專題07因式分解（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)13種題型）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.提公因式法因式分解知識(shí)點(diǎn)2.公式法因式分解知識(shí)點(diǎn)3.十字相乘法法因式分解知識(shí)點(diǎn)4.分組分解法法因式分解【方法二】實(shí)例探索法題型1.因式分解的概念題型2.用提公因式法分解因式（公因式為單項(xiàng)式）題型3.用提公因式法分解因式（公因式為多項(xiàng)式）題型4.用提公因式法分解因式的簡單應(yīng)用題型5.利用平方差公式分解因式題型6.綜合利用提公因式法與平方差公式分解因式題型7.完全平方式題型8.利用完全平方公式分解因式題型9.綜合利用提公因式法與完全平方公式分解因式題型10.十字相乘法題型11.十字相乘法的靈活應(yīng)用題型12.利用分組分解法分解因式題型13.分組分解法的靈活應(yīng)用【方法三】成果評定法【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.提公因式法因式分解一．因式分解的意義1、分解因式的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做分解因式．2、因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運(yùn)算，二者是一個(gè)式子的不同表現(xiàn)形式．因式分解是兩個(gè)或幾個(gè)因式積的表現(xiàn)形式，整式乘法是多項(xiàng)式的表現(xiàn)形式．例如：3、因式分解是恒等變形，因此可以用整式乘法來檢驗(yàn)．二．公因式1、定義：多項(xiàng)式ma+mb+mc中，各項(xiàng)都含有一個(gè)公共的因式m，因式m叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式．2、確定多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式，可概括為三“定”：①定系數(shù)，即確定各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；②定字母，即確定各項(xiàng)的相同字母因式（或相同多項(xiàng)式因式）；③定指數(shù)，即各項(xiàng)相同字母因式（或相同多項(xiàng)式因式）的指數(shù)的最低次冪．三．因式分解提公因式法1、提公因式法：如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．2、具體方法：（1）當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的次數(shù)取最低的．（2）如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出“﹣”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為正數(shù)．提出“﹣”號(hào)時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)．3、口訣：找準(zhǔn)公因式，一次要提凈；全家都搬走，留1把家守；提負(fù)要變號(hào)，變形看奇偶．4、提公因式法基本步驟：（1）找出公因式；（2）提公因式并確定另一個(gè)因式：①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)再確定字母；②第二步提公因式并確定另一個(gè)因式，注意要確定另一個(gè)因式，可用原多項(xiàng)式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個(gè)因式，也可用公因式分別除去原多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，求的剩下的另一個(gè)因式；③提完公因式后，另一因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同．知識(shí)點(diǎn)2.公式法因式分解1、如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項(xiàng)式分解因式，這種方法叫公式法．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；2、概括整合：①能夠運(yùn)用平方差公式分解因式的多項(xiàng)式必須是二項(xiàng)式，兩項(xiàng)都能寫成平方的形式，且符號(hào)相反．②能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必須是三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)能寫成兩個(gè)數(shù)（或式）的平方和的形式，另一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)（或式）的積的2倍．3、要注意公式的綜合應(yīng)用，分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止．知識(shí)點(diǎn)4.