專題16四邊形壓軸題一、單選題1．（2022·四川瀘州·中考真題）如圖，在邊長為3的正方形中，點是邊上的點，且，過點作的垂線交正方形外角的平分線于點，交邊于點，連接交邊于點，則的長為（

）A． B． C． D．12．（2022·四川眉山·中考真題）如圖，四邊形為正方形，將繞點逆時針旋轉至，點，，在同一直線上，與交于點，延長與的延長線交于點，，．以下結論：①；②；③；④．其中正確結論的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2022·四川遂寧·中考真題）如圖，正方形ABCD與正方形BEFG有公共頂點B，連接EC、GA，交于點O，GA與BC交于點P，連接OD、OB，則下列結論一定正確的是（

）①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD=45°；A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④4．（2022·四川綿陽·中考真題）如圖，E、F、G、H分別是矩形的邊AB、BC、CD、AD上的點，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋．則四邊形EFGH的周長為（

）A． B． C． D．5．（2022·四川廣安·中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長為2，點P是對角線AC上的一個動點，點E、F分別為邊AD、DC的中點，則PE+PF的最小值是（）A．2 B． C．1.5 D．6．（2022·四川達州·中考真題）如圖，點E在矩形的邊上，將沿翻折，點A恰好落在邊上的點F處，若，，則的長為（

）A．9 B．12 C．15 D．187．（2022·四川樂山·中考真題）如圖，等腰△ABC的面積為2，AB=AC，BC=2．作AE∥BC且AE=BC．點P是線段AB上一動點，連接PE，過點E作PE的垂線交BC的延長線于點F，M是線段EF的中點．那么，當點P從A點運動到B點時，點M的運動路徑長為（

）A． B．3 C． D．48．（2021·四川南充·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，，，把邊AB沿對角線BD平移，點，分別對應點A，B．給出下列結論：①順次連接點，，C，D的圖形是平行四邊形；②點C到它關于直線的對稱點的距離為48；③的最大值為15；④的最小值為．其中正確結論的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．（2020·四川眉山·中考真題）如圖，正方形中，點是邊上一點，連接，以為對角線作正方形，邊與正方形的對角線相交于點，連接．以下四個結論：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)為（）A．個 B．個 C．個 D．個10．（2020·四川巴中·中考真題）如圖，在矩形中，，對角線，交于點，，為上一動點，于點，于點，分別以，為邊向外作正方形和，面積分別為，．則下列結論：①；②點在運動過程中，的值始終保持不變，為；③的最小值為6；④當時，則．其中正確的結論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個11．（2020·四川綿陽·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，將△ABC繞點C順時針方向旋轉后得△，當恰好經(jīng)過點D時，△CD為等腰三角形，若B＝2，則A＝（）A． B．2 C． D．二、填空題12．（2022·四川成都·中考真題）如圖，在菱形中，過點作交對角線于點，連接，點是線段上一動點，作關于直線的對稱點，點是上一動點，連接，．若，，則的最大值為_________．13．（2022·四川南充·中考真題）如圖，正方形邊長為1，點E在邊上（不與A，B重合），將沿直線折疊，點A落在點處，連接，將繞點B順時針旋轉得到，連接．給出下列四個結論：①；②；③點P是直線上動點，則的最小值為；④當時，的面積．其中正確的結論是_______________．（填寫序號）14．（2022·四川達州·中考真題）如圖，在邊長為2的正方形中，點E，F(xiàn)分別為，邊上的動點（不與端點重合），連接，，分別交對角線于點P，Q．點E，F(xiàn)在運動過程中，始終保持，連接，，．以下結論：①；②；③；④為等腰直角三角形；⑤若過點B作，垂足為H，連接，則的最小值為．其中所有正確結論的序號是____．15．（2021·四川成都·中考真題）如圖，在矩形中，，點E，F(xiàn)分別在邊上，且，按以下步驟操作：第一步，沿直線翻折，點A的對應點恰好落在對角線上，點B的對應點為，則線段的長為_______；第二步，分別在上取點M，N，沿直線繼續(xù)翻折，使點F與點E重合，則線段的長為_______．16．（2021·四川遂寧·中考真題）如圖，正方形ABCD中，點E是CD邊上一點，連結BE，以BE為對角線作正方形BGEF，邊EF與正方形ABCD的對角線BD相交于點H，連結AF，有以下五個結論：①；②；③；④；⑤若，則，你認為其中正確的是_____（填寫序號）17．（2021·四川雅安·中考真題）如圖，在矩形中，和相交于點O，過點B作于點M，交于點F，過點D作DE∥BF交AC于點N．交AB于點E，連接，．有下列結論：①四邊形為平行四邊形，②；③為等邊三角形；④當時，四邊形DEBF是菱形．正確結論的序號______．18．（2021·四川廣元·中考真題）如圖，在正方形中，點O是對角線的中點，點P在線段上，連接并延長交于點E，過點P作交于點F，連接、，交于G，現(xiàn)有以下結論：①；②；③；④為定值；⑤．以上結論正確的有________（填入正確的序號即可）．19．（2021·四川宜賓·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AD＝AB，對角線相交于點O，動點M從點B向點A運動（到點A即停止），點N是AD上一動點，且滿足∠MON＝90°，連結MN．在點M、N運動過程中，則以下結論中，①點M、N的運動速度不相等；②存在某一時刻使；③逐漸減?。虎埽_的是________．（寫出所有正確結論的序號）20．（2020·四川成都·中考真題）如圖，在矩形中，，，，分別為，邊的中點．動點從點出發(fā)沿向點運動，同時，動點從點出發(fā)沿向點運動，連接，過點作于點，連接．若點的速度是點的速度的2倍，在點從點運動至點的過程中，線段長度的最大值為_________，線段長度的最小值為_________．三、解答題21．（2022·四川自貢·中考真題）如圖，用四根木條釘成矩形框，把邊固定在地面上，向右推動矩形框，矩形框的形狀會發(fā)生改變（四邊形具有不穩(wěn)定性）．(1)通過觀察分析，我們發(fā)現(xiàn)圖中線段存在等量關系，如線段由旋轉得到，所以．我們還可以得到＝，＝；(2)進一步觀察，我們還會發(fā)現(xiàn)∥，請證明這一結論；(3)已知，若恰好經(jīng)過原矩形邊的中點，求與之間的距離．22．（2022·四川內江·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，點M、N分別在AB、AD上，且MN⊥MC，點E為CD的中點，連接BE交MC于點F．(1)當F為BE的中點時，求證：AM＝CE；(2)若＝2，求的值；(3)若MN∥BE，求的值．23．（2022·四川南充·中考真題）如圖，在矩形中，點O是的中點，點M是射線上動點，點P在線段上（不與點A重合），．(1)判斷的形狀，并說明理由．(2)當點M為邊中點時，連接并延長交于點N．求證：．(3)點Q在邊上，，當時，求的長．24．（2022·四川德陽·中考真題）如圖，在菱形中，，，過點作的垂線，交的延長線于點．點從點出發(fā)沿方向以向點勻速運動，同時，點從點出發(fā)沿方向以向點勻速運動．設點，的運動時間為（單位：），且，過作于點，連結．(1)求證：四邊形是矩形．(2)連結，，點，在運動過程中，與是否能夠全等？若能，求出此時的值；若不能，請說明理由．25．（2022·四川樂山·中考真題）華師版八年級下冊數(shù)學教材第121頁習題19.3第2小題及參考答案．2．如圖，在正方形ABCD中，．求證：．證明：設CE與DF交于點O，∵四邊形ABCD是正方形，∴，．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．某數(shù)學興趣小組在完成了以上解答后，決定對該問題進一步探究(1)【問題探究】如圖，在正方形ABCD中，點E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且．試猜想的值，并證明你的猜想．(2)【知識遷移】如圖，在矩形ABCD中，，，點E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且．則______．(3)【拓展應用】如圖，在四邊形ABCD中，，，，點E、F分別在線段AB、AD上，且．求的值．26．（2022·四川綿陽·中考真題）如圖，平行四邊形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD＝2，動點E，F(xiàn)同時從A點出發(fā)，點E沿著A→D→B的路線勻速運動，點F沿著A→B→D的路線勻速運動，當點E，F(xiàn)相遇時停止運動．(1)如圖1，設點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為4個單位每秒，當運動時間為秒時，設CE與DF交于點P，求線段EP與CP長度的比值；(2)如圖2，設點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為個單位每秒，運動時間為x秒，ΔAEF的面積為y，求y關于x的函數(shù)解析式，并指出當x為何值時，y的值最大，最大值為多少？(3)如圖3，H在線段AB上且AH＝HB，M為DF的中點，當點E、F分別在線段AD、AB上運動時，探究點E、F在什么位置能使EM＝HM．并說明理由．27．（2022·四川成都·中考真題）如圖，在矩形中，，點是邊上一動點（點不與，重合），連接，以為邊在直線的右側作矩形，使得矩形矩形，交直線于點．(1)【嘗試初探】在點的運動過程中，與始終保持相似關系，請說明理由．(2)【深入探究】若，隨著點位置的變化，點的位置隨之發(fā)生變化，當是線段中點時，求的值．(3)【拓展延伸】連接，，當是以為腰的等腰三角形時，求的值（用含的代數(shù)式表示）．28．（2021·四川南充·中考真題）如圖，點E在正方形ABCD邊AD上，點F是線段AB上的動點（不與點A重合）．DF交AC于點G，于點H，，．（1）求．（2）設，，試探究y與x的函數(shù)關系式（寫出x的取值范圍）．（3）當時，判斷EG與AC的位置關系并說明理由．29．（2021·四川眉山·中考真題）如圖，在等腰直角三角形中，，，邊長為2的正方形的對角線交點與點重合，連接，．（1）求證：；（2）當點在內部，且時，設與相交于點，求的長；（3）將正方形繞點旋轉一周，當點、、三點在同一直線上時，請直接寫出的長．30．（2021·四川達州·中考真題）某數(shù)學興趣小組在數(shù)學課外活動中，對多邊形內兩要互相垂直的線段做了如下探究：【觀察與猜想】（1）如圖1，在正方形中，點，分別是，上的兩點，連接，，，則的值為__________；（2）如圖2，在矩形中，，，點是上的一點，連接，，且，則的值為__________；【類比探究】（3）如圖3，在四邊形中，，點為上一點，連接，過點作的垂線交的延長線于點，交的延長線于點，求證：；【拓展延伸】（4）如圖4，在中，，，，將沿翻折，點落在點處得，點，分別在邊，上，連接，，且．①求的值；②連接，若，直接寫出的長度．31．（2020·四川內江·中考真題）如圖，正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點（不與A、C重合），連結BP，將BP繞點B順時針旋轉到BQ，連結QP交BC于點E，QP延長線與邊AD交于點F．（1）連結CQ，求證：；（2）若，求的值；（3）求證：．32．（2020·四川成都·中考真題）在矩形的邊上取一點，將沿翻折，使點恰好落在邊上點處．（1）如圖1，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，當，且時，求的長；（3）如圖3，延長，與的角平分線交于點，交于點，當時，求出的值．專題16四邊形壓軸題一、單選題1．（2022·四川瀘州·中考真題）如圖，在邊長為3的正方形中，點是邊上的點，且，過點作的垂線交正方形外角的平分線于點，交邊于點，連接交邊于點，則的長為（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】【分析】在AD上截取連接GE，延長BA至H，使連接EN，可得出，進而推出得出，設則用勾股定理求出由可列方程解出x，即CN的長，由正切函數(shù)，求出BM的長，由即可得出結果．【詳解】解：如圖所示：在AD上截取連接GE，延長BA至H，使連接EN，為正方形外角的平分線，在和中，在和中，在和中，設則在中，故選：B．【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識．此題綜合性很強，圖形比較復雜，解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用與輔助線的準確選擇．2．（2022·四川眉山·中考真題）如圖，四邊形為正方形，將繞點逆時針旋轉至，點，，在同一直線上，與交于點，延長與的延長線交于點，，．以下結論：①；②；③；④．其中正確結論的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【解析】【分析】利用旋轉的性質，正方形的性質，可判斷①正確；利用三角形相似的判定及性質可知②正確；證明，得到，即，利用是等腰直角三角形，求出，再證明即可求出可知③正確；過點E作交FD于點M，求出，再證明，即可知④正確．【詳解】解：∵旋轉得到，∴，∵為正方形，，，在同一直線上，∴，∴，故①正確；∵旋轉得到，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故②正確；設正方形邊長為a，∵，，∴，∵，∴，∴，即，∵是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴，即，解得：，∵，∴，故③正確；過點E作交FD于點M，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，故④正確綜上所述：正確結論有4個，故選：D【點睛】本題考查正方形性質，旋轉的性質，三角形相似的判定及性質，解直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點，結合圖形求解．3．（2022·四川遂寧·中考真題）如圖，正方形ABCD與正方形BEFG有公共頂點B，連接EC、GA，交于點O，GA與BC交于點P，連接OD、OB，則下列結論一定正確的是（

