專題06二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)重難點題型專訓(xùn)【九大題型】【題型目錄】【知識梳理】知識點二：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2的圖象的性質(zhì)：的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值0．向下軸時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值0．的性質(zhì)：上加下減的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值．向下軸時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．的性質(zhì)：左加右減的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上x=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．向下x=h時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值．的性質(zhì)：左加右減，上加下減的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上x=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值．向下x=h時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值．一般式：（，，為常數(shù)，）；函數(shù)二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖象開口方向向上向下對稱軸直線直線頂點坐標(biāo)增減性在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時，y隨x的增大而增大．簡記：左減右增在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時，y隨x的增大而減?。営洠鹤笤鲇覝p最大(小)值拋物線有最低點，當(dāng)時，y有最小值，拋物線有最高點，當(dāng)時，y有最大值，知識點三：二次函數(shù)的圖象與a，b，c的關(guān)系學(xué)生對二次函數(shù)中字母系數(shù)a、b、c及其關(guān)系式的符號判斷常有些不知所措，這里介紹幾個口訣來幫助同學(xué)們解惑．1．基礎(chǔ)四看“基礎(chǔ)四看”是指看開口，看對稱軸，看與y軸的交點位置，看與x軸的交點個數(shù)．“四看”是對二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象最初步的認(rèn)識，而且這些判斷都可以通過圖象直接得到，同時還可以在此基礎(chǔ)上進(jìn)行一些簡單的組合應(yīng)用．2．組合二看(1)三全看點在a、b、c間的加減組合式中，最常見的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等類型的式子，這類式子a、b、c三個字母都在，并且c的系數(shù)通常為1，這時只要取x為b前的系數(shù)代入二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，從而由其對應(yīng)的y的值時進(jìn)行判斷即可．(2)有缺看軸當(dāng)a、b、c三個字母只出現(xiàn)兩個間的組合時，這時對同學(xué)們來講難度是較大的，如何解決呢？其實我們只要想一想為什么會少一個字母，這個問題就可以較好的解決．少一個字母的原因就是因為有對稱軸為我們提供了a、b之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，如果少的是字母c，則直接用對稱軸提供的信息即可解決；如果少的是字母a或b，則可利用對稱軸提供的a、b間轉(zhuǎn)換信息，把a（或b）用b（或a）代換即可．3．取值計算當(dāng)解題感到無從下手時，可以嘗試取值法，只要根據(jù)函數(shù)圖象的特點及所給出的數(shù)據(jù)（或范圍），取相應(yīng)點坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式中，求出其字母系數(shù)，即可進(jìn)行相關(guān)判斷．二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是弄清楚圖象的開口方向、對稱軸的位置、與坐標(biāo)軸的交點及其圖象中特殊點的位置，確定出與0的大小關(guān)系及含有的代數(shù)式的值的大小關(guān)系.(1)決定開口方向:當(dāng)時拋物線開口向上;當(dāng)時拋物線開口向下.(2)共同決定拋物線的對稱軸位置:當(dāng)同號時，對稱軸在軸左側(cè);當(dāng)異號時，對稱軸在軸右側(cè)(可以簡稱為“左同右異”);當(dāng)時，對稱軸為軸.(3)決定與軸交點的縱坐標(biāo):當(dāng)時，圖象與軸交于正半軸;當(dāng)時，圖象過原點;當(dāng)時，圖象與軸交于負(fù)半軸.(4)的值決定了拋物線與軸交點的個數(shù):當(dāng)時，拋物線與軸有兩個交點;當(dāng)時，拋物線與軸有一個交點;當(dāng)時，拋物線與軸沒有交點.(5)的符號由時，的值確定:若，則;若，則.(6)的符號由時，的值確定:若，則;若，則.知識點四：二次函數(shù)圖象的平移由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，拋物線()的圖象是由拋物線()的圖象平移得到的.在平移時，不變(圖象的形狀、大小不變)，只是頂點坐標(biāo)中的或發(fā)生變化(圖象的位置發(fā)生變化)。平移規(guī)律是“左加右減，上加下減”，左、右沿軸平移，上、下沿軸平移，即.因此，我們在解決拋物線平移的有關(guān)問題時，首先需要化拋物線的解析式為頂點式，找出頂點坐標(biāo)，再根據(jù)上面的平移規(guī)律，解決與平移有關(guān)的問題，注意：(1)a的絕對值越大，拋物線的開口越小.(2)理解并掌握平移的過程，由，的圖象與性質(zhì)及上下平移與左右平移的規(guī)律：將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式，確定其頂點坐標(biāo)；保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：平移規(guī)律：概括成八個字“左加右減，上加下減”．【經(jīng)典例題一二次函數(shù)的圖象與各系數(shù)之間的關(guān)系】【例1】（2023·山東泰安·?？既＃┤鐖D是二次函數(shù)圖象的一部分，函數(shù)圖象經(jīng)過點，直線是對稱軸，有下列結(jié)論：①；②；③若是拋物線上兩點，則；④；其中正確結(jié)論有（

