第06課時(shí)不等式的定義與解集（原卷版）核心考點(diǎn)考點(diǎn)1不等式的定義1．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）在下列數(shù)學(xué)表達(dá)式：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)2．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：①；②；③；④；⑤，其中屬于不等式的有（）個(gè)．A．2 B．3 C．4 D．53．（2022秋·湖南永州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各式為不等式的是（

）A． B． C． D．4．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）已知不等式，的最小值是；，的最大值是，則___________．5．（2022春·北京·七年級(jí)?？计谀┯貌坏仁奖硎尽熬€上學(xué)習(xí)期間，每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過1小時(shí)”，設(shè)每天的體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x小時(shí)，所列不等式為______．6．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，選擇適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)填空．(1)a___________b．(2)___________．(3)___________0．(4)___________0．(5)ab___________0．7．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）選擇適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)填空：(1)8___________11．(2)___________(3)___________．(4)___________0．考點(diǎn)2不等式的解集8．（2022·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．不等式的解是3 B．3是不等式的解C．不等式的解集是 D．是不等式的解集9．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，體育課上，小明的實(shí)心球成績?yōu)?.6m，他投出的實(shí)心球落在（

）A．區(qū)域① B．區(qū)域② C．區(qū)域③ D．區(qū)域④10．（2022春·四川眉山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各數(shù)中，滿足不等式的是（

）A． B．0 C．1 D．311．（2022春·山東臨沂·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各數(shù)中，是不等式的解的是（

）A． B．2 C．1 D．3.512．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）下列說法中，正確的是（

）A．x＝3是不等式2x＞1的解 B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解C．x＝3不是不等式2x＞1的解 D．x＝3是不等式2x＞1的解集13．（2022春·北京西城·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）寫出一個(gè)解集為的一元一次不等式___________．14．（2022秋·北京·七年級(jí)北京育才學(xué)校?？计谥校┬」庠谝粭l東西方向的馬路上行走，向東走5米記作米．(1)則向西走米記作___________米；(2)小光從出發(fā)點(diǎn)出發(fā)，前4次行走依次記作，，，（單位：米），則他第5次需要向___________走_(dá)__________米，才能恰好回到出發(fā)點(diǎn)；(3)小光從出發(fā)點(diǎn)出發(fā)，將連續(xù)的4次行走依次記作，，，（單位：米）．如果此時(shí)他位于出發(fā)點(diǎn)西側(cè)，則的取值范圍是___________．此時(shí)小光共行走了多少米？（用含m的代數(shù)式表示，并化簡(jiǎn)）15．（2022·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于x的兩個(gè)不等式x+1<7?2x與?1+x<a．(1)若兩個(gè)不等式解集相同，求a的值；(2)若不等式x+1<7?2x的解都是?1+x<a的解，求a的取值范圍．