編者小k君小注：本專輯專為2022年初中滬教版數(shù)學(xué)第二學(xué)期研發(fā)，供中等及以上學(xué)生使用。思路設(shè)計(jì)：重在培優(yōu)訓(xùn)練，分選擇、填空、解答三種類型題，知識(shí)難度層層遞進(jìn)，由中等到壓軸，基礎(chǔ)差的學(xué)生選做每種類型題的前4題；基礎(chǔ)中等的學(xué)生必做前4題、選做58題；尖子生全部題型必做，沖刺壓軸題。專題05數(shù)形結(jié)合之一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合（解析版）錯(cuò)誤率：___________易錯(cuò)題號(hào)：___________一、單選題1．（2019·上海市西南模范中學(xué)八年級(jí)月考）已知，則函數(shù)，的圖象大致是下圖中的（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】根據(jù)正比例函數(shù)及反比例函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系作答．【詳解詳析】∵k＞0，∴k＜0，∴函數(shù)y=kx的圖象過原點(diǎn)、第二、四象限，y=的圖象在第二、四象限，四個(gè)選項(xiàng)中只有C符合．故選C．【名師指路】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和正比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，關(guān)鍵是由k的取值確定函數(shù)所在的象限．2．（2020·上海市金山區(qū)教育局八年級(jí)期末）已知正比例函(k是常數(shù),)中y隨x的增大而增大,那么它和函數(shù)(k是常數(shù),k≠0)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖像可能是()A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】根據(jù)正比例函(k是常數(shù),)的圖象y隨x的增大而增大，可以得到k的正負(fù)，從而可以判斷反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）的圖象所在的象限，從而可以解答本題．【詳解詳析】∵正比例函(k是常數(shù),)的圖象y隨x的增大而增大，∴k＞0，∴反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）的圖象分布在第一、三象限，故選D．【名師指路】本題考查反比例函數(shù)的圖象、正比例函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用正比例函數(shù)的性質(zhì)和反比例函數(shù)的性質(zhì)解答．3．（2020·上海普華教育信息咨詢八年級(jí)期中）如果點(diǎn)和點(diǎn)是直線上兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，那么直線和函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖像可能是（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】根據(jù)一次函數(shù)的增減性判斷出k的符號(hào)，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解詳析】∵點(diǎn)和點(diǎn)是直線上兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，

∴，直線經(jīng)過一、三象限，

∴函數(shù)圖象在一、三象限，只有A選項(xiàng)符合題意，

故選：A．【名師指路】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題．4．（2021·上海市第四中學(xué)八年級(jí)期中）關(guān)于x的函數(shù)y＝k(x＋1)和y＝(k≠0)在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是()A． B．C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【詳解詳析】試題分析：當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)y=的圖像在一三象限，函數(shù)y=k（x+1）=kx+k的圖像經(jīng)過一二三象限，所以選項(xiàng)A、C錯(cuò)誤；當(dāng)k＜0時(shí)，函數(shù)y=的圖像在二四象限，函數(shù)y=k（x+1）=kx+k的圖像經(jīng)過二三四象限，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確，故選D.考點(diǎn)：1.一次函數(shù)圖像；2.反比例函數(shù)的圖像.二、填空題5．如果正比例函數(shù)y=(k2)x的函數(shù)值y隨x的增大而減小，且它的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象沒有公共點(diǎn)，那么k的取值范圍是______．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】先根據(jù)正比例函數(shù)y=（k2）x的函數(shù)值y隨x的增大而減小，可知k2＜0；再根據(jù)它的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象沒有公共點(diǎn)，說明反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過一、三象限，k＞0，從而可以求出k的取值范圍．【詳解詳析】∵y=（k2）x的函數(shù)值y隨x的增大而減小，

∴k2＜0

∴k＜2

而y=（k2）x的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象沒有公共點(diǎn)，

∴k＞0

綜合以上可知：0＜k＜2．

