第16講相似三角形（精講）通過實例認識圖形的相似。了解比例的基本性質，成比例的線段，通過建筑、藝術上的實例了解黃金分割。了解相似多邊形和相似比。掌握平行線分線段成比例。了解相似三角形判定定理。了解相似三角形性質定理。了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小。會利用圖形的相似解決一些簡單實際問題。利用相似的直角三角形，探究并認識銳角三角函數(shù)，知道30°、45°、60°角的三角函數(shù)值。會使用計算器由銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求對應銳角。能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關知識解決一些簡單的實際問題TOC\o"1-3"\h\u第16講相似三角形（精講） 1考點1：平行線分線段成比例 3考點2：相似三角形的判定 15考點3：相似三角形的性質 23考點4：與相似三角形有關的證明與計算 28課堂總結：思維導圖 54分層訓練：課堂知識鞏固 55考點1：平行線分線段成比例①比例線段：在四條線段a，b，c，d中，如果a與b的比等于c與d的比，即，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段．②比例的基本性質：(1)基本性質：?ad＝bc；（b、d≠0）(2)合比性質：?＝；（b、d≠0）(3)等比性質：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)?＝k.（b、d、···、n≠0）①平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.即如圖所示，若l3∥l4∥l5，則.（2）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例.即如圖所示，若AB∥CD，則.（3）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形和原三角形相似．如圖所示，若DE∥BC，則△ADE∽△ABC.｛新定義-黃金分割★★｝（2021?巴中）兩千多年前，古希臘數(shù)學家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：如圖，點是線段上一點，若滿足，則稱點是的黃金分割點．黃金分割在日常生活中處處可見，例如：主持人在舞臺上主持節(jié)目時，站在黃金分割點上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺長20米，主持人從舞臺一側進入，設他至少走米時恰好站在舞臺的黃金分割點上，則滿足的方程是A． B． C． D．以上都不對｛比例性質★★｝若，，則的值為．｛比例性質★★｝把濃度為和的兩種鹽水按的比例混合在一起，得到的鹽水濃度為．｛平行線分線段成比例★★｝如圖，是的中線，點是邊上一點，交于點，若，則．｛平行線分線段成比例★★｝如圖，在中，、分別是邊、上的點，與相交于點，若為的中點，，則的值是．｛平行線分線段成比例★★｝如圖，在中，若，，，則．｛平行線分線段成比例★★★｝如圖，在中，，，是的中點，且，則的長為．｛比例性質★★｝若，則．｛新定義-黃金分割★★｝（2021?德陽）我們把寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形．黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設計．已知四邊形是黃金矩形，邊的長度為，則該矩形的周長為．｛平行線分線段成比例★★｝如圖，在中，點，分別在邊，上，且，，射線和的延長線交于點，則的值為．｛平行線分線段成比例★★｝如圖，中，為上一點，且，點為的中點，的延長線交于，則為．（2020?瀘州）古希臘數(shù)學家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點將一線段分為兩線段，，使得其中較長的一段是全長與較短的一段的比例中項，即滿足，后人把這個數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點稱為線段的“黃金分割”點．如圖，在中，已知，，若，是邊的兩個“黃金分割”點，則的面積為A． B． C． D．｛平行線分線段成比例★★｝如圖，三邊的中點分別為，，．連接交于點，交于點，則．｛平行線分線段成比例★★｝如圖，直線，等腰的三個頂點、、分別在直線、、上，，交于點．若與的距離為1，與的距離為4，則的值是．（2019?雅安）若，且，則的值是A．4 B．2 C．20 D．14（2021?阿壩州）如圖，直線，直線，與，，分別交于點，，和點，，．若，，則的長是A．4 B．6 C．7 D．12（2021?連云港）如圖，是的中線，點在上，延長交于點．若，則．考點2：相似三角形的判定相似三角形的判定：｛相似的判定★★｝如圖，中，，，．將沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是A．B．C． D．｛相似的判定★★｝在下列條件中，不能判斷與相似的是A．， B．且 C． D．且｛相似的判定★★｝下列說法正確的是A．兩個直角三角形相似 B．兩條邊對應成比例，一組對應角相等的兩個三角形相似 C．有一個角為的兩個等腰三角形相似D．有一個角為的兩個等腰三角形相似｛相似的判定★★｝依據(jù)下列條件不能判斷和的相似是A．，，， B．，，，， C．，，，， D．，，，，，｛相似的判定★★｝如圖，已知，那么添加一個條件后，仍不能判定與相似的是A． B． C． D．｛相似的判定★★｝如圖，在中，點，分別在邊，上，與不平行，添加下列條件之一仍不能判定的是A． B． C． D．｛相似的判定★★｝如圖，如果，那么添加下列一個條件后，仍不能確定的是A． B． C． D．｛相似的判定★★｝如圖，在矩形中，為上一點，交的延長線于點．求證：．｛相似的判定★★｝如圖，，且，求證：．｛相似的判定★★｝如圖，，是的高，連接．求證：．（2021?湘潭）如圖，在中，點，分別為邊，上的點，試添加一個條件：，使得與相似．（任意寫出一個滿足條件的即可）考點3：相似三角形的性質相似三角形的性質(1)對應角相等，對應邊成比例．(2)周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方．(3)相似三角形對應高的比、對應角平分線的比和對應中線的比等于相似比．｛相似的性質★★｝如果兩個相似多邊形的周長比是，那么它們的面積比為A． B． C． D．｛相似的性質★★｝下列結論正確的是A．所有的矩形都相似 B．所有的菱形都相似 C．所有的正方形都相似 D．所有的正多邊形都相似｛相似的性質★★｝如圖，矩形矩形，且，則的值是A． B． C． D．｛相似的性質★★｝如圖，△，和分別是和△的高，若，，則與△的面積的比為A． B． C． D．｛相似的性質★★｝如圖，已知在中，點、點是邊上的兩點，聯(lián)結、，且，如果，那么下列等式錯誤的是A． B． C． D．｛相似的性質★★｝如圖，，，，則的度數(shù)是A． B． C． D．｛相似的性質★★｝如果兩個相似三角形周長之比為，那么這兩個三角形的面積之比為．（2020?銅仁市）已知，它們的周長分別為30和15，且，則的長為A．3 B．2 C．4 D．5（2019?沈陽）已知△，和是它們的對應中線，若，，則與△的周長比是A． B． C． D．考點4：與相似三角形有關的證明與計算基礎知識歸納：相似三角形與幾何圖形的綜合．基本方法歸納：理清題意，合理推斷，準確運算是關鍵．注意問題歸納：審題不清、條件利用不全是常見錯誤．｛相似的運用★★｝如圖，在中，，高，正方形的四個頂點均在的邊上，則正方形的邊長為．A．2 B．2.5 C．3 D．4｛相似的運用★★｝如圖，是半圓的直徑，按以下步驟作圖：（1）分別以，為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點，連接與半圓交于點；（2）分別以，為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點，連接與半圓交于點；（3）連接，，，與交于點．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結論：①平分；②；③；④；所有正確結論的序號是A．①② B．①④ C．②③ D．①②④｛相似的運用★★｝著名畫家達?芬奇用三個正方形和三個全等的直角三角形拼成如下圖形證明了勾股定理，其中∠ACB＝∠EJD＝90°，CB＝EJ，連結HF，CJ，得到4個全等的四邊形HFGI，四邊形HFBA，四邊形CJEA，四邊形JCBD．CJ分別交AB，ED于點M，N，若MN：CJ＝5：9，且AB＝5，則HF的長為（）A． B． C． D．｛相似的運用★★｝如圖，點在線段上，在的同側作等腰直角三角形和等腰直角三角形和是直角），連接，交于點，與邊交于點，對于下列結論：①；②；③；④，其中正確的個數(shù)為A．1個 B．2個 C．3個 D．