方差分析方差分析的基本概念

當兩個總體方差相等時，可用t

檢驗來檢驗兩個總體均值間的差異性；當總體是三個或三個以上時如何檢驗呢？就要用本章的方差分析。它是在二十世紀20年代由英國著名統計學家R.Ａ.Fisher首先應用到農業(yè)試驗中的。

方差分析的作用：從方差的角度分析試驗數據、判斷各因素各狀態(tài)對試驗結果影響大小。方差分析的方法也有所不同。本章重點介紹單、雙因素方差分析。方差分析的幾個概念

例1

檢驗某種激素對羊羔增重的效應。選用3個劑量進行試驗，加上對照（不用激素）在內，每次試驗要用4只羊羔，若進行4次重復，則共需要16只羊羔。研究激素用量對羊羔增重的影響是否顯著。羊羔的增重（kg/每頭/每200日）

處理重復1(對照)234147505754252545365362676974451575759

試驗中，我們所關心的指標，即羊羔的增重數量，稱為試驗指標或響應值；影響增重數量（響應值）的指標是激素，稱為因素；激素用量（因素的狀態(tài)）稱為因素的水平或簡稱水平。本例中有1個因素，4個水平，故稱為單因素試驗。

在方差分析中，通常取1-3個因素進行研究。因素的每一個狀態(tài)稱為一個水平，水平可以是數量化的，也可以是定性的。

例1為單因素四水平試驗。也就是四個總體的比較問題。

本例中有一因素(激素,記為A)四個不同水平(分別記為A1,A2,A3,A4)?？烧J為一個激素水平的增重量就是一個總體，在方差分析中總假定各總體獨立地服從同方差的正態(tài)分布，即第j個激素水平的增重量是一個隨機變量，它服從分布N(

j,

2)i=1,2,3,4.

要檢驗假設

若拒絕H0，我們就認為這四個激素水平的平均增重量之間有顯著差異；反之，就認為各激素水平間增重量的不同是由隨機因素引起的。

方差分析是檢驗同方差的若干正態(tài)母體均值是否相等的一種統計分析方法?；靖拍?/p>

1、指標：試驗中所考慮的量

2、因素：影響試驗指標的條件

3、水平：因素所處的狀態(tài)

第一講單因素方差分析

如果一項試驗中只有一個因素在改變稱為單因素試驗,如果多于一個因素在改變稱為多因素試驗.例1考察溫度對某要得率的影響，選了五種不同的溫度，在同一溫度下各做了四次試驗，結果如下表。試問溫度的不同是否影響該藥的得率？

溫度得率606570758018680837696289839081933918894849549084858294合計8983.758880.7594.50得率差異的原因：1.受試驗中隨機因數的影響2.由于溫度不同（即所考察的因素或處理水平不同）前者是不可避免的試驗誤差，而后者可能確實存在，也可能不存在，換言之，就是一個因素的不同水平可能對試驗的結果的影響有顯著意義，也可能沒有顯著意義。設分別表示在溫度60，65，70，75，80下的某藥的得率，顯然它們都是隨機變量，代表五個總體，且假定設每一個觀察記為xij,則問題即是作如下的假設檢驗一般地，設單因素試驗中，因素A有k個水平(總體)，記為A1，A2，…，Ak，相應的響應值（試驗結果）X1，X2，…，Xk

是k個相互獨立的總體，且Xj~N(

j,

2)（

j=1,2,…,k）。今對第j個總體進行nj次重復觀測，得到nj個觀測數據xij（i=1,2,…,nj），這可以看成是取自Xj的一個容量為nj的樣本。這里，并不要求n1,n2,…,nk完全相同。觀測數據及計算列表如下。問題：幾個符號說明組內平均值（水平Aj下的樣本平均值）樣本總平均值，其中n=n1+n2+…+nk組內和（水平Aj下的樣本和）總離差平方和組內離差平方和組間離差平方和符號的統計意義總離差平方和

事實上可以看到總離差平方和是樣本方差S2

的(n-1)倍，所以它反映的是整批數據的波動程度。造成這種波動的因素主要有兩個：一個是隨機因素造成的，一個是由于水平間的差異所造成。若假設H0為真，則這一種波動主要是由隨機因素引起的差異，若H0為假，則這種差異除了隨機因素的差異，主要是由水平間的差異所造成?；舅枷耄喊芽傠x差平方和分離成隨機因素部分和因素水平部分，尋找適合的統計量進行度量，若因素水平引起的差異過大的，則拒絕H0。離差平方和間的關系離差平方和間的關系證：該項求和為0的自由度為n-1的自由度為n-k的自由度為k-1

一般,當F>F0.01時,稱因子的影響高度顯著,記為“**”;當F≥F0.05時,稱因子的影響顯著,記為“*”;當F＜F0.05時,稱因子無顯著影響,即認為因子各水平間無差異.拒絕域：方差分析的解題步驟1.建立原假設H02.在H0成立的前提下，由試驗結果數據表，計算檢驗統計量的F值，計算過程如下：先利用計算器先計算全部數據的樣本均值，樣本方差S2和各組的樣本均值樣本方差，再利用公式計算先利用計算器先計算全部數據的樣本均值，樣本方差S2和各組的樣本均值樣本方差，再利用公式計算先利用計算器先計算全部數據的樣本均值，樣本方差S2和各組的樣本均值樣本方差，再利用公式計算3.查臨界值4.給出統計判斷。拒絕H0續(xù)上例1.設立原假設2.計算統計量拒絕H0，即認為溫度對得率有顯著的影響。4.比較3.查表第二節(jié)兩兩間的多重比較一、T法（T.W.Tukey）

設因素A共有k個水平，每個水平均作m次試驗，經方差分析判明各水平間存在顯著性差異后，為比較兩兩均值間差異是否顯著，可用T值進行判斷。T值計算公式為：為組內均方.m為試驗試驗.其中可由附表14查得.

一般的，假如第i組與第j組的均值之差的絕對值大于T值，即就判斷ui與uj之間差異顯著；否則判斷差異不顯著。T法優(yōu)點：與統一的T值比較，簡化計算過程，計算量較少。T法缺點：要求各試驗組的試驗次數相同。

一般的，假如第i組與第j組的均值之差的絕對值大于T值，即就判斷ui與uj之間差異顯著；否則判斷差異不顯著。例2：續(xù)上例.由題設：從而計算T值為：二、S法(H.Scheffe)

因素A有k個水平(總體