2024年秋季學(xué)期新高二開(kāi)學(xué)考數(shù)學(xué)試卷

考試范圍：必修一、必修二；考試時(shí)間：120分鐘；日期：2024年8月

題號(hào)一二三四總分

得分

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂

其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

L復(fù)數(shù)三的共輾復(fù)數(shù)是（）

A.i+2B.-2+iC.-2-iD.2T

2.命題"％eR,sin%+1>0”的否定是(

A.3%G/?,sin%+1<0B.X/xER,sinx+1<0

C.G/?,sinx+1>0D.XfxER,sinx+1<0

3.已知函數(shù)f（x）=牖曹工”4°恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍為（）

A.(-1,+8)B.(1,+oo)C.[1,+8)D.[-l,+oo)

4.已知函數(shù)/(%)=Asin(a%+ER,A>0fa)>0,\(p\<方的圖象(部分)如圖

/(%)的解析式是()

A./(x)=2sin(%+看)(％ER)B./(%)=2sin(2x+

C./(%)=2sin(%+§(%€R)D./(%)=2sin(2x+§(%ER)

5.從某地區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)用電量都在50至350/cW?h之間.將數(shù)據(jù)分組后得到如表所示的頻

率分布表，估計(jì)此地區(qū)月均用電量的第80百分位數(shù)是（）

分組[50,100)[100,150)[150,200)[200,250)[250,300)[300,350]合計(jì)

頻率0.120.180.300.250.100.051

A.230B.235C.240D.245

6.為解決某校午餐路途擁擠問(wèn)題，計(jì)劃修建從教學(xué)樓直達(dá)食堂的空中走廊.現(xiàn)結(jié)合以下設(shè)計(jì)草圖提出問(wèn)題：已知4。兩

點(diǎn)分別代表食堂與教學(xué)樓出入口，C點(diǎn)為。點(diǎn)正上方一標(biāo)志物，AE對(duì)應(yīng)水平面，現(xiàn)測(cè)得乙乙4。二15°,乙CBD=45°,AB=

50m,CD=257n.設(shè)Z>￡ME=0,則cos。=()

C.<3-1D.與

7.某學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，對(duì)他們每周使用手機(jī)的時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下的頻率分布直方圖.則下列說(shuō)法：①a=

0.03；②若抽取100人，則平均用時(shí)一定為13.75小時(shí)；③若從每周使用時(shí)間在［15,20）,［20,25）,［25,30］三組內(nèi)的學(xué)生

中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法選取8人進(jìn)行訪談，則應(yīng)從使用時(shí)間在［20,25）內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為3.其中正確

C.②③D.①②③

8.已知正四棱錐（底面為正方形，且頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心的棱錐為正四棱錐）P-ABCD的底面正方形邊長(zhǎng)

為2,其內(nèi)切球。的表面積為半動(dòng)點(diǎn)Q在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且滿足OQ=OP,則動(dòng)點(diǎn)Q形成軌跡的周長(zhǎng)為（）

A27r—37r-（4加一57r

A.—B.—C.—D.—

11111111

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.如圖，在三棱柱4BC-4再也1中，4B=「44I=2，3，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)。為該三棱柱外接球的球心，則

下列命題正確的有（）

A.A41平面力8CB,異面直線/C與441所成角的大小是［

O

C.球。的表面積是20兀D.點(diǎn)。到平面4B1C的距離是余

cos

10.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P](cosa,sina),P2(—sin/?),P3(cos(a+13),sin(a+/?)),4(1,0),貝!J()

A.\0Pr\=\0P2\B.\APr\=\AP2\

C.雨?西=西?西D.OA-OPl=~OP^-OP^

11.如圖，海水養(yǎng)殖廠進(jìn)行某水產(chǎn)品的新舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品

產(chǎn)量(單位：kg),其頻率分布直方圖如圖所示.

舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法

根據(jù)頻率分布直方圖，下列說(shuō)法正確的是()

A.新網(wǎng)箱產(chǎn)量的方差的估計(jì)值高于舊網(wǎng)箱產(chǎn)量的方差的估計(jì)值

B.新網(wǎng)箱產(chǎn)量中位數(shù)的估計(jì)值高于舊網(wǎng)箱產(chǎn)量中位數(shù)的估計(jì)值

C.新網(wǎng)箱產(chǎn)量平均數(shù)的估計(jì)值高于舊網(wǎng)箱產(chǎn)量平均數(shù)的估計(jì)值

D.新網(wǎng)箱頻率最高組的總產(chǎn)量的估計(jì)值接近舊網(wǎng)箱頻率最高組總產(chǎn)量估計(jì)值的兩倍

第n卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知集合力={%|/一4%+42-7=0},B={無(wú)一式一6二°卜若滿足anB=2UB,則實(shí)數(shù)a=.

