專題08特殊平行四邊形的綜合問題【中考考向?qū)Ш健磕夸汿OC\o"1-3"\h\u【直擊中考】 1【考向一特殊平行四邊形中的折疊問題】 1【考向二特殊平行四邊形中旋轉(zhuǎn)問題】 7【考向三特殊平行四邊形中定值問題】 13【考向四特殊平行四邊形最小值問題】 19【考向五特殊平行四邊形中點(diǎn)四邊形問題】 25【考向六特殊平行四邊形中的動(dòng)態(tài)問題】 33【直擊中考】【考向一特殊平行四邊形中的折疊問題】例題：（2022秋·甘肅蘭州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）將矩形紙片沿折疊得到，與交于點(diǎn)E，若，則的度數(shù)為（

）A．15° B．20° C．25° D．30°【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，把菱形沿折疊，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，若，則的大小為（

）．A． B． C． D．2．（2021·云南紅河·統(tǒng)考一模）如圖，菱形的周長(zhǎng)為8厘米，，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)N是邊上任一點(diǎn)，把沿直線折疊，點(diǎn)A落在圖中的點(diǎn)E處，當(dāng)_________厘米時(shí)，是直角三角形．3．（2022·安徽合肥·校考二模）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，以為對(duì)稱軸將折疊得到，再折疊使落在直線上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，折痕為且交于點(diǎn)．（1）______；（2）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為______．4．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在正方形中，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接，把沿折疊得到，延長(zhǎng)交于G，連接．(1)求證：．(2)如圖2，E為的中點(diǎn)，連接．①求證：；②若正方形邊長(zhǎng)為6，求線段的長(zhǎng)．【考向二特殊平行四邊形中旋轉(zhuǎn)問題】例題：（2021秋·陜西渭南·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，四邊形是矩形，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形得到矩形，點(diǎn)，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，，，點(diǎn)恰好在的延長(zhǎng)線上．(1)求證：：(2)若，求的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)廣州市第一一三中學(xué)?？计谥校┤鐖D，將矩形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到矩形，如果，那么_______．2．（2022秋·天津河北·九年級(jí)天津二中校考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是矩形，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)．以點(diǎn)A為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形，得到矩形，點(diǎn)O，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，記旋轉(zhuǎn)角為．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)D落在線段上時(shí)，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．3．（2022秋·山西呂梁·九年級(jí)統(tǒng)考期中）綜合與實(shí)踐【情境呈現(xiàn)】如圖1，將兩個(gè)正方形紙片和放置在一起.若固定正方形，將正方形繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)．(1)【數(shù)學(xué)思考】如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)G在邊上時(shí)，線段與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是．(2)如圖2，是將正方形繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度得到的，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)【拓展探究】如圖3，若點(diǎn)D，E，G在同一條直線上，且，求線段的長(zhǎng)度（直接寫出答案）．【考向三特殊平行四邊形中定值問題】例題：（2022秋·山東棗莊·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，是上異于和的任意一點(diǎn)，且于，于，則為_____．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┤鐖D，菱形的周長(zhǎng)為20，面積為24，是對(duì)角線上一點(diǎn)，分別作點(diǎn)到直線、的垂線段、，則等于______2．（2022春·四川成都·九年級(jí)成都市第二十中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)是菱形的對(duì)角線延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作，延長(zhǎng)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)，若，，則的值為______．3．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知四邊形為正方形，，點(diǎn)E為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，以為鄰邊作矩形，連接．(1)求證：矩形是正方形；(2)探究：的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．（2022春·四川德陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，如圖，矩形ABCD中，AD＝3，DC＝4，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，DA上，AH＝1，連接CF．(1)當(dāng)點(diǎn)G在邊DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)；探究：點(diǎn)F到邊DC的距離FM是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)當(dāng)DG為何值時(shí)，△FCG的面積最小，并求出這個(gè)最小值．【考向四特殊平行四邊形最小值問題】例題：（2022秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶市鳳鳴山中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，為正方形邊上一點(diǎn)，，，為對(duì)角線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B． C． D．