PAGE第2章函數(shù)的概率與基本初等函數(shù)Ⅰ一多選題命題熱點(diǎn)之函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題函數(shù)問(wèn)題中的多選題主要集中在函數(shù)的性質(zhì)中，涉及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性等.從命題角度看，既可以是與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的組合型選擇題，也可以是新定義函數(shù)后再?gòu)牟煌嵌忍接懞瘮?shù)的性質(zhì)問(wèn)題.與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的組合型問(wèn)題(多選題)已知偶函數(shù)f(x)滿(mǎn)意f(x)＋f(2－x)＝0，下列說(shuō)法正確的是()A．函數(shù)f(x)是以2為周期的周期函數(shù)B．函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)C．函數(shù)f(x＋2)為偶函數(shù)D．函數(shù)f(x－4)為偶函數(shù)BCD解析：偶函數(shù)f(x)滿(mǎn)意f(x)＋f(2－x)＝0，即有f(－x)＝f(x)＝－f(2－x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，可得4為函數(shù)f(x)的周期，故A錯(cuò)誤，B正確．由f(x)＋f(2－x)＝0，可得f(－x)＋f(2＋x)＝0，兩式相減得f(2－x)－f(2＋x)＝0，故f(2－x)＝f(2＋x)，所以f(x＋2)為偶函數(shù)，故C正確．由f(x)為偶函數(shù)得f(－x－4)＝f(x＋4)．若f(x－4)為偶函數(shù)，則有f(－x－4)＝f(x－4)，可得f(x＋4)＝f(x－4)，即f(x＋8)＝f(x)，可得8為f(x)的周期，故D正確．故選BCD．關(guān)于函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的組合型多選題，關(guān)鍵是要嫻熟駕馭函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)及一些常用結(jié)論，以及它們之間的邏輯關(guān)系，提升邏輯推理實(shí)力．(多選題)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x＋1)與f(x－1)都是奇函數(shù)，則()A．f(x)是偶函數(shù) B．f(x)是奇函數(shù)C．f(x)＝f(x＋4) D．f(x＋3)是奇函數(shù)CD解析：因?yàn)閒(x＋1)與f(x－1)都是奇函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)及點(diǎn)(－1,0)對(duì)稱(chēng)，所以f(x)＋f(2－x)＝0，f(x)＋f(－2－x)＝0，故有f(2－x)＝f(－2－x)，函數(shù)f(x)是周期T＝2－(－2)＝4的周期函數(shù)，選項(xiàng)C正確．因?yàn)閒(－x－1＋4)＝－f(x－1＋4)，即f(－x＋3)＝－f(x＋3)，所以f(x＋3)是奇函數(shù)，選項(xiàng)D正確．故選CD．新定義函數(shù)問(wèn)題(多選題)若函數(shù)f(x)滿(mǎn)意條件：①對(duì)于定義域內(nèi)隨意不相等的實(shí)數(shù)a，b恒有eq\f(fa－fb,a－b)＞0；②對(duì)于定義域內(nèi)隨意x1，x2都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))≥eq\f(fx1＋fx2,2)成立．則稱(chēng)其為G函數(shù)．下列函數(shù)為G函數(shù)的是()A．f(x)＝3x＋1B．f(x)＝－2x－1C．f(x)＝x2－2x＋3D．f(x)＝－x2＋4x－3，x∈(－∞，1)AD解析：①對(duì)于定義域內(nèi)隨意不相等的實(shí)數(shù)a，b恒有eq\f(fa－fb,a－b)＞0，則函數(shù)f(x)為增函數(shù)；②對(duì)于定義域內(nèi)隨意x1，x2都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))≥eq\f(fx1＋fx2,2)成立，則函數(shù)f(x)為“凸函數(shù)”或其圖象為一條直線．對(duì)于A，f(x)＝3x＋1在R上為增函數(shù)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＝eq\f(fx1＋fx2,2)，故滿(mǎn)意條件①②；對(duì)于B，f(x)＝－2x－1在R上為減函數(shù)，不滿(mǎn)意條件①；對(duì)于C，f(x)＝x2－2x＋3在(－∞，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，不滿(mǎn)意條件①；對(duì)于D，f(x)＝－x2＋4x－3的對(duì)稱(chēng)軸為x＝2，故函數(shù)f(x)＝－x2＋4x－3在(－∞，1)上為增函數(shù)，且為“凸函數(shù)”，故滿(mǎn)意條件①②.故選AD．關(guān)于新定義函數(shù)問(wèn)題，關(guān)鍵是理解新定義函數(shù)的概念.依據(jù)新定義函數(shù)的概念并挖掘其隱含條件，對(duì)比選項(xiàng)推斷正誤．(多選題)(2024·棗莊二調(diào))對(duì)?x∈R，[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)．十八世紀(jì)，y＝[x]被“數(shù)學(xué)王子”高斯采納，因此得名為高斯函數(shù)．人們更習(xí)慣稱(chēng)為“取整函數(shù)”．下列命題中的真命題是()A．?x∈R，x≥[x]＋1B．?x，y∈R，[x]＋[y]≤[x＋y]C．函數(shù)y＝x－[x](x∈R)的值域?yàn)閇0,1)D．若?t∈R，使得[t3]＝1，[t4]＝2，[t5]＝3，…，[tn]＝n－2同時(shí)成立，則正整數(shù)n的最大值是5BCD解析：[x]是整數(shù)，[x]＋1是整數(shù)，若x≥[x]＋1，則[x]≥[x]＋1，沖突，A錯(cuò)誤．?x，y∈R，[x]≤x，[y]≤y，所以[x]＋[y]≤x＋y，所以[x]＋[y]≤[x＋y]，B正確．由定義知x－1<[x]≤x，所以0≤x－[x]<1，所以函數(shù)f(x)＝x－[x]的值域是[0,1)，C正確．若?t∈R，使得[t3]＝1，[t4]＝2，[t5]＝3，…，[tn]＝n－2同時(shí)成立，則1≤t<eq\r(3,2)，eq\r(4,2)≤t<eq\r(4,3)，eq\r(5,3)≤t<eq\r(5,4)，eq\r(6,4)≤t<eq\r(6,5)，…，eq\r(n,n－2)≤t<eq\r(n,n－1).因?yàn)閑q