專題22相似三角形的常見模型（10大題型）【題型目錄】題型一A字型相似題型二8字型相似題型三AX型相似題型四母子型相似題型五三角形內(nèi)接矩形相似題型六射影定理相似題型七旋轉(zhuǎn)相似題型八k字型相似題型九折疊相似題型十動態(tài)相似【經(jīng)典例題一A字型相似】【模型解讀】①如圖，在中，點D在上，點E在上，，則，．②模型拓展1：斜交A字型條件：，圖2結(jié)論：；③模型拓展2：如圖，∠ACD＝∠B?△ADC∽△ACB?．1．（2023秋·江蘇無錫·九年級江蘇省天一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，、分別是、邊上的高，連接，若，則的長為(

)

A． B． C． D．2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，，，AC為對角線，E、F分別為邊AB、CD上的動點，且于點M，連接AF、CE，求的最小值是．3．（2023秋·上海長寧·九年級上海市第三女子初級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交邊BC于點D，過點D作CA的平行線，交邊AB于點E．(1)求線段DE的長；(2)取線段AD的中點M，連接BM，交線段DE于點F，延長線段BM交邊AC于點G，求的值．4．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）中，，，于，點在線段上，點在射線上，連接，，滿足．(1)如圖1，若，，求的長；(2)如圖2，若，求證：；(3)如圖3，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，點為的中點，連接，若，．當最小時，直接寫出的面積．【經(jīng)典例題二8字型相似】【模型解讀】①如圖1，AB∥CD?△AOB∽△COD?；②如圖2，∠A＝∠D?△AOB∽△DOC?．③模型拓展：如圖，∠A＝∠C?△AJB∽△CJD?．1．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是AD上一點，，連接BE交AC于點G，延長BE交CD的延長線于點F，則的值為（）A． B． C． D．2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，正方形邊長為，點是上一點，且，連接，過作，垂足為，交對角線于，將沿翻折得到，交對角線于，則．3．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）（1）某學(xué)校“學(xué)習(xí)落實”數(shù)學(xué)興趣小組遇到這樣一個題目如圖，在△ABC中，點O在線段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝2：1，求AB的長經(jīng)過數(shù)學(xué)小組成員討論發(fā)現(xiàn)，過點B作BD∥AC，交AO的延長線于點D，通過構(gòu)造△ABD就可以解決問題（如圖2）請回答：∠ADB＝

°，AB＝

（2）請參考以上解決思路，解決問題：如圖3在四邊形ABCD中對角線AC與BD相交于點O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝2：1，求DC的長4．（2023春·河南·九年級專題練習(xí)）綜合與實踐：數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們根據(jù)下面情境提出問題并解答．問題情境：在中，點P是邊上一點．將沿直線折疊，點D的對應(yīng)點為E．“興趣小組”提出的問題是：如圖1，若點P與點A重合，過點E作，與交于點F，連接，則四邊形是菱形．(1)數(shù)學(xué)思考：請你證明“興趣小組”提出的問題；(2)拓展探究：“智慧小組”提出的問題是：如圖2，當點P為的中點時，延長交于點F，連接．試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．請你幫助他們解決此問題．(3)問題解決：“創(chuàng)新小組”在前兩個小組的啟發(fā)下，提出的問題是：如圖3，當點E恰好落在邊上時，，，．則的長為___________．（直接寫出結(jié)果）【經(jīng)典例題三AX型相似】【模型解讀】A字型及X字型兩者相結(jié)合，通過線段比進行轉(zhuǎn)化.1、（2022·河南新鄉(xiāng)·九年級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AC于點E，交AD于點F，交CD的延長線于點G，若AF＝2FD，則的值為（）A． B． C． D．2、（2022·河北石家莊·九年級期末）已知中，，（如圖）．以線段為邊向外作等邊三角形，點是線段的中點，連接并延長交線段于點．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）連接，交于點．①若，求的長；②作，垂足為，求證：．3、（2022·河南·鶴壁市淇濱中學(xué)九年級期中）已知，平行四邊形中，點是的中點，在直線上截取，連接，交于，則___________．4、（2022·湖南株洲·九年級期末）如圖（1）所示：等邊△ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，過D點的直線B1C1⊥AC于C1交AB的延長線于B1．（1）請你探究：，是否都成立？（2）請你繼續(xù)探究：若△ABC為任意三角形，線段AD為其內(nèi)角角平分線，請問一定成立嗎？并證明你的判斷．（3）如圖（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90?，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于點E，試求的值．【經(jīng)典例題四母子型相似】【模型解讀】如圖為斜“A”字型基本圖形．當時，，則有．．如圖所示，當E點與C點重合時，為其常見的一個變形，即子母型．當時，，則有．1．（2021春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝CA＝6，D為BC邊的中點，點E是CA延長線上一點，把ACDE沿DE翻折，點C落在處，與AB交于點F，連接．當時，BC’的長為（）A． B． C． D．2．（2022秋·江西撫州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，點D在AB上，請再添一個適當?shù)臈l件，使，那么可添加的條件是．3．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，中，點在邊上，且，若，，則的長為．4．（2023春·陜西榆林·九年級?？计谥校静僮靼l(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度，的頂點都在格點上，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，點的對應(yīng)點分別是，，連接，則______．【問題探究】（2）如圖2，在中，為斜邊上的一點，點分別在上，，，且四邊形是正方形，求陰影部分的面積．小明運用圖形旋轉(zhuǎn)的方法，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到（如圖3所示）請你利用小明的方法求陰影部分的面積；【問題解決】（3）如圖4，有一個四邊形的試驗田，其中米，米，，與互余．點處是一個肥料池，點是的中點，且點到的距離等于之間的距離，為使灌溉方便，現(xiàn)要沿修建一條水渠，請你幫助管理者計算出水渠的長度．【經(jīng)典例題五三角形內(nèi)接矩形相似】【模型解讀】由之前的基本模型（A型或AX型）推導(dǎo)出來的。結(jié)論：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，1．（2022秋·山東日照·九年級日照市新營中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，點E在上，于點F，，已知的面積為a，的面積為b，則矩形的面積為（）A． B． C． D．2．（2022秋·安徽阜陽·九年級?？计谥校┤鐖D所示，在中，，，．

