13.3.2等腰三角形的判定●

考點(diǎn)清單解讀●

重難題型突破■考點(diǎn)一

等腰三角形的判定13.3.2等腰三角形的判定定義法有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形等角對(duì)等邊如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”）其他利用“三線合一”中的兩線合一也可以判定等腰三角形13.3.2等腰三角形的判定歸納總結(jié)未判定三角形是等腰三角形時(shí)，不能用“底角”“腰”等名詞.13.3.2等腰三角形的判定對(duì)點(diǎn)典例剖析典例1

如圖，在△AOB中，點(diǎn)C在OA上，點(diǎn)E，D在OB上，且AB=AD，CD∥AB，CE∥AD，求證：△CDE是等腰三角形.13.3.2等腰三角形的判定［答案］

證明：∵CD∥AB，∴∠CDE=∠B，又∵CE∥AD，∴∠CED=∠ADB，又∵AB=AD，∴∠B=∠ADB，∴∠CDE=∠CED，∴△CDE是等腰三角形．■考點(diǎn)二

等邊三角形的判定13.3.2等腰三角形的判定等邊三角形的判定邊三條邊都相等的三角形是等邊三角形角三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形邊角綜合有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形13.3.2等腰三角形的判定歸納總結(jié)

13.3.2等腰三角形的判定對(duì)點(diǎn)典例剖析典例2

如圖，△ABO是等邊三角形，CD∥AB，分別交AO，BO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，D.求證：△OCD是等邊三角形.13.3.2等腰三角形的判定［答案］

證明：∵△ABO是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠AOB=60°，∵AB∥CD，∴∠C=∠A=60°，∠D=∠B=60°，又∵∠COD=∠AOB=60°，∴△OCD是等邊三角形．

13.3.2等腰三角形的判定例1

在△ABC中，AB≠AC，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，MN經(jīng)過點(diǎn)O，與AB，AC相交于點(diǎn)M，N，且MN∥BC．（1）如圖1，寫出圖中所有的等腰三角形；猜想：MN與BM，CN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，△ABC中，∠ABC的平分線BO與三角形外角平分線CO交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OM∥BC交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N．圖中有等腰三角形嗎？如果有，分別指出它們，并直接寫出MN與BM，CN之間的數(shù)量關(guān)系．13.3.2等腰三角形的判定13.3.2等腰三角形的判定［答案］

解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB，∵M(jìn)N∥BC，∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO，∴BM=OM，CN=ON，∴△BMO，△CNO是等腰三角形，即圖中等腰三角形有△BMO，△CNO；∵M(jìn)N=OM+ON，∴MN=BM+CN.即MN與BM，CN之間的數(shù)量關(guān)系是MN=BM+CN；13.3.2等腰三角形的判定（2）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACH，∴∠MBO=∠CBO，∠NCO=∠OCH，∵OM∥BC，∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCH，∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO，∴BM=OM，CN=ON，∴△BMO，△CNO是等腰三角形，即圖中等腰三角形有△BMO，△CNO；MN與BM，CN之間的數(shù)量關(guān)系是MN=BM-CN．13.3.2等腰三角形的判定變式衍生1

如圖，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點(diǎn)G，F(xiàn)，若FG=2，ED=5，則BE+DC的值為（）A．5

B．6

C．7

D．8C13.3.2等腰三角形的判定思路點(diǎn)撥

13.3.2等腰三角形的判定例2如圖，C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM，△CBN都是等邊三角形，連結(jié)AN交MC于點(diǎn)E，連結(jié)BM交CN于點(diǎn)F，連結(jié)EF．（1）求證：AN=BM；（2）求證：△CEF為等邊三角形.13.3.2等腰三角形的判定［答案］

證明：（1）∵△ACM，△CBN是等邊三角形，∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=∠NCB=60°，∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，即∠ACN=∠MCB，在△ACN和△MCB中，∵AC=MC，∠ACN=∠MCB，NC=BC,∴△ACN≌△MCB（S.A.S.），∴AN=BM；13.3.2等腰三角形的判定

（2）∵△ACN≌△MCB，∴∠CAN=∠CMB，又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°，∠ACE=60°，∴∠MCF=∠ACE，在△CAE和△CMF中，∵∠CAE=∠CMF，CA=CM，∠ACE=∠MCF,∴△CAE≌△CMF（A.S.A.），∴CE=CF，∴△CEF為等腰三角形，又∵∠ECF=60°，∴△CEF為等邊三角形．13.3.2等腰三角形的判定變式衍生2

如圖，△ABC是等邊三角形，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，CA上的點(diǎn)，且AD=BE=CF，求證：△DEF是等邊三角形．13.3.2等腰三角形的判定證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，∵AD=BE=CF，∴BD=CE=AF，在△ADF和△BED中，∵

AD=BE，

∠A=∠B，

AF=BD