二、易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)1：去括號(hào)時(shí)符號(hào)的問題（錯(cuò)因刨析）去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前如果是負(fù)號(hào)，要記得變號(hào)，一定要特別注意。16．（2021春·寧夏銀川·八年級(jí)銀川唐徠回民中學(xué)?？计谥校┙獠坏仁剑?1)．(2)．17．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）解下列不等式并把解集在數(shù)軸上表示出來．(1)(2)．易錯(cuò)點(diǎn)2：去括號(hào)時(shí)系數(shù)的問題（錯(cuò)因刨析）去括號(hào)時(shí)，除了要注意符號(hào)問題，還需要注意系數(shù)問題，括號(hào)外面的系數(shù)要與括號(hào)里面的每一項(xiàng)都相乘，不能漏乘。如果既有系數(shù)問題，又有符號(hào)問題，為了避免出錯(cuò)，我們可以先處理系數(shù)問題，再處理符號(hào)問題。18．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）解不等式．19．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）求適合不等式的最小負(fù)整數(shù)．三、拔尖角度角度1用數(shù)軸表示不等式的解集20．（2023春·全國·七年級(jí)假期作業(yè)）把下列不等式的解集在數(shù)軸上表示出來．(1)x≥－3；(2)x＞－1；(3)x≤3；(4)x<－.21．（2021春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）不等式的解集x<3與x≤3有什么不同？在數(shù)軸上表示它們時(shí)怎樣區(qū)別？分別在數(shù)軸上把這兩個(gè)解集表示出來．角度2根據(jù)實(shí)際問題列不等式22．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）用等式或不等式表示下列問題中的數(shù)量關(guān)系：(1)某市身高不超過的兒童可免費(fèi)乘坐公共汽車．記可以免費(fèi)乘坐公共汽車的兒童的身高為．(2)某農(nóng)戶今年的收入比去年多1.5萬元．記去年的收入為p萬元，今年的收入為q萬元．23．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列數(shù)量關(guān)系列不等式：(1)x的7倍減去1是正數(shù)．(2)y的與的和不大于0．(3)正數(shù)a與1的和的算術(shù)平方根大于1．(4)y的20%不小于1與y的和．角度3根據(jù)不等式解綜合與實(shí)踐問題24．（2020秋·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）材料一：一個(gè)整數(shù)能夠被9整除，則它的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和能被9整除；材料二：我們把形如（其中且為整數(shù)）的五位正整數(shù)稱為“對(duì)稱凹數(shù)”，例如：86068、71017都是“對(duì)稱凹數(shù)”．（1）最小的“對(duì)稱凹數(shù)”是___________，最大的“對(duì)稱凹數(shù)”是___________；（2）五位正整數(shù)都是“對(duì)稱凹數(shù)”，若滿足的同時(shí)，與之和仍構(gòu)成一個(gè)新的“對(duì)稱凹數(shù)”，且該新“對(duì)稱凹數(shù)”能被9整除，請(qǐng)求出“對(duì)稱凹數(shù)”與．25．（2020春·七年級(jí)統(tǒng)考課時(shí)練習(xí)）閱讀下列材料：數(shù)學(xué)問題：已知，且，，試確定的取值范圍．問題解法：，．又，，．又，．①同理得．②由②①得，的取值范圍是．完成任務(wù)：（1）在數(shù)學(xué)問題中的條件下，寫出的取值范圍是_____．（2）已知，且，，試確定的取值范圍；（3）已知，，若成立，試確定的取值范圍（結(jié)果用含a的式子表示）．角度4利用不等式解創(chuàng)新型問題26．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）已知表示不超過x的最大整數(shù))，設(shè)方程的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解為，則__________．27．（2020·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）任意一個(gè)正整數(shù)n，都可以表示為：n＝a×b×c（a≤b≤c，a，b，c均為正整數(shù)），在n的所有表示結(jié)果中，如果|2b﹣（a+c）|最小，我們就稱a×b×c是n的“階梯三分法”，并規(guī)定：F（n）＝，例如：6＝1×1×6＝1×2×3，因?yàn)閨2×1﹣（1+6）|＝5，|2×2﹣（1+3）|＝0，5＞0，所以1×2×3是6的階梯三分法，即F（6）＝＝2．