PAGE22-2025屆高三數(shù)學(xué)5月質(zhì)量檢測試題文（含解析）一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，，則（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用對數(shù)函數(shù)定義域的求法和一元二次不等式的解法，化簡集合A，B，再利用交集的運算求解.【詳解】因，，所以.故選：B【點睛】本題主要考查集合的基本運算以及函數(shù)定義域的求法，一元二次不等式的解法，還考查了運算求解的實力，屬于基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)，則（）.A. B.2 C.3 D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的代數(shù)運算化簡復(fù)數(shù)，在利用復(fù)數(shù)的模的公式求解.【詳解】因為，所以，故選：C【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運算以及復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.3.已知，，，若，則（）.A. B. C.3 D.1【答案】D【解析】【分析】首先利用向量減法坐標(biāo)運算法則求得,之后依據(jù)向量垂直的條件為其數(shù)量積等于零，利用向量數(shù)量積坐標(biāo)公式求得結(jié)果.【詳解】，，.【點睛】該題考查的是有關(guān)向量的問題，涉及到的學(xué)問點有向量減法坐標(biāo)運算公式，向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于簡潔題目.4.閱歷表明：當(dāng)人的下肢部分之長與身高總長度的比為時是最美的，假如某人的這個比值與相差較大，則可以通過穿適當(dāng)高度的高跟鞋來調(diào)整，從而達到美的標(biāo)準(zhǔn).若某女性的身高170厘米，下肢部分之長為103厘米，為了讓自己變得更美，該女性選擇高跟鞋的高度最適合的為（）.A.厘米 B.厘米 C.厘米 D.厘米【答案】A【解析】【分析】人最美時下肢長與上身長之比是不變的，也就是說下肢長與上身長之比的比值是肯定的，即兩種量成正比例，由此設(shè)出未知數(shù)，列出比例式解答即可．【詳解】設(shè)該女性選擇高跟鞋的高度為，由題意有，解得厘米.故選：A【點睛】本題考查了黃金分割，考查邏輯思維實力和計算實力，屬于?？碱}.5.若雙曲線的離心率，則實數(shù)的取值范圍為（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出離心率，由已知離心率范圍列出不等式可解得的范圍．【詳解】由題意有，，，解得.故選：B．【點睛】本題考查由雙曲線的離心率求參數(shù)范圍，求得離心率表達式是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．6.函數(shù)的最大值為（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用兩角和與差的三角函數(shù)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】，，.故選：D【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)以及兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，還考查了運算求解的實力，屬于中檔題.7.已知數(shù)列滿足，且，，則數(shù)列前6項的和為（）.A.115 B.118 C.120 D.128【答案】C【解析】【分析】由題干條件求得，得到，構(gòu)造等比數(shù)列可得數(shù)列的通項公式，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可求得數(shù)列前6項的和.【詳解】，則，可得，可化為，有，得，則數(shù)列前6項的和為.故選：C【點睛】本題考查由遞推公式求數(shù)列通項公式以及求數(shù)列前n項和，屬于基礎(chǔ)題.8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）.A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)，可求周期為4，，由題意可知【詳解】由函數(shù)的周期為，，，，，.故選：C【點睛】本題考查了程序框圖求和，正弦型三角函數(shù)的周期等基本學(xué)問，考查了運算求解實力和邏輯推理實力，屬于一般題目.9.函數(shù)在的圖象大致為（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】可知函數(shù)為奇函數(shù)，通過構(gòu)造函數(shù)，可得，進一步可得，即，結(jié)合圖象可得結(jié)果.【詳解】由，可得函數(shù)是奇函數(shù).令，，可得函數(shù)單調(diào)遞增，可得，，又（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），即，所以D正確故選：D【點睛】本題考查了通過函數(shù)解析式求函數(shù)圖象，函數(shù)的奇偶性、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式和基本不等式的應(yīng)用等基本學(xué)問，考查了運算求解實力和邏輯推理實力，屬于中檔題目.10.