12

13.已知正數(shù)久，y滿足％+3y—,=6,貝!J久+3y的最小值是.

14.據(jù)浙江省新高考規(guī)則，每名同學(xué)在高一學(xué)期結(jié)束后，需要從七門選考科目中選擇其中三門作為高考選考科目.某同學(xué)

已經(jīng)選擇了物理、化學(xué)兩門學(xué)科，還需要從生物、技術(shù)這兩門理科學(xué)科和政治、歷史、地理這三門文科學(xué)科共五門學(xué)

科中再選擇一門，設(shè)事件E=“選擇生物學(xué)科”，F(xiàn)="選擇一門理科學(xué)科”，G=“選擇政治學(xué)科"，”="選擇一門文科學(xué)

科”，現(xiàn)給出以下四個(gè)結(jié)論：

①G和H是互斥事件但不是對(duì)立事件；

②尸和H是互斥事件也是對(duì)立事件；

③P(F)+P(G)=1；

④P(EUW)=P(E)+P(W).

其中，正確結(jié)論的序號(hào)是.(請(qǐng)把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都寫上)

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題13分)

44BC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知cos2B+cos2C—cos2A=1—2sinBsinC.

⑴求a；

(2)若a=4,求團(tuán)ABC面積的最大值.

16.(本小題15分)

“猜燈謎”又叫“打燈謎”，是元宵節(jié)的一項(xiàng)活動(dòng)，出現(xiàn)在宋朝.南宋時(shí)，首都臨安每逢元宵節(jié)時(shí)制迷，猜謎的人眾多.開(kāi)

始時(shí)是好事者把謎語(yǔ)寫在紙條上，貼在五光十色的彩燈上供人猜.因?yàn)橹i語(yǔ)既能啟迪智慧又饒有興趣，所以流傳過(guò)程

中深受社會(huì)各階層的歡迎.在一次元宵節(jié)猜燈謎活動(dòng)中，共有20道燈謎，三位同學(xué)獨(dú)立競(jìng)猜，甲同學(xué)猜對(duì)了12道，乙

同學(xué)猜對(duì)了8道，丙同學(xué)猜對(duì)了n道.假設(shè)每道燈謎被猜對(duì)的可能性都相等.

(1)任選一道燈謎，求甲，乙兩位同學(xué)恰有一個(gè)人猜對(duì)的概率；

(2)任選一道燈謎，若甲，乙，丙三個(gè)人中至少有一個(gè)人猜對(duì)的概率為求九的值.

17.(本小題15分)

如圖，在三棱柱ABC—41B1G中，側(cè)棱力力11底面ABC,M為棱AC的中點(diǎn).AB=BC,AC=2,44]=。.

(1)求證：〃平面力iBM；

(2)求證：AC11平面4/M；

(3)在棱BBi上是否存在點(diǎn)N,使得平面2GN1平面A41GC?如果存在，求此時(shí)署的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=需是定義在(—1,1)上的奇函數(shù)，且/弓)=

(1)確定函數(shù)/(%)的解析式；

(2)用定義證明f(x)在上是增函數(shù)：

(3)解關(guān)于x的不等式/'(X-1)+f(x)<0.

19.(本小題17分)

給定三棱錐。，設(shè)。的四個(gè)頂點(diǎn)到平面a的距離所構(gòu)成的集合為M,若M中元素的個(gè)數(shù)為k,則稱a為。的k階等距平面,

稱M為O的那介等距集.

A

C

(1)若。為三棱錐A—BCD,滿足4B=CD=4。=BC=4,AC=BD2,求出。的1階等距平面截該三棱錐所得到的

截面面積(求出其中的一個(gè)即可)；

(2)如圖所示，。是棱長(zhǎng)為，克的正四面體4BCD.

(i)若a為。的1階等距平面且1階等距集為{a},求a的所有可能取值以及相對(duì)應(yīng)的a的個(gè)數(shù)；

(ii)已知夕是。的4階等距平面，點(diǎn)2與點(diǎn)B,C,。分別位于￡兩側(cè),是否存在口，使。的4階等距集為出,2h3h46},其中點(diǎn)

2到0的距離為6?若存在，求出￡截。所得的平面多邊形的最大邊長(zhǎng);若不存在，說(shuō)明理由.

絕密★啟用前

2024年秋季學(xué)期新高二開(kāi)學(xué)考數(shù)學(xué)試卷

考試范圍：必修一、必修二；考試時(shí)間：120分鐘；日期：2024年8月

題號(hào)一二三四總分

得分

注意事項(xiàng)：

L答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂

其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回。

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.復(fù)數(shù)怎的共輾復(fù)數(shù)是（）

A.i+2B.-2+iC.-2-iD.2-i

【答案】B

【解析】【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算與共輾復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

首先要對(duì)所給的復(fù)數(shù)進(jìn)行整理，分子和分母同乘以分母的共軌復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)形式，把得到的復(fù)數(shù)虛部變?yōu)橄喾磾?shù)，

得到要求的共軌復(fù)數(shù).

