2024~2025學(xué)年度高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)戰(zhàn)內(nèi)作答，寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)直線的傾斜角為，則（）A.B.C.D.2.已知平面的一個法向量為，直線的一個方向向量為，若，則（）A.B.C.1D.23.已知直線與平行，且過點(diǎn)，則（）A.B.3C.D.24.如圖，在正三棱錐中，點(diǎn)為的重心，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，記，則（）A.B.C.D.5.已知從點(diǎn)發(fā)出的一束光線，經(jīng)過直線反射，反射光線恰好過點(diǎn)，則反射光線所在的直線方程為（）A.B.C.D.6.如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，，則點(diǎn)到直線的距離為（）A.B.C.D.7.已知實(shí)數(shù)滿足，且，則的取值范圍為（）A.B.C.D.8.在正三棱錐中，，點(diǎn)滿足，則的最小值為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知空間向量，且，則下列說法正確的是（）A.B.C.D.10.已知直線和直線，下列說法正確的是（）A.始終過定點(diǎn)B.若，則或C.若，則或2D.當(dāng)時，始終不過第三象限11.如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)是底面內(nèi)的一點(diǎn)（包括邊界），且，則下列說法正確的是（）A.點(diǎn)的軌跡長度為B.點(diǎn)到平面的距離是定值C.直線與平面所成角的正切值的最大值為D.的最小值為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知過點(diǎn)的直線在軸上的截距是其在軸上截距的3倍，則滿足條件的一條直線的方程為__________.13.已知向量，若共面，則__________.14.如圖，在正三棱柱中，為棱上的動點(diǎn)（包括端點(diǎn)），為的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.15.（本小題滿分13分）已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）若點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，求直線的方程；（2）求邊上的高所在的直線方程.16.（本小題滿分15分）如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與直線的夾角的余弦值.17.（本小題滿分15分）如圖，在直四棱柱中，四邊形是矩形，，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，且.（1）求證：四邊形為正方形；（2）求直線與平面所成角的正弦值.18.（本小題滿分17分）已知直線過定點(diǎn).（1）求過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等的直線的方程；（2）若直線交軸正半軸于點(diǎn)，交軸負(fù)半軸于點(diǎn)的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最小值，并求此時直線的方程.19.（本小題滿分17分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，且平面平面，在平面內(nèi)過作，交于，連接.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）在線段上存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角的正弦值為，求的長.2024~2025學(xué)年度高二上學(xué)期10月月考·數(shù)學(xué)參考答案、提示及評分細(xì)則1.A因?yàn)橹本€的斜率為，由斜率和傾斜角的關(guān)系可得，又，.故選A.2.B因?yàn)椋?，所以，解?故選B.3.D因?yàn)橹本€與直線平行，，解得，直線過，則得，經(jīng)驗(yàn)證與不重合，.故選D.4.A因?yàn)闉榈闹匦?，所以，又點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，所以.故選A.5.C點(diǎn)關(guān)于對稱的點(diǎn)設(shè)為，則，反射光線經(jīng)過點(diǎn)，則反射光線所在的直線方程為，即，故選C.6.C取的中點(diǎn)，則，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，所以，所以在上的投影的長度為，故點(diǎn)到直線的距離為.故選C.7.D由于點(diǎn)滿足關(guān)系式，且，可知在線段上移動，且，，設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以的取值范圍是，故選D.8.B延長至點(diǎn)，使得，所以，又由，所以四點(diǎn)共面，所以的最小值為點(diǎn)到平面的距離，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的一半，又，易得點(diǎn)到平面的距離為，所以的最小值為.故選B.9.ABD，故A正確；，設(shè)，故B正確；，故C錯誤；，故D正確.故選ABD.10.ACD11.BCD因?yàn)?，即，所以，即點(diǎn)在底面內(nèi)是以為圓心?半徑為1的圓上，所以點(diǎn)的軌跡長度為，故A錯誤；在正方體中，，又平面，所以平面，所以點(diǎn)的軌跡為線段，又平面，所以點(diǎn)到平面的距離是定值，故B正確；因?yàn)辄c(diǎn)到的距離為定值2，記點(diǎn)在平面的投影為，所以當(dāng)取得最小值時，直線與平面所成角的正切值最大，又，所以直線與平面所成角的正切值的最大值為，故C正確；到直線的距離為，當(dāng)點(diǎn)落在上時，，故D正確.故選BCD.12.答案見錯題集13.5因?yàn)楣裁?，所以存在?shí)數(shù)，使得，即，即14.取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，且，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故，于是，平面的一個法向量為，，設(shè)，則，，故.15.（1）因?yàn)辄c(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，則，所以，所以直線的方程為，即；（2）因?yàn)?，所以邊上的高所在的直線的斜率為，所以邊上的高所在的直線方程為，即.16.（1）證明：由于三棱柱是直三棱柱，所以，因?yàn)辄c(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，所以，則四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面?）解：因?yàn)橹比庵砸詾樵c(diǎn)，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，于是，設(shè)直線與直線的夾角為，則，所以直線與直線的夾角的余弦值為.17.（1）證明：連接，如圖所示，在直四棱柱中，平面，又平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又四邊形是矩形，所以四邊