10【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·江西新余·九年級(jí)新余四中?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形中，，，，分別是直線，上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，沿翻折形成，連接，，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，中，，，．點(diǎn)D為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作、，垂足為E、F，連接．則長(zhǎng)度的最小值為______．3．（2022秋·重慶大渡口·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在矩形中，，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且，連接，則的最小值為______．4．（2022秋·陜西漢中·九年級(jí)校考期中）如圖，在正方形中，，為邊上一點(diǎn)，．為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），過點(diǎn)分別作于點(diǎn)、于點(diǎn)，連接、，則的最小值為______．5．（2022春·江西贛州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，在菱形ABCD中，AB=6，∠BAD=120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在菱形的邊BC，CD上滑動(dòng)，滿足∠EAF=60°，連接EF，且E，F(xiàn)不與B，C，D重合．(1)求證：不論E，F(xiàn)在BC，CD上如何滑動(dòng)，總有BE=CF；(2)當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在BC，CD上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形AECF的面積和△CEF的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出最小值．【考向五特殊平行四邊形中點(diǎn)四邊形問題】例題：（2022春·安徽合肥·八年級(jí)校考期中）如圖，、、、分別是四邊形四條邊的中點(diǎn)，順次連接、、、得四邊形，連接、，下列命題不正確的是（）A．當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，四邊形是菱形B．當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，四邊形是矩形C．當(dāng)四邊形滿足時(shí)，四邊形是菱形D．當(dāng)四邊形滿足，時(shí)，四邊形是矩形【變式訓(xùn)練】1．（2022春·北京西城·八年級(jí)校考期中）四邊形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，點(diǎn)，，，分別為邊，，，的中點(diǎn)．有下列四個(gè)推斷：①對(duì)于任意四邊形，四邊形都是平行四邊形；②若四邊形是平行四邊形，則與交于點(diǎn)；③若四邊形是矩形，則四邊形也是矩形；④若四邊形是正方形，則四邊形也一定是正方形．所有正確推斷的序號(hào)是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．③④2．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形中，，分別是，的中點(diǎn)，，分別是對(duì)角線，的中點(diǎn)，依次連接，，，，連接，．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）當(dāng)時(shí)，與有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；3．（2021春·上海長(zhǎng)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，、是四邊形的對(duì)角線，點(diǎn)E、F、G、H分別是線段、、、上的中點(diǎn)（1）求證：線段、互相平分；（2）四邊形滿足什么條件時(shí)，？證明你得到的結(jié)論．4．（2021秋·陜西寶雞·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，四邊形四條邊上的中點(diǎn)分別為、、、，順次連接、、、，得到四邊形即四邊形的中點(diǎn)四邊形．(1)四邊形的形狀是______，請(qǐng)證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)四邊形的對(duì)角線滿足______條件時(shí)，四邊形是菱形；(3)你學(xué)過的哪種特殊的平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形？請(qǐng)寫出一種．5．（2021春·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期中）四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊的中點(diǎn)，順次連接各邊中點(diǎn)得到的新四邊形EFGH稱為中點(diǎn)四邊形．（1）我們知道：無(wú)論四邊形ABCD怎樣變化，它的中點(diǎn)四邊形EFGH都是平行四邊形．特殊的：①當(dāng)對(duì)角線時(shí)，四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形為__________形；②當(dāng)對(duì)角線時(shí)，四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是__________形．（2）如圖：四邊形ABCD中，已知，且，請(qǐng)利用（1）中的結(jié)論，判斷四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀并進(jìn)行證明．【考向六特殊平行四邊形中的動(dòng)態(tài)問題】例題：（2022春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)．點(diǎn)M是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)當(dāng)時(shí)，求證：四邊形是矩形；(3)填空：當(dāng)?shù)闹禐闀r(shí)，四邊形是菱形．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)校考期末）如圖①，在矩形ABCD中，AB>AD，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，動(dòng)點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，△AOP的面積為y，y與x的函數(shù)關(guān)系圖象如圖②所示，則AB邊的長(zhǎng)為（