十字相乘法法因式分解十字相乘法：如果二次三項(xiàng)式中的常數(shù)項(xiàng)能分解成兩個(gè)因式、的積，而且一次項(xiàng)系數(shù)又恰好是，那么就可以進(jìn)行如下的分解因式，即：要將二次三項(xiàng)式分解因式，就需要找到兩個(gè)數(shù)、，使它們的積等于常數(shù)項(xiàng)，和等于一次項(xiàng)系數(shù),滿足這兩個(gè)條件便可以進(jìn)行如下分解因式，即：．由于把中的分解成兩個(gè)因數(shù)有多種情況，怎樣才能找到兩個(gè)合適的數(shù)，通常要經(jīng)過多次的嘗試才能確定采用哪種情況來進(jìn)行分解因式．知識(shí)點(diǎn)5.分組分解法法因式分解如何將多項(xiàng)式因式分解？分析：很顯然，多項(xiàng)式中既沒有公因式，也不好用公式法．怎么辦呢？由于,而：．這樣就有：將一個(gè)多項(xiàng)式分成二或三組，各組分別分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，這就是分組分解法．說明：如果把一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)分組并提出公因式后，它們的另一個(gè)因式正好相同，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以用分組分解法來分解因式．【方法二】實(shí)例探索法題型1.因式分解的概念1．（2022秋?閔行區(qū)校級期末）下列各式從左到右的變形是因式分解的是（）A．a(chǎn)（a+b）＝a2+ab B．a(chǎn)2+2a+1＝a（a+2）+1 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b）2．（2022秋?浦東新區(qū)校級期末）下列等式從左到右是因式分解，且結(jié)果正確的是（）A．a(chǎn)2+8a+16＝（a+4）2 B．（a+4）2＝a2+8a+16 C．a(chǎn)2+8a+16＝a（a+8）+16 D．a(chǎn)2+8（a+2）＝a2+8a+16題型2.用提公因式法分解因式（公因式為單項(xiàng)式）3．（2022秋?嘉定區(qū)期中）多項(xiàng)式6x3y2﹣3x2y2+12x2y3的公因式是．4．（2022秋?嘉定區(qū)期中）分解因式：3x3﹣9x2﹣3x＝．5．（2022秋?寶山區(qū)校級期末）分解因式：4x2y﹣12xy＝．6．（2022秋?嘉定區(qū)校級期中）因式分解：﹣15a﹣10ab+5abc＝．題型3.用提公因式法分解因式（公因式為多項(xiàng)式）7．（2022秋?徐匯區(qū)期末）分解因式：（x﹣5）（3x﹣2）﹣3（x﹣5）＝．8．（2022秋?寶山區(qū)校級期中）分解因式：a（a﹣b）+b（b﹣a）＝．9．（2022秋?浦東新區(qū)校級期中）2m（a﹣c）﹣5（a﹣c）．10．（2022秋?嘉定區(qū)期中）因式分解：6（x+y）2﹣2（x+y）（x﹣y）11．（2022秋?楊浦區(qū)期中）分解因式：a2（a+2b）﹣ab（﹣4b﹣2a）．題型4.用提公因式法分解因式的簡單應(yīng)用12．（2022秋?嘉定區(qū)期中）當(dāng)a＝3，b＝時(shí)，代數(shù)式﹣a2+4ab的值為．題型5.利用平方差公式分解因式13．（2022秋?徐匯區(qū)期末）分解因式：x2﹣＝．14．（2022秋?嘉定區(qū)校級期中）因式分解：x4﹣16＝．15．（2022秋?黃浦區(qū)期中）分解因式：﹣（a+b）2+1＝．16．（2022?黃浦區(qū)校級二模）分解因式：x2﹣4y2＝．17．（2022秋?上海期末）分解因式：9a2﹣25（a+b）2．18．（2022秋?黃浦區(qū)期中）分解因式：25（m+n）2﹣9（m﹣n）2．題型6.綜合利用提公因式法與平方差公式分解因式19．（2022秋?浦東新區(qū)校級期末）分解因式：4x2﹣16＝．20．（2022秋?青浦區(qū)校級期中）因式分解：3a（a+b）2﹣27ab2．題型7.完全平方式21．（2022秋?青浦區(qū)校級期中）下列多項(xiàng)式中可以用完全平方公式進(jìn)行因式分解的（）A．x2+x+1 B．x2﹣2x﹣1 C．x2+2x+4 D．x2﹣x+題型8.利用完全平方公式分解因式22．（2022秋?黃浦區(qū)期中）因式分解：（x2﹣4x）2+8（x2﹣4x）+16．23．（2022秋?長寧區(qū)校級期中）（m+n）2+6（m2﹣n2）+9（m﹣n）2．24．（2022秋?長寧區(qū)校級期中）分解因式：m（m﹣4）+4．題型9.綜合利用提公因式法與完全平方公式分解因式25．（2022秋?長寧區(qū)校級期中）因式分解：＝．26．（2022秋?長寧區(qū)校級期中）分解因式：﹣6x2y﹣3x3﹣3xy2．27．（2022秋?青浦區(qū)校級期中）因式分解：3a2+12ab+12b2．題型10.十字相乘法28．（2022秋?青浦區(qū)校級期末）因式分解：2x2﹣6x﹣8＝．29．（2022秋?虹口區(qū)校級期中）分解因式：x2﹣7xy﹣18y2＝．30．（2022秋?寶山區(qū)期末）分解因式：2x2+6xy+4y2．31．（2022秋?奉賢區(qū)期中）分解因式：ax4﹣14ax2﹣32a．32．（2022秋?虹口區(qū)校級期中）分解因式：（a2﹣a）2+2（a2﹣a）﹣8．33．（2022秋?上海期末）分解因式：3x2﹣9x﹣30．34．（2022秋?徐匯區(qū)期末）分解因式：（1）2ab2﹣6a2b2+4a3b2；（2）（x2﹣4x）2﹣5（x2﹣4x）﹣24．35．（2021秋?金山區(qū)期末）分解因式：（x2﹣x）2﹣18（x2﹣x）+72．36．（2021秋?奉賢區(qū)期末）分解因式：（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．