4個｛相似的運用★★｝如圖，正方形，點，分別在邊，上，，，與交于點，與交于點，延長至，使，連接．有如下結論：①；②；③；④．上述結論中，所有正確結論的序號是A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④｛相似的運用★★｝如圖，小明同學想測量操場上路燈的高度，于是他站立在點處測得其影長為1米，小明同學繼續(xù)沿著方向行走5米到達點處，此時測得其影長為3米，已知小明身高1.5米，則路燈的長為米．｛相似的運用★★｝如圖，線段是的角平分線，點、點分別在線段、的延長線上，聯(lián)結、，且．（1）求證：；（2）如果，求證：．｛相似的運用★★｝如圖，在中，，以為直徑的分別與，交于點，，過點作，垂足為點．（1）求證：直線是的切線；（2）求證：．｛相似的運用★★｝如圖，在矩形中，是邊的中點，于點，于，連接，下列四個結論：①；②；③；④．其中正確的結論有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個｛相似的運用★★｝如圖，在正方形中，是的中點，點在的延長線上，，交于點，，交于點．（1）求證：．（2）若，，求的長．｛相似的運用★★｝公共自行車車樁的截面示意圖如圖所示，，，點、在上，，，，，，．（1）點到的距離為．（2）點到地面的距離為．｛相似的運用★★｝如圖，在平行四邊形中，，過點作于，連結，，為上一點，且．（1）求證：．（2）的長為．（2021?錦州）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，為上一點（位于下方），交于點，若，，，則的長為A． B． C． D．（2021?巴中）如圖，中，點、分別在、上，且，下列結論正確的是A． B．與的面積比為 C．與的周長比為 D．（2021?貴港）如圖，在正方形中，，是對角線上的兩點，且，連接并延長交于點，連接并延長交于點，連接，則A． B． C．1 D．（2021?溫州）由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形如圖所示．過點作的垂線交小正方形對角線的延長線于點，連結，延長交于點．若，則的值為A． B． C． D．如圖，路燈點距地面，身高的小明從距路燈底部點的點沿所在的直線行走了到達點時，則小明的身影A．增長了3米 B．縮短了3米 C．縮短了3.5米 D．增長了3.5米課堂總結：思維導圖分層訓練：課堂知識鞏固1．（2022秋?和平區(qū)校級期末）已知在中，，，，下列陰影部分的三角形與原不相似的是A． B． C． D．2．（2022秋?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，與是以點為位似中心的位似圖形，且相似比為，點在軸上，若點的坐標是，點的坐標是，則點的坐標是A． B． C． D．3．（2022秋?桃江縣期末）如圖，點是線段的中點，，下列結論中，說法錯誤的是A．與相似 B．與相似 C． D．4．（2022秋?丹東期末）如圖，下列選項中不能判定的是A． B． C． D．5．（2022秋?德惠市期末）若，則的值為A． B． C． D．6．（2022秋?山西期末）大約在兩千四五百年前，如圖1墨子和他的學生做了世界上第1個小孔成倒像的實驗．并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端”．如圖2所示的小孔成像實驗中，若物距為，像距為，蠟燭火焰倒立的像的高度是，則蠟燭火焰的高度是A． B． C． D．7．（2022秋?裕華區(qū)校級期末）如圖，直線，直線、與、、分別交于點、、和點、、，若，，則的長為A．2 B．3 C．4 D．58．（2022秋?伊川縣期末）下列各組的四條線段，，，是成比例線段的是A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，9．（2022秋?定遠縣校級期末）如圖，，請你再添加一個條件，使得．則下列選項不成立的是A． B． C． D．10．（2022秋?益陽期末）如圖，已知是中的邊上的一點，，的平分線交邊于，交于，那么下列結論中錯誤的是A． B． C． D．11．（2022秋?蓮池區(qū)校級期末）已知線段、、、的長度滿足等式，則下列比例式中，錯誤的是A． B． C． D．12．（2022秋?廣陵區(qū)校級期末）如圖，點為的邊一點，下列條件不一定能保證的是A． B． C． D．13．（2022秋?驛城區(qū)期末）如圖，在三角形紙片中，，，，沿虛線剪下的涂色部分的三角形與相似的是A． B． C． D．14．（2022秋?中原區(qū)期末）如圖，是邊的延長線上一點，交于，則圖中的相似三角形共有A．對 B．2對 C．3對 D．4對15．（2022秋?蒙城縣期末）如圖，已知，那么添加下列一個條件后，仍無法判定的是A． B． C． D．1．（2022秋?南岸區(qū)期末）任意給定一個正三角形甲，以下說法正確的是A．存在正三角形乙，乙的周長和面積分別是甲的周長和面積的一半 B．存在正三角形乙，乙的周長是甲周長的2倍，乙的面積是甲面積的倍 C．存在正三角形乙，乙的周長是甲周長的2倍，乙的面積是甲面積的3倍 D．存在正三角形乙，乙的周長是甲周長的2倍，乙的面積是甲面積的4倍2．（2022秋?安岳縣期末）如圖，在四邊形中，，與相交于點，若，則的值為A． B． C． D．3．（2022秋?離石區(qū)期末）如圖，在中，平分，交于點，過作的平行線交于，若，，則A． B． C． D．4．（2022秋?包頭期末）如圖，在“黃金三角形”中，，，平分交于點，若，則的長為．（頂角為，兩底角分別為的等腰三角形就是黃金三角形）5．（2022秋?雙流區(qū)期末）如圖，在和中，，，為的中點，，．將繞點旋轉，直線，交于點，連接，則的最小值是．6．（2022秋?黃浦區(qū)期末）已知：如圖，點、分別在等邊三角形的邊的延長線與反向延長線上，且滿足．求證：（1）；（2）．7．（2022秋?和平區(qū)校級期末）如圖，小明晚上由路燈下的處直接走向路燈下的處，已知小明身高1.8米，路燈的高度為12米，當他行到處時發(fā)現(xiàn)，恰好他在路燈下的影子長為2米，接著他又走到處，恰好他在路燈下的影子長為1.5米于點，于點，于點，于點．（1）求，兩點間的距離；（2）請直接寫出路燈的高度為．8．（2022秋?靜安區(qū)期末）如圖，在梯形中，，分別交對角線、底邊于點、，且．（1）求證：；（2）點在底邊上，，，聯(lián)結，如果與的面積相等，求的長．9．（2022秋?平昌縣期末）如圖，矩形中，為上一點，交的延長線于點．①求證：．②若，，求的值．1．（2022?吳中區(qū)模擬）如圖，在正方形中，是邊上一點，連接，以為斜邊作等腰直角三角形．有下列四個結論：①；②；③當時，為的內(nèi)心；④若點在上以一定的速度，從往運動，則點與點的運動速度相等．其中正確的結論的個數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．42．（2022?武進區(qū)一模）如圖，正方形的邊長是3，，連接，交于點，并分別與邊，交于點，，連接，下列結論：①；②；③；其中正確結論的個數(shù)A．1 B．3 C．2 D．03．（2022?東平縣一模）如圖，在矩形中，、分別在、上運動（不與端點重合），連接、，交于點，且滿足．連接，若，，則的最小值為A． B． C．5 D．34．（2021秋?潁州區(qū)校級期中）如圖，在中，，，點是線段上的一點，連接，過點作，分別交、于點、，與過點且垂直于的直線相交于點，連接，給出以下四個結論：①；②若點是的中點，則；③當、、、四點在同一個圓上時，；④若，則，其中正確的結論的個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．45．（2021秋?開福區(qū)校級期末）如圖，正方形中，為的中點，于，延長交于點，延長交于點，交于下列結論：①；②；③；④；⑤；其中正確結論的個數(shù)有A．2個 B．3個 C．4個 D．5個6．（2022?江漢區(qū)模擬）如圖，已知為等腰的腰上一點，繞點逆時針旋轉至，連接，，為的中點．則當時，．7．（2022?越秀區(qū)一模）如圖，點為矩形的邊上一點（點與點不重合），，．將沿對折，得到．連接、，給出下列四個結論：①與互補；②若點到邊，的距離相等，則；③若點到邊，的距離相等，則；④的面積的最小值為6．其中正確的結論有．（填寫所有正確結論的序號）8．（2022?長清區(qū)一模）如圖，在正方形的對角線上取一點，使得，連接并延長到，使，與相交于點，若，有下列結論：①；②；③；④．則其中正確的結論有．9．（2021秋?召陵區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)的圖象經(jīng)過點和，直線與軸，軸分別交于，兩點，點是該函數(shù)圖象上的一個動點，過點分別作軸和軸的垂線，垂足分別為，．當時，存在點使得，點的坐標．10．（2022?甘井子區(qū)校級模擬）如圖，在中，，點在上，且，，點、同時從點出發(fā)，以相同的速度分別沿射線、射線運動．過點作的垂線段，使，連接，當點到達點時，點、同時停止運動、設，與重疊部分的面積為，當時，點恰好在邊上．