故答案為0＜k＜2．【名師指路】本題考查的是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，清楚掌握函數(shù)中的k的意義是解決本題的關(guān)鍵．6．已知如圖，一次函數(shù)y＝ax+b和反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，不等式ax+b＞的解集為_____．【標(biāo)準(zhǔn)答案】x＞1或﹣3＜x＜0．【思路指引】觀察函數(shù)圖象即可求解．【詳解詳析】解：觀察函數(shù)圖象，當(dāng)x＞1或﹣3＜x＜0時(shí)，ax+b＞，故答案為x＞1或﹣3＜x＜0．【名師指路】此題主要考查函數(shù)與不等式之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)圖象和性質(zhì)．7．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是第二象限內(nèi)一點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)，且，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，若E到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為2，則的值為____________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】利用三角形中位線定理求得，推出BD=DO=3，過B作，設(shè)，則，，在Rt△BDF中利用勾股定理可求得的值，即可求解．【詳解詳析】∵E到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為2，∴OE=2∵一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于A、B兩點(diǎn)，∴OA=OB，∵E是的中點(diǎn)，∴，∴，∵CD=1，∴BD=CBCD=41=3，∴BD=DO，過B作，設(shè)，則，，∵，∴，∴或0(舍去)，∴，∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖像上，∴．【名師指路】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形中位線定理，勾股定理，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．8．如圖，反比例函數(shù)y1＝和一次函數(shù)y2＝ax+b的圖象交于點(diǎn)A（﹣1，2），B（2，﹣1）兩點(diǎn)，則當(dāng)﹣2＜y1＜y2＜時(shí)，x的取值范圍為_____．【標(biāo)準(zhǔn)答案】1＜x＜2【思路指引】根據(jù)函數(shù)的圖象即可求得．【詳解詳析】解：∵反比例函數(shù)y1＝和一次函數(shù)y2＝ax+b的圖象交于點(diǎn)A（﹣1，2），B（2，﹣1）兩點(diǎn)，∴k＝﹣1×2＝﹣2，∴反比例函數(shù)為y＝﹣，把y＝﹣2代入求得x＝1；∴由圖可得，當(dāng)﹣2＜y1＜y2＜時(shí)，x的取值范圍是1＜x＜2，故答案為1＜x＜2．【名師指路】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題，從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)值大于（或小于）反比例函數(shù)值的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線在雙曲線上方（或下方）部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．9．如圖，直線與坐標(biāo)軸交于兩點(diǎn)，矩形的對(duì)稱中心為M，雙曲線正好經(jīng)過兩點(diǎn)，則直線的解析式為_______．【標(biāo)準(zhǔn)答案】．【思路指引】先確定A、B的坐標(biāo)，用反比例函數(shù)解析式表示點(diǎn)C的坐標(biāo)，用中點(diǎn)坐標(biāo)表示M，借助點(diǎn)M也在反比例函數(shù)上，從而確定C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法計(jì)算即可．【詳解詳析】直線與坐標(biāo)軸交于兩點(diǎn)，

令，得，的坐標(biāo)令，得，的坐標(biāo)．是矩形的對(duì)稱中心，是的中點(diǎn)，在反比例函數(shù)上，設(shè)，的坐標(biāo)是，，在反比例函數(shù)，，，經(jīng)檢驗(yàn)a=2是原方程的根，，∵OA2+OB2=AB2，∴，，又，設(shè)的解析式為，將代入得，，的解析式為：．故答案為：．【名師指路】本題考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的解析式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，垂直的函數(shù)意義，待定系數(shù)法，熟練掌握性質(zhì)，靈活表示坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．10．（2021·上海徐匯·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A和點(diǎn)E（6，﹣2）都在反比例函數(shù)的圖象上，如果∠AOE＝45°，那么直線OA的表達(dá)式是_____．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】將OE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到OD，連接DE，交OA于F，即可求得D的坐標(biāo)，進(jìn)而求得F的坐標(biāo)，先求得反比例函數(shù)的解析式，然后求得直線DE的解析式，進(jìn)而求得直線OA的解析式．【詳解詳析】解：如圖，將OE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到OD，連接DE，交OA于F，作DM⊥y軸于M，作EN⊥x軸于N，由旋轉(zhuǎn)可知，∠DOE=∠MON，OD=OE，∴∠DOM=∠EON，∴△DOM≌△EON，∴OM=ON，DM=EN，∵點(diǎn)E（6，﹣2），∴D（﹣2，﹣6），∵∠AOE＝45°，∴∠AOD＝45°，∵OD＝OE，∴OA⊥DE，DF＝EF，∴F（2，﹣4），設(shè)直線OA的解析式為y＝mx，把F的坐標(biāo)代入得，﹣4＝2m，解得m＝﹣2，∴直線OA的解析式為y＝﹣2x，故答案為y＝﹣2x．【名師指路】本題考查了反比例函數(shù)，全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)作輔助線，構(gòu)建全等三角形求點(diǎn)的坐標(biāo)．三、解答題11．（2021·上海奉賢·八年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知函數(shù)的圖像和反比例函數(shù)的在第一象限交于A點(diǎn)，其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是1．