不一定比極大值小,極大值不一定比極小值大；(4)使f′(x)＝0的點稱為函數(shù)f(x)的駐點,可導函數(shù)的極值點一定是它的駐點．駐點可能是極值點,也可能不是極值點．例如f(x)＝x3的導數(shù)f′(x)＝3x2在點x＝0處有f′(0)＝0,即x＝0是f(x)＝x3的駐點,但從f(x)在(－∞,＋∞)上為增函數(shù)可知,x＝0不是f(x)的極值點．因此若f′(x0)＝0,則x0不一定是極值點,即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0處取到極值的必要不充分條件,函數(shù)y＝f′(x)的變號零點,才是函數(shù)的極值點；(5)函數(shù)f(x)在［a,b］上有極值,極值也不一定不唯一．它的極值點的分布是有規(guī)律的,相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值點,同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點．一般地,當函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù)且有有限個極值點時,函數(shù)f(x)在［a,b］內的極大值點、極小值點是交替出現(xiàn)的．【例1】(2024屆四川省敘永第一中學高三上學期入學考試)已知函數(shù),其中,.(1)當時,求函數(shù)的極值；(2)若方程恰有兩個不相等的實數(shù)根,求的取值范圍.【解析】（1）當時,,.,當時,；當時,.函數(shù)單調遞減區(qū)間為,單調遞增區(qū)間為.的極小值為,無極大值.（2）,,由方程,得,令,則.令,則.當時,；當時,.函數(shù)在上單調遞增,在上單調遞減.,方程有唯一解.方程有兩個不等的實數(shù)解等價于方程有兩個不相等的實數(shù)解.等價于方程有兩個不相等的實數(shù)解.構造函數(shù),則.,當時,；當時,.函數(shù)在上單調遞增,在上單調遞減.,；,.只需要,即.構造函數(shù),則.當時,；當時,.函數(shù)在上單調遞減,在上單調遞增.,當時,恒成立.的取值范圍為.(二)函數(shù)極值點的個數(shù)問題可導函數(shù)的極值點的個數(shù),通常轉化為方程實根個數(shù),再根據的單調性或圖象求解,求解時要注意是的必要不充分條件.可導函數(shù)在點處取得極值的充要條件是：是導函數(shù)的變號零點,即,且在左側與右側,的符號異號．另外,不可導函數(shù)也會有極值,如函數(shù),在極小值點是不可導的.【例2】（2024屆北京市景山學校高三上學期開學考試）已知函數(shù).(1)當時,求的單調區(qū)間；(2)求證：當時,函數(shù)有三個不同的極值點.【解析】（1）當時,,,所以在區(qū)間單調遞增,在區(qū)間單調遞減.所以的增區(qū)間為；減區(qū)間為.（2）依題意,,對于函數(shù),,所以有兩個零點,設為,則,不妨設,所以在區(qū)間單調遞減；在區(qū)間單調遞增,所以有三個不同的極值點.(三)由函數(shù)極值點個數(shù)確定參數(shù)范圍此類問題一般是先把問題轉化為實根個數(shù)問題,可借助圖象分析,若可化為二次方程問題,可利用二次方程根的分布求解.【例3】（2024屆福建省龍巖市上杭縣高三第一次月考）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)設有兩個極值點、,且.（i）求實數(shù)的取值范圍；（ii）求證：.【解析】（1）解：因為,該函數(shù)的定義域為,且.①當時,對任意的,,則函數(shù)的增區(qū)間為；②當時,由可得,由可得或,此時,函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為、.綜上所述,當時,函數(shù)的增區(qū)間為；當時,函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為、.（2）解：（i）有兩個極值點、,則,令,可得,由題意可知,直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點（非切點）,令,則,令,則,所以,函數(shù)在上為增函數(shù),當時,；當時,.所以,函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為.所以,函數(shù)在取得最小值,即,如下圖所示：由圖可知,當時,即當時,直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點（非切點）,且當或時,,此時函數(shù)單調遞增,當時,,此時函數(shù)單調遞減,故當時,函數(shù)有兩個極值點.因此,實數(shù)的取值范圍是；證明：（ii）因為,由（i）可知,且函數(shù)的增區(qū)間為、,減區(qū)間為,令,其中,則,令,則,所以,函數(shù)在上為增函數(shù),故當時,,因為,則,又當時,,因為、,則,所以,.(四)含參數(shù)的函數(shù)極值的討論求含參數(shù)函數(shù)的極值,通常轉化為不等式或的解集問題,求解時要注意對參數(shù)進行分類討論.【例4】（2023屆河南省鄭州市等3地高三下學期6月沖刺卷）函數(shù),．(1)討論的極值的個數(shù)；(2)若在上恒成立,求a的取值范圍．【解析】（1）定義域為,,令,當a＝0時,,在上單調遞增,在上單調遞減,所以有一個極大值；當時,①,為圖象開口朝下的二次函數(shù),,∴的兩根為,顯然,,∴在上單調遞增,在上單調遞減,所以有一個極大值；②,可知,∴在,上單調遞增,在上單調遞減．所以有2個極值,一個極大值,一個極小值；③時,可得,∴在上單調遞增,所以無極值．綜上所述,當時,有一個極大值；當時,有一個極大值,一個極小值；當時,無極值．（2）設,,,∴,∴,兩邊同時取倒數(shù),∴,∴,又∵,∴即可,由,可得,設,,∴設,,∴,∴,∴單調遞減,∴,∴,∴a的取值范圍為．(五)由極值點滿足條件求解不等式問題此類問題一般是給出極值點個數(shù)或給出與極值點有關的等式不等式,證明與極值點有關的不等式或根據不等式恒成立求參數(shù)范圍,前者通常構造函數(shù)與方程求解,后者通常轉化為函數(shù)最值或通過分類參數(shù)求解.【例5】（2023屆上海市曹楊第二中學高三模擬）已知函數(shù)．(1)若是定義域上的嚴格增函數(shù),求a的取值范圍；(2)若,,求實數(shù)a的取值范圍；(3)設、是函數(shù)的兩個極值點,證明：．【解析】（1）依題意,.