（1）填空：點恰好經(jīng)過邊時，的值為；（2）求關于的函數(shù)關系式，并寫出的取值范圍．11．（2022?將樂縣模擬）如圖，將正方形的對角線繞點逆時針旋轉得到，連接．點滿足，且，交于點，連接．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，求．12．（2022?廬陽區(qū)校級三模）如圖，在中，，，為邊上一點，連接，作于點，過點作交延長線于點．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，以，為鄰邊作平行四邊形，連接交于點，連接．①求證：；②若點為中點，、交于點，求的值．13．（2022?漢陽區(qū)校級模擬）如圖，在矩形中，點為上一點，過點作于點，連接交于點，點恰好為的中點．（1）求證：；（2）如圖1，若，求的值；（3）如圖2，在（2）的條件下，點、分別為、上的動點，若，請直接寫出的最小值．14．（2022?合肥一模）在四邊形中，，，對角線、相交于點，過點作垂直于，垂足為，且．（1）求證：；（2）如圖2，連接，點、、分別為線段、、的中點，連接、、．①求證：；②若，求的面積．第16講相似三角形（精講）通過實例認識圖形的相似。了解比例的基本性質，成比例的線段，通過建筑、藝術上的實例了解黃金分割。了解相似多邊形和相似比。掌握平行線分線段成比例。了解相似三角形判定定理。了解相似三角形性質定理。了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小。會利用圖形的相似解決一些簡單實際問題。利用相似的直角三角形，探究并認識銳角三角函數(shù)，知道30°、45°、60°角的三角函數(shù)值。會使用計算器由銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求對應銳角。能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關知識解決一些簡單的實際問題TOC\o"1-3"\h\u第16講相似三角形（精講） 1考點1：平行線分線段成比例 3考點2：相似三角形的判定 15考點3：相似三角形的性質 23考點4：與相似三角形有關的證明與計算 28課堂總結：思維導圖 54分層訓練：課堂知識鞏固 55考點1：平行線分線段成比例①比例線段：在四條線段a，b，c，d中，如果a與b的比等于c與d的比，即，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段．②比例的基本性質：(1)基本性質：?ad＝bc；（b、d≠0）(2)合比性質：?＝；（b、d≠0）(3)等比性質：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)?＝k.（b、d、···、n≠0）①平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.即如圖所示，若l3∥l4∥l5，則.（2）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例.即如圖所示，若AB∥CD，則.（3）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形和原三角形相似．如圖所示，若DE∥BC，則△ADE∽△ABC.｛新定義-黃金分割★★｝（2021?巴中）兩千多年前，古希臘數(shù)學家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：如圖，點是線段上一點，若滿足，則稱點是的黃金分割點．黃金分割在日常生活中處處可見，例如：主持人在舞臺上主持節(jié)目時，站在黃金分割點上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺長20米，主持人從舞臺一側進入，設他至少走米時恰好站在舞臺的黃金分割點上，則滿足的方程是A． B． C． D．以上都不對【分析】點是的黃金分割點，且，，則，則，即可求解．【解答】解：由題意知，點是的黃金分割點，且，，則，，，故選：．【點評】本題考查了黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對應線段是解決問題的關鍵．｛比例性質★★｝若，，則的值為4．【分析】設輔助未知數(shù)，根據(jù)比例的性質求出輔助未知數(shù)，進而求出答案．【解答】解：設，則，，，，即，，，故答案為：4．【點評】本題考查比例的性質，設輔助未知數(shù)是常用的方法．｛比例性質★★｝把濃度為和的兩種鹽水按的比例混合在一起，得到的鹽水濃度為．【分析】設濃度為鹽水質量為，濃度為鹽水質量為，然后利用濃度公式計算．【解答】解：濃度為和的兩種鹽水的比例為，設濃度為鹽水質量為，濃度為鹽水質量為，混合后的鹽水濃度．故答案為：．【點評】本題考查了比例的性質：熟練掌握比例的性質（內(nèi)項之積等于外項之積、合比性質、分比性質、合分比性質、等比性質）是解決問題的關鍵．｛平行線分線段成比例★★｝如圖，是的中線，點是邊上一點，交于點，若，則．【分析】如圖，過點作交于點．利用平行線等分線段定理，證明即可．【解答】解：如圖，過點作交于點．，，，，，，，，故答案為：．【點評】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造平行線解決問題．｛平行線分線段成比例★★｝如圖，在中，、分別是邊、上的點，與相交于點，若為的中點，，則的值是．【分析】過作交于，根據(jù)相似三角形的性質即可得到結論【解答】解：過作交于，，，，若為的中點，，，，，，．【點評】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，準確作出輔助線是解題的關鍵．｛平行線分線段成比例★★｝如圖，在中，若，，，則．【分析】利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．【解答】解：，，，，，設，則，，，．故答案為：．【點評】本題考查平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．｛平行線分線段成比例★★★｝如圖，在中，，，是的中點，且，則的長為5.5．【分析】作交于，作的平分線交于，得出，再通過線段之間的轉化即可得出線段的長．【解答】解：作交于，作的平分線交于，交于，則．因為，所以．又，．．，．，，，．故答案為：5.5．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質以及平行線的性質問題，能夠利用其性質求解一些簡單的計算問題．｛比例性質★★｝若，則．【分析】利用比例的性質設，則，用表示，，將，的值代入即可得出結論．【解答】解：由題意：設，則，．．．故答案為：．【點評】本題主要考查了比例的性質，設，則，用字母表示出，是解題的關鍵．｛新定義-黃金分割★★｝（2021?德陽）我們把寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形．黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設計．已知四邊形是黃金矩形，邊的長度為，則該矩形的周長為或4．【分析】分兩種情況：①邊為矩形的長時，則矩形的寬為，求出矩形的周長即可；②邊為矩形的寬時，則矩形的長為，求出矩形的周長即可．【解答】解：分兩種情況：①邊為矩形的長時，則矩形的寬為，矩形的周長為：；②邊為矩形的寬時，則矩形的長為：，矩形的周長為；綜上所述，該矩形的周長為或4．【點評】本題考查了黃金分割，熟記黃金分割的比值是解題的關鍵．｛平行線分線段成比例★★｝如圖，在中，點，分別在邊，上，且，，射線和的延長線交于點，則的值為．【分析】過點作交于，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出，進而求出，再根據(jù)平行線分線段成比例定理計算即可．【解答】解：過點作交于，則，，，，，故答案為：．【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，正確作出輔助線、靈活運用定理是解題的關鍵．｛平行線分線段成比例★★｝如圖，中，為上一點，且，點為的中點，的延長線交于，則為．【分析】如圖，過點作交于點．證明，，可得結論．【解答】解：如圖，過點作交于點．，，，，，，故答案為：．【點評】本題主要考查平行線分線段成比例的性質，掌握平行線分線段對應成比例是解題關鍵，注意出現(xiàn)中點作平行線是常用的輔助線．（2020?瀘州）古希臘數(shù)學家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點將一線段分為兩線段，，使得其中較長的一段是全長與較短的一段的比例中項，即滿足，后人把這個數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點稱為線段的“黃金分割”點．如圖，在中，已知，，若，是邊的兩個“黃金分割”點，則的面積為A． B． C． D．