專項21切線的判定與性質的綜合應用【類型一：有公共點：連半徑，證垂直】【典例1】（2021秋?吉林期末）已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點P，PD⊥AC于點D．（1）求證：PD是⊙O的切線；（2）若∠CAB＝120°，AB＝6，求BC的值．【變式1-1】（2021秋?西城區(qū)校級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分線，點O在AB上，以點O為圓心，OB為半徑的圓經(jīng)過點D，交BC于點E．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若OB＝10，CD＝8，求CE的長．【變式1-2】（2021秋?溫嶺市期末）如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA＝∠CBD．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AC＝8，CD＝12，求半徑的長度．【典例2】（2020?中寧縣一模）如圖，△ABC內接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直徑，點P是CD延長線上一點，且AP＝AC．（1）求證：PA是⊙O的切線；（2）若PD＝1，求⊙O的直徑．【變式2-1】（2021秋?甘井子區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與AC，BC分別交于點D和點E，過點E作EF⊥AC，垂足為F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若CD＝4，EF＝3，求⊙O半徑．【變式2-2】（2021秋?天津期末）如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的角平分線交⊙O于點D，DE⊥AC于E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AB＝10，AC＝6，求ED的長．【典例3】（2022?東明縣一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點E，在AC上取一點D，使得DE＝AD，（1）求證：DE是⊙O的切線．（2）當BC＝10，AD＝4時，求⊙O的半徑．【變式3-1】（2021秋?金湖縣期末）如圖，四邊形OAEC是平行四邊形，以O為圓心，OC為半徑的圓交CE于D，延長CO交⊙O于B，連接AD、AB，AB是⊙O的切線．（1）求證：AD是⊙O的切線．（2）若⊙O的半徑為4，AB＝8，求平行四邊形OAEC的面積．【類型一：沒有公共點：作垂直，證半徑】【典例4】（2020?八步區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC的角平分線交BC于點D，E為AB上一點，DE＝DC，以D為圓心，DB的長為半徑作⊙D，AB＝5，BE＝3．（1）求證：AC是⊙D的切線；（2）求線段AC的長．【變式4-1】（2021秋?莆田期末）如圖，半圓O的直徑是AB，AD、BC是兩條切線，切點分別為A、B，CO平分∠BCD．（1）求證：CD是半圓O的切線．（2）若AD＝20，CD＝50，求BC和AB的長．1.（2021秋?龍沙區(qū)期末）如圖，以點O為圓心，AB長為直徑作圓，在⊙O上取一點C，延長AB至點D，連接DC，∠DCB＝∠DAC，過點A作AE⊥AD交DC的延長線于點E．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若CD＝4，DB＝2，求AE的長．2．（2021秋?聊城期末）如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，AC平分∠BAD，且AD⊥CD于點D．（1）求證：DC是⊙O的切線；（2）若AD＝4，CD＝2，求⊙O的半徑．3．（2022春?長興縣月考）如圖，已知等邊△ABC的邊長為6，點O是AB邊上的一點，以OA為半徑的⊙O與邊AC，AB分別交于點D，E，過點D作DF⊥BC于點F．（1）求證：DF是⊙O的切線；（2）連結EF，當EF是⊙O的切線時，求⊙O的半徑．4．（2022?西湖區(qū)校級開學）如圖，已知AB是⊙O的直徑，⊙O過BC的中點D，且DE⊥AC．（1）求證：DE是⊙O的切線．（2）若∠C＝30°，CD＝10cm，求⊙O的半徑．5．（2021秋?曲靖期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D是AC上一點，DQ⊥AB，DQ＝DC，點O在AB上，以點O為圓心，OB長為半徑的圓經(jīng)過點D，交BC于點E、交AB于點F．