）A．6 B．6.4 C．7.2 D．82．（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D1，菱形ABCD中，，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度自點(diǎn)A出發(fā)沿線段AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位的速度自點(diǎn)B出發(fā)沿折線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D．圖2是點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，△BPQ的面積S隨時(shí)間t變化關(guān)系圖象，則a的值是（

）A．2 B．2.5 C．3 D．3．（2022秋·廣西防城港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知是正方形內(nèi)一點(diǎn)，，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至，連結(jié)．(1)直接寫出、的長(zhǎng)度和的度數(shù)．(2)求的長(zhǎng)．(3)試判斷的形狀并說(shuō)明理由．4．（2022春·廣東江門·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，，點(diǎn)P在邊上以每秒1cm的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在邊上，以每秒4cm的速度從點(diǎn)C出發(fā)，在之間往返運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止（同時(shí)點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)用含t的式子表示線段的長(zhǎng)度：______cm，(2)當(dāng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為______秒時(shí)，以A、P、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形是矩形．(3)當(dāng)時(shí)，以P、D、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形有沒可能是平行四邊形？若有，請(qǐng)求出t；若沒有，請(qǐng)說(shuō)明理由．專題08特殊平行四邊形的綜合問題【中考考向?qū)Ш健磕夸汿OC\o"1-3"\h\u【直擊中考】 1【考向一特殊平行四邊形中的折疊問題】 1【考向二特殊平行四邊形中旋轉(zhuǎn)問題】 7【考向三特殊平行四邊形中定值問題】 13【考向四特殊平行四邊形最小值問題】 19【考向五特殊平行四邊形中點(diǎn)四邊形問題】 25【考向六特殊平行四邊形中的動(dòng)態(tài)問題】 33【直擊中考】【考向一特殊平行四邊形中的折疊問題】例題：（2022秋·甘肅蘭州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）將矩形紙片沿折疊得到，與交于點(diǎn)E，若，則的度數(shù)為（

）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得，，進(jìn)而求得，根據(jù)折疊可得，最后根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，由折疊可得，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線性質(zhì)，折疊性質(zhì)，角的有關(guān)計(jì)算等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求出和的度數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，把菱形沿折疊，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，若，則的大小為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，已知菱形的對(duì)角相等，故推出，從而得出．又因?yàn)?，故，，易得解．【詳解】解：根?jù)菱形的對(duì)角相等得．，．根據(jù)折疊得．，，．．故選：A．【點(diǎn)睛】此題要熟練運(yùn)用菱形的性質(zhì)得到有關(guān)角和邊之間的關(guān)系．在計(jì)算的過程中，綜合運(yùn)用了等邊對(duì)等角、三角形的內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)．注意：折疊的過程中，重合的邊和重合的角相等．2．（2021·云南紅河·統(tǒng)考一模）如圖，菱形的周長(zhǎng)為8厘米，，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)N是邊上任一點(diǎn)，把沿直線折疊，點(diǎn)A落在圖中的點(diǎn)E處，當(dāng)_________厘米時(shí)，是直角三角形．【答案】或1【分析】根據(jù)菱形的周長(zhǎng)為8厘米可得菱形的邊長(zhǎng)為2厘米，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，根據(jù)題意分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)時(shí)，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，從而得到，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得AN的值；②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E落在菱形對(duì)角線上，根據(jù)點(diǎn)M為的中點(diǎn)，為折痕，此時(shí)于點(diǎn)E，可得點(diǎn)N為的中點(diǎn)，從而得到AN的值．【詳解】解：∵菱形的周長(zhǎng)為8厘米，∴AB=BC=CD=AD=2厘米，∵點(diǎn)M為的中點(diǎn)，∴厘米．由翻折可知，∴．①當(dāng)時(shí)，，∴，，∴，∴，∴，∴，厘米；②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E在以M為圓心，AM為半徑的圓上，也在以BC為直徑的圓上，根據(jù)菱形ABCD的特點(diǎn)，可知點(diǎn)E落在菱形對(duì)角線上，∵點(diǎn)M為的中點(diǎn)，為折痕，此時(shí)于點(diǎn)E，∴點(diǎn)N為的中點(diǎn)，厘米．當(dāng)或1厘米時(shí)，是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，翻折變換，直角三角形的性質(zhì)．解題關(guān)鍵是熟練掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)．3．（2022·安徽合肥·?？级＃┤鐖D，在菱形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，以為對(duì)稱軸將折疊得到，再折疊使落在直線上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，折痕為且交于點(diǎn)．（1）______；（2）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為______．【答案】

##90度