【分析】作于，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質得到，則根據(jù)勾股定理可計算出，接著根據(jù)線段的“黃金分割”點的定義得到，則計算出，然后根據(jù)三角形面積公式計算．【解答】解：作于，如圖，，，在中，，，是邊的兩個“黃金分割”點，，，．故選：．【點評】本題考查了黃金分割：把線段分成兩條線段和，且使是和的比例中項（即，叫做把線段黃金分割，點叫做線段的黃金分割點．其中，并且線段的黃金分割點有兩個．也考查了等腰三角形的性質．｛平行線分線段成比例★★｝如圖，三邊的中點分別為，，．連接交于點，交于點，則．【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到，，證明，根據(jù)相似三角形的性質得到，證明，根據(jù)相似三角形的性質解答即可．【解答】解：，分別為、的中點，是的中位線，，，，，，，，，，，，故答案為：．【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定和性質，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵．｛平行線分線段成比例★★｝如圖，直線，等腰的三個頂點、、分別在直線、、上，，交于點．若與的距離為1，與的距離為4，則的值是．【分析】作于，交于，作于，如圖，利用平行線之間的距離的，，再證明得到，則可利用勾股定理計算出，從而得到，接著利用平行線分線段成比例定理得到，則，然后利用勾股定理計算出的長，于是可計算出的值．【解答】解：作于，交于，作于，如圖，，，，，為等腰直角三角形，，，，，，在和中，，，，在中，，，，，，在中，，．故答案為．【點評】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．也考查了平行線之間的距離和等腰直角三角形的性質．（2019?雅安）若，且，則的值是A．4 B．2 C．20 D．14【分析】根據(jù)比例的性質得到，結合求得、的值，代入求值即可．【解答】解：由知，所以．所以由得到：，解得．所以．所以．故選：．【點評】考查了比例的性質，內(nèi)項之積等于外項之積．若，則．（2021?阿壩州）如圖，直線，直線，與，，分別交于點，，和點，，．若，，則的長是A．4 B．6 C．7 D．12【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出，再求出答案即可．【解答】解：，．，，．故選：．【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關鍵．（2021?連云港）如圖，是的中線，點在上，延長交于點．若，則．【分析】過點作交于，可得，所以，得到；再根據(jù)，得，所以，即．【解答】解：如圖，是的中線，點是的中點，，過點作交于，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，過點作，構造相似三角形是解題的關鍵．考點2：相似三角形的判定相似三角形的判定：｛相似的判定★★｝如圖，中，，，．將沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是A．B．C． D．【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對各選項進行逐一判定即可．【解答】解：、陰影三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項不符合題意；、陰影三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項不符合題意；、兩三角形的對應邊不成比例，故兩三角形不相似，故本選項符合題意；、陰影三角形中，的兩邊分別為，，則兩三角形對應邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，故本選項不符合題意．故選：．【點評】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關鍵．｛相似的判定★★｝在下列條件中，不能判斷與相似的是A．， B．且 C． D．且【分析】直接根據(jù)三角形相似的判定方法分別判斷得出答案．【解答】解：、，，可以得出，故此選項不合題意；、，且，不是兩邊成比例且夾角相等，故此選項符合題意；、，可以得出，故此選項不合題意；、且，可以得出，故此選項不合題意；故選：．【點評】此題主要考查了相似三角形的判定，關鍵是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；（2）三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；（3）兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；（4）兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．｛相似的判定★★｝下列說法正確的是A．兩個直角三角形相似 B．兩條邊對應成比例，一組對應角相等的兩個三角形相似 C．有一個角為的兩個等腰三角形相似D．有一個角為的兩個等腰三角形相似【分析】利用相似三角形的判定方法依次判斷即可求解．【解答】解：兩個直角三角形只有一組角相等，兩個直角三角形不一定相似，故選項不合題意；兩條邊對應成比例，且夾角相等的兩個三角形相似，兩條邊對應成比例，一組對應角相等的兩個三角形不一定相似，故選項不合題意；底角為的等腰三角形和頂角為的等腰三角形不相似，有一個角為的兩個等腰三角形不一定相似，故選項不合題意；有一個角為的兩個等腰三角形相似，選項符合題意，故選：．【點評】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．｛相似的判定★★｝依據(jù)下列條件不能判斷和的相似是A．，，， B．，，，， C．，，，， D．，，，，，【分析】直接根據(jù)三角形相似的判定方法對每一選項進行判斷即可得出答案．【解答】解：、，，，，，，故此選項不符合題意；、，，，，且，，故此選項不符合題意；、，，，，且，不是兩邊成比例且夾角相等，故此選項符合題意；、，，，，，，，，故此選項不合題意；故選：．【點評】此題主要考查了相似三角形的判定，關鍵是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；（2）三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；（3）兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；（4）兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．｛相似的判定★★｝如圖，已知，那么添加一個條件后，仍不能判定與相似的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知及相似三角形的判定方法對各個選項進行分析，從而得到最后答案．【解答】解：，，都可判定選項中不是夾這兩個角的邊，所以不相似，故選：．【點評】此題考查了相似三角形的判定：①如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；③如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似．｛相似的判定★★｝如圖，在中，點，分別在邊，上，與不平行，添加下列條件之一仍不能判定的是A． B． C． D．【分析】由于，則根據(jù)相似三角形的判定方法可對各選項進行判斷．【解答】解：，當時，；當時，；當時，．故選：．【點評】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；有兩組角對應相等的兩個三角形相似．｛相似的判定★★｝如圖，如果，那么添加下列一個條件后，仍不能確定的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知及相似三角形的判定方法對各個選項進行分析，從而得到最后答案．【解答】解：，，選項，根據(jù)兩角對應相等判定，選項根據(jù)兩邊成比例夾角相等判定，選項中不是夾這兩個角的邊，所以不相似，故選：．【點評】此題考查了相似三角形的判定：①如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；③如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似．｛相似的判定★★｝如圖，在矩形中，為上一點，交的延長線于點．求證：．【分析】根據(jù)兩角對應相等兩三角形相似證明即可．【解答】證明：四邊形是矩形，，，，，，．【點評】本題考查相似三角形的判定和性質，矩形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型．