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為5，CD＝4，求CE的長．6．（2021秋?海淀區(qū)期末）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，連接AC，過A作AF⊥AC，交⊙O于點F，連接DF，過B作BG⊥DF，交DF的延長線于點G．（1）求證：BG是⊙O的切線；（2）若∠DFA＝30°，DF＝4，求FG的長．7．（2021秋?淮安區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點D，過點D作DE⊥AC，交AC于點E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若⊙O的直徑為5，BC＝8，求DE的長．8．（2021秋?平羅縣期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，∠CAB的平分線AD交于點D，過點D作DE∥BC交AC的延長線于點E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若DE＝2，CE＝1，求BD的長度．9．（2021秋?博白縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AC邊為直徑作⊙O交BC邊于點D，過點D作DE⊥AB于點E，ED、AC的延長線交于點F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若AC＝10，CD＝6，求DE的長．10．（2022?任城區(qū)三模）如圖，△ABC內接于⊙O，AB是直徑，⊙O的切線PC交BA的延長線于點P，OF∥BC交AC于點E，交PC于點F，連接AF；（1）判斷AF與⊙O的位置關系并說明理由．（2）若⊙O的半徑為4，AF＝3，求AC的長．專項21切線的判定與性質的綜合應用【類型一：有公共點：連半徑，證垂直】【典例1】（2021秋?吉林期末）已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點P，PD⊥AC于點D．（1）求證：PD是⊙O的切線；（2）若∠CAB＝120°，AB＝6，求BC的值．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OP＝OB，∴∠B＝∠OPB，∴∠OPB＝∠C，∴OP∥AC，∵PD⊥AC，∴OP⊥PD，∴PD是⊙O的切線；（2）解：連接AP，如圖，∵AB為直徑，∴∠APB＝90°，∴BP＝CP，∵∠CAB＝120°，∴∠BAP＝60°，在Rt△BAP中，AB＝6，∠B＝30°，∴AP＝AB＝3，∴BP＝AP＝3，∴BC＝2BP＝6．【變式1-1】（2021秋?西城區(qū)校級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分線，點O在AB上，以點O為圓心，OB為半徑的圓經(jīng)過點D，交BC于點E．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若OB＝10，CD＝8，求CE的長．【解答】（1）證明：連接OD，如圖，∵BD為∠ABC平分線，∴∠1＝∠2，∵OB＝OD，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，∴AC是⊙O的切線；（2）解：過O作OG⊥BC，連接OE，則四邊形ODCG為矩形，∴GC＝OD＝OB＝10，OG＝CD＝8，在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG＝6，∵OG⊥BE，OB＝OE，∴BE＝2BG＝12．解得：BE＝12，∵AC是⊙O的切線，∴CD2＝CE?CB，即82＝CE（CE+12），解得：CE＝4或CE＝﹣16（舍去），即CE的長為4．【變式1-2】（2021秋?溫嶺市期末）如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA＝∠CBD．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AC＝8，CD＝12，求半徑的長度．【解答】（1）證明：連接OD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∵∠CDA＝∠CBD，∴∠DAB+∠CDA＝90°，∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠CDA+∠ADO＝90°，∴∠CDO＝90°，∵OD是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：在Rt△CDO中，CD2+OD2＝OC2，∴122+r2＝（8+r）2，∴r＝5，∴半徑的長度為5．