（1）如果一個(gè)正整數(shù)p是另一個(gè)正整數(shù)q的立方，那么稱正整數(shù)p是立方數(shù)，求證：對(duì)于任意一個(gè)立方數(shù)m，總有F（m）＝2；（2）t是一個(gè)兩位正整數(shù)，t＝10x+y（1≤x≤9，0≤y≤9，且x≥y，x+y≤10，x和y均為整數(shù)），t的23倍加上各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和，結(jié)果能被13整除，我們就稱這個(gè)數(shù)t為“滿意數(shù)”，求所有“滿意數(shù)”中F（t）的最小值．第06課時(shí)不等式的定義與解集（解析版）核心考點(diǎn)考點(diǎn)1不等式的定義1．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）在下列數(shù)學(xué)表達(dá)式：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)思路引領(lǐng)：根據(jù)不等式的定義逐個(gè)判斷即可．解：不等式有：，，，，共4個(gè)，故選：C．總結(jié)提升：本題考查了不等式的定義，能熟記不等式的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：用不等號(hào)，，，，表示不等關(guān)系的式子，叫不等式．2．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：①；②；③；④；⑤，其中屬于不等式的有（）個(gè)．A．2 B．3 C．4 D．5思路引領(lǐng)：主要依據(jù)不等式的定義：用“”、“”、“”、“”、“”等不等號(hào)表示不相等關(guān)系的式子是不等式，據(jù)此來判斷即可．解：①是等式；②符合不等式的定義；③是多項(xiàng)式；④符合不等式的定義；⑤符合不等式的定義；不等式共有3個(gè)，故選：B．總結(jié)提升：本題考查不等式的識(shí)別，一般地，用不等號(hào)表示不相等關(guān)系的式子叫做不等式．3．（2022秋·湖南永州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各式為不等式的是（

）A． B． C． D．思路引領(lǐng)：用不等號(hào)連接表示不等關(guān)系的式子是不等式，用定義逐一判斷即可．A.沒有不等號(hào)，不是不等式，本選項(xiàng)不符合題意；B.用等號(hào)連接，是等式，本選項(xiàng)不符合題意；C.有不等號(hào)連接，表示不等關(guān)系，是不等式，本選項(xiàng)符合題意；D.沒有不等號(hào)，不是不等式，本選項(xiàng)不符合題意．故選C．總結(jié)提升：本題考查不等式的定義，熟記不等式需要用不等號(hào)連接是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）已知不等式，的最小值是；，的最大值是，則___________．思路引領(lǐng)：解答此題要理解“”“”的意義，判斷出和的最值即可解答．解：因?yàn)榈淖钚≈凳?，；的最大值是，則；則，所以．故答案為：．總結(jié)提升：本題考查了不等式的定義，解答此題要明確，時(shí)，可以等于2；時(shí)，可以等于．5．（2022春·北京·七年級(jí)校考期末）用不等式表示“線上學(xué)習(xí)期間，每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過1小時(shí)”，設(shè)每天的體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x小時(shí)，所列不等式為______．思路引領(lǐng)：根據(jù)超過用“”列不等式即可．解：由題意得．故答案為：總結(jié)提升：本題考查了列不等式表示數(shù)量關(guān)系，與列代數(shù)式問題相類似，首先要注意其中的運(yùn)算及運(yùn)算順序，再就是要注意分清大于、小于、不大于、不小于的區(qū)別．6．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，選擇適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)填空．(1)a___________b．(2)___________．(3)___________0．(4)___________0．(5)ab___________0．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)數(shù)軸上a，b對(duì)應(yīng)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，即可得到答案；（2）由絕對(duì)值的幾何意義，即可求解；（3）根據(jù)實(shí)數(shù)的加法法則即可求解；（4）根據(jù)實(shí)數(shù)的減法法則即可求解；（5）根據(jù)實(shí)數(shù)的乘法法則即可求解．