【解答】解：?.?復(fù)數(shù)2=與等=-2-1,

1一22'一』

二共軌復(fù)數(shù)是-2+i,

故選：B.

2.命題“Vx￡R,sinx+1>0”的否定是（）

A.BxE.R,sinx+1<0B.\/xER,sinx+1<0

C.BxER,sinx+1>0D.\/xe.R,sinx+1<0

【答案】A

【解析】【分析】

本題主要考查了命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.

破解含有量詞的命題的否定需兩步驟：一是把全稱量詞改為存在量詞，或把存在量詞改為全稱量詞;二是對(duì)結(jié)論進(jìn)行否

定.

【解答】解：把全稱量詞改為存在量詞，并否定結(jié)論,

則原命題的否定為TxeR,sinx+1<0”，

故選A.

3.已知函數(shù)〃久)=篇曹瑟》4°恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍為()

A.(-1,+oo)B.(l,+oo)C.[1,+oo)D.[-1,+oo)

【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查了分段函數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)顯然有一個(gè)零點(diǎn)，要使函數(shù)/'(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則/(%)=2x+m-l(xW0)必有一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合

/(%)=2%+m-1(%<0)的單調(diào)性，列式可得結(jié)果.

【解答】

解：函數(shù)的=緇曹瑟乂《°，

當(dāng)久>0時(shí)，f(x)顯然有一個(gè)零點(diǎn)，所以要使函數(shù)f(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則/(久)=2萬(wàn)+巾-1040)必有一個(gè)零點(diǎn)，

又/(x)=2x+m—1在(―8,0]上單調(diào)遞增，

所以/'(0)=m-1>0,解得m>1.

故本題選C.

4.已知函數(shù)〃久)=Asin(Mx+(p)(xeR,A>0,co>0,\<p\<今的圖象(部分)如圖所示，則/(x)的解析式是()

A./(x)=2sin(x+)(xeR)B.f(x)—2sin(2x+"(xeR)

C./(%)=2sin(x+§(xeR)D./(%)=2sin(2x+%(xeR)

【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)圖象求出43和0,即可求函數(shù)/(%)的解析式.

【解答】

解：由圖象可知7=4乂,一$=2兀，

27r27r.

??.3=下=石=1,

??"(X)過(guò)最高點(diǎn)償,2),

A—2,卬)=即弓+k€Z,

sin(—o+o1z,z+0=2/OT,

取<3

n

中=5'

/(%)的解析式為/1(%)=2sin(x+^)(xG/?).

故選：C.

5.從某地區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)用電量都在50至350/dV-/i之間.將數(shù)據(jù)分組后得到如表所示的頻

率分布表，估計(jì)此地區(qū)月均用電量的第80百分位數(shù)是()

分組[50,100)[100,150)[150,200)[200,250)[250,300)[300,350]合計(jì)

頻率0.120.180.300.250.100.051

A.230B.235C.240D.245

【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了頻率分布表，百分位數(shù)，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

利用百分位數(shù)的概念，即可解出.

【解答】

解：由頻率分表可知，數(shù)據(jù)均勻分布，

所以第80百分位數(shù)是，200+50x08-0.1就.18-0.3=240,

故選：C.

6.為解決某校午餐路途擁擠問(wèn)題，計(jì)劃修建從教學(xué)樓直達(dá)食堂的空中走廊.現(xiàn)結(jié)合以下設(shè)計(jì)草圖提出問(wèn)題：已知2,D兩

點(diǎn)分別代表食堂與教學(xué)樓出入口，C點(diǎn)為D點(diǎn)正上方一標(biāo)志物，4E對(duì)應(yīng)水平面，現(xiàn)測(cè)得=15。，4CBD=45。，AB=

50m,CD=257n.設(shè)=3,則cos。=()

c

I)

E

A.<2

【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題.

因?yàn)閑+/LADE=90°,貝Ijcose=cos(90°-NADE)=sin^ADE=sin乙BDC,再結(jié)合三角形BCD求解即可.

【解答】

解：在AABC中，因?yàn)镹C4D=15。，^CBD=45°,

所以“BA=135°,^ACB=30°.

由正弦定理得BC4B

sinz.BACsinzSCB’

ABsinZ.BAC50xsinl5

=25(^-V-2).

BC=sin乙4cBsin30°

CD

在ABC。中，由正弦定理得菽或=

sin乙CBD'

所以sin/BDC=蟹泮=25(fx?=d

因?yàn)椤?NADE=90°,

所以cos。=cos(90°—Z.ADE}—sinZ_4DE=sinZ-BDC—>J~3—1.