【典例2】（2020?中寧縣一模）如圖，△ABC內接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直徑，點P是CD延長線上一點，且AP＝AC．（1）求證：PA是⊙O的切線；（2）若PD＝1，求⊙O的直徑．【解答】（1）證明：連接OA，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切線．（2）設該圓的半徑為x．在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，∴PO＝2OA＝OD+PD，又∵OA＝OD，∴1+x＝2x，解得：x＝1∴OA＝PD＝1，所以⊙O的直徑為2【變式2-1】（2021秋?甘井子區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與AC，BC分別交于點D和點E，過點E作EF⊥AC，垂足為F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若CD＝4，EF＝3，求⊙O半徑．【解答】（1）證明：連接OE，∵EF⊥AC，∴∠EFD＝∠EFC＝90°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OB＝OE，∴∠B＝∠OEB，∴∠OEB＝∠C，∴OE∥AC，∴∠OEF＝∠EFC＝90°，∵OE是⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線；（2）解：過點O作OG⊥AD，垂足為G，∴∠OGF＝90°，∵∠OEF＝∠EFG＝90°，∴四邊形OEFG是矩形，∴OG＝EF＝3，設⊙O的半徑為x，∴AB＝AC＝2x，∵CD＝4，∴AD＝AC﹣CD＝2x﹣4，∵OG⊥AD，∴AG＝AD＝x﹣2，在Rt△OAG中，AG2+OG2＝OA2，∴（x﹣2）2+9＝x2，∴x＝，∴⊙O的半徑為．【變式2-2】（2021秋?天津期末）如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的角平分線交⊙O于點D，DE⊥AC于E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AB＝10，AC＝6，求ED的長．【解答】（1）證明：連接OD，∵DE⊥AE，∴∠AED＝90°，∵AD平分∠BAE，∴∠CAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥DO，∴∠EDO＝180°﹣∠E＝90°，∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：連接BC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ECB＝180°﹣∠ACB＝90°，∵∠E＝∠EDO＝90°，∴四邊形ECFD是矩形，∴DE＝CF，∠CFD＝90°，∵AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝＝8，∵OD⊥BC，∴CF＝BC＝4，∴DE＝CF＝4，∴ED的長為4【典例3】（2022?東明縣一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點E，在AC上取一點D，使得DE＝AD，（1）求證：DE是⊙O的切線．（2）當BC＝10，AD＝4時，求⊙O的半徑．【解答】（1）證明：連接OE、OD，在△AOD和△EOD中，，∴△AOD≌△EOD（SSS），∴∠OED＝∠BAC＝90°，∴DE是⊙O的切線；（2）解：∵△AOD≌△EOD，∴∠AOD＝∠EOD，∵OB＝OE，∴∠B＝∠OEB，∵∠AOE＝∠B+∠OEB，∴∠BEO＝∠EOD，∴OD∥BC，又AO＝BO，∴OD＝BC＝5，由勾股定理得，AO＝＝3，則⊙O的半徑為3．【變式3-1】（2021秋?金湖縣期末）如圖，四邊形OAEC是平行四邊形，以O為圓心，OC為半徑的圓交CE于D，延長CO交⊙O于B，連接AD、AB，AB是⊙O的切線．（1）求證：AD是⊙O的切線．（2）若⊙O的半徑為4，AB＝8，求平行四邊形OAEC的面積．【解答】（1）證明：連接OD，∵AB與⊙O相切于點B，∴∠OBA＝90°，∵四邊形OAEC是平行四邊形，∴AO∥EC，∴∠AOD＝∠ODC，∠AOB＝∠OCD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠AOB＝∠AOD，又∵OA＝OA，OD＝OB，∴△AOB≌△AOD（SAS），∴∠OBA＝∠ODA，∴∠ODA＝90°，∵OD是⊙O的半徑，∴AD為⊙O的切線；（2）解：∵OB＝4，AB＝8，∴S△ABO＝AB?OB＝×4×8＝16，∵△AOB≌△AOD，∴S△AOD＝16，∴平行四邊形OAEC的面積＝2S△AOD＝32．