）個．A．4 B．3 C．2 D．1【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考三模）拋物線的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線，直線與拋物線都經(jīng)過點．則下列四個結(jié)論：①；②若與是拋物線上的兩個點，則；③；④當(dāng)時，函數(shù)的值為．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是()

A．1 B．2 C．3 D．42．（2023·新疆克拉瑪依·統(tǒng)考二模）如圖是拋物線圖象的一部分，拋物線的頂點坐標(biāo)為，與x軸的一個交點為，點A和點B均在直線上．①；②；③拋物線與x軸的另一個交點為；④方程有兩個不相等的實數(shù)根；⑤不等式的解集為．上述五個結(jié)論中，其中正確的結(jié)論是________（填寫序號即可）．

3．（2023·四川樂山·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)（為常數(shù)，且）．（1）若點，在函數(shù)圖像上，則______（填“>”、“<”或“=”）；（2）當(dāng)時，，則的取值范圍是_______．【經(jīng)典例題二二次函數(shù)圖象的平移與對稱問題】【例2】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）將拋物線（a、b是常數(shù)，）向下平移2個單位長度后，得到的新拋物線恰好和拋物線關(guān)于y軸對稱，則a、b的值為（

）A．， B．， C．， D．，【變式訓(xùn)練】1．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，對于橫、縱坐標(biāo)相等的點稱為“好點”，將拋物線沿軸向下平移個單位，使其平移后的拋物線恰好只有一個“好點”，則的值為（

）A． B． C．2 D．2．（2023·廣西貴港·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線截得坐標(biāo)軸上的線段長，D為的頂點，拋物線由平移得到，截得軸上的線段長．若過原點的直線被拋物線，所截得的線段長相等，則這條直線的解析式為______．3．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模）已知拋物線的對稱軸為直線，且經(jīng)過點．(1)求該二次函數(shù)圖象與軸的另一交點的坐標(biāo)及其函數(shù)表達(dá)式．(2)記圖象與軸交于點，過點作軸，交圖象于另一點．將拋物線向上平移個單位長度后，與軸交于點點為右側(cè)的交點）．若，求的值．【經(jīng)典例題三利用二次函數(shù)的性質(zhì)求自變量的范圍】【例3】（2023秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，拋物線（，為常數(shù)）經(jīng)過點，點，點在該拋物線上，其橫坐標(biāo)為，若該拋物線在點左側(cè)部分（包括點）的最低點的縱坐標(biāo)為．則的值為（

）A． B． C． D．或【變式訓(xùn)練】1．（2022春·九年級課時練習(xí)）二次函數(shù)y＝x2+bx的對稱軸為直線x＝2，若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t為實數(shù)）在﹣1＜x≤6的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是（

）A．5＜t≤12 B．﹣4≤t≤5 C．﹣4＜t≤5 D．﹣4≤t≤122．（2022春·浙江金華·八年級?？茧A段練習(xí)）將二次函數(shù)的圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折后，所得新函數(shù)的圖象如圖所示．當(dāng)直線與新函數(shù)的圖象恰有3個公共點時，b的值為___3．（2023春·浙江杭州·九年級專題練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與軸交于點．(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)點在該二次函數(shù)上．①當(dāng)時，求的值；②當(dāng)時，的最小值為，求的取值范圍．【經(jīng)典例題四待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關(guān)系式】【例4】（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測）二次函數(shù)的自變量與函數(shù)的幾組對應(yīng)值如下表，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．當(dāng)時，的值隨值的增大而減少C．的值為 D．方程有兩個根、，且滿足【變式訓(xùn)練】1．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）已知拋物線與軸的公共點是，，將該拋物線向右平移個單位長度與軸的交點坐標(biāo)為，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2023春·浙江寧波·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，過點作平行于軸的直線，交拋物線于點，連接，若點關(guān)于直線的對稱點恰好落在線段上，則________．3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（m，n，k為常數(shù)且）．(1)若的圖象經(jīng)過點，求該函數(shù)的表達(dá)式．(2)若函數(shù)的圖象始終經(jīng)過同一定點M．①求點M的坐標(biāo)和k的值．②若，當(dāng)時，總有，求的取值范圍．【經(jīng)典例題五根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求函數(shù)值】【例5】（2023·四川成都·?？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點和點，其頂點坐標(biāo)為，下列說法正確的是（

