PAGEPAGE16第七單元復(fù)數(shù)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2024·浙江高考真題）已知，，(i為虛數(shù)單位)，則（）A． B．1 C． D．32．（2024·北京高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿(mǎn)意，則（）A． B． C． D．3．（2024·全國(guó)高考真題（理））設(shè)，則（）A． B． C． D．4．復(fù)數(shù)z滿(mǎn)意，則的最大值為（）A．1 B． C．3 D．5．歐拉公式（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是虛數(shù)單位）是由瑞士聞名數(shù)學(xué)家歐拉提出的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，則的最小值等于（）A．0 B．1 C．2 D．36．設(shè)是復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（）A．若是純虛數(shù)，則 B．若的實(shí)部為，則為純虛數(shù)C．若，則是實(shí)數(shù) D．若，則是純虛數(shù)7．（2024·重慶高三三模）若復(fù)數(shù)滿(mǎn)意，其中i為虛數(shù)單位，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x，y)滿(mǎn)意方程（）A． B．C． D．8．（2024·黑龍江高三模擬（理））已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，其中，則等于（）A．1 B．5 C． D．13二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．（2024·湖北襄陽(yáng)市·襄陽(yáng)四中高三模擬）一個(gè)復(fù)數(shù)集X稱(chēng)為某種運(yùn)算的“和諧集”是指X滿(mǎn)意性質(zhì):①X?C；②?a，b∈X對(duì)某種規(guī)定的運(yùn)算a⊕b，都有a⊕b∈X.則下列數(shù)集X是相應(yīng)運(yùn)算的“和諧集”的是（）A．，其中i是虛數(shù)單位，規(guī)定運(yùn)算:a⊕b=ab，(?a，b∈X)B．，規(guī)定運(yùn)算:C．，規(guī)定運(yùn)算:a⊕b=ab，(?a，b∈X)D．，規(guī)定運(yùn)算:a⊕b=a+b，(?a，b∈X)10．（2024·江蘇泰州市·高三模擬）設(shè)為復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)、對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為、，坐標(biāo)原點(diǎn)為，則下列命題中正確的有（）A．當(dāng)為純虛數(shù)時(shí)，三點(diǎn)共線B．當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形C．對(duì)隨意復(fù)數(shù)，D．當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)，11．（2024·湖南長(zhǎng)沙市·雅禮中學(xué)高三二模）設(shè)是復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則12．（2024·聊城市·山東聊城一中高三模擬）1487年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)覺(jué)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫(xiě)下公式，這個(gè)公式在復(fù)變函數(shù)中有特別重要的地位，即聞名的“歐拉公式”，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，據(jù)歐拉公式，則（）A． B．C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（2024·首都師范高校附屬中學(xué)高三模擬）復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部是______.14．（2024·河南南陽(yáng)市·高二模擬（理））已知為純虛數(shù)，若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，則________．15．（2024·安徽師范高校附屬中學(xué)高三模擬（理））若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則______．16．（2024·重慶一中高三模擬）在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)點(diǎn)A?P所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為πi?cos(2t﹣)+isin(2t﹣)(i為虛數(shù)單位)，則當(dāng)t由連續(xù)變到時(shí)，向量所掃過(guò)的圖形區(qū)域的面積是___________.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（2024·上海復(fù)旦附中高三模擬）已知關(guān)于的方程的虛數(shù)根為、.（1）求的取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.18．在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)、所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是虛數(shù)單位.（1），，計(jì)算與；（2）設(shè)，（），求證：，并指出向量、滿(mǎn)意什么條件時(shí)該不等式取等號(hào).19．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)意，的虛部為2.（1）求復(fù)數(shù)；（2）設(shè)復(fù)數(shù)、、在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、、，求的值.20．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)意，的虛部為2，（1）求復(fù)數(shù)；（2）設(shè)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，求的面積.21.已知復(fù)數(shù)，，且，其中i為虛數(shù)單位，求的值.22．（2024·湖南株洲市·高三二模）已知復(fù)數(shù)，滿(mǎn)意，其中i為虛數(shù)單位，表示的共軛復(fù)數(shù).（1）求的值；（2）求.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2024·浙江高考真題）已知，，(i為虛數(shù)單位)，則（）A． B．1 C． D．3【答案】C【解析】，利用復(fù)數(shù)相等的充分必要條件可得：.故選：C.2．（2024·北京高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿(mǎn)意，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得：.故選：D.3．（2024·全國(guó)高考真題（理））設(shè)，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則，則，所以，，解得，因此，.故選：C.4．復(fù)數(shù)z滿(mǎn)意，則的最大值為（）A．1 B． C．3 D．【答案】C【解析】設(shè)，，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).由圖可知當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)處時(shí)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大，最大值為3.故選：C.5．歐拉公式（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是虛數(shù)單位）是由瑞士聞名數(shù)學(xué)家歐拉提出的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，則的最小值等于（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】由題意知，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值1．故選：B.6．設(shè)是復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（）A．若是純虛數(shù)，則 B．若的實(shí)部為，則為純虛數(shù)C．若，則是實(shí)數(shù) D．若，則是純虛數(shù)【答案】C【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若為純虛數(shù)，可設(shè)，則，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，取，則為實(shí)數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，則，則，，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，取，則，但，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.7．