在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，若，且，則（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及正弦定理可得，再依據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，利用兩角差的正弦公式化簡即可得解；【詳解】解：可化為，所以即，所以得，又，所以，即所以，得，有，得，得.故選：B【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、正弦定理的應(yīng)用以及兩角差的正弦公式，屬于中檔題.11.已知函數(shù)可以表示成一個偶函數(shù)和一個奇函數(shù)之差，若對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題干條件構(gòu)造方程組解出函數(shù)和的解析式，再用分別參數(shù)法將對恒成立轉(zhuǎn)化為對恒成立，進而求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由，有，解得，，可化為，有，有，得，又由，有.故選：C【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性、求函數(shù)解析式等學(xué)問點以及對恒成立問題的處理，屬于中檔題.12.如圖，橢圓的方程為，，分別為橢圓的左、右焦點，點、是橢圓上位于軸上方的兩點，且，則的取值范圍為（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】延長射線、分別與橢圓相交于、兩點，由橢圓的對稱性，則，若直線的斜率不存在易得；若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用兩點間的距離公式結(jié)合韋達定理建立求解.【詳解】如圖，延長射線、分別與橢圓相交于、兩點，由橢圓的對稱性可知，，設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為.①若直線的斜率不存在，則點、的坐標(biāo)分別為、，有②若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，消去后整理為，有，，，，，，則的取值范圍為.故選：B【點睛】本題主要考查橢圓的對稱性以及直線與橢圓的位置關(guān)系，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的實力，屬于較難題.二、填空題：13.某企業(yè)為了了解1000名職工的身體狀況，用系統(tǒng)抽樣法（按等距離的規(guī)則）抽取50人參與體檢，將職工從進行編號，若823號職工被抽到，則第3組中被抽到的編號為______.【答案】43【解析】【分析】按系統(tǒng)抽樣法，求出該抽樣的分段間距，再求出823號職工是在第42組中第3位被抽到，從而得出答案.【詳解】按系統(tǒng)抽樣法，該抽樣的分段間距為：，而，所以823號職工是在第42組中第3位被抽到，所在第3組中被抽到的編號為43，故答案為：43.【點睛】本題考查隨機抽樣之系統(tǒng)抽樣，系統(tǒng)抽樣法是按等距離抽樣原則，一般需求出抽樣的分段間距，屬于基礎(chǔ)題.14.曲線過原點的切線方程為______.【答案】【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點為，寫出切線方程，由切線過原點求出值，得切線方程．【詳解】設(shè)切點為，，，所求切線方程為，代入點可得，得，所求切線方程為，整理得.故答案為：．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解題時要留意在求曲線在某點處的切線還是求過某點的切線，在某點處切線，該點是切線，該點導(dǎo)數(shù)值即為切線斜率，而過某點的切線，則需設(shè)出切點坐標(biāo)，寫出切線方程，由切線所過點求出切點坐標(biāo)后得結(jié)論．15.已知，則______.【答案】【解析】【分析】利用兩角差的正切公式可求得的值，然后利用二倍角公式以及弦化切的思想可求得的值.【詳解】由兩角差的正切公式可得，得，.故答案為：.【點睛】本題考查利用兩角差的正切公式、誘導(dǎo)公式以及弦化切運算技巧求值，考查計算實力，屬于基礎(chǔ)題.16.如圖，在三棱錐中，平面，，，，則三棱錐的外接球的體積為______.【答案】【解析】【分析】將三棱錐放在長方體中，則三棱錐的外接球即為長方體的外接球，球的直徑為長方體的體對角線的長求解.【詳解】如圖所示：將三棱錐放在長方體中，則三棱錐的外接球即為長方體的外接球，球的直徑是PB，球的半徑，屬于三棱錐的外接球的體積為.故答案為：【點睛】本題主要考查幾何體的外接球的體積，還考查了空間想象和轉(zhuǎn)化求解問題的實力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22～23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：17.代駕就是當(dāng)車主不能自行開車到達目的地時，由專業(yè)駕駛?cè)藛T駕駛車主的車將其送至指定地點并收取肯定費用的行為.某互聯(lián)網(wǎng)代駕平臺為了分析客戶的需求，以便于更好的服務(wù)廣闊客戶，隨機調(diào)查了1000名代駕司機一個月內(nèi)的客戶滿足或不滿足的評價，得到如下列聯(lián)表：特別滿足基本滿足合計駕齡年300駕齡10年以上合計其中（1）求、、的值；（2）分別估計客戶對“駕齡年”、“駕齡10年以上”代駕司機服務(wù)基本滿足的概率；（3）請完成上述列聯(lián)表，并推斷能否有％的把握認(rèn)為不同駕齡的代駕司機對客戶對該互聯(lián)網(wǎng)代駕平臺的評價有差異？附：，【答案】（1），，；（2）；；（3）填表見解析；有.