【分析】（1）由翻折可得，則，根據(jù)，可得，即．（2）根據(jù)題意可得點(diǎn)G與點(diǎn)H重合，且點(diǎn)三點(diǎn)在同一條直線上．過點(diǎn)D作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．由，可得，則，由翻折可得，，設(shè)，則，，由勾股定理可得，解得，進(jìn)而可得出答案．【詳解】解：（1）由翻折可得，，，，，即．故答案為：．（2）四邊形為菱形，，，由翻折可得，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，即點(diǎn)與點(diǎn)重合．，點(diǎn)，，三點(diǎn)在同一條直線上．過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．，，，，，，由翻折可得，，設(shè)，則，，由勾股定理可得，解得，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換（折疊問題）、菱形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握翻折的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．4．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在正方形中，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接，把沿折疊得到，延長(zhǎng)交于G，連接．(1)求證：．(2)如圖2，E為的中點(diǎn)，連接．①求證：；②若正方形邊長(zhǎng)為6，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析；(2)①證明見解析，②線段的長(zhǎng)為2【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得．，由折疊的性質(zhì)得出，，，再求出，，然后由“”證明，由全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得出，得出即可；（2）①由折疊的性質(zhì)和線段中點(diǎn)的定義可得，，再由三角形的外角性質(zhì)得出，然后利用同位角相等，兩直線平行證明即可；②設(shè)，表示出、，根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)求出、，從而得到的長(zhǎng)度，再利用勾股定理列出方程求解即可；【詳解】（1）證明：如圖1：∵四邊形是正方形，．，沿折疊得到，，，，，，在和中，，，，，，，；（2）證明：如圖2所示：沿折疊得到，為的中點(diǎn)，，，，，，，即，；②解：設(shè)，則，，正方形邊長(zhǎng)為6，為的中點(diǎn)，，，在中，根據(jù)勾股定理得：，解得：，即線段的長(zhǎng)為2．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、翻折變換的性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．【考向二特殊平行四邊形中旋轉(zhuǎn)問題】例題：（2021秋·陜西渭南·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，四邊形是矩形，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形得到矩形，點(diǎn)，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，，，點(diǎn)恰好在的延長(zhǎng)線上．(1)求證：：(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)矩形可得，，再根據(jù)斜邊為公共邊，利用“”可證得結(jié)論；（2）由可知，由旋轉(zhuǎn)矩形可知，即可求得的長(zhǎng)度．【詳解】（1）證明：∵旋轉(zhuǎn)矩形得到矩形，∴，，

在和中，，．∴．（2）解：由可得，∵旋轉(zhuǎn)矩形得到矩形，∴，

∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、解題關(guān)鍵是證明，利用矩形和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求解．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)廣州市第一一三中學(xué)?？计谥校┤鐖D，將矩形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到矩形，如果，那么_______．【答案】【分析】連接，先根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理求出即可．【詳解】解：連接，，∵矩形，，∴，，∴，∵將矩形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到矩形，∴，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，掌握矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·天津河北·九年級(jí)天津二中校考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是矩形，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)．以點(diǎn)A為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形，得到矩形，點(diǎn)O，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，記旋轉(zhuǎn)角為．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)D落在線段上時(shí)，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）過點(diǎn)作軸于，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，，由直角三角形的性質(zhì)得出，，得出，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）過點(diǎn)作軸于，，于，則則，，由勾股定理得出AE=10，由面積法求出DH=，得出，由勾股定理得出，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）連接，作軸于，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，由等腰三角形的性質(zhì)得出，得出，證出，由平行線的性質(zhì)的，證出，證明，得出，，得出，即可得出答案．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作軸于，如圖所示：∵點(diǎn)，點(diǎn)，∴，，∵以點(diǎn)為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形，得到矩形，∴，，，在Rt中，，，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）過點(diǎn)作軸于，，于，如圖所示：則，，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）連接，作軸于，如圖所示：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，∴，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴（），∴，，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作出輔助線，屬于中考?jí)狠S題．