｛相似的判定★★｝如圖，，且，求證：．【分析】由已知條件得到，．則由“兩邊及夾角法”證得結論．【解答】證明：如圖，，．又，，即，．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質應用，關鍵在于掌握三角形相似的判定定理．｛相似的判定★★｝如圖，，是的高，連接．求證：．【分析】根據(jù)相似三角形判定推出，推出，再根據(jù)即可推出．【解答】證明：、是高，，，，，，．【點評】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．（2021?湘潭）如圖，在中，點，分別為邊，上的點，試添加一個條件：，使得與相似．（任意寫出一個滿足條件的即可）【分析】根據(jù)相似三角形判定定理：兩個角相等的三角形相似；夾角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似，即可解題．【解答】解：添加，又，，故答案為：（答案不唯一）．【點評】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解答本題的關鍵．考點3：相似三角形的性質相似三角形的性質(1)對應角相等，對應邊成比例．(2)周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方．(3)相似三角形對應高的比、對應角平分線的比和對應中線的比等于相似比．｛相似的性質★★｝如果兩個相似多邊形的周長比是，那么它們的面積比為A． B． C． D．【分析】根據(jù)相似多邊形的周長比求出相似比，再根據(jù)相似多邊形的面積比等于相似比的平方計算，得到答案．【解答】解：兩個相似多邊形的周長比是，這兩個相似多邊形的相似比是，它們的面積比是，故選：．【點評】本題考查的是相似多邊形的性質，掌握相似多邊形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．｛相似的性質★★｝下列結論正確的是A．所有的矩形都相似 B．所有的菱形都相似 C．所有的正方形都相似 D．所有的正多邊形都相似【分析】利用相似多邊形的判定解決問題即可．【解答】解：．所有的矩形對應邊比值不一定相等，所以不一定相似，此選項錯誤；．所有的菱形對應邊的比相等，但對應角不一定相等，故錯誤；．所有的正方形都相似，故此選項正確；．正多邊形不一定相似，故此選項錯誤；故選：．【點評】此題考查了相似多邊形的識別．判定兩個圖形相似的依據(jù)是：對應邊的比相等，對應角相等．兩個條件必須同時具備．｛相似的性質★★｝如圖，矩形矩形，且，則的值是A． B． C． D．【分析】根據(jù)相似多邊形的性質得到，整理得到，解一元二次方程得到、的關系．【解答】解：矩形矩形，，即，整理得：，則，，（舍去），，故選：．【點評】本題考查的是相似多邊形的性質、一元二次方程的解法，掌握相似多邊形的對應邊成比例是解題的關鍵．｛相似的性質★★｝如圖，△，和分別是和△的高，若，，則與△的面積的比為A． B． C． D．【分析】根據(jù)相似三角形對應高的比等于相似比求出相似比，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方解答．【解答】解：△，和分別是和△的高，，，，與△的面積的比，故選：．【點評】本題考查的是相似三角形的性質，相似三角形面積的比等于相似比的平方、相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比．｛相似的性質★★｝如圖，已知在中，點、點是邊上的兩點，聯(lián)結、，且，如果，那么下列等式錯誤的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)相似三角形的性質，由得到，則可對選項進行判斷；由得到，，則證明，利用相似三角形的性質得，則可對選項進行判斷；證明得到，加上，則可對選項進行判斷；利用得到，由于，，則可對選項進行判斷．【解答】解：，，，所以選項的結論正確；，，，，，，，，，，即，所以選項的結論正確；，，，，即，，，所以選項的結論正確；，，，，，，所以選項的結論不正確．故選：．【點評】本題考查了相似三角形的性質：相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等；相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比．也考查了相似三角形的判定．｛相似的性質★★｝如圖，，，，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】根據(jù)相似三角形的性質分別求出、，結合圖形計算，得到答案．【解答】解：，，，，，故選：．【點評】本題考查的是相似三角形的性質，掌握相似三角形的對應角相等是解題的關鍵．｛相似的性質★★｝如果兩個相似三角形周長之比為，那么這兩個三角形的面積之比為．【分析】已知了兩個相似三角形的周長比，即可得到它們的相似比，由于相似三角形的面積比等于相似比的平方，由此得解．【解答】解：兩個相似三角形的周長之比為，它們的相似比為，它們的面積比為，故答案為：．【點評】此題考查的是相似三角形的性質：相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方．（2020?銅仁市）已知，它們的周長分別為30和15，且，則的長為A．3 B．2 C．4 D．5【分析】根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比解答．【解答】解：和的周長分別為30和15，和的周長比為，，，即，解得，，故選：．【點評】本題考查的是相似三角形的性質，掌握相似三角形的周長比等于相似比是解題的關鍵．（2019?沈陽）已知△，和是它們的對應中線，若，，則與△的周長比是A． B． C． D．【分析】相似三角形的周長比等于對應的中線的比．【解答】解：△，和是它們的對應中線，，，與△的周長比．故選：．【點評】本題考查相似三角形的性質，解題的關鍵是記住相似三角形的性質，靈活運用所學知識解決問題．考點4：與相似三角形有關的證明與計算基礎知識歸納：相似三角形與幾何圖形的綜合．基本方法歸納：理清題意，合理推斷，準確運算是關鍵．注意問題歸納：審題不清、條件利用不全是常見錯誤．｛相似的運用★★｝如圖，在中，，高，正方形的四個頂點均在的邊上，則正方形的邊長為．A．2 B．2.5 C．3 D．4【分析】設正方形的邊長為，然后根據(jù)相似三角形的性質與判定即可求出答案．【解答】解：設正方形的邊長為，與交點為，四邊形是正方形，，，，，，解得：，故選：．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，正方形的性質，證明三角形相似是解題的關鍵．｛相似的運用★★｝如圖，是半圓的直徑，按以下步驟作圖：（1）分別以，為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點，連接與半圓交于點；（2）分別以，為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點，連接與半圓交于點；（3）連接，，，與交于點．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結論：①平分；②；③；④；所有正確結論的序號是A．①② B．①④ C．②③ D．①②④【分析】由作圖可知，垂直平分線段，平分，利用平行線的判定，相似三角形的性質一一判斷即可．【解答】解：由作圖可知，垂直平分線段，平分，故①正確，，，，，，，，故②正確，，，故③錯誤，連接．，，，，，，，，，故④正確，故選：．【點評】本題考查相似三角形的判定和性質，圓周角定理，平行線的判定等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．｛相似的運用★★｝著名畫家達?芬奇用三個正方形和三個全等的直角三角形拼成如下圖形證明了勾股定理，其中∠ACB＝∠EJD＝90°，CB＝EJ，連結HF，CJ，得到4個全等的四邊形HFGI，四邊形HFBA，四邊形CJEA，四邊形JCBD．CJ分別交AB，ED于點M，N，若MN：CJ＝5：9，且AB＝5，則HF的長為（）A． B． C． D．【分析】過點C作CP⊥DE于點P，交AB于點K，設BC＝a，AC＝b，進而可得CF＝a，CH＝b，則有CJ＝HF＝a+b，然后由CM：MN＝2：5，得CK＝2，最后可得ab＝10，a2+b2＝25，則問題可求解．【解答】解：過點C作CP⊥DE于點P，交AB于點K，如圖所示：∵四邊形HFGI，四邊形HFBA，四邊形CJEA，四邊形JCBD都是全等的，∴HF＝CJ，∵∠ACB＝∠EJD＝90°，CB＝EJ，AB＝ED∴△ABC≌△DEJ（SAS），易得CM＝NJ，∵MN：CJ＝5：9，∴CM：MN＝2：5，∵AB∥ED，∴CK：KP＝2：5，∵AB＝5，∴KP＝BD＝AB＝5，∴CK＝2，設BC＝a，AC＝b，則CF＝a，CH＝b，∴CJ＝HF＝a+b，由等積法可得，AB?CK＝AC?BC，∴ab＝10，由勾股定理可得，a2+b2＝25，∴HF2＝（a+b）2＝2（a2+2ab+b2）＝90，∴HF＝3；故選：D．