（1）解：由數(shù)軸可知：，故答案為：＞；（2）解：由數(shù)軸可知：＜，故答案為：＜；（3）解：∵，＜，∴，故答案為：＜；（4）解：∵，∴，故答案為：＞；（5）解：∵∴，故答案為：＜．總結(jié)提升：本題主要考查數(shù)軸，絕對(duì)值，實(shí)數(shù)的加減法和乘法，掌握絕對(duì)值的幾何意義，實(shí)數(shù)的加減法法則是關(guān)鍵．7．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）選擇適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)填空：(1)8___________11．(2)___________(3)___________．(4)___________0．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)有理數(shù)的大小比較法則，直接求解；（2）先比較了兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，再比較有理數(shù)的大小即可；（3）先比較兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，再比較實(shí)數(shù)大小即可；（4）根據(jù)偶數(shù)次方的非負(fù)性，即可得到答案．（1）解：，故答案為：＜；（2）解：∵，，且，∴＜，故答案為：＜；（3）解：∵，∴＞，故答案為：＞；（4）解：,故答案為：≥．總結(jié)提升：本題主要考查實(shí)數(shù)的大小比較，偶數(shù)次冪的非負(fù)性，掌握實(shí)數(shù)的大小比較法則，偶數(shù)次冪的非負(fù)性是關(guān)鍵．考點(diǎn)2不等式的解集8．（2022·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．不等式的解是3 B．3是不等式的解C．不等式的解集是 D．是不等式的解集思路引領(lǐng)：使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解，能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍，叫做不等式的解的集合，簡(jiǎn)稱解集，結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．解∶A、3是不等式的解，但是不等式的解集不是3，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；B、3是不等式的解，說法正確，故本選項(xiàng)不符合題意；C、不等式的解集是，說法正確，故本選項(xiàng)不符合題意；D、是不等式的解集，說法正確，故本選項(xiàng)不符合題意．故選∶A．總結(jié)提升：本題考查了不等式的解及解集，注意區(qū)分不等式的解與解集是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，體育課上，小明的實(shí)心球成績?yōu)?.6m，他投出的實(shí)心球落在（

）A．區(qū)域① B．區(qū)域② C．區(qū)域③ D．區(qū)域④思路引領(lǐng)：根據(jù)，判定區(qū)域即可．因?yàn)?，故選C．總結(jié)提升：本題考查了不等式的應(yīng)用，熟練掌握不等式解集的意義是解題的關(guān)鍵．10．（2022春·四川眉山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各數(shù)中，滿足不等式的是（

）A． B．0 C．1 D．3思路引領(lǐng)：根據(jù)各項(xiàng)數(shù)據(jù)的大小，判斷其是否滿足不等式的解集即可．∵-4＜0，0＜1＜3，x＜0，∴滿足條件的只有-4，故選：A．總結(jié)提升：本題考查了不等式解集的知識(shí)，關(guān)鍵是明白不等式解的取值范圍．11．（2022春·山東臨沂·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各數(shù)中，是不等式的解的是（

）A． B．2 C．1 D．3.5思路引領(lǐng)：在選項(xiàng)中找到大于2的即為所求．解：在?2，2，1，3.5中，只有3.5＞2，故選：D．總結(jié)提升：本題考查不等式的解集，理解不等式解集的定義是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）下列說法中，正確的是（