7.某學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，對(duì)他們每周使用手機(jī)的時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下的頻率分布直方圖.則下列說(shuō)法：①a=

0.03；②若抽取100人，則平均用時(shí)一定為13.75小時(shí)；③若從每周使用時(shí)間在［15,20）,［20,25）,［25,30］三組內(nèi)的學(xué)生

中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法選取8人進(jìn)行訪談，則應(yīng)從使用時(shí)間在［20,25）內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為3.其中正確

的序號(hào)是（）

0.06■~

0.04,—*,—

41

0.02一

0,01

051015202530時(shí)聞小時(shí)

A.①②B,①③C.②③D.①②③

【答案】B

【解析】【分析】

本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

利用頻率和為1判斷①；根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算判斷②；利用分層抽樣的性質(zhì)判斷③。

【解答】

解：由頻率分布直方圖得：

對(duì)于①，(0.02+0.04+0.06+0,04+a+0.01)X5=1,解得a=0.03,故①正確；

對(duì)于②，根據(jù)頻率分布直方圖可估計(jì)出平均值為(0.02x2.5+0.04x7.5+0.06x12.5+0.04x17.54-0.03x22.5+

0.01X27.5)X5=13,75,

所以估計(jì)抽取100人的平均用時(shí)為1375小時(shí)，②的說(shuō)法太絕對(duì)，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，從每周使用時(shí)間在[15,20),[20,25),[25,30)三組內(nèi)的學(xué)生中用分層抽樣的方法選取8人進(jìn)行訪談，

則應(yīng)從使用時(shí)間在[20,25)內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為：8X——=3,故③正確.

8.已知正四棱錐(底面為正方形，且頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心的棱錐為正四棱錐)P-4BCD的底面正方形邊長(zhǎng)

為2,其內(nèi)切球。的表面積為全動(dòng)點(diǎn)Q在正方形4BCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且滿足OQ=OP,則動(dòng)點(diǎn)Q形成軌跡的周長(zhǎng)為()

A.*B.等C.萼D.整

11111111

【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了正四棱錐內(nèi)切球，與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題，屬于中檔題.

先求出球。的半徑R=?,連接4C與BD,設(shè)交點(diǎn)為F,取4D的中點(diǎn)E,連接PE,PF,EF,根據(jù)等體積法得PE=普,

O11

。尸=唱，在RtAOFQ中，QF=條,點(diǎn)Q在以點(diǎn)尸為圓心，豆為半徑的圓上，求其周長(zhǎng)即可.

【解答】

解：設(shè)內(nèi)切球。的半徑為R,貝3兀/?2=：...R=g，

J6

如圖，連接4c與BD,設(shè)交點(diǎn)為尸，取4。的中點(diǎn)E,連接PE,PF,EF,

根據(jù)等體積法得彳⑸BCD+4SAPAB)R=gXAB?xPF,

.?:(4+4x:x2xPE)x孝=?xPF，整理得1+PE=2cPF，

3z63

又PE2-PF2=1,解得PE=^,PF=*，

CL口

???OF=—，OnPn=—1—3—c，0_Q_=OCDP=1"3c，

66666

在RtAOFQ中，QF=J（若）2_（?）2=

.??點(diǎn)Q在以點(diǎn)尸為圓心，條為半徑的圓上，其周長(zhǎng)為27rxl=Q.

故選C.

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.如圖，在三棱柱ABC-2/16中，4B=C44I=2，N,△ABC是等邊三角形，點(diǎn)。為該三棱柱外接球的球心，則

下列命題正確的有（）

B.異面直線BiC與所成角的大小是看

C.球。的表面積是207r

D.點(diǎn)。到平面力B】C的距離是音

【答案】ACD

【解析】【分析】

本題考查棱柱的切接問(wèn)題，棱柱的結(jié)構(gòu)特征，異面直線所成的角，點(diǎn)到平面的距離，具有一定的綜合性.

【解答】解：如圖，因?yàn)榍?。是三棱柱ABC-2/停1的外接球，所以該三棱柱為直三棱柱，即441，平面則A正

確因?yàn)锳41//CG，所以NB1CG是異面直線/C與441所成的角.因?yàn)?B=「44]=2，3,所以tanNB/G=衿=

普=/$所以NB1CC1=，則2錯(cuò)誤.

1

21

,--

設(shè)△a/iG外接圓的圓心為?！高B接。。1，OiG，。6，由題意可得。16=|xV為一3=2則球

。的半徑R=OCi=門，從而球。的表面積是4兀產(chǎn)=4兀x（門）2=20兀，故C正確.

設(shè)4外接圓的半徑為r,由題意可得24=B]C=V12+4=4,貝卜也4當(dāng)4。=咨三=竽.由正弦定理可得r=

=則點(diǎn)。到平面4B1C的距離d=7R2_/=J5-箓=零,故。正確?