【點評】本題主要考查正方形的性質、勾股定理及線段的比，熟練掌握正方形的性質、勾股定理及線段的比是解題的關鍵．｛相似的運用★★｝如圖，點在線段上，在的同側作等腰直角三角形和等腰直角三角形和是直角），連接，交于點，與邊交于點，對于下列結論：①；②；③；④，其中正確的個數(shù)為A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】①由等腰和等腰三邊份數(shù)關系可證；②根據(jù)相似三角形的性質即可得到結論；③通過等積式倒推可知，證明即可；④轉化為，證明問題可證．【解答】解：由已知得：，，，，，，①正確；如圖：設與相交于點，則，，，，②正確；，，，，，③正確；由③，，，，，，，，，，④正確，故選：．【點評】本題考查了相似三角形的性質和判斷，在等積式和比例式的證明中應注意應用倒推的方法尋找相似三角形進行證明，進而得到答案．｛相似的運用★★｝如圖，正方形，點，分別在邊，上，，，與交于點，與交于點，延長至，使，連接．有如下結論：①；②；③；④．上述結論中，所有正確結論的序號是A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④【分析】①證明即可判斷；②利用平行線分線段成比例定理，等腰直角三角形的性質解決問題即可；③設的面積為，由，推出，，推出的面積為，的面積為，推出的面積的面積，由此即可判斷；④作于，設，，則，，通過計算證明即可解決問題．【解答】解：四邊形是正方形，，，，，，在與中，，，，，，，故①正確；，，，，，，，，故②正確；設的面積為，，，，的面積為，的面積為，的面積的面積，，故③錯誤；作于，設，，則，，由，可得，由，可得，，，，，，，，，，故④正確，故選：．【點評】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是證明出以及．｛相似的運用★★｝如圖，小明同學想測量操場上路燈的高度，于是他站立在點處測得其影長為1米，小明同學繼續(xù)沿著方向行走5米到達點處，此時測得其影長為3米，已知小明身高1.5米，則路燈的長為5.25米．【分析】設米，米．利用相似三角形的性質構建方程組，解決問題即可．【解答】解：設米，米．，，，，，，，解得，經(jīng)檢驗是分式方程組的解，米．故答案為：5.25．【點評】本題考查相似三角形的應用，中心投影等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程組解決問題，屬于中考?？碱}型．｛相似的運用★★｝如圖，線段是的角平分線，點、點分別在線段、的延長線上，聯(lián)結、，且．（1）求證：；（2）如果，求證：．【分析】（1）利用兩邊成比例且夾角相等證明，得，從而證明，則；（2）利用三角形外角的性質證明，證明，得，則，進行化簡即可．【解答】證明：（1）是的角平分線，，，，，，，，；（2），，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，三角形外角的性質等知識，熟練進行相似三角形的證明是解題的關鍵．｛相似的運用★★｝如圖，在中，，以為直徑的分別與，交于點，，過點作，垂足為點．（1）求證：直線是的切線；（2）求證：．【分析】（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質可得，由，得，等量代換可證，從而證明結論；（2）連接，根據(jù)圓周角定理知，從而證明，得，而，代入即可．【解答】證明：（1）如圖，連接，，，，，，，，，又是半徑，直線是的切線；（2）如圖，連接，是的直徑，，，，，，，，，，，．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，圓的有關知識，等腰三角形的性質，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．｛相似的運用★★｝如圖，在矩形中，是邊的中點，于點，于，連接，下列四個結論：①；②；③；④．其中正確的結論有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)矩形的性質得到，，，利用，可判斷，則可對①進行判斷；通過證明，則利用平行線分線段成比例得到，則可對②進行判斷；利用得到，所以，于是得到垂直平分，則可對③進行判斷；設的面積為，利用三角形面積公式得到，，然后利用得到，所以，則，于是可對④進行判斷．【解答】解：四邊形為矩形，，，，，，，，，，所以①正確；，，，，而是邊的中點，，，所以②正確；，，，，，，，垂直平分，，所以③正確；設的面積為，則，，，，，即，，．所以④錯誤．故選：．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．運用相似三角形的性質可證明線段之間的關系，也可進行幾何計算．也考查了矩形的性質．｛相似的運用★★｝如圖，在正方形中，是的中點，點在的延長線上，，交于點，，交于點．（1）求證：．（2）若，，求的長．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質，得，然后由相似三角形的性質可得結論；（2）求出的長，從而可得，再利用及勾股定理，即可求出的長．【解答】（1）證明：在正方形中，有，，，即．（2）解：由（1）知，，，，又點是的中點，，，，，，，，，，故的長為：．【點評】本題是考查的是相似三角形的判定與性質，掌握其性質是解決此題的關鍵．｛相似的運用★★｝公共自行車車樁的截面示意圖如圖所示，，，點、在上，，，，，，．（1）點到的距離為24．（2）點到地面的距離為．【分析】（1）過點作于點，由矩形的性質可得出答案；（2）過點作于點，利用相似三角形的判定與性質得出即可．【解答】解：（1）過點作于點，四邊形是矩形，，，，，；點到的距離為，故答案為：24；（2）過點作于點，，，，，，則：，點到地面的距離是：．故答案為．【點評】此題主要考查了勾股定理的應用以及相似三角形的判定與性質，得出是解題關鍵．｛相似的運用★★｝如圖，在平行四邊形中，，過點作于，連結，，為上一點，且．（1）求證：．（2）的長為．【分析】（1）利用等角的補角相等可得，從而證明結論；（2）由角的直角三角形的性質可求出，，由（1）知，，得，代入即可．【解答】（1）證明：，，，，，，，；（2）解：，，，，，，，，由（1）知，，，，，故答案為：．【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質，含角的直角三角形的性質，相似三角形的判定與性質等知識，證明是解題的關鍵．（2021?錦州）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，為上一點（位于下方），交于點，若，，，則的長為A． B． C． D．【分析】連接，過點作于點，連接，因為，構造，求出，設，則，，則，，再利用，列出方程即可解決．【解答】解：連接，過點作于點，連接，，，為的直徑，，，，，，，，，，，，設，則，，，，，，，，，，，，在中，由勾股定理得：，故選：．【點評】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質，勾股定理等知識，作輔助線構造出是解題的關鍵．（2021?巴中）如圖，中，點、分別在、上，且，下列結論正確的是A． B．與的面積比為 C．與的周長比為 D．【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質進行逐一判斷即可．【解答】解：，，，，，故錯誤；，與的面積比為，周長的比為，故和錯誤；，，．故正確．故選：．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，解決本題的關鍵是掌握相似三角形的判定與性質．（2021?貴港）如圖，在正方形中，，是對角線上的兩點，且，連接并延長交于點，連接并延長交于點，連接，則A． B． C．1 D．【分析】設，首先證明，再利用平行線分線段成比例定理求出，推出，，可得結論．【解答】解：設，四邊形是正方形，，，在和中，，，，在和中，，，，，，，，，，，故選：．【點評】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)，設正方形的邊長為，求出，．（2021?溫州）由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形如圖所示．過點作的垂線交小正方形對角線的延長線于點，連結，延長交于點．若，則的值為A． B． C． D．【分析】如圖，過點作交的延長線于，設交于，交于．設，則，想辦法求出，，可得結論．【解答】解：如圖，過點作交的延長線于，設交于，交于．設，則，，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，故選：．【點評】本題考查相似三角形的判定和性質，正方形的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型．