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）把直線平移后與軸相交于點(diǎn)B，且，求平移后直線的解析式．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）【思路指引】（1）將點(diǎn)A的橫坐標(biāo)代入y=2x中，得到點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，設(shè)反比例函數(shù)解析式為，再將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入解答；（2）過點(diǎn)A作AC⊥y軸于C，則AC=1，OC=2，根據(jù)AB=OB，得到直線y=2x向上平移，設(shè)平移后的直線解析式為+b，則OB=b，根據(jù)勾股定理得到，求出，即可得到函數(shù)解析式.【詳解詳析】（1）將點(diǎn)A的橫坐標(biāo)1代入y=2x中，得y=2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,2），設(shè)反比例函數(shù)解析式為，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，得到k=2，∴反比例函數(shù)解析式為；（2）過點(diǎn)A作AC⊥y軸于C，則AC=1，OC=2，∵AB=OB，∴直線y=2x向上平移，設(shè)平移后的直線解析式為+b，則OB=b，∵，∴，解得，∴平移后的解析式為：.【名師指路】此題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，點(diǎn)坐標(biāo)與直線解析式，直線平移的性質(zhì).12．已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0），與y軸的正半軸交于點(diǎn)B，與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)C，且AB＝BC，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4．（1）求直線AB的表達(dá)式；（2）過點(diǎn)B作BD∥x軸，交反比例函數(shù)y＝的圖象于點(diǎn)D，求線段CD的長(zhǎng)度．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）y＝x+2；（2）2【思路指引】（1）過點(diǎn)C作CH⊥x軸，垂足為H，如圖，利用平行線分線段成比例得到＝＝1，則OH＝OA＝2，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，4），然后利用待定系數(shù)法求直線AB的解析式；（2）把C點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝中求出m＝8，再利用直線解析式確定點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），接著利用BD∥x軸得到點(diǎn)D縱坐標(biāo)為2，根據(jù)反比例解析式確定點(diǎn)D坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算CD的長(zhǎng)．【詳解詳析】解：（1）過點(diǎn)C作CH⊥x軸，垂足為H，如圖，∴＝＝1，∵A（﹣2，0），∴AO＝2，∴OH＝OA＝2，∵點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，4），設(shè)直線AB的表達(dá)式y(tǒng)＝kx+b（k≠0），把A（﹣2，0），C（2，4）代入得，解得，∴直線AB的表達(dá)式y(tǒng)＝x+2；（2）∵反比例函數(shù)y＝的圖象過點(diǎn)C（2，4），∴m＝2×4＝8，∵直線y＝x+2與y軸的正半軸交于點(diǎn)B，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），∵BD∥x軸，∴點(diǎn)D縱坐標(biāo)為2，當(dāng)y＝2時(shí)，＝2，解得x＝4，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，2），∴CD＝＝2．【名師指路】此題考查的是反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合題型,掌握利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、反比例函數(shù)解析式和平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)間的距離公式是解決此題的關(guān)鍵．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝kx+3與x，y軸分別交于點(diǎn)A、B，與雙曲線y＝交于點(diǎn)C(a，6)，已知△AOB的面積為3，求直線與雙曲線的表達(dá)式．【標(biāo)準(zhǔn)答案】y＝﹣x+3，y＝﹣【思路指引】先利用一次函數(shù)解析式確定B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用三角形面積公式求出OA得到A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），接著把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝kx+3中求出k得到一次函數(shù)解析式為y＝﹣x+3，然后利用一次函數(shù)解析式確定C點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式．【詳解詳析】當(dāng)x＝0時(shí)，y＝kx+3＝3，則B（0，3），∵△AOB的面積為3，∴×3×OA＝3，解得OA＝2，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），把A（2，0）代入y＝kx+3得2k+3＝0，解得k＝﹣，∴一次函數(shù)解析式為y＝﹣x+3，把C（a，6）代入得﹣a+3＝6，解得a＝﹣2，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，6），把C（﹣2，6）代入y＝得m＝﹣2×6＝﹣12，∴反比例函數(shù)解析式為y＝﹣．【名師指路】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn)．