3．（2022秋·山西呂梁·九年級(jí)統(tǒng)考期中）綜合與實(shí)踐【情境呈現(xiàn)】如圖1，將兩個(gè)正方形紙片和放置在一起.若固定正方形，將正方形繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)．(1)【數(shù)學(xué)思考】如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)G在邊上時(shí)，線段與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是．(2)如圖2，是將正方形繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度得到的，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)【拓展探究】如圖3，若點(diǎn)D，E，G在同一條直線上，且，求線段的長(zhǎng)度（直接寫出答案）．【答案】(1)，(2)（1）中的結(jié)論成立，證明見解析；(3)【分析】（1）由正方形性質(zhì)可以得到與相等且垂直；（2）由可證，可得，，由余角的性質(zhì)可證；（3）由（2）問結(jié)論連接，表示出三邊即可利用勾股定理列方程解題．【詳解】（1）∵四邊形和均為正方形，∴，∴，即，∴與的數(shù)量關(guān)系是相等；位置關(guān)系是垂直故答案為：相等；垂直（2）（1）中結(jié)論成立，理由如下：設(shè)交于O，于N，∵四邊形和均為正方形，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴；（3）連接，∵，∴，∴,，由（2）可得：，∴在中，，則，∴解方程得：，∴，即線段的長(zhǎng)度為．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．【考向三特殊平行四邊形中定值問題】例題：（2022秋·山東棗莊·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，是上異于和的任意一點(diǎn)，且于，于，則為_____．【答案】##2.4【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，，，可求出矩形的面積，的長(zhǎng)，由此可知的面積，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，∵在矩形中，，，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，等面積法求高，掌握矩形的性質(zhì)，三角形的等面積法求高是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┤鐖D，菱形的周長(zhǎng)為20，面積為24，是對(duì)角線上一點(diǎn)，分別作點(diǎn)到直線、的垂線段、，則等于______【答案】【分析】首先利用菱形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而利用三角形面積求法得出答案．【詳解】解：連接，如圖，∵菱形ABCD的周長(zhǎng)為20，∴，∴，∴，而，，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形的對(duì)邊分別平行，四條邊都相等，兩條對(duì)角線互相垂直平分，并且分別平分兩組內(nèi)角．也考查了三角形的面積公式．2．（2022春·四川成都·九年級(jí)成都市第二十中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)是菱形的對(duì)角線延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作，延長(zhǎng)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)，若，，則的值為______．【答案】【分析】設(shè)交于，根據(jù)已知可得，而，即可得到答案.【詳解】設(shè)交于，如圖：在菱形中，，，，，，，中，，，，中，，，中，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出，把轉(zhuǎn)化為．3．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知四邊形為正方形，，點(diǎn)E為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，以為鄰邊作矩形，連接．(1)求證：矩形是正方形；(2)探究：的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見解析(2)是定值，【分析】（1）作出輔助線，得到，然后再判斷，得到，則有，即可判斷矩形為正方形；（2）由四邊形為正方形，四邊形是正方形可知，，故可得，得到，即可判斷，為定值．【詳解】（1）解：如圖所示，過作于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，四邊形為正方形，，，，，，四邊形為矩形，，，即，是正方形對(duì)角線的點(diǎn)，，在和中，，，

，矩形為正方形．（2）的值為定值，矩形為正方形，，，四邊形是正方形，，，，即，在和中，

，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是結(jié)合圖形得出三角形全等．4．（2022春·四川德陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，如圖，矩形ABCD中，AD＝3，DC＝4，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，DA上，AH＝1，連接CF．(1)當(dāng)點(diǎn)G在邊DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)；探究：點(diǎn)F到邊DC的距離FM是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)當(dāng)DG為何值時(shí)，△FCG的面積最小，并求出這個(gè)最小值．【答案】(1)點(diǎn)F到邊DC的距離是定值,定值為1(2)當(dāng)時(shí)，△FCG的面積最小值為【分析】（1）連接GE，根據(jù)得到∠AEG＝∠MGE，得到∠HEG＝∠FGE之后證明△AHE≌△MFG即可得到結(jié)論；（2）由題易知，要使△FCG的面積有最小值則需CG最小，于是DG應(yīng)最大，在中，根據(jù)勾股定理可得的最大值，即的最大值，在中，根據(jù)勾股定理可求的最大值，進(jìn)而求得最小值，進(jìn)而得到答案．(1)解：點(diǎn)F到邊DC的距離是定值．理由：連接GE∵，∴∠AEG＝∠MGE∵，∴∠HEG＝∠FGE∴∠AEG－∠HEG＝∠MGE－∠FGE，即∠AEH＝∠MGF，在△AHE和△MFG中，∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，∴△AHE≌△MFG，∴FM＝HA＝1，即無(wú)論菱形EFGH如何變化，點(diǎn)F到直線CD的距離始終為定值1．