）①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD=45°；A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④【答案】D【解析】【分析】由四邊形ABCD、四邊形BEFG是正方形，可得△ABG≌△CBE（SAS），即得∠BAG=∠BCE，即可證明∠POC=90°，可判斷①正確；取AC的中點K，可得AK=CK=OK=BK，即可得∠BOA=∠BCA，從而△OBP∽△CAP，判斷②正確，由∠AOC=∠ADC=90°，可得A、O、C、D四點共圓，而AD=CD，故∠AOD=∠DOC=45°，判斷④正確，不能證明OB平分∠CBG，即可得答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD、四邊形BEFG是正方形，∴AB=BC，BG=BE，∠ABC=90°=∠GBE，∴∠ABC+∠CBG=∠GBE+∠CBG，即∠ABG=∠EBC，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴∠BAG=∠BCE，∵∠BAG+∠APB=90°，∴∠BCE+∠APB=90°，∴∠BCE+∠OPC=90°，∴∠POC=90°，∴EC⊥AG，故①正確；取AC的中點K，如圖：在Rt△AOC中，K為斜邊AC上的中點，∴AK=CK=OK，在Rt△ABC中，K為斜邊AC上的中點，∴AK=CK=BK，∴AK=CK=OK=BK，∴A、B、O、C四點共圓，∴∠BOA=∠BCA，∵∠BPO=∠CPA，∴△OBP∽△CAP，故②正確，∵∠AOC=∠ADC=90°，∴∠AOC+∠ADC=180°，∴A、O、C、D四點共圓，∵AD=CD，∴∠AOD=∠DOC=45°，故④正確，由已知不能證明OB平分∠CBG，故③錯誤，故正確的有：①②④，故選：D．【點睛】本題考查正方形性質及應用，涉及全等三角形的判定與性質，四點共圓等知識，解題的關鍵是取AC的中點K，證明AK=CK=OK=BK，從而得到A、B、O、C四點共圓．4．（2022·四川綿陽·中考真題）如圖，E、F、G、H分別是矩形的邊AB、BC、CD、AD上的點，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋．則四邊形EFGH的周長為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】證明四邊形EFGH為平行四邊形，作交于點P，交于點K，設，表示出，，，，進一步表示出，，，利用勾股定理即可求出a的值，進一步可求出邊形EFGH的周長．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴，，∵，，∴，，在和中，∴，∴，同理：，∴，∴四邊形EFGH為平行四邊形，作交于點P，交于點K，設，∵，，，，∴，，，，∴，，∴，∵，∴ABKH為矩形，即，∵，，∴，即，解得：，∴四邊形EFGH的周長為：，故選：A.【點睛】本題考查矩形的判定及性質，平行四邊形的判定及性質，勾股定理，全等三角形的判定及性質，解題的關鍵是利用求出a的值．5．（2022·四川廣安·中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長為2，點P是對角線AC上的一個動點，點E、F分別為邊AD、DC的中點，則PE+PF的最小值是（）A．2 B． C．1.5 D．【答案】A【解析】【分析】取AB中點G點，根據(jù)菱形的性質可知E點、G點關于對角線AC對稱，即有PE=PG，則當G、P、F三點共線時，PE+PF=PG+PF最小，再證明四邊形AGFD是平行四邊形，即可求得FG=AD．【詳解】解：取AB中點G點，連接PG，如圖，∵四邊形ABCD是菱形，且邊長為2，∴AD=DC=AB=BC=2，∵E點、G點分別為AD、AB的中點，∴根據(jù)菱形的性質可知點E、點G關于對角線AC軸對稱，∴PE=PG，∴PE+PF=PG+PF，即可知當G、P、F三點共線時，PE+PF=PG+PF最小，且為線段FG，如下圖，G、P、F三點共線，連接FG，∵F點是DC中點，G點為AB中點，∴，∵在菱形ABCD中，，∴，∴四邊形AGFD是平行四邊形，∴FG=AD=2，故PE+PF的最小值為2，故選：A．【點睛】本題考查了菱形的性質、軸對稱的性質、平行四邊形的判定與性質等知識，找到E點關于AC的對稱點是解答本題的關鍵．6．（2022·四川達州·中考真題）如圖，點E在矩形的邊上，將沿翻折，點A恰好落在邊上的點F處，若，，則的長為（