如圖，路燈點距地面，身高的小明從距路燈底部點的點沿所在的直線行走了到達點時，則小明的身影A．增長了3米 B．縮短了3米 C．縮短了3.5米 D．增長了3.5米【分析】根據(jù)，得出，，再利用相似三角形的性質進行求解即可．【解答】解：，，，，即，解得：，同理由，，，小明的身影變短了（米，故選：．【點評】本題考查了中心投影，相似三角形的應用，找出相似的三角形，然后根據(jù)對應邊成比例列出方程建立適當?shù)臄?shù)學模型來解答是解題的關鍵．課堂總結：思維導圖分層訓練：課堂知識鞏固1．（2022秋?和平區(qū)校級期末）已知在中，，，，下列陰影部分的三角形與原不相似的是A． B． C． D．【分析】利用相似三角形的判定方法依次判斷可求解．【解答】解：、由有兩組角對應相等的兩個三角形相似，可證陰影部分的三角形與原相似，故選項不符合題意；、不能證明陰影部分的三角形與原相似，故選項符合題意；、由有兩組角對應相等的兩個三角形相似，可證陰影部分的三角形與原相似，故選項不符合題意；、由兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似，故選項不符合題意；故選：．【點評】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解題的關鍵．2．（2022秋?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，與是以點為位似中心的位似圖形，且相似比為，點在軸上，若點的坐標是，點的坐標是，則點的坐標是A． B． C． D．【分析】根據(jù)位似比的概念得到，根據(jù)線段中點的性質計算，得到答案．【解答】解：與是以點為位似中心的位似圖形，相似比為，，即點為線段的中點，點的坐標是，點的坐標是，點的坐標是，故選：．【點評】本題考查的是位似變換的性質，在平面直角坐標系中，掌握位似比的概念是解題的關鍵．3．（2022秋?桃江縣期末）如圖，點是線段的中點，，下列結論中，說法錯誤的是A．與相似 B．與相似 C． D．【分析】證明，，可得結論．【解答】解：，，，，，，，，，，，，故選項，，正確，故選：．【點評】本題考查相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題．4．（2022秋?丹東期末）如圖，下列選項中不能判定的是A． B． C． D．【分析】利用相似三角形判定方法依次判斷可求解．【解答】解：由題意可得：和中，，若，由有兩組角對應相等的兩個三角形相似可得，故選項不合題意；若，由有兩組角對應相等的兩個三角形相似可得，故選項不合題意；若，由兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似可得，故選項不合題意；故選：．【點評】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．5．（2022秋?德惠市期末）若，則的值為A． B． C． D．【分析】把要求的式子化成，再把代入進行計算，即可得出答案．【解答】解：，．故選：．【點評】此題考查了比例的性質，熟練掌握比例的基本性質是解題的關鍵．6．（2022秋?山西期末）大約在兩千四五百年前，如圖1墨子和他的學生做了世界上第1個小孔成倒像的實驗．并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端”．如圖2所示的小孔成像實驗中，若物距為，像距為，蠟燭火焰倒立的像的高度是，則蠟燭火焰的高度是A． B． C． D．【分析】直接利用相似三角形的對應邊成比例解答．【解答】解：設蠟燭火焰的高度是，由相似三角形對應高的比等于相似比得到：．解得．即蠟燭火焰的高度是．故選：．【點評】本題考查相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，記住相似三角形對應高的比等于相似比．7．（2022秋?裕華區(qū)校級期末）如圖，直線，直線、與、、分別交于點、、和點、、，若，，則的長為A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理解答即可．【解答】解：直線，，．故選：．【點評】本題主要考查了平行線分線段成比例的性質，能夠熟練運用其性質是解題的關鍵．8．（2022秋?伊川縣期末）下列各組的四條線段，，，是成比例線段的是A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，【分析】根據(jù)比例線段的定義即如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段，對選項一一分析，即可得出答案．【解答】解：，故不符合題意，，故不符合題意，，故不符合題意，，故符合題意，故選：．【點評】此題考查了比例線段，根據(jù)成比例線段的概念，注意在相乘的時候，最小的和最大的相乘，另外兩個相乘，看它們的積是否相等．同時注意單位要統(tǒng)一．9．（2022秋?定遠縣校級期末）如圖，，請你再添加一個條件，使得．則下列選項不成立的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)，可以得到，然后即可判斷添加各個選項中的條件是否可以使得，本題得以解決．【解答】解：，，，當添加條件時，則，故選項不符合題意；當添加條件時，則，故選項不符合題意；當添加條件時，則，故選項不符合題意；當添加條件時，則和不一定相似，故選項符合題意；故選：．【點評】本題考查相似三角形的判定，解答本題的關鍵是明確題意，利用三角形相似的判定方法解答．10．（2022秋?益陽期末）如圖，已知是中的邊上的一點，，的平分線交邊于，交于，那么下列結論中錯誤的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)相似三角形的判定，采用排除法，逐項分析判斷．【解答】解：，，．故正確．平分，，．故正確．，，．故正確．而不能證明，故錯誤．故選：．【點評】本題考查相似三角形的判定．識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應邊和對應角．11．（2022秋?蓮池區(qū)校級期末）已知線段、、、的長度滿足等式，則下列比例式中，錯誤的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)比例的基本性質：兩外項之積等于兩內(nèi)項之積．對選項一一分析，選出正確答案．【解答】解：、根據(jù)比例的基本性質可得，正確；、根據(jù)比例的基本性質可得，正確；、根據(jù)比例的基本性質可得，正確；、根據(jù)比例的基本性質可得，錯誤；故選：．【點評】此題考查比例線段問題，解答此題應把每一個選項乘以最簡公分母后與原式相比較看是否相同．12．（2022秋?廣陵區(qū)校級期末）如圖，點為的邊一點，下列條件不一定能保證的是A． B． C． D．【分析】相似三角形的判定：（1）三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；（2）兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；（3）兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．由此結合各選項進行判斷即可．【解答】解：在與中，已知，、若添加，可利用兩角法判定，故本選項錯誤；、若添加，可利用兩角法判定，故本選項錯誤；、若添加，不能判定，故本選項正確；、若添加，可利用兩邊及其夾角法判定，故本選項錯誤；故選：．【點評】本題考查了相似三角形的判定，解答本題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理，難度一般．13．（2022秋?驛城區(qū)期末）如圖，在三角形紙片中，，，，沿虛線剪下的涂色部分的三角形與相似的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)相似三角形的判定分別進行判斷即可得出答案即可．【解答】解：在三角形紙片中，，，．．因為，對應邊，，故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與不相似，故此選項錯誤；．因為，對應邊，又，故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與相似，故此選項正確；．因為，對應邊，即：．故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與不相似，故此選項錯誤；、因為，對應邊，．故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與不相似，故此選項錯誤；故選：．【點評】此題主要考查了相似三角形的判定，正確利用相似三角形兩邊比值相等切夾角相等的兩三角形相似是解題關鍵．14．（2022秋?中原區(qū)期末）如圖，是邊的延長線上一點，交于，則圖中的相似三角形共有A．對 B．2對 C．3對 D．