（1）若四邊形為的內(nèi)接正方形，則正方形的邊長為；（2）若四邊形為的內(nèi)接矩形，當這個矩形面積最大時，則矩形的邊長為．3．（2022秋·湖北宜昌·九年級校考期中）如圖，在中，，高．矩形的一邊在邊上，E、F兩點分別在、上，交于點H．

(1)若矩形為正方形，求該正方形的邊長．(2)設(shè)，當x為何值時，矩形的面積最大？并求其最大值．4．（2023春·吉林長春·九年級校考階段練習(xí)）如圖①，在中，，，，，動點從點出發(fā)，沿射線以每秒個單位長度的速度運動，過點作的垂線交于點，以為邊向上作矩形，點在或的延長線上，，當點與點重合時點停止運動，設(shè)點運動的時間為（秒）．

(1)求的長；(2)當平分矩形的周長時，求的值；(3)當點在的直角邊的垂直平分線上時，直接寫出的值；(4)如圖②，當點在的延長線上時，、分別交邊于點、，當與圖中某個三角形全等時，求的值．【經(jīng)典例題六射影定理相似】【模型解讀】①如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常見的結(jié)論有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.②拓展：（1）正方形、長方形中經(jīng)常會出現(xiàn)射影定理模型，如圖，在和內(nèi)均有射影定理模型．（2）如圖，在圓中也會出現(xiàn)射影定理模型．1、（2022秋?青羊區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E為AB上一點，分別以ED、EC為折痕將兩個角(∠A、∠B)向內(nèi)折起，點A、B恰好落在CD邊的點F處，若AD＝3，BC＝5，則EF的長是（）A.eq\r(15)B．2eq\r(15)C.eq\r(17)D．2eq\r(17)2、（2022秋?杜爾伯特縣期末）如圖所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分別為D、E兩點，則圖中與△ABC相似的三角形有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個3、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．4、（2022秋?汝州市校級月考）中，，，點E為的中點，連接并延長交于點F，且有，過F點作于點H．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，求的長．【經(jīng)典例題七旋轉(zhuǎn)相似】【模型解讀】①如圖，若△ABC∽△ADE，則△ABD∽△ACE.②如圖所示，和都是等腰直角三角形，的延長線與相交于點P，則，且相似比為，與的夾角為．總結(jié)：旋轉(zhuǎn)相似型中由公共旋轉(zhuǎn)頂點、一點及其旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點組成的三角形與由公共旋轉(zhuǎn)頂點、另一點及其旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點組成的三角形相似．③如圖所示，，則，，且．1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，中，，，，點，分別在，上，，．把繞點旋轉(zhuǎn)，得到，點落在線段上．若點在的平分線上，則的長為（

）A． B． C． D．2．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，點A、點B在x軸上，OB=5，OA=2，點C是y軸上一動點，連接，將繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，中，點在邊上，且，若，，則的長為．4．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，點D是等邊邊上的一動點(不與端點重合)，點D繞點C引順時針方向旋轉(zhuǎn)得點E，所得的邊與交于點F，則的最小值為．

5．（2023·山西長治·統(tǒng)考模擬預(yù)測）綜合與實踐問題情境：在和中，，．將的頂點放在底邊的中點處，的頂點與底邊的中點重合．猜想證明：（1）如圖1，與的交點記為，與的交點記為，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；問題解決：將繞點旋轉(zhuǎn)，邊與交于點．（2）如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當平分時，求線段的長；（3）如圖3，在旋轉(zhuǎn)過程中，當時，直接寫出線段的長．6．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，，將邊繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，在射線上取點D，使得．請求出線段與的數(shù)量關(guān)系；（2）類比探究：如圖2，若，作，且，其他條件不變，則線段與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?如果變化，請寫出變化后的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；（3）拓展延伸：如圖3，正方形的邊長為6，點E是邊上一點，且，把線段逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，直接寫出線段的長．