2X——\1313

cos

10.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Pi(cosa,sina),P2(-sin/?),P3(cos(a+/?),sin(a+jff)),4(1,0),則()

A.\OPr\=\0P2\B.|/Pi|=|ZP2l

C.OA~OP^=OK-OP^D?以碣=恒?麗

【答案】AC

【解析】【分析】

本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量模的坐標(biāo)表示，考查三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題.

根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合三角函數(shù)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)逐個(gè)判斷即可.

【解答】

解：。4=(1,0),OP】=(cosa,sina),OP；=(cosP，—sin/?),OP：=(cos(a+/?),sin(a+/?)),AP[=(cosa-1,sina),

AP；=(cos/?—1,—sinjB),

=22

對(duì)于4|0Pli=7cos2a+sin2a=1,|0P2IVcos/?+(—sin^)=1,A正確；

對(duì)于8,|A|=J(cosa—1)2+sin2a=，2—2cosa,

22

|AP2I=7(cos/?—l)+(—sin/?)=J2—2cos￡,

因?yàn)閏osa,cos￡不一定相等，所以|Z耳I，|彳可|不一定相等，3錯(cuò)誤；

對(duì)于C,?OP：=cos(a+0)；

OPi?而2=cosacos/3+sina(—sin/?)=cos(a+/?),C正確；

對(duì)于。，0^4-OP；=COSQ,OP；?OP；=cos/3cos(a+S)+(—sin￡)sin(a+3)=cos(a+20),

成?碣與也?麗不一定相等，。錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.如圖，海水養(yǎng)殖廠進(jìn)行某水產(chǎn)品的新舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品

產(chǎn)量(單位：kg),其頻率分布直方圖如圖所示.

舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法

根據(jù)頻率分布直方圖，下列說(shuō)法正確的是()

A.新網(wǎng)箱產(chǎn)量的方差的估計(jì)值高于舊網(wǎng)箱產(chǎn)量的方差的估計(jì)值

B.新網(wǎng)箱產(chǎn)量中位數(shù)的估計(jì)值高于舊網(wǎng)箱產(chǎn)量中位數(shù)的估計(jì)值

C.新網(wǎng)箱產(chǎn)量平均數(shù)的估計(jì)值高于舊網(wǎng)箱產(chǎn)量平均數(shù)的估計(jì)值

D.新網(wǎng)箱頻率最高組的總產(chǎn)量的估計(jì)值接近舊網(wǎng)箱頻率最高組總產(chǎn)量估計(jì)值的兩倍

【答案】BCD

【解析】【分析】

本題考查命題真假的判斷，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.

利用頻率分布直方圖的性質(zhì)結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算，得出正確結(jié)論.

【解答】

解：對(duì)于力，舊養(yǎng)殖法的平均數(shù)幅=27.5x0.06+32.5x0.07+37.5x0.12+42.5x0.17

+47.5x0.2+52.5x0.16+57.5x0.1+62.5x0.06+67.5x0.06=47.1

22222

所以s/ff=(27.5-47.1)x0.06+(32.5-47.1)x0.074-(37.5-47.1)x0.12+(42.5-47.1)x0.17+(47.5-

47.1)2X0.2+(52.5-47.1)2X0.16+(57.5-47.1)2X0.1+(62.5-47.1)2X0.06+(67.5-47.1)2X0.06=107.34

新養(yǎng)殖法的平均數(shù)二=37,5X0.02+42.5X0.1+47.5X0.22+52.5X0.34+57.5X0.23+62.5X0.05+67.5X

0.04=52.35

22

所以s?新=(37.5-52.35)2x002+(42.5-52.35/x0.1+(47.5-52.35)X0.22+(52.5-52.35)X0.34+

(57.5-52.35)2x0.23+(62.5-52.35)2x0.05+(67.5-52.35)2x0.04=39.7275

因?yàn)镾2新<$2舊,

所以新網(wǎng)箱產(chǎn)量的方差的估計(jì)值低于舊網(wǎng)箱產(chǎn)量的方差的估計(jì)值，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于8,舊養(yǎng)殖法中，左邊4個(gè)矩形的面積和為(0.012+0.014+0.024+0.034)x5=0.42,左邊5個(gè)矩形的面積和為

(0.012+0.014+0.024+0.034+0.04)X5=0.62,所以其中位數(shù)在45和50之間.

新養(yǎng)殖法中，左邊三個(gè)矩形的面積和為0.34,左邊4個(gè)矩形的面積和為0.68,所以其中位數(shù)在50和55之間.所以新網(wǎng)箱產(chǎn)

量中位數(shù)的估計(jì)值高于舊網(wǎng)箱產(chǎn)量中位數(shù)的估計(jì)值，所以B正確.