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)xOy中，某一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的y＝的圖象交于A（1，m）、B（n，﹣1）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．（1）求該一次函數(shù)的解析式；（2）求的值．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）y＝x+2；（2）．【思路指引】（1）設(shè)一次函數(shù)解析式為y＝kx+b（k≠0），將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可求出m、n的值，再將A、B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式，即可求出一次函數(shù)解析式．（2）已知A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，過點(diǎn)A、B分別作y軸垂線，垂足為分別D、E，利用平行線分線段成比例定理即可求解．【詳解詳析】（1）設(shè)一次函數(shù)解析式為y＝kx+b（k≠0），又∵A(1,m)、B(n,﹣1)在反比例函數(shù)y=的圖象上∴m=，1=，∴m＝3，n＝﹣3，∴A(1,3)、B(﹣3,﹣1)，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象過A(1,3)、B(﹣3,﹣1)，∴，∴，∴所求一次函數(shù)的解析式是y＝x+2；故答案為：y＝x+2（2）過點(diǎn)A、B分別作y軸垂線，垂足為分別D、E，過點(diǎn)B作BF垂直于AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BF交y軸于點(diǎn)G∵y＝x+2令x=0得y=2∴OC=2則AF∥BE，∴，∴故答案為：【名師指路】本題考查了反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法可求得一次函數(shù)解析式，本題還考查了平行線分線段成比例定理的應(yīng)用．15．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象直接寫出的x的取值范圍；（3）求的面積．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）當(dāng)或時(shí)，；（3）8【思路指引】（1）把A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入中，求得m，n的值，即可確定A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求得一次函數(shù)的解析式；（2）將不等式轉(zhuǎn)化為，找出圖象中一次函數(shù)圖象低于反比例函數(shù)圖象部分對(duì)應(yīng)的x的取值范圍；（3）設(shè)一次函數(shù)圖象分別與x軸和y軸交于點(diǎn)D、C，C、D的坐標(biāo)都可以求得，則，求解即可．【詳解詳析】解：（1）分別把代入得，解得，所以A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為，分別把代入得，解得，所以一次函數(shù)解析式為；（2），即，即要找一次函數(shù)圖象低于反比例函數(shù)圖象的部分對(duì)應(yīng)的x的取值范圍，所以當(dāng)或時(shí)，；（3）一次函數(shù)圖象分別與x軸和y軸交于點(diǎn)D、C，如圖，當(dāng)時(shí)，，則C點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，解得，則D點(diǎn)坐標(biāo)為，所以．【名師指路】本題主要考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)交點(diǎn)的問題，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、割補(bǔ)法求三角形的面積是解題的關(guān)鍵．16．如圖，反比例函數(shù)圖象在第一象限的分支上有一點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線（，b為常數(shù)）與x軸交于點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)直線與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的另一交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3時(shí)，求的面積．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）6【思路指引】（1）將點(diǎn)C代到反比例函數(shù)解析式中，可求得結(jié)果；（2）求出直線解析式，即可得解；【詳解詳析】（1）∵點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象在第一象限的分支上，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為；（2）當(dāng)時(shí)，，∴交點(diǎn)坐標(biāo)為，∵和在直線上，∴，解得，∴，∵在直線上，∴令，則，∴，∴S．【名師指路】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．17．已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0），與y軸的正半軸交于點(diǎn)B，與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)C，且AB＝BC，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4．（1）求直線AB的表達(dá)式；（2）過點(diǎn)B作BD//x軸，交反比例函數(shù)y＝的圖象于點(diǎn)D，求線段CD的長(zhǎng)度．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）y＝x+2；（2）2．【思路指引】（1）過點(diǎn)C作CH⊥x軸，垂足為H，得出，求出點(diǎn)C坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求解析式；（2）求出反比例函數(shù)解析式和D點(diǎn)坐標(biāo)，用勾股定理求CD長(zhǎng)即可．