）A．x＝3是不等式2x＞1的解 B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解C．x＝3不是不等式2x＞1的解 D．x＝3是不等式2x＞1的解集思路引領(lǐng)：對(duì)A、B、C、D選項(xiàng)進(jìn)行一一驗(yàn)證，把已知解代入不等式看不等式兩邊是否成立．解：A、當(dāng)x＝3時(shí)，2×3＞1，成立，故A符合題意；B、當(dāng)x＝3時(shí)，2×3＞1成立，但不是唯一解，例如x＝4也是不等式的解，故B不符合題意；C、當(dāng)x＝3時(shí)，2×3＞1成立，是不等式的解，故C不符合題意；D、當(dāng)x＝3時(shí)，2×3＞1成立，是不等式的解，但不是不等式的解集，其解集為：x＞，故D不符合題意；故選：A．總結(jié)提升：此題著重考查不等式中不等式的解、唯一解、解集概念之間的區(qū)別和聯(lián)系，是一道非常好的基礎(chǔ)題．13．（2022春·北京西城·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）寫出一個(gè)解集為的一元一次不等式___________．思路引領(lǐng)：根據(jù)題意寫出符合要求的不等式即可．解：解集為的一元一次不等式可以是，故答案為：（答案不唯一）．總結(jié)提升：本題主要考查了一元一次不等式的定義及解集，解題的關(guān)鍵是理解一元一次不等式解集的定義．14．（2022秋·北京·七年級(jí)北京育才學(xué)校校考期中）小光在一條東西方向的馬路上行走，向東走5米記作米．(1)則向西走米記作___________米；(2)小光從出發(fā)點(diǎn)出發(fā)，前4次行走依次記作，，，（單位：米），則他第5次需要向___________走_(dá)__________米，才能恰好回到出發(fā)點(diǎn)；(3)小光從出發(fā)點(diǎn)出發(fā)，將連續(xù)的4次行走依次記作，，，（單位：米）．如果此時(shí)他位于出發(fā)點(diǎn)西側(cè)，則的取值范圍是___________．此時(shí)小光共行走了多少米？（用含m的代數(shù)式表示，并化簡(jiǎn)）思路引領(lǐng)：（1）向東走為正，則向西走為負(fù)；（2）根據(jù)最終回到出發(fā)點(diǎn)，則4次行走數(shù)據(jù)之和為0,設(shè)第5次行走，記作米，然后列方程求解即可；（3）根據(jù)經(jīng)過4次行走，最終在出發(fā)點(diǎn)西側(cè)，則4次數(shù)據(jù)之和小于零，列出不等式，解不等式，即可得出的取值范圍；然后再計(jì)算4次數(shù)據(jù)的絕對(duì)值之和，即為小光共行走的距離．（1）解：已知向東走5米記作米，∵東西方向相反，向東為正，向西則為負(fù)，∴向西走米記作米，故答案為：（2）解：設(shè)第5次行走，記作米，則解方程得則第5次需要向東走4米，故答案為：東，4．（3）解：根據(jù)題意得解得，∴的取值范圍是==則小光共行走了米．總結(jié)提升：本題考查了正負(fù)數(shù)的應(yīng)用、絕對(duì)值、不等式等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)概念并能應(yīng)用于實(shí)際問題是解題關(guān)鍵．15．（2022·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于x的兩個(gè)不等式x+1<7?2x與?1+x<a．(1)若兩個(gè)不等式解集相同，求a的值；(2)若不等式x+1<7?2x的解都是?1+x<a的解，求a的取值范圍．思路引領(lǐng)：（1）求出第二個(gè)不等式的解集，表示出第一個(gè)不等式的解集，由解集相同求出a的值即可；（2）根據(jù)不等式x+1<7?2x的解都是?1+x<a的解，求出a的范圍即可．（1）解：由x+1<7?2x得：x＜2，由?1+x<a得：x＜a+1，由兩個(gè)不等式的解集相同，得到a+1=2，解得：a=1；（2）解：由不等式x+1<7?2x的解都是?1+x<a的解，得到2≤a+1，解得：a≥1．總結(jié)提升：此題考查了不等式的解集，根據(jù)題意分別求出對(duì)應(yīng)的值，利用不等關(guān)系求解．二、易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)1：去括號(hào)時(shí)符號(hào)的問題（錯(cuò)因刨析）去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前如果是負(fù)號(hào)，要記得變號(hào)，一定要特別注意。16．（2021春·寧夏銀川·八年級(jí)銀川唐徠回民中學(xué)?？计谥校┙獠坏仁剑?1)．(2)．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)，求解即可．（1）解：可得，則，解得；（2）解：可得：則解得．總結(jié)提升：此題考查了一元一次不等式的求解，解題的關(guān)鍵掌握不等式的性質(zhì)以及一元一次不等式的求解方法．17．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）解下列不等式并把解集在數(shù)軸上表示出來．(1)(2)．思路引領(lǐng)：（1）先去括號(hào)，然后移項(xiàng)、合并，化系數(shù)為1即可；（2）先去分母，然后去括號(hào)，然后移項(xiàng)、合并，化系數(shù)為1即可；（1）解：去括號(hào)得：，移項(xiàng)、合并得：，系數(shù)化為1得：．?dāng)?shù)軸表示：（2）去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)、合并得：，系數(shù)化為1得：．?dāng)?shù)軸表示為：總結(jié)提升：本題考查了解一元一次不等式的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握解一元一次不等式的一般步驟．