）A．9 B．12 C．15 D．18【答案】C【解析】【分析】根據(jù)折疊的性質可得，設，則，則，在中勾股定理建列方程，求得，進而求得，根據(jù)，可得，即，求得，在中，勾股定理即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，將沿翻折，點A恰好落在邊上的點F處，,，，，設，則，，在中，即，解得，，，，，，，，，在中，，．故選C．【點睛】本題考查了矩形與折疊的性質，正切的定義，勾股定理，掌握折疊的性質以及勾股定理是解題的關鍵．7．（2022·四川樂山·中考真題）如圖，等腰△ABC的面積為2，AB=AC，BC=2．作AE∥BC且AE=BC．點P是線段AB上一動點，連接PE，過點E作PE的垂線交BC的延長線于點F，M是線段EF的中點．那么，當點P從A點運動到B點時，點M的運動路徑長為（

）A． B．3 C． D．4【答案】B【解析】【分析】當P與A重合時，點F與C重合，此時點M在N處，當點P與B重合時，如圖，點M的運動軌跡是線段MN．求出CF的長即可解決問題．【詳解】解：過點A作AD⊥BC于點D，連接CE，∵AB=AC，∴BD=DC=BC=1，∵AE=BC，∴AE=DC=1，∵AE∥BC，∴四邊形AECD是矩形，∴S△ABC=BC×AD=×2×AD=2，∴AD=2，則CE=AD=2，當P與A重合時，點F與C重合，此時點M在CE的中點N處，當點P與B重合時，如圖，點M的運動軌跡是線段MN．∵BC=2，CE=2，由勾股定理得BE=4，cos∠EBC=，即，∴BF=8，∴CF=BF-BC=6,∵點N是CE的中點，點M是EF的中點，∴MN=CF=3，∴點M的運動路徑長為3，故選：B．8．（2021·四川南充·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，，，把邊AB沿對角線BD平移，點，分別對應點A，B．給出下列結論：①順次連接點，，C，D的圖形是平行四邊形；②點C到它關于直線的對稱點的距離為48；③的最大值為15；④的最小值為．其中正確結論的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平移的性質和平行四邊形的判定方法判斷①，再利用等積法得出點C到BD的距離，從而對②做出判斷，再根據(jù)三角形的三邊關系判斷③，如圖，作關于的對稱點，交于連接，過作于分別交于證明是最小值時的位置，再利用勾股定理求解，對④做出判斷．【詳解】解：由平移的性質可得AB//且AB=∵四邊形ABCD為矩形∴AB//CD，AB=CD=15∴//CD且=CD∴四邊形CD為平行四邊形，當點B'與D重合時，四邊形不存在，故①錯誤在矩形ABCD中，BD===25過A作AM⊥BD，CN⊥BD，則AM=CN∴S△ABD=AB·CD=BD·AM∴AM=CN==12∴點C到的距離為24∴點C到它關于直線的對稱點的距離為48∴故②正確∵∴當在一條直線時最大，此時與D重合∴的最大值==15∴故③正確，如圖，作關于的對稱點，交于連接，過作于分別交于則為的中位線，，由可得，此時最小，由②同理可得：設則由勾股定理可得：整理得：解得：（負根舍去），∴故④正確故選C．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，矩形的性質以及平移的性質,銳角三角函數(shù)的應用等知識點，熟練掌握相關的知識是解題的關鍵．9．（2020·四川眉山·中考真題）如圖，正方形中，點是邊上一點，連接，以為對角線作正方形，邊與正方形的對角線相交于點，連接．以下四個結論：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)為（）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】D【解析】【分析】①四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，∠EAB、∠GAD與∠BAG的和均為90°，即可證明∠EAB與∠GAD相等；②由題意易得AD=DC，AG=FG，進而可得，∠DAG=∠CAF，然后問題可證；③由四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，可求證△HAF∽△FAC，則有，然后根據(jù)等量關系可求解；④由②及題意知∠ADG=∠ACF=45°，則問題可求證．【詳解】解：①∵四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形∴∠EAG=∠BAD=90°又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG∴∠EAB=∠GAD∴①正確②∵四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形∴AD=DC，AG=FG∴AC=AD，AF=AG∴，即又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC∴∠DAG=∠CAF∴∴②正確③∵四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，AF、AC為對角線∴∠AFH=∠ACF=45°又∵∠FAH=∠CAF∴△HAF∽△FAC∴即又∵AF=AE∴∴③正確④由②知又∵四邊形ABCD為正方形，AC為對角線∴∠ADG=∠ACF=45°∴DG在正方形另外一條對角線上∴DG⊥AC∴④正確故選：D．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質綜合運用，同時利用到正方形相關性質，解題關鍵在于找到需要的相似三角形進而證明．10．（2020·四川巴中·中考真題）如圖，在矩形中，，對角線，交于點，，為上一動點，于點，于點，分別以，為邊向外作正方形和，面積分別為，．則下列結論：①；②點在運動過程中，的值始終保持不變，為；③的最小值為6；④當時，則．其中正確的結論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】【分析】①由矩形的性質和特殊角三角函數(shù)可得和是等邊三角形，進而可以判斷；②連接．由求得答案；③利用完全平方公式變形，當且僅當時，等號成立，即可判斷；④根據(jù)已知條件證明，對應邊成比例即可判斷．【詳解】解：①∵，∴，∵四邊形是矩形，∴OA=OC=OD=OB，∴和是等邊三角形，∴BD=2OA=2AB=8，故①正確；②連接，由①知，∵矩形的兩邊，，∴，∴，，∴．∴，故②正確；③∵，∴，∴，當且僅當時，等號成立，故③正確；④∵∠AEP=∠DFP，∠PAE=∠PDF，∴，∴AE：DF=PE：PF=EG：FM=PH：PN=5：6,∵AE:DF=(AG+GE):（DM+FM）,∴AG：DM=5：6,，故④錯誤．綜上所述，其中正確的結論有①②③，3個．故選：C．【點睛】本題考查了矩形的性質，特殊角的三角形，三角形的相似，完全平方公式，等邊三角形的判定與性質，靈活運用矩形的性質，特殊角的函數(shù)值，相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．11．（2020·四川綿陽·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，將△ABC繞點C順時針方向旋轉后得△，當恰好經(jīng)過點D時，△CD為等腰三角形，若B＝2，則A＝（）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】【分析】過作于，則，根據(jù)矩形的性質得，，根據(jù)旋轉的性質得到，，，，推出△為等腰直角三角形，得到，設，則，，根據(jù)勾股定理即可得到結論．【詳解】解：過作于，則，，，，四邊形是矩形，，，將繞點順時針方向旋轉后得△，，，，，△△，，△為等腰三角形，△為等腰直角三角形，，設，則，，，，（負值舍去），，，，，故選：．【點睛】本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，矩形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，正確的識別圖形是解題的關鍵．二、填空題12．（2022·四川成都·中考真題）如圖，在菱形中，過點作交對角線于點，連接，點是線段上一動點，作關于直線的對稱點，點是上一動點，連接，．若，，則的最大值為_________．【答案】##【解析】【分析】延長DE，交AB于點H，確定點B關于直線DE的對稱點F，由點B，D關于直線AC對稱可知QD=QB，求最大，即求最大，點Q，B，共線時，，根據(jù)“三角形兩邊之差小于第三邊”可得最大，當點與點F重合時，得到最大值.連接BD，即可求出CO，EO，再說明，可得DO，根據(jù)勾股定理求出DE，然后證明，可求BH，即可得出答案．【詳解】延長DE，交AB于點H，∵，ED⊥CD，∴DH⊥AB．取FH=BH，∴點P的對稱點在EF上．由點B，D關于直線AC對稱，∴QD=QB．要求最大，即求最大，點Q，B，共線時，，根據(jù)“三角形兩邊之差小于第三邊”可得最大，當點與點F重合時，得到最大值BF．連接BD，與AC交于點O．∵AE=14,CE=18，