(2)解：由題易知：，要使△FCG的面積有最小值，則需CG最小，所以DG應(yīng)最大，在Rt△DHG中，當(dāng)HG最大時(shí)，DG最大，在中，，∴，∴，∵，∴，當(dāng)時(shí)，，∴的最小值，即當(dāng)時(shí)，△FCG的面積最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，掌握定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考向四特殊平行四邊形最小值問題】例題：（2022秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶市鳳鳴山中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，為正方形邊上一點(diǎn)，，，為對(duì)角線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B． C． D．10【答案】A【分析】連接交于P點(diǎn)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，可知的最小值即為線段的長(zhǎng)，求出的長(zhǎng)即可.【詳解】連接，交于P點(diǎn)∵四邊形為正方形∴A點(diǎn)和C點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，可知的最小值即為線段的長(zhǎng).∵，∴的最小值為5故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短，這是一個(gè)將軍飲馬模型.熟練掌握正方形的性質(zhì)并且能夠識(shí)別出將軍飲馬模型是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·江西新余·九年級(jí)新余四中?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形中，，，，分別是直線，上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，沿翻折形成，連接，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，由，推出，又是定值，即可推出當(dāng)、、、共線時(shí)，定值最小，最小值．【詳解】解：如圖作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，．在中，，，．，，，是定值，當(dāng)、、、共線時(shí)，定值最小，最小值，的最小值為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解決最短問題，屬于中考?？碱}型．2．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，中，，，．點(diǎn)D為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作、，垂足為E、F，連接．則長(zhǎng)度的最小值為______．【答案】【分析】解直角三角形求出和，證明四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)有最小值，根據(jù)三角形的面積公式求出長(zhǎng)即可．【詳解】解：∵，，，∴，根據(jù)勾股定理可得，，即,解得：，（舍去），∴，連接，如圖所示：∵，，，∴，∴四邊形是矩形，∴，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)有最小值，∵，∴，∴長(zhǎng)度的最小值是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，垂線段最短，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，作出輔助線，證明是解此題的關(guān)鍵．3．（2022秋·重慶大渡口·九年級(jí)校考期末）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且，連接，則的最小值為______．【答案】【分析】先連接，將轉(zhuǎn)化為，再利用將軍飲馬解決問題即可．【詳解】解：如圖，連接，∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∴，如圖，作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接，即為的最小值，∵，，∴，，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、將軍飲馬問題、全等三角形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，綜合性較強(qiáng)，將轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·陜西漢中·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在正方形中，，為邊上一點(diǎn)，．為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），過點(diǎn)分別作于點(diǎn)、于點(diǎn)，連接、，則的最小值為______．【答案】13【分析】連接、，由四邊形為矩形，得，由正方形的對(duì)稱性得，即知，故當(dāng)最小時(shí)，最小，此時(shí)、、共線，的最小值即為的長(zhǎng)，由，，可得，從而的最小值為13．【詳解】解：連接、，如圖：，，，四邊形為矩形，，四邊形是正方形，由正方形的對(duì)稱性可得，，，當(dāng)最小時(shí)，最小，此時(shí)、、共線，的最小值即為的長(zhǎng)，如圖：，，，，的最小值為13，故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題考查正方形中的動(dòng)點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是把求的最小值問題轉(zhuǎn)化成求的長(zhǎng)．5．（2022春·江西贛州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，在菱形ABCD中，AB=6，∠BAD=120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在菱形的邊BC，CD上滑動(dòng)，滿足∠EAF=60°，連接EF，且E，F(xiàn)不與B，C，D重合．(1)求證：不論E，F(xiàn)在BC，CD上如何滑動(dòng)，總有BE=CF；(2)當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在BC，CD上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形AECF的面積和△CEF的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出最小值．【答案】(1)見解析(2)四邊形AECF的面積不變，面積等于；△CEF的周長(zhǎng)發(fā)生變化，最小值為；理由見解析【分析】（1）先根據(jù)菱形的性質(zhì)求出∠BAC=∠DAC==60°，然后根據(jù)等式的性質(zhì)可得∠1=∠3，再求證△ABC、△ACD為等邊三角形，得∠4=60°，AC=AB進(jìn)而求證△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；（2）根據(jù)△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根據(jù)S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解題；由“垂線段最短”可知：當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短．△AEF的周長(zhǎng)會(huì)隨著AE的變化而變化，求出當(dāng)AE最短時(shí)，△CEF的周長(zhǎng)即可．