易錯(cuò)點(diǎn)2：去括號(hào)時(shí)系數(shù)的問題（錯(cuò)因刨析）去括號(hào)時(shí)，除了要注意符號(hào)問題，還需要注意系數(shù)問題，括號(hào)外面的系數(shù)要與括號(hào)里面的每一項(xiàng)都相乘，不能漏乘。如果既有系數(shù)問題，又有符號(hào)問題，為了避免出錯(cuò)，我們可以先處理系數(shù)問題，再處理符號(hào)問題。18．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）解不等式．思路引領(lǐng)：根據(jù)去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)的步驟解不等式即可解得．解：去括號(hào)，得．移項(xiàng)，得．合并同類項(xiàng)，得．總結(jié)提升：本題考查解不等式，熟知不等式的解法是解題的關(guān)鍵．19．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）求適合不等式的最小負(fù)整數(shù)．思路引領(lǐng)：首先利用不等式的基本性質(zhì)解不等式，再從不等式的解集中找出適合條件的最小負(fù)整數(shù)即可．解不等式得：，，∴最小負(fù)整數(shù)解為．總結(jié)提升：本題考查不等式的解法及整數(shù)解的確定．解不等式要用到不等式的性質(zhì)：（1）不等式的兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；（3）不等式的兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．三、拔尖角度角度1用數(shù)軸表示不等式的解集20．（2023春·全國·七年級(jí)假期作業(yè)）把下列不等式的解集在數(shù)軸上表示出來．(1)x≥－3；(2)x＞－1；(3)x≤3；(4)x<－.思路引領(lǐng)：將上述不等式的解集規(guī)范的表示在數(shù)軸上即可.（1）將表示在數(shù)軸上為：（2）將表示在數(shù)軸上為：（3）將表示在數(shù)軸上為：（4）將表示在數(shù)軸上為：總結(jié)提升：將不等式的解集表示在數(shù)軸上時(shí)，需注意兩點(diǎn)：（1）“大于（大于或等于）向右，小于（小于或等于）向左”；（2）“或（）時(shí)”，數(shù)軸上表示數(shù)“”的點(diǎn)用“空心圓圈”，“（或）時(shí)”，數(shù)軸上表示數(shù)“”的點(diǎn)用“實(shí)心圓點(diǎn)”.21．（2021春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）不等式的解集x<3與x≤3有什么不同？在數(shù)軸上表示它們時(shí)怎樣區(qū)別？分別在數(shù)軸上把這兩個(gè)解集表示出來．思路引領(lǐng)：不等式和的解集的不同之處：前者的解集中不包含3，后者的解集中包含3；在數(shù)軸上表示這兩個(gè)解集時(shí)，前者表示數(shù)3的點(diǎn)用“空心圓圈”，后者表示數(shù)3的點(diǎn)用“實(shí)心圓點(diǎn)”.（1）不等式和的解集的不同之處：前者的解集中不包含3，后者的解集中包含3；（2）在數(shù)軸上表示不等式和的解集時(shí)，前者表示數(shù)3的點(diǎn)用“空心圓圈”，后者表示數(shù)3的點(diǎn)用“實(shí)心圓點(diǎn)”；（3）①將表示在數(shù)軸上為：②將表示在數(shù)軸上為：角度2根據(jù)實(shí)際問題列不等式22．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）用等式或不等式表示下列問題中的數(shù)量關(guān)系：(1)某市身高不超過的兒童可免費(fèi)乘坐公共汽車．記可以免費(fèi)乘坐公共汽車的兒童的身高為．(2)某農(nóng)戶今年的收入比去年多1.5萬元．記去年的收入為p萬元，今年的收入為q萬元．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)不等量關(guān)系，直接列出不等式即可；（2）根據(jù)等量關(guān)系直接列出等式即可．（1）解：由題意得：；（2）解：由題意得：．總結(jié)提升：本題主要考查列不等式和等式，準(zhǔn)確找到等量關(guān)系和不等量關(guān)系是關(guān)鍵．23．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列數(shù)量關(guān)系列不等式：(1)x的7倍減去1是正數(shù)．(2)y的與的和不大于0．(3)正數(shù)a與1的和的算術(shù)平方根大于1．(4)y的20%不小于1與y的和．