∴AC=32，∴CO=16，EO=2．∵∠EDO+∠DEO=90°，∠EDO+∠CDO=90°，∴∠DEO=∠CDO．∵∠EOD=∠DOC，∴，∴，即，

解得，∴．在Rt△DEO中，．∵∠EDO=∠BDH，∠DOE=∠DHB，∴，∴，即，解得，∴．故答案為：．【點睛】這是一道根據(jù)軸對稱求線段差最大的問題，考查了菱形的性質，勾股定理，軸對稱的性質，相似三角形的性質和判定等，確定最大值是解題的關鍵．13．（2022·四川南充·中考真題）如圖，正方形邊長為1，點E在邊上（不與A，B重合），將沿直線折疊，點A落在點處，連接，將繞點B順時針旋轉得到，連接．給出下列四個結論：①；②；③點P是直線上動點，則的最小值為；④當時，的面積．其中正確的結論是_______________．（填寫序號）【答案】①②③【解析】【分析】根據(jù)全等三角形判定即可判斷①；過D作DM⊥CA1于M，利用等腰三角形性質及折疊性質得∠ADE+∠CDM，再等量代換即可判斷②；連接AP、PC、AC，由對稱性知，PA1=PA，知P、A、C共線時取最小值，最小值為AC長度，勾股定理求解即可判斷③；過點A1作A1H⊥AB于H，借助特殊角的三角函數(shù)值求出BE，A1H的長度，代入三角形面積公式求解即可判斷④．【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，由旋轉知，∠A1BA2=90°，A1B=A2B，∴∠ABA1=∠CBA2，∴△ABA1≌△CBA2，故①正確；過D作DM⊥CA1于M，如圖所示，由折疊知AD=A1D=CD，∠ADE=∠A1DE，∴DM平分∠CDA1，∴∠ADE+∠CDM=45°，又∠BCA1+∠DCM=∠CDM+∠DCM=90°，∴∠BCA1=∠CDM，∴∠ADE+∠BCA1=45°，故②正確；連接AP、PC、AC，由對稱性知，PA1=PA，即PA1+PC=PA+PC，當P、A、C共線時取最小值，最小值為AC的長度，即為，故③正確；過點A1作A1H⊥AB于H，如圖所示，∵∠ADE=30°，∴AE=tan30°·AD=，DE=，∴BE=AB-AE=1-，由折疊知∠DEA=∠DEA1=60°，AE=A1E=，∴∠A1EH=60°，∴A1H=A1E·sin60°=，∴△A1BE的面積=，故④錯誤，故答案為：①②③．【點睛】本題考查了正方形性質、等腰三角形性質、全等三角形的判定、折疊性質及解直角三角形等知識點，綜合性較強．14．（2022·四川達州·中考真題）如圖，在邊長為2的正方形中，點E，F(xiàn)分別為，邊上的動點（不與端點重合），連接，，分別交對角線于點P，Q．點E，F(xiàn)在運動過程中，始終保持，連接，，．以下結論：①；②；③；④為等腰直角三角形；⑤若過點B作，垂足為H，連接，則的最小值為．其中所有正確結論的序號是____．【答案】①②④⑤【解析】【分析】連接BD，延長DA到M，使AM=CF，連接BM，根據(jù)正方形的性質及線段垂直平分線的性質定理即可判斷①正確；通過證明，，可證明②正確；作，交AC的延長線于K，在BK上截取BN=BP，連接CN，通過證明，可判斷③錯誤；通過證明，，利用相似三角形的性質即可證明④正確；當點B、H、D三點共線時，DH的值最小，分別求解即可判斷⑤正確．【詳解】如圖1，連接BD，延長DA到M，使AM=CF，連接BM，四邊形ABCD是正方形，垂直平分BD，，，，，故①正確；，，，，，即，，，，，，，故②正確；如圖2，作，交AC的延長線于K，在BK上截取BN=BP，連接CN，，，，，，即，，故③錯誤；如圖1，四邊形ABCD是正方形，，，，，，，，，，為等腰直角三角形，故④正確；如圖1，當點B、H、D三點共線時，DH的值最小，，，，，，故⑤正確；故答案為：①②④⑤．【點睛】本題考查了正方形的性質，線段垂直平分線的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，熟練掌握知識點并準確作出輔助線是解題的關鍵．15．（2021·四川成都·中考真題）如圖，在矩形中，，點E，F(xiàn)分別在邊上，且，按以下步驟操作：第一步，沿直線翻折，點A的對應點恰好落在對角線上，點B的對應點為，則線段的長為_______；第二步，分別在上取點M，N，沿直線繼續(xù)翻折，使點F與點E重合，則線段的長為_______．【答案】