【類型一：沒有公共點：作垂直，證半徑】【典例4】（2020?八步區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC的角平分線交BC于點D，E為AB上一點，DE＝DC，以D為圓心，DB的長為半徑作⊙D，AB＝5，BE＝3．（1）求證：AC是⊙D的切線；（2）求線段AC的長．【解答】（1）證明：過點D作DF⊥AC于F；∵AB為⊙D的切線，∴∠B＝90°，∴AB⊥BC，∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，∴BD＝DF，∴AC與⊙D相切；（2）解：在△BDE和△DCF中；，∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），∴EB＝FC．∵AB＝AF，∴AB+EB＝AF+FC，即AB+EB＝AC，∴AC＝5+3＝8．【變式4-1】（2021秋?莆田期末）如圖，半圓O的直徑是AB，AD、BC是兩條切線，切點分別為A、B，CO平分∠BCD．（1）求證：CD是半圓O的切線．（2）若AD＝20，CD＝50，求BC和AB的長．【解答】（1）證明：過點O作OE⊥CD，垂足為點E，∵BC是半圓O的切線，B為切點，∴OB⊥BC，∵CO平分∠BCD，∴OE＝OB，∵OB是半圓O的半徑，∴CD是半圓O的切線；（2）解：過點D作DF⊥BC，垂足為點F，∴∠DFB＝90°，∵AD是半圓O的切線，切點為A，∴∠DAO＝90°，∵OB⊥BC，∴∠OBC＝90°，∴四邊形ADFB是矩形，∴AD＝BF＝20，DF＝AB，∵AD，CD，BC是半圓O的切線，切點分別為A、E、B，∴DE＝AD＝20，EC＝BC，∵CD＝50，∴EC＝CD﹣DE＝50﹣20＝30，∴BC＝30，∴CF＝BC﹣BF＝10，在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF＝＝＝20，∴AB＝DF＝20，∴BC的長為30，AB的長為20．1.（2021秋?龍沙區(qū)期末）如圖，以點O為圓心，AB長為直徑作圓，在⊙O上取一點C，延長AB至點D，連接DC，∠DCB＝∠DAC，過點A作AE⊥AD交DC的延長線于點E．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若CD＝4，DB＝2，求AE的長．【解答】（1）證明：連接OC，OE，如圖，∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，即∠BCO+∠1＝90°，又∵∠DCB＝∠CAD，∵∠CAD＝∠OCA，∴∠OCA＝∠DCB，∴∠DCB+∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB，∴OC2+CD2＝OD2，∴OB2+42＝（OB+2）2，∴OB＝3，∴AB＝6，∵AE⊥AD，AB是⊙O的直徑，∴AE是⊙O的切線，∵CD是⊙O的切線；∴AE＝CE，∵AD2+AE2＝DE2，∴（6+2）2+AE2＝（4+AE）2，解得AE＝6．2．（2021秋?聊城期末）如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，AC平分∠BAD，且AD⊥CD于點D．（1）求證：DC是⊙O的切線；（2）若AD＝4，CD＝2，求⊙O的半徑．【解答】（1）證明：如圖中，連接OC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB＝∠ACO，∴AD∥OC，∵AD⊥CD，∴OC⊥DC，∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：如圖，過點O作OE⊥AD于點E，得矩形OEDC，∴OE＝CD＝2，DE＝OC，∴AE＝AD﹣DE＝4﹣OC＝4﹣OA，在Rt△AEO中，根據(jù)勾股定理，得OA2＝AE2+OE2，∴OA2＝（4﹣OA）2+22，解得OA＝．∴⊙O的半徑為．3．（2022春?長興縣月考）如圖，已知等邊△ABC的邊長為6，點O是AB邊上的一點，以OA為半徑的⊙O與邊AC，AB分別交于點D，E，過點D作DF⊥BC于點F．（1）求證：DF是⊙O的切線；（2）連結EF，當EF是⊙O的切線時，求⊙O的半徑．【解答】（1）證明：連結OD，如圖所示：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠C＝∠B＝60°，∵∠DAO＝60°，OD＝OA，∴△DOA是等邊三角形，∴∠ODA＝∠C＝60°，∴OD∥BC，又∵∠DFC＝90°，∴∠ODF＝90°，∴OD⊥DF，∵OD是⊙O的半徑，∴DF是⊙O的切線；（2）解：設半徑為r，等邊△ABC的邊長為6，由（1）可知：AD＝r，則CD＝6﹣r，BE＝6﹣2r在Rt△CFD中，∠C＝60°，CD＝6﹣r，∴CF＝（6﹣r），∴BF＝a﹣（6﹣r），又∵EF是⊙O的切線，∴△FEB是直角三角形，且∠B＝60°，∠EFB＝30°，∴BF＝2BE，∴6﹣（6﹣r）＝2（6﹣2r），解得：r＝2，∴⊙O的半徑為2．