（2024·重慶高三三模）若復(fù)數(shù)滿(mǎn)意，其中i為虛數(shù)單位，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x，y)滿(mǎn)意方程（）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，代入得：.故選：B8．（2024·黑龍江高三模擬（理））已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，其中，則等于（）A．1 B．5 C． D．13【答案】B【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以即，依據(jù)復(fù)數(shù)相等得到，解得，所以，故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．（2024·湖北襄陽(yáng)市·襄陽(yáng)四中高三模擬）一個(gè)復(fù)數(shù)集X稱(chēng)為某種運(yùn)算的“和諧集”是指X滿(mǎn)意性質(zhì):①X?C；②?a，b∈X對(duì)某種規(guī)定的運(yùn)算a⊕b，都有a⊕b∈X.則下列數(shù)集X是相應(yīng)運(yùn)算的“和諧集”的是（）A．，其中i是虛數(shù)單位，規(guī)定運(yùn)算:a⊕b=ab，(?a，b∈X)B．，規(guī)定運(yùn)算:C．，規(guī)定運(yùn)算:a⊕b=ab，(?a，b∈X)D．，規(guī)定運(yùn)算:a⊕b=a+b，(?a，b∈X)【答案】ABCD【解析】對(duì)于A,設(shè)則a⊕b=ab=,,所以,即a⊕,故A正確；對(duì)于B,,則故即,,即a⊕b,故B正確；對(duì)于C,,則|a|<1,|b|<1,∴|a·b|=|a||b|<1，即a·b,即a⊕b,故C正確；對(duì)于D,由于在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，所以由?，有復(fù)數(shù)的模的不等式得到存在實(shí)數(shù)，使得，又，于是?存在實(shí)數(shù)，使得，，',所以a⊕b=a+b,因?yàn)?，，所以即a⊕b,故D正確；故選：ABCD.10．（2024·江蘇泰州市·高三模擬）設(shè)為復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)、對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為、，坐標(biāo)原點(diǎn)為，則下列命題中正確的有（）A．當(dāng)為純虛數(shù)時(shí)，三點(diǎn)共線B．當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形C．對(duì)隨意復(fù)數(shù)，D．當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)，【答案】ABD【解析】設(shè)，則，對(duì)A：當(dāng)為純虛數(shù)時(shí)，，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為、，均在軸上，所以三點(diǎn)共線，故A正確；對(duì)B:當(dāng)時(shí)，，所以，，所以，而，所以，所以為等腰直角三角形，故B正確；對(duì)C：,,當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)，，此時(shí)，故D正確.故選：ABD11．（2024·湖南長(zhǎng)沙市·雅禮中學(xué)高三二模）設(shè)是復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ABC【解析】對(duì)于，若，則，所以為真；對(duì)于，若，則和互為共軛復(fù)數(shù)，所以為真；對(duì)于，設(shè)，若，則，即，所以，所以為真；對(duì)于，若，則，而，所以為假.故選：12．（2024·聊城市·山東聊城一中高三模擬）1487年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)覺(jué)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫(xiě)下公式，這個(gè)公式在復(fù)變函數(shù)中有特別重要的地位，即聞名的“歐拉公式”，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，據(jù)歐拉公式，則（）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因?yàn)樗?，故A正確，，故B正確，故C錯(cuò)誤，故D正確故選：ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（2024·首都師范高校附屬中學(xué)高三模擬）復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部是______.【答案】【解析】，因此，復(fù)數(shù)的虛部為.故答案為：.14．（2024·河南南陽(yáng)市·高二模擬（理））已知為純虛數(shù)，若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，則________．【答案】【解析】設(shè)，則．因?yàn)閷?duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以，解得，故．故答案為：.15．（2024·安徽師范高校附屬中學(xué)高三模擬（理））若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則______．【答案】【解析】由已知可得，，所以，，所以，.故答案為：.16．（2024·重慶一中高三模擬）在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)點(diǎn)A?P所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為πi?cos(2t﹣)+isin(2t﹣)(i為虛數(shù)單位)，則當(dāng)t由連續(xù)變到時(shí)，向量所掃過(guò)的圖形區(qū)域的面積是___________.【答案】【解析】由題意可得，點(diǎn)P在單位圓上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，π)，如圖：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，向量所掃過(guò)的圖形區(qū)域的面積是的面積與弓形的面積之和.由于，關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)，所以的面積等于的面積(因?yàn)檫@兩個(gè)三角形同底且等高)，故向量所掃過(guò)的圖形區(qū)域的面積是扇形的面積.因?yàn)椤?2×=，所以扇形的面積為等于.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（2024·上海復(fù)旦附中高三模擬）已知關(guān)于的方程的虛數(shù)根為、.（1）求的取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）；（2）.【解析】由題意知，，則，，（1），因?yàn)椋?，故的取值范圍?（2）因?yàn)?，所以，所?18．在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)、所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是虛數(shù)單位.（1），，計(jì)算與；（2）設(shè)，（），求證：，并指出向量、滿(mǎn)意什么條件時(shí)該不等式取等號(hào).【答案】（1），；（2）證明詳見(jiàn)解析，當(dāng)時(shí).【解析】解：（1），所以證明（2），，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，此時(shí).19．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)意，的虛部為2.（1）求復(fù)數(shù)；（2）設(shè)復(fù)數(shù)、、在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、、，求的值.【答案】（1）或；（2）【解析】（1）設(shè),由題,可得,,的虛部為2則或故或（2）由（1）可知,即為,當(dāng)時(shí),即為,,此時(shí),即為,當(dāng)時(shí),即為,,此時(shí),即為,綜上,20．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)意，的虛部為2，（1）求復(fù)數(shù)；（2）設(shè)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，求的面積.【答案】（1）或；（2）1【解析】解：（1）設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），由已知可得：，即，解得或．∴z＝1+i或z＝﹣1﹣i；（2）當(dāng)z＝1+i時(shí)，z2＝2i，z﹣z2＝1﹣i，∴A（1，1），B（0，2），C（1，﹣1），故△ABC的面積S