1

【解析】【分析】第一步：設EF與AA’交于點O，連接AF，易證明△AOE△ADC，利用對應邊成比例可得到OA=2OE，由勾股定理可求出OE=，從而求得OA及OC；由AD∥BC，易得△AOE∽△COF，由對應邊成比例可得AE、FC的關系式，設BF=x，則FC=8-x，由關系式可求得x的值；第二步：連接NE，NF，根據(jù)折疊的性質，得到NF=NE，設B’N=m，分別在Rt△和Rt△中，利用勾股定理及NF=NE建立方程，可求得m，最后得出結果．【詳解】如圖所示，連接AF，設EF與AA’交于點O，由折疊的性質得到AA’⊥EF，∵四邊形ABCD是矩形∴∠ADC=90°，CD=AB=4，AD∥BC∵∠AOE=∠ADC，∠OAE=∠DAC∴△AOE△ADC，∴，∴OA=2OE，在直角△AOE中，由勾股定理得：，∴OE=，∴OA=，在Rt△ADC中，由勾股定理得到：AC=，∴OC=，令BF=x，則FC=8-x，∵AD∥BC，∴△AOE∽△COF，∴，即7AE=3FC∴3(8-x)=7×3解得：,∴的長為1．連接NE，NF，如圖，根據(jù)折疊性質得：BF=B’F=1，MN⊥EF，NF=NE，設B’N=m，則，解得：m=3，則NF=，∵EF=，∴MF=，∴MN=，故答案為：1，．【點睛】本題主要考查了折疊的性質、勾股定理、三角形相似的判定與性質，矩形的性質等知識，熟練運用這些知識是解決本題的關鍵，本題還涉及到方程的運用．16．（2021·四川遂寧·中考真題）如圖，正方形ABCD中，點E是CD邊上一點，連結BE，以BE為對角線作正方形BGEF，邊EF與正方形ABCD的對角線BD相交于點H，連結AF，有以下五個結論：①；②；③；④；⑤若，則，你認為其中正確的是_____（填寫序號）【答案】①②③④【解析】【分析】①四邊形BGEF和四邊形ABCD均為正方形，BD，BE是對角線，得∠ABD＝∠FBE＝45°，根據(jù)等式的基本性質確定出；②再根據(jù)正方形的對角線等于邊長的倍，得到兩邊對應成比例，再根據(jù)角度的相減得到夾角相等，利用兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似即可判斷；④根據(jù)兩角相等的兩個三角形相似得到△EBH∽△DBE，從而得到比例式，根據(jù)BE＝BG，代換即可作出判斷；③由相似三角形對應角相等得到∠BAF＝∠BDE＝45°，可得出AF在正方形ABCD對角線上，根據(jù)正方形對角線垂直即可作出判斷．⑤設CE=x，DE=3x，則BC=CD=4x，結合BE2＝BH?BD，求出BH，DH，即可判斷．【詳解】解：①∵四邊形BGEF和四邊形ABCD均為正方形，BD，BE是對角線，∴∠ABD＝∠FBE＝45°，又∵∠ABF＝45°?∠DBF，∠DBE＝45°?∠DBF，∴，∴選項①正確；②∵四邊形BGEF和四邊形ABCD均為正方形，∴AD＝AB，BF＝BE，∴BD＝AB，BE=BF，∴又∵，∴，∴選項②正確；④∵四邊形BGEF和四邊形ABCD均為正方形，BD，BE是對角線，∴∠BEH＝∠BDE＝45°，又∵∠EBH＝∠DBE，∴△EBH∽△DBE，∴，即BE2＝BH?BD，又∵BE＝BG，∴，∴選項④確；③由②知：，又∵四邊形ABCD為正方形，BD為對角線，∴∠BAF＝∠BDE＝45°，∴AF在正方形另外一條對角線上，∴AF⊥BD，∴③正確，⑤∵，∴設CE=x，DE=3x，則BC=CD=4x，∴BE=，

∵BE2＝BH?BD，∴，∴DH=BD-BH=,∴，故⑤錯誤，綜上所述：①②③④正確，故答案是：①②③④．【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，以及正方形的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解本題的關鍵．17．（2021·四川雅安·中考真題）如圖，在矩形中，和相交于點O，過點B作于點M，交于點F，過點D作DE∥BF交AC于點N．交AB于點E，連接，．有下列結論：①四邊形為平行四邊形，②；③為等邊三角形；④當時，四邊形DEBF是菱形．正確結論的序號______．【答案】①②④．【解析】【分析】通過全等三角形的判定和性質，證明EN=FM，EN∥FM，判斷結論①；通過證明△AMB∽△BMC，然后利用全等三角形和相似三角形的性質判斷結論②；假設結論成立，找出與題意的矛盾之處，判斷結論③，結合等腰三角形的判定和性質求得DE=BE，可得結論④【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，CD∥AB∴∠DAN=∠BCM，∵BF⊥AC，DE∥BF，∴DE⊥AC，∴∠DNA=∠BMC=90°，在△ADN和△CBM中，∴△ADN≌△CBM，∴DN=BM，又∵DF∥BE，DE∥BF，∴四邊形DFBE是平行四邊形，∴DE=BF，∴DE-DN=BF-BM，即EN=FM，∵NE∥FM，∴四邊形NEMF是平行四邊形，故①正確，∵△ADN≌△CBM，∴AN=CM，∴CN=AM，∵∠AMB=∠BMC=∠ABC=90°，∴∠ABM+∠CBM=90°，∠CBM+∠BCM=90°，∴∠ABM=∠BCM，∴△AMB∽△BMC，∴，∵DN=BM，AM=CN，∴DN2=CM?CN，故②正確，若△DNF是等邊三角形，則∠CDN=60°，即∠ACD=30°，不符合題意，故③錯誤，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OD，∵AO=AD，∴AO=AD=OD，∴△AOD是等邊三角形，∴∠ADO=∠DAN=60°，∴∠ABD=90°-∠ADO=30°，∵DE⊥AC，∴∠ADN=ODN=30°，∴∠ODN=∠ABD，∴DE=BE，∵四邊形DEBF是平行四邊形，∴四邊形DEBF是菱形；故④正確．故答案為：①②④．【點睛】本題考查了矩形的性質、菱形的判定、平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、等腰三角形的判定等知識；熟練掌握矩形的性質和菱形的判定，證明三角形全等是解題的關鍵．18．（2021·四川廣元·中考真題）如圖，在正方形中，點O是對角線的中點，點P在線段上，連接并延長交于點E，過點P作交于點F，連接、，交于G，現(xiàn)有以下結論：①；②；③；④為定值；⑤．以上結論正確的有________（填入正確的序號即可）．【答案】①②③⑤【解析】【分析】由題意易得∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°，對于①：易知點A、B、F、P四點共圓，然后可得∠AFP=∠ABD=45°，則問題可判定；對于②：把△AED繞點A順時針旋轉90°得到△ABH，則有DE=BH，∠DAE=∠BAH，然后易得△AEF≌△AHF，則有HF=EF，則可判定；對于③：連接AC，在BP上截取BM=DP，連接AM，易得OB=OD，OP=OM，然后易證△AOP∽△ABF，進而問題可求解；對于④：過點A作AN⊥EF于點N，則由題意可得AN=AB，若△AEF的面積為定值，則EF為定值，進而問題可求解；對于⑤由③可得，進而可得△APG∽△AFE，然后可得相似比為，最后根據(jù)相似三角形的面積比與相似比的關系可求解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，，∴∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°，①∵，∴由四邊形內角和可得，∴點A、B、F、P四點共圓，∴∠AFP=∠ABD=45°，∴△APF是等腰直角三角形，∴，故①正確；②把△AED繞點A順時針旋轉90°得到△ABH，如圖所示：∴DE=BH，∠DAE=∠BAH，∠HAE=90°，AH=AE，∴，∵AF=AF，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴HF=EF，∵，∴，故②正確；③連接AC，在BP上截取BM=DP，連接AM，如圖所示：∵點O是對角線的中點，∴OB=OD，，∴OP=OM，△AOB是等腰直角三角形，∴，由①可得點A、B、F、P四點共圓，∴，∵，∴△AOP∽△ABF，∴，∴，∵，∴，故③正確；④過點A作AN⊥EF于點N，如圖所示：由②可得∠AFB=∠AFN，∵∠ABF=∠ANF=90°，AF=AF，∴△ABF≌△ANF（AAS），∴AN=AB，若△AEF的面積為定值，則EF為定值，∵點P在線段上，∴的長不可能為定值，故④錯誤；⑤由③可得，∵∠AFB=∠AFN=∠APG，∠FAE=∠PAG，∴△APG∽△AFE，∴，∴，∴，∴，故⑤正確；綜上所述：以上結論正確的有①②③⑤；故答案為①②③⑤．【點睛】本題主要考查正方形的性質、旋轉的性質、圓的基本性質及相似三角形的性質與判定，熟練掌握正方形的性質、旋轉的性質、圓的基本性質及相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．19．（2021·四川宜賓·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AD＝AB，對角線相交于點O，動點M從點B向點A運動（到點A即停止），點N是AD上一動點，且滿足∠MON＝90°，連結MN．在點M、N運動過程中，則以下結論中，①點M、N的運動速度不相等；②存在某一時刻使；③逐漸減?。虎埽_的是________．（寫出所有正確結論的序號）【答案】①②③④．【解析】【分析】先根據(jù)矩形的性質與AD＝AB，得到∠ADB=30°，∠ABD=60°，AB=AO=BO，再分類討論，當點M運動到AB的中點時，此時點N為AD的中點，則：，從而點M、N的運動速度不同，當點M運動到AB的中點時，，由AM減小的速度比AN增大的速度快，則逐漸減小，當點M在AB的中點時，才滿足，得出結論．【詳解】解：∵AD＝AB，∴tan∠ADB=，∴∠ADB=30°，∠ABD=60°，∵點O為BD的中點，∴AB=AO=BO，設AB=1，則AD=，BD=2．①當點M與點B重合時，點N是BD的垂直平分線與AD的交點，令AN=x，則BN=DN=，∴，解得：，∴AN=，當點M運動到AB的中點時，此時點N為AD的中點，則：，從而點M、N的運動速度不同，故①說法正確，符合題意；②當點M運動到AB的中點時，，故②說法正確，符合題意；③由①得到，AM減小的速度比AN增大的速度快，則逐漸減小，故③說法正確，符合題意；如圖，延長MO交CD于M'，∵∠MOB=∠M'OD，OB=OD，∠DBA=∠BDC，∴△OMB≌△OM'D（ASA），∴BM=DM'，OM=OM'，連接NM'，∵NO⊥MM'，則MN=NM'，∵NM'2=DN2+DM'2，∴MN2=BM2+DN2，故④正確，故答案為：①②③④．【點睛】本題考查了矩形的性質、動點問題，解題關鍵在于確定特殊情況，求出兩點的運動路程，確定邊之間的關系，得出結論．20．（2020·四川成都·中考真題）如圖，在矩形中，，，，分別為，邊的中點．動點從點出發(fā)沿向點運動，同時，動點從點出發(fā)沿向點運動，連接，過點作于點，連接．若點的速度是點的速度的2倍，在點從點運動至點的過程中，線段長度的最大值為_________，線段長度的最小值為_________．【答案】