【詳解詳析】解：（1）過點(diǎn)C作CH⊥x軸，垂足為H，如圖，∴＝1，∵A（﹣2，0），∴AO＝2，∴OH＝OA＝2，∵點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，4），設(shè)直線AB的表達(dá)式y(tǒng)＝kx+b（k≠0），把A（﹣2，0），C（2，4）代入得，解得，∴直線AB的表達(dá)式y(tǒng)＝x+2；（2）∵反比例函數(shù)y＝的圖象過點(diǎn)C（2，4），∴m＝2×4＝8，∵直線y＝x+2與y軸的正半軸交于點(diǎn)B，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），∵BD//x軸，∴點(diǎn)D縱坐標(biāo)為2，當(dāng)y＝2時(shí)，＝2，解得x＝4，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，2），∴CD＝．【名師指路】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合和勾股定理以及比例式，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)，應(yīng)用坐標(biāo)解決問題．18．（2021·上海金山·八年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系平面中，直線經(jīng)過點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）在軸上找一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，求的面積．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）C(，0)；（3）【思路指引】（1）先把代入求出m，再把代入求出k即可；（2）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)C(x，0)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出x即可；（3）連接AC，BC，作AE⊥x軸于E，作BF⊥x軸于F，根據(jù)S△ABC=S梯形ABFES△ACES△BCF求解即可；【詳解詳析】解：（1）把代入，得，∴m=4，把代入，得，∴k=8，∴；（2）把代入，得，∴，設(shè)C(x，0)，∵，∴，∴，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根，∴C(，0)；（3）連接AC，BC，作AE⊥x軸于E，作BF⊥x軸于F，∵，，C(，0)，∴AE=2，BF=1，EF=84=4，CE=4=，CF=8=，∴S△ABC=S梯形ABFES△ACES△BCF==．【名師指路】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，以及割補(bǔ)法求圖形的面積等知識(shí)，求出反比例函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．19．在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)的圖像相交于橫坐標(biāo)為的點(diǎn)．（1）求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；（2）如圖，已知點(diǎn)在這個(gè)一次函數(shù)圖像上，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，直線軸，且在點(diǎn)上方，并與軸相交于點(diǎn)．如果點(diǎn)恰好是的中點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）【思路指引】（1）先將點(diǎn)A的坐標(biāo)求出來，然后代入一次函數(shù)表達(dá)式求解即可；（2）根據(jù)題意設(shè)出C、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)中即可求出最終結(jié)果．【詳解詳析】解：（1）點(diǎn)在反比例函數(shù)圖像上且橫坐標(biāo)為，則，由題意得，，一次函數(shù)解析式；（2）設(shè)，，又點(diǎn)在一次函數(shù)圖像上，，解得或（舍去）．．【名師指路】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題，難度一般，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題的處理方法，能夠設(shè)出點(diǎn)通過未知數(shù)求解是解決本題的關(guān)鍵．20．（2021·上?！し罱淘焊街邪四昙?jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，點(diǎn)B在射線上，軸，垂足為C，與反比例函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)D，連接，．（1）當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為6時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（2）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）（18，12）或【思路指引】（1）利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)和射線OA的解析式，然后結(jié)合函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求得B點(diǎn)和D點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合勾股定理求得AD的長(zhǎng)；（2）設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x，），D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，），結(jié)合三角形面積公式列方程求解【詳解詳析】解：（1）將點(diǎn)代入反比例函數(shù)中，∴反比例函數(shù)解析式為：設(shè)射線OA的解析式為：將點(diǎn)代入中，，解得：∴射線OA的解析式為：在中，當(dāng)x=6時(shí)，y=4∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，4）在中，當(dāng)x=6時(shí)，y=1∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（6，1）過點(diǎn)A作AE⊥BC∵，B（6，4），D（6，1）∴AE=3，DE=1在Rt△ADE中，（2）設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x，），∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，）∴解得：；∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（18，12）或【名師指路】本題考查了正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)，利用方程求出所設(shè)的參數(shù)，進(jìn)而求出結(jié)果是解決此類問題常用的方法．