（1）解：（1）如圖，連接AC，∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，∴∠BAC=∠DAC==60°，AB=BC=AD=CD，∵∠EAF=60°，∴∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，∴∠1=∠3，∵AB=BC=AD=CD，∠BAC=∠DAC=60°，∴△ABC和△ACD為等邊三角形，∴∠4=∠B=60°，AC=AB，∴在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE=CF；（2）解∶四邊形AECF的面積不變，△CEF的周長(zhǎng)發(fā)生變化．理由如下：由（1）得△ABE≌△ACF，則S△ABE=S△ACF，AE=AF，故S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，作AH⊥BC于H點(diǎn)，則BH=3，S四邊形AECF=S△ABC==，∵AE=AF，∠EAF=60°，∴△AEF是等邊三角形，∴EF=AE，∴△CEF的周長(zhǎng)=CE+CF+EF=CE+BE+EF=BC+EF=BC+AE，由“垂線段最短”可知：當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短．故△AEF的周長(zhǎng)會(huì)隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時(shí)，△CEF的周長(zhǎng)會(huì)最小，最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)；三角形全等的判定與性質(zhì)；垂線段的性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【考向五特殊平行四邊形中點(diǎn)四邊形問題】例題：（2022春·安徽合肥·八年級(jí)校考期中）如圖，、、、分別是四邊形四條邊的中點(diǎn)，順次連接、、、得四邊形，連接、，下列命題不正確的是（）A．當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，四邊形是菱形B．當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，四邊形是矩形C．當(dāng)四邊形滿足時(shí)，四邊形是菱形D．當(dāng)四邊形滿足，時(shí)，四邊形是矩形【答案】C【分析】先證四邊形EFGH是平行四邊形；再根據(jù)選項(xiàng)條件結(jié)合矩形、菱形的判定定理進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，分別是，的中點(diǎn)，，，，分別是，的中點(diǎn)，，，，，四邊形是平行四邊形；，分別是，的中點(diǎn)，、分別是、中點(diǎn)，，，當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，，，四邊形是菱形，故A正確，不符合題意；當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，，，，，四邊形是菱形，故B正確，不符合題意；當(dāng)四邊形滿足時(shí)，不能證明四邊形是菱形，故C錯(cuò)誤，符合題意；當(dāng)四邊形滿足，時(shí)，∵，，∴AC是BD的垂直平分線，即∵，∴∠HEF=∠EFG=∠DGH=∠GHE=90°∴四邊形是矩形，故D正確，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了中點(diǎn)四邊形，靈活利用矩形、菱形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵【變式訓(xùn)練】1．（2022春·北京西城·八年級(jí)?？计谥校┧倪呅蔚膶?duì)角線，交于點(diǎn)，點(diǎn)，，，分別為邊，，，的中點(diǎn)．有下列四個(gè)推斷：①對(duì)于任意四邊形，四邊形都是平行四邊形；②若四邊形是平行四邊形，則與交于點(diǎn)；③若四邊形是矩形，則四邊形也是矩形；④若四邊形是正方形，則四邊形也一定是正方形．所有正確推斷的序號(hào)是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案】A【分析】根據(jù)三角形中位線定理、平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理判斷即可．【詳解】點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，是的中位線，是的中位線，是的中位線，是的中位線，，，，四邊形是平行四邊形，正確；若四邊形是平行四邊形，∴,∵分別為的中點(diǎn)，∴∴四邊形是平行四邊形，由（1）可得四邊形是平行四邊形，與互相平分，的中點(diǎn)就是的中點(diǎn)，則與交于點(diǎn)正確；若四邊形是矩形，則，，四邊形是菱形，不是矩形；不正確；四邊形中，若，則四邊形是正方形，若四邊形是正方形，則四邊形不一定是正方形，不正確；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、菱形的判定、正方形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形中，，分別是，的中點(diǎn)，，分別是對(duì)角線，的中點(diǎn)，依次連接，，，，連接，．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）當(dāng)時(shí)，與有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)AB=CD時(shí)，EF⊥GH，理由見解析【分析】（1）利用三角形的中位線定理可以證得四邊形EGFH的一組對(duì)邊平行且相等，即可證得；（2）根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：∵四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AD、BC、BD、AC的中點(diǎn)，∴FG=CD，F(xiàn)G∥CD．HE=CD，HE∥CD．∴FG=EH，F(xiàn)G∥EH，∴四邊形EGFH是平行四邊形；（2）解：當(dāng)AB=CD時(shí)，EF⊥GH，理由：由（1）知四邊形EGFH是平行四邊形，當(dāng)AB=CD時(shí)，EH=CD，EG=AB，∴EG=EH，∴四邊形EGFH是菱形，∴EF⊥GH．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理的應(yīng)用，平行四邊形和菱形的判定，掌握三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半和菱形的對(duì)角線互相垂直是解題的關(guān)鍵．3．（2021春·上海長(zhǎng)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，、是四邊形的對(duì)角線，點(diǎn)E、F、G、H分別是線段、、、上的中點(diǎn)（1）求證：線段、互相平分；（2）四邊形滿足什么條件時(shí)，？證明你得到的結(jié)論．【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)AB=CD時(shí)，EG⊥FH，理由見解析【分析】（1）連接EF、GF、GH、HE，根據(jù)三角形中位線定理得到EF∥AB，EF=AB，GH∥AB，GH=AB，證明四邊形EFGH為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）根據(jù)菱形的判定定理得到平行四邊形EFGH是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)定理證明即可．