對(duì)于C,因?yàn)樗?47.1,得=52.35,所以新網(wǎng)箱產(chǎn)量平均數(shù)的估計(jì)值高于舊網(wǎng)箱產(chǎn)量平均數(shù)的估計(jì)值，故C正確.

對(duì)于D,舊網(wǎng)箱頻率最高組總產(chǎn)量估計(jì)值為47.5x100x0.2=950,

新網(wǎng)箱頻率最高組的總產(chǎn)量的估計(jì)值為52.5X100X0.34=1785,

所以新網(wǎng)箱頻率最高組的總產(chǎn)量的估計(jì)值接近舊網(wǎng)箱頻率最高組總產(chǎn)量估計(jì)值的兩倍，故。正確.

故選：BCD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知集合4={x|%2—口無(wú)+—7=o},B={x\x2—x—6=0},若滿足4nB=4UB,則實(shí)數(shù)a=.

【答案】1

【解析】【分析】

本題主要考查了集合集合的交集與并集的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

由ZnB=4UB,可得4=B,從而問(wèn)題得解.

【解答】

解：由于&nB=4UB,所以力=B,

所以a=1,

故答案為1.

13.已知正數(shù)x,y滿足x+3y-彳一,=6,貝!+3y的最小值是.

【答案】8

【解析】【分析】

本題考查利用基本不等式求最值，考查解不含參的一元二次不等式，屬于拔高題.

由題意可得x+3y=6+?+；),貝!J(x+3y>=[6+(；+|)](x+3y),化簡(jiǎn)可得(x+3y)2=6(%+3y)+10+3((+：),

換元，4t=x+3y,并結(jié)合基本不等式可得3?+^)=t2-6t-10>6,解不等式可求出t的最小值，即可得出x+3y

的最小值.

【解答】

解：因?yàn)榈?3)/一±-三=6,

yxy

1Q

所以x+3y=6+(；+)，

所以(x+3y>=[6+(；+》](久+3y)

3V3%

=6(x+3y)+(l+9+W+歹)

=60+337)+10+3?+》，

人y

令t=x+3y,

因?yàn)閤,y均為正數(shù)，

所以t>0,

則/=6t+10+3g+'),

yy

則3號(hào)+令=t2-6t-10,

砂+j2不=2,

%yNXy

當(dāng)且僅當(dāng)上=2時(shí)等號(hào)成立，

xy

所以3g+^)=t2-6t-10>6,當(dāng)且僅當(dāng)上=2時(shí)等號(hào)成立，

yyxy

即產(chǎn)一6t-16》0,當(dāng)且僅當(dāng)丫=2時(shí)等號(hào)成立，

xy

解得t>8,或t《一2(負(fù)值舍去)，

所以1>8,

即％4-3y>8,當(dāng)且僅當(dāng),=時(shí)，即％=y=2時(shí)等號(hào)成立，

JxyJ

即x+3y的最小值為8.

14.據(jù)浙江省新高考規(guī)則，每名同學(xué)在高一學(xué)期結(jié)束后，需要從七門選考科目中選擇其中三門作為高考選考科目.某同學(xué)

已經(jīng)選擇了物理、化學(xué)兩門學(xué)科，還需要從生物、技術(shù)這兩門理科學(xué)科和政治、歷史、地理這三門文科學(xué)科共五門學(xué)

科中再選擇一門，設(shè)事件E=“選擇生物學(xué)科”，F(xiàn)="選擇一門理科學(xué)科”，G=“選擇政治學(xué)科"，”="選擇一門文科學(xué)

科”，現(xiàn)給出以下四個(gè)結(jié)論：

①G和”是互斥事件但不是對(duì)立事件；

②F和H是互斥事件也是對(duì)立事件；

③P(F)+P(G)=1；

@P(EUH)=P(E)+P(H).

其中，正確結(jié)論的序號(hào)是.(請(qǐng)把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都寫上)

【答案】②④

【解析】【分析】

本題考查互斥事件，對(duì)立事件，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件的概念與性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】

解：事件H="選擇一門文科學(xué)科”，包含“選擇政治學(xué)科”，“選擇歷史學(xué)科”，“選擇地理學(xué)科”，

所以事件G=“選擇政治學(xué)科”，包含于事件H,

故事件可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故①不正確；

事件F="選擇一門理科學(xué)科”，與事件H="選擇一門文科學(xué)科”，

不能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)事件發(fā)生，故尸和H是互斥事件，也是對(duì)立事件，故②正確；

由題意可知P(F)=,,P(G)=，所以P(F)+P⑹=|力1,故③不正確；

事件E=“選擇生物學(xué)科”，與事件H="選擇一門文科學(xué)科”，

不能同時(shí)發(fā)生，故E和H是互斥事件，所以P(EUH)=P(E)+P(H),故④正確.

故答案為：②④.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題13分)

的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知cos2B+cos2C—cos2A=1—2sinBsinC.