21．（2021·上海寶山·九年級(jí)期中）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)：（2）如果一個(gè)反比例函數(shù)的圖像與線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且，求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）（﹣1，0）；（2）y＝．【思路指引】（1）根據(jù)直線y＝x+m經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），可得m的值，進(jìn)而根據(jù)直線與x軸交于點(diǎn)B．可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)A，D作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)G，H，根據(jù)題意可知：AG＝2，BG＝3，根據(jù)BA：AD＝3：2，即可求出點(diǎn)D坐標(biāo)，進(jìn)而可得反比例函數(shù)的解析式．【詳解詳析】解：（1）∵直線y＝x+m經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），∴2+m＝3，解得m＝1，∵直線y＝x+1與x軸交于點(diǎn)B．∴x＝﹣1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，0）；（2）過點(diǎn)A，D作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)G，H，∴AG∥DH，根據(jù)題意可知：AG＝2，BG＝3，∵BA：AD＝3：2，∴GH＝2，DH＝5，∴D（4，5），∴反比例函數(shù)的解析式為y＝．【名師指路】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)．22．（2021·上海黃浦·八年級(jí)期末）已知：如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)等腰梯形，且，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在軸上（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，點(diǎn)在第一象限，，梯形的高為．雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，直線經(jīng)過兩點(diǎn)．（1）求雙曲線和直線的解析式；（2）點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在軸上，如果四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1），；（2）【思路指引】（1）首先過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，由，，易得四邊形是矩形，證得，又由，，梯形的高為2，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，由雙曲線過點(diǎn)，直線過點(diǎn)，，直接利用待定系數(shù)法求解即可求得答案；（2）由四邊形是平行四邊形，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，繼而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，又由，求得答案．【詳解詳析】解：（1）如圖1，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．，，四邊形是等腰梯形，軸，四邊形是矩形，，，，在和中，，．，梯形的高為2，．，，，．，，，，雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，．雙曲線的解析式為：，直線經(jīng)過、兩點(diǎn)，得：，解得：．直線的解析式為：；（2）如圖2，四邊形是平行四邊形．且．點(diǎn)在軸上，過點(diǎn)作軸的垂線與雙曲線的交點(diǎn)即為點(diǎn)．點(diǎn)的坐標(biāo)為，．，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．【名師指路】此題屬于反比例函數(shù)綜合題．考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰梯形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．23．（2021·上海靜安·八年級(jí)期末）如圖，在直角坐標(biāo)平面中，點(diǎn)A（2，m）和點(diǎn)B（6，2）同在一個(gè)反比例函數(shù)的圖像上．（1）求直線AB的表達(dá)式；（2）求△AOB的面積及點(diǎn)A到OB的距離AH．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）【思路指引】（1）根據(jù)得到即可算出點(diǎn)的坐標(biāo)，把、兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式中，解方程組即可得出答案；（2）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，求得的坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式，利用求得的面積，然后根據(jù)求得．【詳解詳析】解：（1）設(shè)反比例函數(shù)為，點(diǎn)和點(diǎn)在的圖象上解得，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的表達(dá)式為，把和代入得，解得，直線的表達(dá)式為；（2）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，在直線為中，令，則，，，，，，．