4．（2022?西湖區(qū)校級開學）如圖，已知AB是⊙O的直徑，⊙O過BC的中點D，且DE⊥AC．（1）求證：DE是⊙O的切線．（2）若∠C＝30°，CD＝10cm，求⊙O的半徑．【解答】（1）證明：連接OD．∵D是BC的中點，O是AB的中點，∴OD∥AC，∴∠CED＝∠ODE，∵DE⊥AC，∴∠CED＝∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是圓的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵D是BC的中點，∴AB＝AC，∵∠C＝30°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AD，∵CD＝10cm，∴BD＝10cm，設AD＝xcm，則AB＝2xcm，∴x2+102＝4x2，∴x＝或x＝﹣（舍去），∴AD＝（cm），AB＝（cm），∴⊙O的半徑為cm．5．（2021秋?曲靖期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D是AC上一點，DQ⊥AB，DQ＝DC，點O在AB上，以點O為圓心，OB長為半徑的圓經(jīng)過點D，交BC于點E、交AB于點F．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為5，CD＝4，求CE的長．【解答】（1）證明：如圖，連接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵∠C＝90°，DQ⊥AB，DQ＝DC，∴BD是△ABC的角平分線，∴∠OBD＝∠DBC，∴∠ODB＝∠DBC，∴OD∥BC，∴∠ODA＝∠C＝90°，∵AC經(jīng)過⊙為的半徑OD的端點D，且AC⊥OD，∴AC是⊙O的切線；（2）解：如圖，作OG⊥BE于點G，則BG＝EG，∠OGB＝90°，∵∠ODC＝∠C＝∠OGC＝90°，∴四邊形ODCG是矩形，∵CD＝4，OB＝OD＝5，∴OG＝CD＝4，GC＝OD＝5，在Rt△BOG中，OB2＝OG2+BG2，∴BG＝＝＝3，∴EG＝3，∴CE＝GC﹣EG＝5﹣3＝2．6．（2021秋?海淀區(qū)期末）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，連接AC，過A作AF⊥AC，交⊙O于點F，連接DF，過B作BG⊥DF，交DF的延長線于點G．（1）求證：BG是⊙O的切線；（2）若∠DFA＝30°，DF＝4，求FG的長．【解答】（1）證明：∵C，A，D，F(xiàn)在⊙O上，∠CAF＝90°，∴∠D＝∠CAF＝90°．∵AB⊥CE，BG⊥DF，∴∠BED＝∠G＝90°．∴四邊形BEDG中，∠ABG＝90°．∴半徑OB⊥BG．∴BG是⊙O的切線．（2）解：連接CF，∵∠CAF＝90°，∴CF是⊙O的直徑．∴OC＝OF．∵直徑AB⊥CD于E，∴CE＝DE．∴OE是△CDF的中位線．∴OE＝＝2．∵＝，∠AFD＝30°，∴∠ACD＝∠AFD＝30°．∴∠CAE＝90°﹣∠ACE＝60°．∵OA＝OC，∴△AOC是等邊三角形．∵CE⊥AB，∴E為AO的中點，∴OA＝2OE＝4，OB＝4．∴BE＝OB+OE＝6．∵∠BED＝∠D＝∠G＝90°，∴四邊形BEDG是矩形．∴DG＝BE＝6．∴FG＝DG﹣DF＝2．7．（2021秋?淮安區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點D，過點D作DE⊥AC，交AC于點E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若⊙O的直徑為5，BC＝8，求DE的長．【解答】（1）證明：如圖1，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥半徑OD，∴DE是⊙O的切線；（2）解：如圖2，連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴BD＝CD＝＝4，∴AD＝＝3，∵DE⊥AC，∴S△ACD＝，∴5?DE＝3×4，∴DE＝，∴DE的長是．8．（2021秋?平羅縣期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，∠CAB的平分線AD交于點D，過點D作DE∥BC交AC的延長線于點E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若DE＝2，CE＝1，求BD的長度．【解答】（1）證明：如圖，連接OD，CD，則∠OAD＝∠ODA．∵A