【經(jīng)典例題八k字型相似】【模型解讀】(1)“三垂直”模型：如圖1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.(2)“一線三等角”模型：如圖2，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點，則△ACE∽△ABC∽△CDE.補充：其他常見的一線三等角圖形1．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，邊長為10的等邊中，點在邊上，且，將含30°角的直角三角板（）繞直角頂點旋轉(zhuǎn)，、分別交邊、于、．連接，當時，長為（

）A．6 B． C．10 D．2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，為等邊三角形，點D，E分別在邊AB，AC上，，將沿直線DE翻折得到，當點F落在邊BC上，且時，的值為．3．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，，將邊繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，在射線上取點D，使得．請求出線段與的數(shù)量關(guān)系；（2）類比探究：如圖2，若，作，且，其他條件不變，則線段與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?如果變化，請寫出變化后的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；（3）拓展延伸：如圖3，正方形的邊長為6，點E是邊上一點，且，把線段逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，直接寫出線段的長．

4．（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）（1）問題如圖1，在四邊形中，點P為上一點，當時，求證：．（2）探究若將角改為銳角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由．（3）應(yīng)用如圖3，在中，，，以點A為直角頂點作等腰．點D在上，點E在上，點F在上，且，若，求的長．【經(jīng)典例題九折疊相似】1（2022·河北邯鄲·?？既＃┤鐖D，在矩形中，，．將矩形沿對角線折疊，點B的對稱點為，連接，則的長是（

）A．1.5 B． C．1.4 D．12．（2023秋·河南南陽·九年級?？计谀┤鐖D，在中，，，，點、分別在邊、上，連接，沿折疊該三角形，使點的對應(yīng)點落在邊上，若是直角三角形，則的長為．

3．（2023春·浙江杭州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，將矩形沿折疊，使點D落在邊的點E處，過點E作交于點G，連接．

(1)求證：四邊形是菱形．(2)若，，求的長．4．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）（1）如圖，正方形中，點為邊上一點，連接，過點作交邊于點，將沿直線折疊后，點落在點處，連接，當點恰好落在上時，求的值；（2）在（1）的條件下，如圖，若把正方形改成菱形，且，，其他條件不變，請求出的值；

【經(jīng)典例題十動態(tài)相似】1．（2023春·重慶渝中·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，，D為的中點，若動點E以的速度從A點出發(fā)，沿著A→B的方向運動，設(shè)E點的運動時間為t秒（），連接，當以B、D、E為頂點的三角形與相似時，t的值為（

）

A．2 B．2.5或3.5 C．2或3.5 D．2或2.52．（2023·陜西咸陽·?？家荒＃┤鐖D，在中，連接，恰好與垂直，，，點O是對角線上一動點（不與點A、C重合），過點O作，交于點E，連接，點F是的中點，連接，則的最小值為．

3．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱德強學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系內(nèi)已知點和點的坐標分別為，，動點從點開始在線段上以每秒1個單位長度的速度向點移動，同時動點從點開始在線段上以每秒2個單位長度的速度向點移動，設(shè)點，移動的時間為秒．

(1)求直線的解析式；(2)當為何值時，與相似？(3)當為何值時，的面積為個平方單位？4．（2023春·山東青島·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在中，，．動點P從點B出發(fā)，沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點A運動，過P點作交于點H；同時動點Q從點A出發(fā)，沿射線以每秒2個單位長度的速度向點C運動．設(shè)運動的時間為t秒（）．

(1)點C到邊的距離為_________；_________（用含t的代數(shù)式表示）(2)是否存在某一時刻t，使存在，求t的值；不存在說明理由；(3)是否存在某一時刻t，使點P、Q、D共線？存在，求t的值；不存在說明理由．【重難點訓(xùn)練】1．（2021·山東臨沂·三模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，則△ADE與△ABC的面積之比為（

）A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：52．（2021·江蘇無錫·九年級專題練習(xí)）如圖，正方形的對角線、相交于點，是的中點，交于點，若，則等于A．3 B．4 C．6 D．83．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，邊長為10的等邊中，點在邊上，且，將含30°角的直角三角板（）繞直角頂點旋轉(zhuǎn)，、分別交邊、于、．連接，當時，長為（

）A．6 B． C．10 D．4．（2020·安徽·校聯(lián)考三模）如圖，為的邊上一點，，，則的長為（

）A． B． C． D．5．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市虹橋初級中學(xué)校校考期中）如圖，在中，點D在BC上，，連接AD，，則線段AD的長為．

6．（2023秋·江蘇揚州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知D是等邊邊AB上的一點，現(xiàn)將折疊，使點C與D重合，折痕為EF，點E、F分別在AC和BC上．如果，則的值為．7．（2023春·廣西南寧·八年級校考階段練習(xí)）如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點，F(xiàn)是AE的中點，CF交BE于點G，若，則．8．（2021秋·河北邢臺·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，在中，，，，點為邊上一點，則點與點的最短距離為．如圖2，連接，作，使得，交于，則當時，的長為．9．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如