【名師指路】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，求得交點(diǎn)坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．24．（2021·上海楊浦·八年級(jí)期中）如圖，正比例函數(shù)y＝x的圖像與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖像交于A（a，﹣2）、B兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的解析式和點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）點(diǎn)P為第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交直線AB于點(diǎn)C，連接PO，如果△POC的面積為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；B（4，2）；（2）P（，）或（2，4）．【思路指引】（1）把A（a，2）代入y=，可得A（4，2），把A（4，2）代入y=，可得反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=，再根據(jù)點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可得到B的坐標(biāo)；（2）過P作PE⊥x軸于E，交AB于C，先設(shè)P（m，），則C（m，m），根據(jù)△POC的面積為3，可得方程m×|m|=3，求得m的值，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；【詳解詳析】解：（1）把A（a，2）代入，可得a=4，∴A（4，2），把A（4，2）代入，可得k=8，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為，∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴B（4，2）；（2）如圖所示，過P作PE⊥x軸于E，交AB于C，設(shè)P（m，），則C（m，），∵△POC的面積為3，∴m×|m|=3，，解得m=或2，∴P（，）或（2，4）．【名師指路】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題時(shí)注意：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)的解析式．25．（2021·上海·八年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)，一次函數(shù)與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．（1）求和的值；（2）點(diǎn)在軸正半軸上，且的面積為1，求點(diǎn)坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)是一次函數(shù)上一點(diǎn)，點(diǎn)是反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)，且點(diǎn)、都在軸上方．如果以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)、的坐標(biāo)．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）1，1；（2）；（3），或，．【思路指引】（1）將B與C坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式即可求出k與b的值；（2）先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，再根據(jù)的面積為1列出方程求出m的值進(jìn)而得解；（3）由題意可得PQ∥BM且PQ＝BM＝2，設(shè)點(diǎn)P（a＋2，a＋1），則可表示點(diǎn)Q的坐標(biāo)，利用點(diǎn)Q在反比例函數(shù)圖像上列出方程求解即可．【詳解詳析】解：（1）把點(diǎn)，，代入函數(shù)得，由題意得解得（2）由題意得，點(diǎn)在一次函數(shù)和反比例函數(shù)上，則，化簡(jiǎn)得，，解得，，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限所以所以點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)：點(diǎn)坐標(biāo)為則，解得，．點(diǎn)坐標(biāo)為（3）由（2）得，點(diǎn)M為又∵∴BM＝2，∵以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，且點(diǎn)、都在軸上方，∴PQ∥BM且PQ＝BM＝2，設(shè)點(diǎn)P（a，a＋1），當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P右側(cè)時(shí)，則點(diǎn)Q為（a＋2，a＋1）將（a＋2，a＋1）代入得(a＋2)(a＋1)＝2解得，a＝0或a＝－3（舍去）∴，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P左側(cè)時(shí)，則點(diǎn)Q為（a－2，a＋1）將（a－2，a＋1）代入得(a－2)(a＋1)＝2解得，a＝或a＝（舍去）∴，．∴，或，．【名師指路】此題屬于反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，求兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．26．如圖，一次函數(shù)y＝kx+2（k≠0）的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y＝的圖象交于點(diǎn)B（2，m），點(diǎn)P（a，0）在x軸上，a＜2，已知．（1）m＝______，k＝______；（2）求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）將△ABP向下平移2t個(gè)單位，再向左平移t個(gè)單位（t＞0），得到△A'B'P'，邊BP的對(duì)應(yīng)邊B'P'與反比例函數(shù)y＝的圖象交于點(diǎn)E．當(dāng)點(diǎn)E為B'P'的中點(diǎn)時(shí)，求出實(shí)數(shù)t的值．