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)“x的7倍減去1是正數(shù)”直接列不等式即可；（2）根據(jù)“y的與的和不大于0”直接列不等式即可；（3）根據(jù)“正數(shù)a與1的和的算術(shù)平方根大于1”直接列不等式即可；（4）根據(jù)“y的20%不小于1與y的和”直接列不等式即可．（1）解：由題意得：；（2）解：由題意得：；（3）解：由題意得：；（4）解：由題意得：．總結(jié)提升：本題主要考查列不等式，準(zhǔn)確理解“大于，小于，不大于，不小于”這些詞語是關(guān)鍵．角度3根據(jù)不等式解綜合與實(shí)踐問題24．（2020秋·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）材料一：一個(gè)整數(shù)能夠被9整除，則它的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和能被9整除；材料二：我們把形如（其中且為整數(shù)）的五位正整數(shù)稱為“對(duì)稱凹數(shù)”，例如：86068、71017都是“對(duì)稱凹數(shù)”．（1）最小的“對(duì)稱凹數(shù)”是___________，最大的“對(duì)稱凹數(shù)”是___________；（2）五位正整數(shù)都是“對(duì)稱凹數(shù)”，若滿足的同時(shí)，與之和仍構(gòu)成一個(gè)新的“對(duì)稱凹數(shù)”，且該新“對(duì)稱凹數(shù)”能被9整除，請(qǐng)求出“對(duì)稱凹數(shù)”與．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)新定義結(jié)合且為整數(shù)，可直接得到答案；（2）設(shè)為為且且為整數(shù)，且為整數(shù)，可得由新“對(duì)稱凹數(shù)”能被9整除，能被9整除，結(jié)合＞可得，可得或或，再分類討論可得答案．解：（1）由新定義可得：且為整數(shù)，所以“對(duì)稱凹數(shù)”為最小時(shí)，最小的“對(duì)稱凹數(shù)”是所以“對(duì)稱凹數(shù)”為最大時(shí)，最大的“對(duì)稱凹數(shù)”是故答案為：（2）設(shè)為為且且為整數(shù)，且為整數(shù)，新“對(duì)稱凹數(shù)”能被9整除，能被9整除，能被9整除，＞，又且為整數(shù)，且為整數(shù)，或或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，不合題意舍去，當(dāng)時(shí)，則不合題意舍去，當(dāng)時(shí)，則符合題意，此時(shí)：當(dāng)時(shí)，則不合題意舍去，當(dāng)時(shí)，則此時(shí)：當(dāng)時(shí)，則此時(shí)：當(dāng)時(shí)，則此時(shí)：當(dāng)時(shí)，則不合題意舍去，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，同理可得沒有符合題意的解，綜上：或或或總結(jié)提升：本題考查的是新定義情境下的類二元一次方程的正整數(shù)解問題，不等式的基本性質(zhì)，分類討論的數(shù)學(xué)思想，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．25．（2020春·七年級(jí)統(tǒng)考課時(shí)練習(xí)）閱讀下列材料：數(shù)學(xué)問題：已知，且，，試確定的取值范圍．問題解法：，．又，，．又，．①同理得．②由②①得，的取值范圍是．完成任務(wù)：（1）在數(shù)學(xué)問題中的條件下，寫出的取值范圍是_____．（2）已知，且，，試確定的取值范圍；（3）已知，，若成立，試確定的取值范圍（結(jié)果用含a的式子表示）．思路引領(lǐng)：（1）仿照例子，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)即可求解；（2）仿照例子，注意由0＜y＜1到-1＜-y＜0的轉(zhuǎn)化，再由不等式同號(hào)可加性進(jìn)行求解；（3）仿照例子，注意確定不等式有解集時(shí)，a的取值范圍，因此要先確定當(dāng)a＜-2時(shí)，關(guān)于x、y的不等式存在解集．（1），．，，．故答案為．（2），．又，，．又，，．同理得，，的取值范圍是．（3），．又，，．又，，．當(dāng)時(shí)，．同理得，，∴當(dāng)時(shí)，的取值范圍是．總結(jié)提升：本題考查不等式的性質(zhì)；能夠根據(jù)例子，仿照例子結(jié)合不等式的基本性質(zhì)解題，注意不等式的同號(hào)可加性，是隱含的限定條件．角度4利用不等式解創(chuàng)新型問題26．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）已知表示不超過x的最大整數(shù))，設(shè)方程的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解為，則__________．思路引領(lǐng)：由題意可知{}表示的小