(1)求4

(2)若a=4,求國(guó)ZBC面積的最大值.

【答案】解：(1)由已知得1—2sin2B+1—2sin2C-1+2sin27l=1—2sinFsinC,

即sin2A—sin2B—sin2c=—sinBsinC,

由正弦邊角關(guān)系得M-b2-c2=—be,

由余弦定理得0，

cos/=b展2b一c=:2

又0<4<7T,

所以4=與

(2)因?yàn)閍=4,所以16=b2+c2—be>be,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=4時(shí)等號(hào)成立，

所以Z/BC=|besinA=?be《4V-3

故三角形ABC的面積最大值為4/3

【解析】本題主要考查了正弦定理，二倍角公式，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)

用，熟練掌握相關(guān)公式定理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

(1)由正弦定理得-匕2一c2=—be,然后根據(jù)余弦定理求出結(jié)果.

(2)根據(jù)題意得到16=b2+c2-bc>be,然后通過(guò)三角形面積公式求出結(jié)果.

16.(本小題15分)

“猜燈謎”又叫“打燈謎”，是元宵節(jié)的一項(xiàng)活動(dòng)，出現(xiàn)在宋朝.南宋時(shí)，首都臨安每逢元宵節(jié)時(shí)制迷，猜謎的人眾多.開(kāi)

始時(shí)是好事者把謎語(yǔ)寫在紙條上，貼在五光十色的彩燈上供人猜.因?yàn)橹i語(yǔ)既能啟迪智慧又饒有興趣，所以流傳過(guò)程

中深受社會(huì)各階層的歡迎.在一次元宵節(jié)猜燈謎活動(dòng)中，共有20道燈謎，三位同學(xué)獨(dú)立競(jìng)猜，甲同學(xué)猜對(duì)了12道，乙

同學(xué)猜對(duì)了8道，丙同學(xué)猜對(duì)了n道.假設(shè)每道燈謎被猜對(duì)的可能性都相等.

(1)任選一道燈謎，求甲，乙兩位同學(xué)恰有一個(gè)人猜對(duì)的概率；

(2)任選一道燈謎，若甲，乙，丙三個(gè)人中至少有一個(gè)人猜對(duì)的概率為求"的值.

【答案】解：(1)設(shè)“甲猜對(duì)燈謎”為事件4“乙猜對(duì)燈謎”為事件B,“任選一道燈謎，甲，乙兩位同學(xué)恰有一個(gè)人猜對(duì)”

為事件C，

由題意得，

?八123n/n、82

P⑷=五=+0(刃二五二丁

且事件4B相互獨(dú)立，

則P(C)=P{AB+AB)

=PQ4萬(wàn))+P(彳B)

=P(4)P(瓦)+P(J)P(B)

=P⑷[1-P(B)]+[1-P(4)]P(B)

33,229+413

5X5+5X5=^T=55,

所以任選一道燈謎，恰有一個(gè)人猜對(duì)的概率為獲；

(2)設(shè)“丙猜對(duì)燈謎”為事件D,

“任選一道燈謎，甲、乙、丙三個(gè)人都沒(méi)有猜對(duì)”為事件E,

則由題意，事件4、B、。相互獨(dú)立，

P(E)=P(ABD)=P(A)P(B)P(D)

=a_i)a_oawxI。_給=i_H，

解得72=10.

【解析】本題考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，利用加法公式計(jì)算古典概型，屬于中檔題.

(1)設(shè)出相應(yīng)事件后，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式進(jìn)行求解即可；

(2)利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式即可求出n的值.

17.(本小題15分)

如圖，在三棱柱ABC—41B1Q中，側(cè)棱A4i1底面ABC,M為棱4C的中點(diǎn).AB=BC,AC=2,=^2.

(1)求證：B]C〃平面&BM；

(2)求證：力G1平面&BM；

DN

(3)在棱BBi上是否存在點(diǎn)N,使得平面4GN1平面a&GC?如果存在，求此時(shí)畫的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】解：(1)連結(jié)4位交于0,連結(jié)。

在ABMC中，因?yàn)镸,。分別為4C,4%中點(diǎn)，

所以。M〃2C.

又因?yàn)?Mu平面力iBM,B[CC平面&BM,

所以B】C〃平面

(2)因?yàn)閭?cè)棱4411底面48C,BMu平面4BC,

所以1BM.

又因?yàn)镸為棱4C中點(diǎn)，AB=BC,所以

因?yàn)锳Cu平面4CG4.

所以BM1平面accia.aciu平面4CC1a.

所以BMJ.4G.

因?yàn)镸為棱4C中點(diǎn)，AC=2,所以4M=1.

又因?yàn)?41=。，所以在RtAACCi和RtAAiAM中,

tan/ACiC=tanN&MA=>J~2.