4對【分析】根據(jù)平行四邊形性質得出，，根據(jù)平行線性質和相似三角形判定推出即可．【解答】解：圖中相似三角形有：，，，共3對，故選：．【點評】本題考查了平行四邊形性質和相似三角形的判定的應用，主要考查學生的推理能力．15．（2022秋?蒙城縣期末）如圖，已知，那么添加下列一個條件后，仍無法判定的是A． B． C． D．【分析】先根據(jù)求出，再根據(jù)相似三角形的判定方法解答．【解答】解：，，、添加，可用兩角法判定，故本選項錯誤；、添加，可用兩角法判定，故本選項錯誤；、添加，可用兩邊及其夾角法判定，故本選項錯誤；、添加，不能判定，故本選項正確；故選：．【點評】本題考查了相似三角形的判定，先求出兩三角形的一對相等的角是確定其他條件的關鍵，注意掌握相似三角形的幾種判定方法．1．（2022秋?南岸區(qū)期末）任意給定一個正三角形甲，以下說法正確的是A．存在正三角形乙，乙的周長和面積分別是甲的周長和面積的一半 B．存在正三角形乙，乙的周長是甲周長的2倍，乙的面積是甲面積的倍 C．存在正三角形乙，乙的周長是甲周長的2倍，乙的面積是甲面積的3倍 D．存在正三角形乙，乙的周長是甲周長的2倍，乙的面積是甲面積的4倍【分析】相似三角形的周長的比等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．據(jù)此可得結論．【解答】解：任意兩個正三角形相似，對于正三角形甲和乙，若乙的周長是甲的一半，則乙的面積是甲的面積的四分之一，故選項錯誤，不合題意；若乙的周長是甲的2倍，則乙的面積是甲的面積的4倍，故、選項錯誤，而選項正確，符合題意．故選：．【點評】本題主要考查了相似三角形的性質以及等邊三角形的性質，關鍵是掌握相似三角形的周長的比等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．2．（2022秋?安岳縣期末）如圖，在四邊形中，，與相交于點，若，則的值為A． B． C． D．【分析】先利用8字模型相似三角形證明，從而利用相似三角形的性質可得，即可解答．【解答】解：，，，，，，，故選：．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，熟練掌握8字模型相似三角形是解題的關鍵．3．（2022秋?離石區(qū)期末）如圖，在中，平分，交于點，過作的平行線交于，若，，則A． B． C． D．【分析】先根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質可得是等腰三角形，從而可得，然后再證明字模型相似三角形，從而利用相似三角形的性質進行計算即可解答．【解答】解：平分，，，，，，，，，，，，，故選：．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，熟練掌握字模型相似三角形是解題的關鍵．二．填空題（共2小題）4．（2022秋?包頭期末）如圖，在“黃金三角形”中，，，平分交于點，若，則的長為．（頂角為，兩底角分別為的等腰三角形就是黃金三角形）【分析】先利用等腰三角形的性質以及三角形內(nèi)角和定理可得，再利用角平分線的定義可得，從而可得，進而可得，然后再利用三角形的外角性質可得，從而可得，進而可得是黃金三角形，最后根據(jù)黃金三角形的定義進行計算即可解答．【解答】解：，，，平分，，，，，，，是黃金三角形，，，，，，故答案為：．【點評】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金三角形的定義是解題的關鍵．5．（2022秋?雙流區(qū)期末）如圖，在和中，，，為的中點，，．將繞點旋轉，直線，交于點，連接，則的最小值是．【分析】當、、共線時，取最小值等于，由題意可知，，進而可得，所以，根據(jù)四邊形內(nèi)角和可得，再根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得出的長，根據(jù)中位線定理可得的長，由此可得結論．【解答】解：如圖，取的中點，連接、，則．，，，，，，，，，．，，，，又為的中點，．為的中點，為的中點，，的最小值為．故答案為：．【點評】本題側重考查的是相似三角形的性質，掌握相似三角形對應邊成比例、相似三角形對應角相等是解決此題的關鍵．三．解答題（共4小題）6．（2022秋?黃浦區(qū)期末）已知：如圖，點、分別在等邊三角形的邊的延長線與反向延長線上，且滿足．求證：（1）；（2）．【分析】（1）由是等邊三角形，可得，，所以，由，可得，即，進而可得結論；（2）由（1）知，，所以，易證，所以，即，再由可得結論．【解答】證明：（1）是等邊三角形，，，，，，即，；（2）由（1）知，，，，，，即，．【點評】本題主要考查相似三角形的性質與判定，等邊三角形的性質與判定，熟練掌握相關知識是解題關鍵．7．（2022秋?和平區(qū)校級期末）如圖，小明晚上由路燈下的處直接走向路燈下的處，已知小明身高1.8米，路燈的高度為12米，當他行到處時發(fā)現(xiàn)，恰好他在路燈下的影子長為2米，接著他又走到處，恰好他在路燈下的影子長為1.5米于點，于點，于點，于點．（1）求，兩點間的距離；（2）請直接寫出路燈的高度為．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質列方程即可得到結論；（2）根據(jù)相似三角形的性質列方程即可得到結論．【解答】解：（1）由題意得，，，，，，，即，，，答：的長度為．（2）由（1）可知，，，，即，解得，故答案為：．【點評】本題主要考查相似三角形的性質的應用，相似三角形的性質與判定，熟練掌握相關知識是解題關鍵．8．（2022秋?靜安區(qū)期末）如圖，在梯形中，，分別交對角線、底邊于點、，且．（1）求證：；（2）點在底邊上，，，聯(lián)結，如果與的面積相等，求的長．【分析】（1）根據(jù)題意可證明，，所以，則；（2）根據(jù)三角形的面積公式及相似三角形的性質可得出結論．【解答】（1）證明：，，，，，，；（2）根據(jù)題意可得，，，，，和面積相等，，解得．【點評】本題主要考查相似三角形的性質與判定，三角形的面積公式等相關知識，根據(jù)題意表達三角形的面積比，得出方程是解題關鍵．9．（2022秋?平昌縣期末）如圖，矩形中，為上一點，交的延長線于點．①求證：．②若，，求的值．【分析】①根據(jù)矩形的性質得到，，則，然后根據(jù)相似三角形的判定方法得到結論；②利用得到，再利用勾股定理計算出，然后根據(jù)正弦的定義得到，從而得到的值．【解答】①證明：四邊形為矩形，，，，，，，，；②解：，，在中，，，．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．運用相似三角形的性質可證明線段之間的關系，也可進行幾何計算．也考查了矩形的性質和解直角三角形．1．（2022?吳中區(qū)模擬）如圖，在正方形中，是邊上一點，連接，以為斜邊作等腰直角三角形．有下列四個結論：①；②；③當時，為的內(nèi)心；④若點在上以一定的速度，從往運動，則點與點的運動速度相等．其中正確的結論的個數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質可以判斷①；根據(jù)，是等腰直角三角形，可得，，所以，因為，所以，進而可以判斷②；證明，進而可得，可得，分別平分，，平分，得點是角平分線的交點，進而可以判斷③；根據(jù)正方形的性質可得當點與點重合時，點與點重合；當點與點重合時，點與點重合，點的運動軌跡為線段，點的運動軌跡是線段，，且點與點的運動時間相同，進而可以判斷④．【解答】解：四邊形是正方形，，，，是等腰直角三角形，，，，故①正確；，是等腰直角三角形，，，，，，，，故②正確；，，，，在和中，，，，，，，，，分別平分，，，平分，點是角平分線的交點，為的內(nèi)心，故③正確；如圖，連接交于點，，當點與點重合時，點與點重合；當點與點重合時，點與點重合，點的運動軌跡為線段，點的運動軌跡是線段，，且點與點的運動時間相同，，點與點的運動速度不相同，故④錯誤．綜上所述：正確的結論是①②③，共3個．故選：．【點評】本題屬于幾何綜合題，是中考選擇題的壓軸題，考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，等腰直角三角形，正方形的性質，勾股定理，點的運動軌跡，解決本題的關鍵是確定點的運動軌跡．2．（2022?武進區(qū)一模）如圖，正方形的邊長是3，，連接，交于點，并分別與邊，交于點，，連接，下列結論：①；②；③；其中正確結論的個數(shù)A．1 B．3 C．2 D．0【分析】由四邊形是正方形，得到，，根據(jù)全等三角形的性質得到，根據(jù)余角的性質得到；故①正確；根據(jù)相似三角形的性質得到，由，得到；故②錯誤；根據(jù)全等三角形的性質得到，，于是得到，即；故③正確．【解答】解：四邊形是正方形，，，，，在與中，，，，，，，，故結論①正確；，，，，，，，，，；故結論②錯誤；在與中，，，，，在與中，，，，，即；故結論③正確；故選：．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，正方形的性質等，熟練掌握全等三角