【解析】【分析】連接EF，則EF⊥AB，過點P作PG⊥CD于點G，如圖1，由于，而PG=3，所以當GQ最大時PQ最大，由題意可得當P、A重合時GQ最大，據(jù)此即可求出PQ的最大值；設EF與PQ交于點M，連接BM，取BM的中點O，連接HO，如圖2，易證△FQM∽△EPM，則根據(jù)相似三角形的性質可得EM為定值2，于是BM的長度可得，由∠BHM=∠BEM=90°可得B、E、H、M四點共圓，且圓心為點O，于是當D、H、O三點共線時，DH的長度最小，最小值為DO－OH，為此只需連接DO，求出DO的長即可，可過點O作ON⊥CD于點N，作OK⊥BC于點K，如圖3，構建Rt△DON，利用勾股定理即可求出DO的長，進而可得答案．【詳解】解：連接EF，則EF⊥AB，過點P作PG⊥CD于點G，如圖1，則PE=GF，PG=AD=3，設FQ=t，則GF=PE=2t，GQ=3t，在Rt△PGQ中，由勾股定理得：，∴當t最大即EP最大時，PQ最大，由題意知：當點P、A重合時，EP最大，此時EP=2，則t=1，∴PQ的最大值=；設EF與PQ交于點M，連接BM，取BM的中點O，連接HO，如圖2，∵FQ∥PE，∴△FQM∽△EPM，∴，∵EF=3，∴FM=1，ME=2，∴，∵∠BHM=∠BEM=90°，∴B、E、H、M四點共圓，且圓心為點O，∴，∴當D、H、O三點共線時，DH的長度最小，連接DO，過點O作ON⊥CD于點N，作OK⊥BC于點K，如圖3，則OK=BK=1，∴NO=2，CN=1，∴DN=3，則在Rt△DON中，，∴DH的最小值=DO－OH=．故答案為：，．【點睛】本題考查了矩形的性質、勾股定理、相似三角形的判定和性質、四點共圓以及線段的最值等知識，涉及的知識點多、綜合性強、具有相當?shù)碾y度，屬于中考壓軸題，正確添加輔助線、熟練掌握上述知識是解題的關鍵．三、解答題21．（2022·四川自貢·中考真題）如圖，用四根木條釘成矩形框，把邊固定在地面上，向右推動矩形框，矩形框的形狀會發(fā)生改變（四邊形具有不穩(wěn)定性）．(1)通過觀察分析，我們發(fā)現(xiàn)圖中線段存在等量關系，如線段由旋轉得到，所以．我們還可以得到＝，＝；(2)進一步觀察，我們還會發(fā)現(xiàn)∥，請證明這一結論；(3)已知，若恰好經(jīng)過原矩形邊的中點，求與之間的距離．【答案】(1)CD，AD；(2)見解析；(3)EF于BC之間的距離為64cm．【解析】【分析】（1）由推動矩形框時，矩形ABCD的各邊的長度沒有改變，可求解；（2）通過證明四邊形BEFC是平行四邊形，可得結論；（3）由勾股定理可求BH的長，再證明△BCH∽△BGE，得到，代入數(shù)值求解EG，即可得到答案．(1)解：∵把邊固定在地面上，向右推動矩形框，矩形框的形狀會發(fā)生改變（四邊形具有不穩(wěn)定性）．∴由旋轉的性質可知矩形ABCD的各邊的長度沒有改變，∴AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，故答案為：CD，AD；(2)解：∵四邊形ABCD是矩形，∴ADBC，AB＝CD，AD＝BC，∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，∴BE＝CF，EF＝BC，∴四邊形BEFC是平行四邊形，∴EFBC，∴EFAD；(3)解：如圖，過點E作EG⊥BC于點G，∵DC＝AB＝BE＝80cm，點H是CD的中點，∴CH＝DH＝40cm，在Rt△BHC中，∠BCH＝90°，BH＝（cm），∵EG⊥BC，∴∠EGB＝∠BCH＝90°，∴CHEG，∴△BCH∽△BGE，∴，∴，∴EG＝64，∵EFBC，∴EF與BC之間的距離為64cm．【點睛】此題考查了矩形的性質、平行四邊形的判定和性質、勾股定理、相似三角形的判定和性質等知識，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．22．（2022·四川內江·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，點M、N分別在AB、AD上，且MN⊥MC，點E為CD的中點，連接BE交MC于點F．(1)當F為BE的中點時，求證：AM＝CE；(2)若＝2，求的值；(3)若MN∥BE，求的值．【答案】(1)見解析(2)(3)【解析】【分析】(1)根據(jù)矩形的性質，證明△BMF≌△ECF，得BM＝CE，再利用點E為CD的中點，即可證明結論；(2)利用△BMF∽△ECF，得，從而求出BM的長，再利用△ANM∽△BMC，得，求出AN的長，可得答案；(3)首先利用同角的余角相等得∠CBF＝∠CMB，則tan∠CBF＝tan∠CMB，得，可得BM的長，由（2）同理可得答案．(1)證明：∵F為BE的中點，∴BF＝EF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD∴∠BMF＝∠ECF，∵∠BFM＝∠EFC，∴△BMF≌△ECF（AAS），∴BM＝CE，∵點E為CD的中點，∴CE＝CD，∵AB＝CD，∴，∴，∴AM＝CE；(2)∵∠BMF＝∠ECF，∠BFM＝∠EFC，∴△BMF∽△ECF，∴，∵CE＝3，∴BM＝，∴AM＝，∵CM⊥MN，∴∠CMN＝90°，∴∠AMN+∠BMC＝90°，∵∠AMN+∠ANM＝90°，∴∠ANM＝∠BMC，∵∠A＝∠MBC，∴△ANM∽△BMC，∴，∴，∴，∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，∴；(3)∵MN∥BE，∴∠BFC＝∠CMN，∴∠FBC+∠BCM＝90°，∵∠BCM+∠BMC＝90°，∴∠CBF＝∠CMB，∴tan∠CBF＝tan∠CMB，∴，∴，∴，∴，由（2）同理得，，∴，解得：AN＝，∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，∴．【點睛】本題是相似形綜合題，主要考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，三角函數(shù)等知識，求出BM的長是解決（2）和（3）的關鍵．23．（2022·四川南充·中考真題）如圖，在矩形中，點O是的中點，點M是射線上動點，點P在線段上（不與點A重合），．(1)判斷的形狀，并說明理由．(2)當點M為邊中點時，連接并延長交于點N．求證：．(3)點Q在邊上，，當時，求的長．【答案】(1)為直角三角形，理由見解析(2)見解析(3)或12【解析】【分析】（1）由點O是的中點，可知，由等邊對等角可以推出；（2）延長AM，BC交于點E，先證，結合（1）的結論得出PC是直角斜邊的中線，推出，進而得到，再通過等量代換推出，即可證明；（3）過點P作AB的平行線，交AD于點F，交BC于點G，得到兩個K型，證明，，利用相似三角形對應邊成比例列等式求出QF，F(xiàn)P，再通過即可求出DM．(1)解：為直角三角形，理由如下：∵點O是的中點，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴為直角三角形；(2)證明：如圖，延長AM，BC交于點E，由矩形的性質知：，，∴，∵點M為邊中點，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，即C點為BE的中點，由（1）知，∴，即為直角三角形，∴，∴，又∵，，∴，∴；(3)解：如圖，過點P作AB的平行線，交AD于點F，交BC于點G，由已知條件，設，，則，，．∵，，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴．同理，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴．∴，解得，∴，將代入得，整理得，解得或．∵，，∴，∴，即，∴，∴當時，，當時，，此時點M在DC的延長線上，綜上，的長為或12．【點睛】本題考查矩形的性質，直角三角形斜邊中線的性質，相似三角形的判定與性質等，第3問有一定難度，解題關鍵是作輔助線構造K字模型．24．（2022·四川德陽·中考真題）如圖，在菱形中，，，過點作的垂線，交的延長線于點．點從點出發(fā)沿方向以向點勻速運動，同時，點從點出發(fā)沿方向以向點勻速運動．設點，的運動時間為（單位：），且，過作于點，連結．(1)求證：四邊形是矩形．(2)連結，，點，在運動過程中，與是否能夠全等？若能，求出此時的值；若不能，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)與能夠全等，此時【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，再根據(jù)菱形的性質和直角三角形的性質可得，從而得到FG=EH，再由FG∥EH，可得四邊形EFGH是平行四邊形，即可求證；（2）根據(jù)菱形的性質和直角三角形的性質可得∠CBF=∠CDE，，然后分兩種情況討論，即可求解．(1)證明：根據(jù)題意得：，在菱形ABCD中，AB=BC，AC⊥BD，OB=OD，∵∠ABC=60°，，∴，∠CBO=30°，∴，∴FG=EH，∵，DH⊥BH，∴FG∥EH，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵∠H=90°，∴四邊形是矩形．(2)解：能，∵AB∥CD，∠ABC=60°，∴∠DCH=60°，∵∠H=90°，∴∠CDE=30°，∴∠CBF=∠CDE，，∴，∵BC=DC，∴當∠BFC=∠CED或∠BFC=∠DCE時，與能夠全等，當∠BFC=∠CED時，，此時BF=DE，∴，解得：t=1；當∠BFC=∠DCE時，BC與DE是對應邊，而，∴BC≠DE，則此時不成立；綜上所述，與能夠全等，此時．【點睛】本題主要考查了菱形的性質，矩形的判定，直角三角形的性質，解直角三角形，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．25．（2022·四川樂山·中考真題）華師版八年級下冊數(shù)學教材第121頁習題19.3第2小題及參考答案．2．如圖，在正方形ABCD中，．求證：．證明：設CE與DF交于點O，∵四邊形ABCD是正方形，∴，．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．某數(shù)學興趣小組在完成了以上解答后，決定對該問題進一步探究(1)【問題探究】如圖，在正方形ABCD中，點E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且．試猜想的值，并證明你的猜想．(2)【知識遷移】如圖，在矩形ABCD中，，，點E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且．則______．(3)【拓展應用】如圖，在四邊形ABCD中，，，，點E、F分別在線段AB、AD上，且．求的值．【答案】(1)1；證明見解析(2)(3)【解析】【分析】（1）過點A作AM∥HF交BC于點M，作AN∥EG交CD的延長線于點N，利用正方形ABCD，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°求證△ABM≌△ADN即可．（2）過點A作AM∥HF交BC于點M，作AN∥EC交CD的延長線于點N，利用在矩形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，求證△ABM∽△ADN．再根據(jù)其對應邊成比例，將已知數(shù)值代入即可．（3）先證是等邊三角形，設，過點，垂足為，交于點，則，在中，利用勾股定理求得的長，然后證，利用相似三角形的對應邊對應成比例即可求解．(1)，理由為：過點A作AM∥HF交BC于點M，作AN∥EG交CD的延長線于點N，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形AMFH是平行四邊形，四邊形AEGN是平行四邊形，∴AM＝HF，AN＝EG，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°∵EG⊥FH，∴∠NAM＝90°，∴∠BAM＝∠DAN，在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN∴△ABM≌△ADN∴AM＝AN，即EG＝FH，∴；(2)解：過點A作AM∥HF交BC于點M，作AN∥EC交CD的延長線于點N，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形AMFH是平行四邊形，四邊形AEGN是平行四邊形，∴AM＝HF，AN＝EG，在矩形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，∵EG⊥FH，∴∠NAM＝90°，∴∠BAM＝∠DAN．∴△ABM∽△ADN，∴，∵，，AM＝HF，AN＝EG，∴，∴；故答案為：(3)解：∵，，∴是等邊三角形，∴設，過點，垂足為，交于點，則，在中，，∵，，∴，，又∵，∴，∵，，∴，∴，∴，即．【點睛】此題主要考查學生對相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理等知識點的理解和掌握，綜合性較強，難度較大，是一道難題．26．（2022·四川綿陽·中考真題）如圖，平行四邊形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD＝2，動點E，F(xiàn)同時從A點出發(fā)，點E沿著A→D→B的路線勻速運動，點F沿著A→B→D的路線勻速運動，當點E，F(xiàn)相遇時停止運動．(1)如圖1，設點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為4個單位每秒，當運動時間為秒時，設CE與DF交于點P，求線段EP與CP長度的比值；(2)如圖2，設點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為個單位每秒，運動時間為x秒，ΔAEF的面積為y，求y關于x的函數(shù)解析式，并指出當x為何值時，y的值最大，最大值為多少？(3)如圖3，H在線段AB上且AH＝HB，M為DF的中點，當點E、F分別在線段AD、AB上運動時，探究點E、F在什么位置能使EM＝HM．并說明理由．【答案】(1)；(2)y關于x的函數(shù)解析式為；當時，y的最大值為；(3)當EF∥BD時，能使EM＝HM．理由見解析【解析】【分析】（1）延長DF交CB的延長線于點G，先證得，可得，根據(jù)題意可得AF=，AE=，可得到CG=3，再證明△PDE∽△PGC，即可求解；（2）分三種情況討論：當0≤x≤2時，E點在AD上，F(xiàn)點在AB上；當時，E點在BD上，F(xiàn)點在AB上；當時，點E、F均在BD上，即可求解；（3）當EF∥BD時，能使EM＝HM．理由：連接DH，根據(jù)直角三角形的性質，即可求解．（1）解：如圖，延長DF交CB的延長線于點G，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴，∴，∵點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為4個單位每秒，運動時間為秒，∴AF=，AE=，∵AB=4，AD=2，∴BF=，ED=，∴，∴BG=1，∴CG=3，∵，∴△PDE∽△PGC，∴，∴；