【詳解】解：（1）證明：連接EF、GF、GH、HE，∵點(diǎn)E、F分別是線段AD、DB的中點(diǎn)，∴EF∥AB，EF=AB，∵點(diǎn)G、H分別是線段BC、AC的中點(diǎn)，∴GH∥AB，GH=AB，∴EF∥GH，EF=GH，∴四邊形EFGH為平行四邊形，∴線段EG、FH互相平分；（2）解：當(dāng)AB=CD時(shí)，EG⊥FH，理由如下：∵點(diǎn)G、F分別是線段BC、BD的中點(diǎn)，∴GF=CD，∵AB=CD，∴EF=GF，∴平行四邊形EFGH是菱形，∴EG⊥FH．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理，掌握菱形的對(duì)角線互相垂直是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋·陜西寶雞·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，四邊形四條邊上的中點(diǎn)分別為、、、，順次連接、、、，得到四邊形即四邊形的中點(diǎn)四邊形．(1)四邊形的形狀是______，請(qǐng)證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)四邊形的對(duì)角線滿足______條件時(shí)，四邊形是菱形；(3)你學(xué)過的哪種特殊的平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形？請(qǐng)寫出一種．【答案】(1)平行四邊形．證明見解析(2)；(3)矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形．【分析】（1）連接，根據(jù)三角形的中位線定理得到，，，，推出，，，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形是平行四邊形；（2）根據(jù)有一組是鄰邊的平行四邊形是菱形，可知當(dāng)四邊形的對(duì)角線滿足的條件時(shí)，四邊形是菱形；（3）矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形．根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得，，再根據(jù)矩形對(duì)角線相等，然后根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形．【詳解】（1）四邊形的形狀是平行四邊形．理由如下：如圖，連接．、分別是、中點(diǎn)，，，同理，，，，四邊形是平行四邊形；故答案為：平行四邊形；（2）當(dāng)四邊形的對(duì)角線滿足的條件時(shí)，四邊形是菱形．理由如下：如圖，連接、．、、、分別為四邊形四條邊上的中點(diǎn)，，，，，，，又四邊形是平行四邊形平行四邊形是菱形；故答案為：；（3）矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形．理由如下：連接、．、、、分別為四邊形四條邊上的中點(diǎn)，，，，，，，四邊形是矩形，，，四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，熟練掌握各定理是解決此題的關(guān)鍵．5．（2021春·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期中）四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊的中點(diǎn)，順次連接各邊中點(diǎn)得到的新四邊形EFGH稱為中點(diǎn)四邊形．（1）我們知道：無(wú)論四邊形ABCD怎樣變化，它的中點(diǎn)四邊形EFGH都是平行四邊形．特殊的：①當(dāng)對(duì)角線時(shí)，四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形為__________形；②當(dāng)對(duì)角線時(shí)，四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是__________形．（2）如圖：四邊形ABCD中，已知，且，請(qǐng)利用（1）中的結(jié)論，判斷四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀并進(jìn)行證明．【答案】（1）①菱；②矩；（2）菱形，菱形見解析【分析】（1）①連接AC、BD，根據(jù)三角形中位線定理證明四邊形EFGH都是平行四邊形，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明；②根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形證明；（2）分別延長(zhǎng)BA、CD相交于點(diǎn)M，連接AC、BD，證明，得到AC=DB，根據(jù)（1）①證明即可．【詳解】（1）解：（1）①連接AC、BD，∵點(diǎn)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊的中點(diǎn)，∴EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，∴EH∥FG，同理EF∥HG，∴四邊形EFGH都是平行四邊形，∵對(duì)角線AC=BD，∴EH=EF，∴四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是菱形；②當(dāng)對(duì)角線AC⊥BD時(shí)，EF⊥EH，∴四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是矩形；故答案為：菱；矩；（2）四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形．理由如下：分別延長(zhǎng)BA、CD相交于點(diǎn)M，連接AC、BD，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，，在和中，，∴，∴，∴四邊形ABCD的對(duì)角線相等，中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形、菱形的判定、中點(diǎn)四邊形的定義，掌握中點(diǎn)四邊形的概念、矩形的判定定理、菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【考向六特殊平行四邊形中的動(dòng)態(tài)問題】例題：（2022春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)．點(diǎn)M是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)當(dāng)時(shí)，求證：四邊形是矩形；(3)填空：當(dāng)?shù)闹禐闀r(shí)，四邊形是菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)2【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得，然后利用“”證明和全等，然后利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證明結(jié)論成立；（2）可證是等邊三角形，則即可證明；（3）由，得是等邊三角形，則即可證明．【詳解】（1）∵四邊形是菱形，∴，∴，又∵點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，∴