所以NAQC=乙41MA,

即N/C+ZQ4C=乙+44C=90°.

所以14

因?yàn)?BM,u平面&BM.

所以4cl1平面&BM.

(3)當(dāng)點(diǎn)N為SB1中點(diǎn)時(shí)，即鼠=3,平面"iN，平面4l￡C.

設(shè)4G中點(diǎn)為D,連結(jié)DM,DN.

因?yàn)镈,M分別為4G，4C中點(diǎn)，

所以。M〃CG,且。M=：CC「

又因?yàn)镹為BBi中點(diǎn)，

所以DM〃BN,且DM=BN,

所以四邊形DMBN是平行四邊形，

所以BM//DN,

因?yàn)锽M_L平面ACC1&,

所以DN1平面4CG41.

又因?yàn)镈Nu平面ACiN,所以平面力GN1平面力CC14.

【解析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，考查了空間想象

能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

(1)連結(jié)力劣交于。，連結(jié)。M,可證。又。Mu平面&BM,/CC平面力/”，即可證明B4〃平面力把時(shí)；

(2)易證4411BM,又可證BM1AQ,由AC=2,AM=1,AAr=<7,可求NAQC+ZQ4C=^ArMA+NQ4C=90°,

從而可證1ACr,從而證明1平面&BM；

(3)當(dāng)點(diǎn)N為SB1中點(diǎn)時(shí)，可證平面AQN平面44iC1C,設(shè)AC1中點(diǎn)為D,連結(jié)DM,DN,可證BM〃DN,由1平面

ACC±Ar,可證DN1平面2CG4,即可證明平面4QN_L平面ACC14.

18.(本小題17分)

已知函數(shù)/(久)=普是定義在(一1,1)上的奇函數(shù)，且f停)=|.

■LI人、乙/D

(1)確定函數(shù)八久)的解析式;

(2)用定義證明f(x)在上是增函數(shù)：

(3)解關(guān)于x的不等式f(X-1)+f(x)<0.

【答案】(1)解：函數(shù)/(%)=券是定義在上的奇函數(shù),

則((0)=0,即有b=0,

1

且/弓)據(jù)噓|,解得a=1,

經(jīng)檢驗(yàn)符合題意,

則函數(shù)/(%)的解析式：/(X)=(-1<X<1)；

(2)證明：任取一1V汽1V%2V1，

則/(%1)一/(%2)一布一加一說(shuō)口)(月+1)，

由于一1V汽1V不v1，貝卜1—%2<0，1+xf>0,1+必>0,

??,—1<%1%2<1，

???1—%1%2>0，

???f01)-/(%2)<0，

/■(X)在(一1,1)上是增函數(shù).

(3)解：由于奇函數(shù)/'(x)在上是增函數(shù)，

則不等式f(x—l)+f(x)<O

即為八萬(wàn)—1)<—/(*)=/"(—%),

r-i<x-1<1

即有,一1cx<1,

%—1<—X

fO<x<2

解得卜1[<1

(X<2

則有0<x<p

即等式/(X-1)+/(%)<。的解集為(0,；).

【解析】本題考查函數(shù)的解析式的求法和單調(diào)性的證明和運(yùn)用：解不等式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

(1)由奇函數(shù)得/(0)=0,求得b,再由已知，得到方程，解出a,即可得到解析式；

(2)運(yùn)用單調(diào)性的定義，注意作差、變形和定符號(hào)、下結(jié)論幾個(gè)步驟；

⑶運(yùn)用奇偶性和單調(diào)性，得到不等式/(x-1)+/(%)<0即為/(%-1)<-/(%)=得到不等式組，解出即可.

19.(本小題17分)

給定三棱錐。，設(shè)。的四個(gè)頂點(diǎn)到平面a的距離所構(gòu)成的集合為M,若M中元素的個(gè)數(shù)為k,則稱a為。的k階等距平面,

稱M為。的那介等距集.

A

C

(1)若。為三棱錐A—BCD,滿足4B=CD=BC=4,AC=BD2,求出。的1階等距平面截該三棱錐所得到的

截面面積(求出其中的一個(gè)即可)；

(2)如圖所示，。是棱長(zhǎng)為，友的正四面體4BCD.

(i)若。為0的1階等距平面且1階等距集為｛研，求a的所有可能取值以及相對(duì)應(yīng)的a的個(gè)數(shù)；

(ii)已知￡是。的4階等距平面，點(diǎn)4與點(diǎn)B,C,。分別位于￡兩側(cè).是否存在￡,使。的4階等距集為｛6,26,36,46｝,其中點(diǎn)

4到/?的距離為6?若存在，求出口截。所得的平面多邊形的最大邊長(zhǎng);若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】解：(1)如圖，可將三棱錐4—BCD擴(kuò)展成長(zhǎng)方體AC/%—AC/。，

+CC/=心=4