題型11.十字相乘法的靈活應(yīng)用37．（2022秋?靜安區(qū)校級期中）多項(xiàng)式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均為整數(shù)，求a+b+c之值為何？（）A．0 B．10 C．12 D．2238．（2022秋?寶山區(qū)期末）分解因式：x2﹣9x+14＝（x+□）（x﹣7），其中□表示一個(gè)常數(shù)，則□的值是（）A．7 B．2 C．﹣2 D．﹣739．（2022秋?虹口區(qū)校級期中）如果多項(xiàng)式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正確的是（）A．2 B．3 C．4 D．540．（2021秋?普陀區(qū)期末）已知關(guān)于x的多項(xiàng)式x2+kx﹣3能分解成兩個(gè)一次多項(xiàng)式的積，那么整數(shù)k的值為．41．（2022秋?嘉定區(qū)校級期中）閱讀下列文字，解決問題．先閱讀下列解題過程，然后完成后面的題目．分解因式：x4+4解：x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）以上解法中，在x4+4的中間加上一項(xiàng)，使得三項(xiàng)組成一個(gè)完全平方式，為了使這個(gè)式子的值保持與x4+4的值保持不變，必須減去同樣的一項(xiàng)．這樣利用添項(xiàng)的方法，將原代數(shù)式中的部分（或全部）變形為完全平方的形式，這種方法叫做配方法．按照這個(gè)思路，試把多項(xiàng)式x4+3x2y2+4y4分解因式．題型12.利用分組分解法分解因式42．（2022秋?徐匯區(qū)期末）分解因式：xy+（x+1）（y+1）（xy+1）．43．（2022秋?青浦區(qū)校級期末）因式分解：x2+4y﹣1﹣4y2．44．（2022秋?浦東新區(qū)校級期末）分解因式：（1）m2﹣n2+6n﹣9；（2）（x+2y）x2+6（x+2y）x﹣7x﹣14y．45．（2022秋?閔行區(qū)校級期末）分解因式：2x3﹣2x2y+8y﹣8x．46．（2022秋?閔行區(qū)校級期中）因式分解：a2﹣6ab+9b2﹣16．47．（2022秋?青浦區(qū)校級期中）因式分解：2ac﹣6ad+bc﹣3bd．48．（2022秋?寶山區(qū)校級期末）分解因式：b2﹣4a2﹣1+4a．49．（2022秋?嘉定區(qū)校級期末）因式分解：x2﹣4+4y2﹣4xy．50．（2022秋?寶山區(qū)期末）分解因式：m2﹣2m+1﹣4n2．51．（2022秋?閔行區(qū)校級期中）因式分解：x2+9xy+18y2﹣3x﹣9y．題型13.分組分解法的靈活應(yīng)用52．（2022秋?靜安區(qū)校級期中）已知x2﹣x﹣3＝0，那么x3﹣2x2﹣2x+2022＝．53．（2022秋?閔行區(qū)校級期中）已知a2﹣a﹣1＝0，則代數(shù)式a3﹣2a+6＝．【方法三】成功評定法一、單選題1．（2022秋·上?！て吣昙壣虾Ｊ忻褶k新復(fù)興初級中學(xué)?？计谥校┤绻囗?xiàng)式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正確的是（）A．2 B．3 C．4 D．52．（2022秋·上海青浦·七年級?？计谥校﹩雾?xiàng)式與單項(xiàng)式的公因式是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·上?！て吣昙夒A段練習(xí)）下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是（）A． B．C． D．4．（2022秋·上海松江·七年級?？计谥校┮阎囗?xiàng)式分解因式得，則，，的值分別為（）A．1，，6 B．1，1， C．1，， D．1，1，65．（2022秋·上海青浦·七年級?？计谥校┫铝卸囗?xiàng)式中可以用完全平方公式進(jìn)行因式分解的是（

）A． B． C． D．6．（2022秋·上海青浦·七年級?？计谥校┫铝姓降某朔ㄖ?，不能用平方差公式計(jì)算的是（

）A． B． C． D．二、填空題7．（2020秋·上海浦東新·七年級?？计谥校┮蚴椒纸猓海?．（2020秋·上海浦東新·七年級校考期中）當(dāng)達(dá)到最大值時(shí)，．9．（2022秋·上海青浦·七年級校考期中）因式分解．10．（2022秋·上海青浦·七年級?？计谥校┮蚴椒纸猓海?1．（2022秋·上海青浦·七年級校考期中）因式分解：．12．（2022秋·上海青浦·七年級?？计谥校┤粽胶幸粋€(gè)因式，則m的值是．13．（2022秋·上海閔行·七年級校考階段練習(xí)）分解因式：．14．（2022秋·上海靜安·七年級上海市風(fēng)華初級中學(xué)?？计谥校┮阎?，則的值為15．（2022秋·上海松江·七年級?？茧A段練習(xí)）因式分解：x2﹣3x+（x﹣3）=．16．（2022秋·上?！て吣昙壭？茧A段練習(xí)）已知，，則的值為．17．（2021秋·上?！て吣昙壠谥校┮蚴椒纸猓海?）（2）18．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）若a,b,c滿足，則三、解答題19．（2022秋·上海青浦·七年級?？计谥校┮蚴椒纸猓海?0．（2022秋·上海青浦·七年級?？计谥校┮蚴椒纸猓海?1．（2022秋·上海青浦·七年級?？计谥校┮蚴椒纸猓海?2．（2022秋·上?！て吣昙夒A段練習(xí)）因式分解：23．（2022秋·上?！て吣昙壭？茧A段練習(xí)）因式分解：24．（2022秋·上?！て吣昙壭？茧A段練習(xí)）因式分解：25．