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）3；；（2）點(diǎn)P坐標(biāo)為（，0）；（3）．【思路指引】（1）用待定系數(shù)法，即可求解；（2），則9AB2＝4PB2，即可求解；（3）設(shè)BP的中點(diǎn)F（a，b），由a﹣＝2﹣a，b﹣0＝3﹣b，解得：a＝，b＝，則平移后的點(diǎn)E坐標(biāo)為（，），故，即可求解．【詳解詳析】解：（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式并解得：m＝3，故點(diǎn)B（2，3），將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y＝kx+2并解得：k＝，故答案為：3，；（2）∵，∴9AB2＝4PB2，即：9×（4+1）＝4×[（a﹣2）2+9]，解得：（舍去），∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（，0）；（3）設(shè)BP的中點(diǎn)F（a，b），由a﹣＝2﹣a，b﹣0＝3﹣b，解得：a＝，b＝，∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（，），平移后的點(diǎn)E坐標(biāo)為（，），∴，解得：（舍去）．【名師指路】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，當(dāng)有兩個(gè)函數(shù)的時(shí)候，著重使用一次函數(shù)，體現(xiàn)了方程思想，綜合性較強(qiáng)．27．如圖，一次函數(shù)y＝x+1的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（1，n）．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P（m，0）在x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)M是反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥y軸，求出△MNP的面積；（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P從左往右運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷△MNP的面積如何變化？并說明理由．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）y＝；（2）1；（3）△MNP的面積是不變的常數(shù)1，理由見解析．【思路指引】（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y＝x+1得：n＝1+1＝2，故點(diǎn)A（1，2），進(jìn)而求解；（2）MN⊥y軸，故MN∥x軸，則△MNP的面積S＝S△OMN＝k＝1；（3）由（2）知△MNP的面積為1，為常數(shù)，即可求解．【詳解詳析】解：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y＝x+1得：n＝1+1＝2，故點(diǎn)A（1，2），設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y＝，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式得：2＝，解得：k＝2，故反比例函數(shù)表達(dá)式為：y＝；（2）∵M(jìn)N⊥y軸，故MN∥x軸，則△MNP的面積S＝S△OMN＝k＝1；（3）由（2）知△MNP的面積為1，為常數(shù)，故△MNP的面積是不變的常數(shù)1．【名師指路】此題主要考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)和幾何綜合，熟練掌握函數(shù)圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．28．已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，反比例函數(shù)的圖像也經(jīng)過點(diǎn)，第一象限內(nèi)的點(diǎn)在這個(gè)反比例函數(shù)的圖像上，過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，且．求：（1）這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；（2）直線的表達(dá)式．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）【思路指引】（1）先根據(jù)點(diǎn)在正比例函數(shù)圖像上求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在反比例函數(shù)圖像上，代入求得反比例函數(shù)解析式；（2）根據(jù)點(diǎn)在反比例函數(shù)圖像上，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)軸，得點(diǎn)坐標(biāo)；結(jié)合，通過列方程并求解，即可得點(diǎn)坐標(biāo)；再利用待定系數(shù)法，通過求解二元一次方程組，從而求出直線的解析式．【詳解詳析】（1）根據(jù)題意，設(shè)∵經(jīng)過點(diǎn)∴∴∴∵經(jīng)過點(diǎn)∴∴∴反比例函數(shù)的解析式為；（2）如下圖，過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，連接、根據(jù)題意，設(shè)，則∴，∵∴解得：，（舍去）∴設(shè)直線解析式為，根據(jù)題意得：解得：∴直線解析式為．【名師指路】本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、勾股定理、一元二次方程、平行線、二元一次方程組的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)、一次函數(shù)、勾股定理的性質(zhì)，從而完成求解．29．（2021·上海徐匯·八年級(jí)期末）已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)A為y軸正半軸上的一點(diǎn)，將△ABC繞著頂點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C’落在y軸上，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A’恰好落在反比例函數(shù)的圖像上．（1）求的面積；（2）如果的值為6(即反比例函數(shù)為)，求