解決幾何最值問題的通常思路兩點之間線段最短；直線外一點與直線上所有點的連線段中，垂線段最短；三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊（重合時取到最值）是解決幾何最值問題的理論依據(jù)，根據(jù)不同特征轉化是解決最值問題的關鍵．通過轉化減少變量，向三個定理靠攏進而解決問題；直接調用基本模型也是解決幾何最值問題的高效手段。幾何最值問題中的基本模型舉例：二、典型題型1．如圖：點P是∠AOB內一定點，點M、N分別在邊OA、OB上運動，若∠AOB=45°，OP=，則△PMN的周長的最小值為．【分析】作P關于OAOB的對稱點CDOC，OD．則當MN是CD與OAOB的交點時，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長．根據(jù)對稱的性質可以證得：△COD是等腰直角三角形，據(jù)此即可求解．【解答】解：作P關于OA，OB的對稱點C，D．連接OCOD．則當MN是CD與OAOB的交點時，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長．∵PC關于OA對稱，∴∠COP=2∠AOP，OC=OP同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD∴∠COD=∠COP+∠DOP=（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．∴△COD是等腰直角三角形．則CD=OC=×3=6．【題后思考】本題考查了對稱的性質，正確作出圖形，理解△PMN周長最小的條件是解題的關鍵．2．如圖，當四邊形PABN的周長最小時，a=．【分析】因為AB，PN的長度都是固定的，所以求出PA+NB的長度就行了．問題就是PA+NB什么時候最短．把B點向左平移2個單位到B′點；作B′關于x軸的對稱點B″，連接AB″，交x軸于P，從而確定N點位置，此時PA+NB最短．設直線AB″的解析式為kx+b，待定系數(shù)法求直線解析式．即可求得a的值．【解答】解：將N點向左平移2單位與P重合，點B向左平移2單位到B′（2，﹣1），作B′關于x軸的對稱點B″，根據(jù)作法知點B2，1），設直線AB″的解析式為kx+b，則，解得k=4，b=﹣7．∴4x﹣7．當0時，x=，即P（，0），a=．故答案填：．【題后思考】考查關于X軸的對稱點，兩點之間線段最短等知識．3．如圖，A、B兩點在直線的兩側，點A到直線的距離AM=4B到直線的距離BN=1，且MN=4，P為直線上的動點，|PA﹣PB|的最大值為．【分析】作點B于直線l的對稱點B′，則PB=PB′因而|PA﹣PB|=|PA﹣PB′|，則當A，B′、P在一條直線上時，|PA﹣PB|的值最大．根據(jù)平行線分線段定理即可求得PN和PM的值然后根據(jù)勾股定理求得PA、PB′的值，進而求得|PA﹣PB|的最大值．【解答】解：作點B于直線l的對稱點B′，連AB′并延長交直線l于P．∴B′N=BN=1，過D點作B′D⊥AM，利用勾股定理求出AB′=5∴|PA﹣PB|的最大值=5．【題后思考】本題考查了作圖﹣軸對稱變換，勾股定理等，熟知“兩點之間線段最短”是解答此題的關鍵．4．動手操作：在矩形紙片ABCD中，AB=3AD=5圖所示，折疊紙片，使點A落在BC邊上的A′處，折痕為PQ，當點A′在BC邊上移動時，折痕的端點PQ也隨之移動．若限定點PQ分別在AB、AD邊上移動，則點A′在BC邊上可移動的最大距離為．【分析】本題關鍵在于找到兩個極端，即BA′取最大或最小值時，點P或Q的位置．經實驗不難發(fā)現(xiàn)，分別求出點P與B重合時，BA′取最大值3和當點Q與D重合時，BA′的最小值1．所以可求點A′在BC邊上移動的最大距離為2．【解答】解：當點P與B重合時，BA′取最大值是3，當點Q與D重合時（如圖），由勾股定理得A′C=4，此時BA′取最小值為1．則點A′在BC邊上移動的最大距離為3﹣1=2．故答案為：2【題后思考】本題考查了學生的動手能力及圖形的折疊、勾股定理的應用等知識，難度稍大，學生主要缺乏動手操作習慣，單憑想象造成錯誤．5．如圖，直角梯形紙片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4EF分別在線段ABAD上，將△AEF沿EF翻折，點A的落點記為P．當P落在直角梯形ABCD內部時，PD的最小值等于．【分析】如圖，經分析、探究，只有當直徑EF最大，且點A落在BD上時，PD最??；根據(jù)勾股定理求出BD的長度，問題即可解決．【解答】解：如圖，∵當點P落在梯形的內部時，∠P=∠A=90°，∴四邊形PFAE是以EF為直徑的圓內接四邊形，∴只有當直徑EF最大，且點A落在BD上時，PD最小，此時E與點B重合；由題意得：PE=AB=8，由勾股定理