（2）解：根據(jù)題意得：當0≤x≤2時，E點在AD上，F(xiàn)點在AB上，此時AE=x，，∵，AB=4，AD=2，∴，∴△ABD是直角三角形，∵，∴∠ABD=30°，∴∠A=60°，如圖，過點E作交于H，∴，∴；∴當x＞0時，y隨x的增大而增大，此時當x=2時，y有最大值3；當時，E點在BD上，F(xiàn)點在AB上，如圖，過點E作交于N，過點D作交于M，則EN∥DM，根據(jù)題意得：DE=x-2，∴，在Rt△ABD中，，AM=1，∵EN∥DM，∴△BEN∽△BDM，∴，∴∴，∴，此時該函數(shù)圖象的對稱軸為直線，∴當時，y隨x的增大而減小，此時當x=2時，y有最大值3；當時，點E、F均在BD上，過點E作交于Q，過點F作交于P，過點D作DM⊥AB于點M，∴，DA+DE=x，∵AB=4，AD=2，∴，，∵PF∥DM，∴△BFP∽△BDM，∴，即，∴，∵，∴△BEQ∽△BDM，∴，即，∴，∴，此時y隨x的增大而減小，此時當時，y有最大值；綜上所述：y關于x的函數(shù)解析式為當時，y最大值為；（3）解：當EF∥BD時，能使EM＝HM．理由如下：連接DH，如圖，∵，AB=4，∴．AH=1，由（2）得：此時，∵M是DF的中點，∴HM=DM=MF，∵EF∥BD，BD⊥AD，∴EF⊥AD，∴EM=DM=FM，∴EM=HM．【點睛】本題是四邊形的綜合題，熟練掌握平行四邊形的性質，平行線的性質，直角三角形的性質，分類討論，數(shù)形結合是解題的關鍵．27．（2022·四川成都·中考真題）如圖，在矩形中，，點是邊上一動點（點不與，重合），連接，以為邊在直線的右側作矩形，使得矩形矩形，交直線于點．(1)【嘗試初探】在點的運動過程中，與始終保持相似關系，請說明理由．(2)【深入探究】若，隨著點位置的變化，點的位置隨之發(fā)生變化，當是線段中點時，求的值．(3)【拓展延伸】連接，，當是以為腰的等腰三角形時，求的值（用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)見解析(2)或(3)或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得∠A=∠D=∠BEG=90°，可得∠DEH=∠ABE，即可求證；（2）根據(jù)題意可得AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，設DH=x，AE=a，則AB=2x，AD=4x，可得DE=4x-a，再根據(jù)△ABE∽△DEH，可得或，即可求解；（3）根據(jù)題意可得EG=nBE，然后分兩種情況：當FH=BH時，當FH=BF=nBE時，即可求解．(1)解：根據(jù)題意得：∠A=∠D=∠BEG=90°，∴∠AEB+∠DEH=90°，∠AEB+∠ABE=90°，∴∠DEH=∠ABE，∴△ABE∽△DEH；(2)解：根據(jù)題意得：AB=2DH，AD=2AB，∴AD=4DH，設DH=x，AE=a，則AB=2x，AD=4x，∴DE=4x-a，∵△ABE∽△DEH，∴，∴，解得：或，∴或，∴或；(3)解：∵矩形矩形，，∴EG=nBE，如圖，當FH=BH時，∵∠BEH=∠FGH=90°，BE=FG，∴Rt△BEH≌Rt△FGH，∴EH=GH=，∴，∵△ABE∽△DEH，∴，即，∴，∴；如圖，當FH=BF=nBE時，，∴，∵△ABE∽△DEH，∴，即，∴，∴；綜上所述，的值為或．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，等腰三角形的性質，勾股定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質，矩形的性質，等腰三角形的性質，勾股定理等知識是解題的關鍵．28．（2021·四川南充·中考真題）如圖，點E在正方形ABCD邊AD上，點F是線段AB上的動點（不與點A重合）．DF交AC于點G，于點H，，．（1）求．（2）設，，試探究y與x的函數(shù)關系式（寫出x的取值范圍）．（3）當時，判斷EG與AC的位置關系并說明理由．【答案】（1）；（2）y=(0；（3）EG⊥AC，理由見解析【解析】【分析】（1）過E作EM⊥AC于M，根據(jù)正方形的性質得出∠DAC=45°，AD=AB=BC=1，利用等腰三角形的性質得出EM=AM=，再利用正切的定義即可得出答案；（2）過G作GN⊥AB于N，先證得四邊形HANG為正方形，再證明△GNF△DAF，根據(jù)比利式即可得出結論；（3）根據(jù)∠ADF=∠ACE和tan∠ACE=得出AF=，根據(jù)（2）中的函數(shù)關系式得出HG=，從而得出△EHG為等腰直角三角形，繼而得出EG⊥AC【詳解】（1）過E作EM⊥AC于M在正方形ABCD中∠DAC=45°，AD=AB=BC=1∵DE=，∴AE=，AC=∴EM=AM=AE=×=∴CM=AC-AM=-=在Rt△CEM中，tan∠ACE==(2)過G作GN⊥AB于N∵HG⊥AD，∠DAB=90°∴四邊形HANG為矩形，GN∥AD∵∠HAG=45°∴AH=HG∴四邊形HANG為正方形∴HG=GN=AN=y∵GN∥AD∴△GNF△DAF∴=∵AF=x，∴NF=x-y∴=∴y=(0(3)∵∠ADF=∠ACEtan∠ACE=∴tan∠ADF==∵AD=1∴AF=即x=當x=時，y=HG=在Rt△AHG中，∠HAG=45°∴AH=HG=，∠HGA=45°∵HE=AE-AH=∴△EHG為等腰直角三角形∴∠EGH=45°∴∠AGE=90°∴EG⊥AC【點睛】本題考查了正方形的性質與判定、相似三角形的性質與判定、解直角三角形等知識，適當添加輔助線，靈活運用所學知識是解題的關鍵．29．（2021·四川眉山·中考真題）如圖，在等腰直角三角形中，，，邊長為2的正方形的對角線交點與點重合，連接，．（1）求證：；（2）當點在內部，且時，設與相交于點，求的長；（3）將正方形繞點旋轉一周，當點、、三點在同一直線上時，請直接寫出的長．【答案】（1）見詳解；（2）；（3）-1或+1【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形的性質以及等腰直角三角形的性質得∠ACD=∠BCE，，C