【解析】【分析】（1）由可得；（2）計算和即得；（3）依據(jù)所求填充即可，計算出可得結(jié)論．【詳解】解：（1）由題意有，，，可求得，，.（2）客戶對“駕齡年”代駕司機服務(wù)基本滿足的概率為，客戶對“駕齡10年以上”代駕司機服務(wù)基本滿足的概率為.（3）完成列聯(lián)表如下：特別滿足基本滿足合計駕齡年300100400駕齡10年以上400200600合計7003001000由，故能有％的把握認(rèn)為不同駕齡的代駕司機對客戶對該互聯(lián)網(wǎng)代駕平臺的評價有差異.【點睛】本題考查列聯(lián)表，考查獨立性檢驗．計算解題關(guān)鍵．本題屬于基礎(chǔ)是．18.已知等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，依據(jù)，，利用“”求解.（2）由（1）得到，進而得到，然后利用裂項相消法求解.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意得，解得，，故數(shù)列通項公式為.（2）由（1）知，所以，所以，所以.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式，前n項和公式以及裂項相消法求和，還考查了運算求解的實力，屬于中檔題.19.如圖，在四棱錐中，底面為邊長為3的正方形，，，平面平面，為的中點，為的中點.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點，易證四邊形為平行四邊形，得，再利用線面平行的判定定理證明.（2）在中，，可得，再由，平面，得到平面，進而得到，從而平面，再由平面，將點到平面的距離轉(zhuǎn)化為點到平面的距離求解.【詳解】（1）如圖，取的中點，∵，，∴且.∵，，∴且，∴四邊形為平行四邊形，得.∵平面，平面，∴平面.（2）在中，，可得，∵，平面，∴平面.∵平面，∴，，平面，，∴平面.∵，平面，∴平面.∴點到平面的距離與點到平面的距離相等，點到平面的距離為.【點睛】本題主要考查線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理以及面面垂直的性質(zhì)定理，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和邏輯推理的實力，屬于中檔題.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，證明：函數(shù)單調(diào)遞增；（2）當(dāng)時，令，若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）求得，對其中的通過構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)推斷其正負，即可由的正負，推斷和證明函數(shù)單調(diào)性；（2）依據(jù)題意求得，利用導(dǎo)數(shù)探討其單調(diào)性，據(jù)此求得最小值，結(jié)合即可求得結(jié)果.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，令，，令可得，可得函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，可得.又由，得，故當(dāng)時函數(shù)的單調(diào)遞增.（2）由題意有令可得，可得函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為有，可得，故所求實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)推斷和證明函數(shù)單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)處理恒成立求參數(shù)范圍的問題，屬綜合基礎(chǔ)題.21.已知拋物線，圓，直線與拋物線和圓同時相切.（1）求和的值；（2）若點的坐標(biāo)為，過點且斜率為的直線與拋物線分別相交于、兩點（點在點的右邊），過點的直線與拋物線分別相交于、兩點，直線與不重合，直線與直線相交于點，求證：點在定直線上.【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）依據(jù)圓心到直線的距離等于半徑可得，聯(lián)立直線與拋物線方程，依據(jù)判別式等于零可得；（2）聯(lián)立直線與拋物線，解得點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，聯(lián)立直線與拋物線方程，依據(jù)韋達定理可得，利用直線和直線的方程聯(lián)立，消去可得，所以點在定直線上【詳解】（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可知圓的圓心為，半徑為，由直線與圓相切，可得，解得或（舍去），聯(lián)立方程，消去后整理為，因為直線與拋物線相切，所以，得，故，.（2）證明：直線的方程為，聯(lián)立方程，解得或，則點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為聯(lián)立方程，消去整理為，有，，，由得或，直線的斜率為，直線的斜率為，直線的方程為，化為，直線的方程為，化為，聯(lián)立直線、的方程消去后得，得，因為直線與不重合，所以，所以，故點在定直線上.【點睛】本題考查了直線與圓、直線與拋物線相切的位置關(guān)系，考查了韋達定理、斜率公式、直線的交點問題，考查了運算求解實力，屬于中檔題.（二）選考題：[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點的極坐標(biāo)為.（1）點、的直角坐標(biāo)分別為、，若，求點的軌跡的直角坐標(biāo)方程，并說明曲線是何種幾何