3.3拋物線3.3.1拋物線的標準方程A級必備知識基礎練1.準線與x軸垂直,且經過點(1,-2)的拋物線的標準方程是()A.y2=-2x B.y2=2xC.x2=2y D.x2=-2y2.[2024甘肅白銀高三聯考階段練習]圓x2-4x+y2-2y=0的圓心在拋物線y2=2px上,則該拋物線的焦點坐標為()A.(18,0) B.(14C.(12,0) D.3.設拋物線y2=8x上一點P到y軸的距離是4,則點P到該拋物線焦點的距離是()A.4 B.6 C.8 D.124.若拋物線y2=2px(p>0)上的點A(x0,42)到其焦點的距離是點A到y軸距離的3倍,則p等于()A.2 B.4 C.6 D.85.若點P到點(0,2)的距離比它到直線y=-1的距離大1,則點P的軌跡方程為()A.y2=4x B.x2=4y C.y2=8x D.x2=8y6.(2023全國乙,理13)已知點A(1,5)在拋物線C:y2=2px上,則A到C的準線的距離為.

7.已知拋物線C:x2=2py(p>0),點Ax0,p2在C上,點B的坐標為0,-p2,若|AB|=52,則C的焦點坐標為.

8.已知拋物線的準線過雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一個焦點,且這條準線與雙曲線的兩個焦點的連線互相垂直B級關鍵能力提升練9.已知拋物線y2=2px(p>0)上一點M到其準線及x軸的距離分別為3和22,則p=()A.4或1 B.2或4 C.1或2 D.110.M是拋物線y2=2px(p>0)上一點,F為拋物線的焦點,O為坐標原點,FM⊥x軸,且|OM|=5,則拋物線的準線方程為()A.x=-1 B.x=-2 C.y=-1 D.y=-211.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,拋物線C上的兩點P,Q均在第一象限,且|PQ|=2,|PF|=3,|QF|=4,則直線PQ的斜率為()A.1 B.2 C.3 D.512.設O為坐標原點,直線x=2與拋物線C:y2=2px(p>0)交于D,E兩點,若OD⊥OE,則C的焦點坐標為.

13.已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點,且斜率為22的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)兩點,且|AB|=9.(1)求該拋物線的標準方程;(2)O為坐標原點,C為拋物線上一點,若OC=OA+λOB,求實數λC級學科素養(yǎng)創(chuàng)新練14.拋物線y2=4x的焦點為F,點A(4,2),P為拋物線上一點且P不在直線AF上,則△PAF周長的最小值為.

3.3.1拋物線的標準方程1.B由題意可設拋物線的標準方程為y2=ax(a>0),則(-2)2=a,解得a=2,因此拋物線的標準方程為y2=2x,2.A圓x2-4x+y2-2y=0的圓心坐標為(2,1),則12=2p×2,得p=14,所以該拋物線的焦點坐標為18,0.故選A.3.B拋物線y2=8x的準線方程為x=-2,則點P到準線的距離為6,即點P到拋物線焦點的距離是6.4.D由題意可得3x0=x0+p2,即x0=p4,則(42)2=2p·p4,解得p=8(負值舍去).5.D∵點P到點(0,2)的距離比它到直線y=-1的距離大1,∴點P到點(0,2)的距離等于它到直線y=-2的距離.由拋物線的定義可知,點P的軌跡為以A(0,2)為焦點,直線y=-2為準線的拋物線,∴p=4,∴點P的軌跡方程為x2=8y.故選D.6.94因為點A(1,5)在拋物線C上,所以5=2p,所以p=52,所以拋物線C的準線方程為x=-p2=-54,所以點A到拋物線C的準線的距離為7.0,52∵點Ax0,p2在C上,∴x02=2p·p2,解得x0=又點B的坐標為0,-p2,∴p2+p2=52,故拋物線C的焦點坐標為0,52.8.解由題意可知,拋物線的焦點在x軸正半軸上,故可設拋物線的標準方程為y2=2px(p>0),根據點32,6在拋物線上可得62=2p·32故所求拋物線的標準方程為y2=4x,拋物線的準線方程為x=-1.∵拋物線的準線過雙曲線的一個焦點,∴c=1,即a2+b2=1.故雙曲線的標準方程為x2a2∵點32,∴94a2-61-a2=1,解得a2=故所求雙曲線的標準方程為x2149.B設點M的坐標為(xM,yM),因為拋物線y2=2px(p>0)上一點M到其準線及x軸的距離分別為3和22,所以|yM|=22,xM+p2=3,即|yM|=22,xM=3-p2,代入拋物線方程可得810.A拋物線y2=2px(p>0)的焦點為Fp2,0,∵M為拋物線上的點,且FM⊥x軸,∴Mp2,p或Mp2,-又|OM|=5,∴p22+p2=5,解得p=2或p=-2(舍),則p2=∴拋物線的準線方程為x=-1,故選A.11.C如圖所示,作QM垂直準線于點M,PN垂直準線于點N,作PE⊥QM于點E,因為|PQ|=2,|PF|=3,|QF|=4,所以由拋物線的定義可知|MQ|=4,|PN|=3,所以|QE|=1,所以|EP|=22-12=3,直線PQ12.12,0(方法1)將x=2代入拋物線y2=2px(p>0),可得y=±2p.設直線OD的斜率為kOD,直線OE的斜率為kOE,由OD⊥OE,可得kOD·kOE=-1,即2p2·-2p所以拋物線的標準方程為y2=2x,它的焦點坐標為12,0.(方法2)記直線x=2與拋物線C:y2=2px(p>0)在第一象限內的交點為D,易知∠ODE=45°,可得D(2,2),代入拋物線方程y2=2px(p>0),可得4=4p,解得p=1.所以拋物線的標準方程為y2=2x,它的焦點坐標為12,0.13.解(1)直線AB的方程是y=22x-p2,與y2=2px(p>0)聯立,可得4x2-5px+p2=0,Δ=9p2>0,故x1+x2=5p4由拋物線的定義,得|AB|=x1+x2+p=9,即p=4.故拋物線的標準方程為y2=8x.(2)由(1),得p=4,代入4x2-5px+p2=0,得x2-5x+4=0,解得x1=1,x2=4,則y1=-22,y2=42.故A(1,-22),B(4,42).設OC=(x3,y3)=(1,-22)+λ(4,42)=(1+4λ,-22+42λ),又y32=8x3,即[22(2λ-1)]2=8(4λ可得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.14.5+13拋物線y2=4x的焦點為F(1,0),|AF|=13.過點P向準線作垂線,垂足為D