若是定義域上的嚴格增函數(shù),則對于恒成立,即對于恒成立,而,當且僅當,即時,等號成立.所以,即a的取值范圍為；（2）由（1）知.

①當時,在上,所以在上單調遞減,所以,所以不符合題設.

②當時,令,得,解得,,所以當時,所以在上單調遞減,所以,所以不符合題設.③當時,判別式,所以,所以在上單調遞增,所以.綜上,實數(shù)a的取值范圍是.（3）由（2）知,當時,在上單調遞增,在上單調遞減,在上單調遞增,所以是的極大值點,是的極小值點.由（2）知,,,則.綜上,要證,只需證,因為,設,.

所以,所以在上單調遞增,所以.所以,即得成立．所以原不等式成立.【例6】（2024屆四川省成都市第七中學高三上學期入學考試）已知函數(shù),.(1)若經過點的直線與函數(shù)的圖像相切于點,求實數(shù)a的值；(2)設,若有兩個極值點為,,且不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）的定義域為,由,得,則,因為經過點的直線與函數(shù)的圖像相切于點,所以,所以,解得,（2）,則,因為有兩個極值點為,,所以在上有兩個不同的根,此時方程在上有兩個不同的根,則,且,解得,若不等式恒成立,則恒成立,因為不妨設,則,因為,所以,所以在上遞減,所以,所以,即實數(shù)的取值范圍為.三、典例展示【例1】（2023屆海南省文昌中學高三模擬預測）已知函數(shù).(1)若存在兩個極值點,求實數(shù)的取值范圍；(2)若,且在上有兩個極值點,求證：.【解析】（1）由函數(shù),可得,因為存在兩個極值點,即方程有兩個不等實根,即方程有兩個不等實根,所以,解得,所以實數(shù)的取值范圍為.（2）由,可得,因為在上有兩個極值點,即是方程的兩個根,令,則滿足,解得,因為,且由,將代入上式,可得,根據題意,只需證,令,其中,可得,當時,,則在上單調遞減,即,即當時,,所以.【例2】（2023屆甘肅省張掖市高三下學期第四次模擬）已知函數(shù),為的導函數(shù)．(1)討論的極值；(2)當時,,求k的取值范圍．【解析】（1）,記,則．①當時,,在R上單調遞減,故無極值．②當時,令,得,當時,,單調遞增；當時,,單調遞減．所以在處取得極大值,且極大值為．綜上所述,當時,無極值；當時,的極大值為,無極小值．（2）可化為,當時,,此時可得；當時,不等式可化為,設,則,

設,則,所以單調遞增,所以當時,,,當時,,,所以函數(shù)在和上都為增函數(shù),取,則,設,則當時,,所以在上單調遞增,所以當時,,所以當時,,所以的最小值為,即,所以當和時,沒有最小值,但當x趨近－1時,無限趨近,且,又恒成立,所以,所以．綜上,k的取值范圍為．【例3】（2023屆安徽省亳州市第一中學高三最后一卷）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的極值點個數(shù)；(2)當,方程有兩個不同的實根時,且恒成立,求正數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由題可得設,,①當時,遞增,且,所以有一個變號零點,②當時,在上遞增,在上遞減,且,[1]當時,即時,所以無變號零點；[2]當,即時,,由取,則,所以有兩個變號零點；綜上：當時,有1個極小值點,無極大值點；當時,有1個極小值點和1個極大值點；當時,無極值點.（2）時,即即有兩個不同的根,,,,即,即,.下證對恒成立,設,①當時,,；②當時,,使得時,,所以在上,,在上,,不存在使不等式成立；綜上：.【例4】（2024屆湖南省部分重點學校高三上學期入學摸底考試）已知函數(shù),．(1)當時,求曲線在處的切線方程；(2)若存在極值點,且,求的值,并分析是極大值點還是極小值點．【解析】（1）當時,,,,又,在處的切線方程為：,即.（2）,,即①；,,,,又,,即,,,代入①式得：,令,,則,當時,；當時,；在上單調遞減,在上單調遞增,,有唯一解,此時；當時,,,令,則,令,解得：,當時,；當時,；在上單調遞減,在上單調遞增,又,,,當時,,即；當時,,即；在上單調遞減,在上單調遞增,是的極小值點.四、跟蹤檢測1.（2024屆廣東省深圳市南頭中學高三上學期第一次月考）已知．(1)討論的單調性和極值；(2)若時,有解,求的取值范圍．2．（2024屆山西省呂梁市高三上學期質量檢測）已知函數(shù)．(1)討論的單調性；(2)若的兩個極值點分別為,,證明：．3．（2024屆寧夏銀川一中高三上學期月考）已知函數(shù).(1)求的單調區(qū)間；(2)當時,求函數(shù)的極值.4．（2024屆遼寧省遼東十一所重點高中聯(lián)合教研體高三第一次摸底）已知函數(shù)．(1)當時,求證；(2)令,若的兩個極值點分別為,求證：．5．（2024屆江蘇省鎮(zhèn)江中學高三上學期學情檢測）已知函數(shù).(1)當時,判斷的單調性；(2)當時,記的零點為的極小值點為,判斷與的大小關系,并說明理由.6．（2024屆湖南省衡陽市高三上學期8月測試）已知,.(1)證明：當,有且只有2個零點；(2)討論是否存在使有極小值？并說明理由.（注：討論過程要完整,有明確的結論）7．（2024屆河南省洛陽市等三地部分名校高三上學期開學聯(lián)考）已知函數(shù)(1)若,求曲線在點處的切線方程；(2)若是的極大值點,求的取值范圍.8．（2023屆西藏昌都市第一高級中學高三高考全真仿真考試）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調區(qū)間；(2)若為函數(shù)的極值點,求證：．