）．A． B．當(dāng)時，隨的增大而減小C．點的坐標(biāo)為 D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點P為雅系點．已知二次函數(shù)的圖象上有且只有一個雅系點，且當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，最大值為，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2021春·浙江·九年級期末）如圖，拋物線與軸交于點，（點在的左側(cè)），與軸交于點．點在線段上，點與點關(guān)于拋物線對稱軸對稱，連結(jié)并延長交軸于點．若，則點的橫坐標(biāo)為_______．3．（2022秋·浙江杭州·九年級杭州綠城育華學(xué)校?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，二次函數(shù)圖象的表達(dá)式．其中．(1)若此函數(shù)圖象過點，求這個二次函數(shù)的解析式：(2)函數(shù)，若，為此二次函數(shù)圖象上的兩個不同點．①若，則，試求的值；②當(dāng)，對任意的都有，試求的取值范圍．【經(jīng)典例題六二次函數(shù)與x、y軸交點坐標(biāo)問題】【例6】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)?？既＃┮讶缍魏瘮?shù)，當(dāng)時，自變量的取值范圍為，則以下式子正確的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·河北石家莊·石家莊市第四十二中學(xué)?？级＃┤鐖D，二次函數(shù)的圖象與x軸的交點為A、D的橫坐標(biāo)分別為3和，其圖像與x軸圍成封閉圖形L，圖形L內(nèi)部（不包含邊界）恰有4個整點（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點），系數(shù)a的值可以是（

）

A． B． C． D．2．（2022秋·浙江溫州·九年級?？计谥校┤鐖D，是一個半圓和拋物線的一部分圍成的“芒果”．已知點分別是“芒果”與坐標(biāo)軸的交點，是半圓的直徑，拋物線的解析式為，若長為4，則圖中的長為______．3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）二次函數(shù)的圖象與y軸的交點為．(1)求a的值．(2)求二次函數(shù)在x軸上截得的線段長的值．(3)對于任意實數(shù)k，規(guī)定：當(dāng)時，關(guān)于x的函數(shù)的最小值記作：，求的解析式．【經(jīng)典例題七利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值】【例7】（2023·福建南平·統(tǒng)考二模）已知拋物線（為常數(shù)）的頂點不在拋物線（為常數(shù)）上，則應(yīng)滿足（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·廣東廣州·廣州大學(xué)附屬中學(xué)校考二模）拋物線G：與x軸負(fù)半軸交于點A，與y軸交于點B，將拋物線G沿直線平移得到拋物線H，若拋物線H與y軸交于點D，則點D的縱坐標(biāo)的最大值是（

）．A． B． C． D．2．（2022秋·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期中）二次函數(shù)的圖象上有兩點、，滿足且這兩點在對稱軸兩側(cè)，當(dāng)時，的最大值和最小值的差為，則的取值范圍是_______.3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)（b，c是常數(shù)）．(1)當(dāng)，時，求該函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)．(2)設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是，當(dāng)該函數(shù)圖象經(jīng)過點時，求n關(guān)于m的函數(shù)解析式．(3)已知，當(dāng)時，該函數(shù)有最大值8，求c的值．【經(jīng)典例題八二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的新定義問題】【例8】（2023·廣東深圳·?？家荒＃┪覀兌x一種新函數(shù)：形如的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組畫出一個“鵲橋”函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．當(dāng)直線與該圖像恰有三個公共點時，則D．關(guān)于的方程的所有實數(shù)根的和為4【變式訓(xùn)練】1．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）定義符號含義為：當(dāng)時；當(dāng)時．如：，．則的最大值是（）A． B． C．1 D．02．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考一模）定義新運算：對于任意實數(shù)a，b，都有a⊕b＝ab＋a＋b，其中等式右邊是通常的加法、乘法運算，例如2⊕3＝2×3＋2＋3＝11．若y關(guān)于x的函數(shù)y＝（kx＋1）⊕（x－1）圖象與x軸僅有一個公共點，則實數(shù)k的值為_______．3．（2022秋·浙江寧波·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）定義：將二次函數(shù)在軸下方部分沿軸向上翻折，翻折后部分與原來末翻折部分形成一個新的函數(shù)，那么稱函數(shù)為原二次函數(shù)的有趣函數(shù)．(1)二次函數(shù)_______________（有/沒有）有趣函數(shù)．(2)已知二次函數(shù)與軸交于點（1，0），（5，0），與軸交于點，求拋物線的解析式，并在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖像．(3)在（2）的條件下：①過點作軸的平行線與拋物線交于點，求線段的長度．②若函數(shù)為原二次函數(shù)的有趣函數(shù)，畫出函數(shù)的圖像并求解當(dāng)函數(shù)的函數(shù)值大于2時，自變量的取值范圍（直接寫出答案）．【經(jīng)典例題九二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合問題】【例9】（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考三模）如圖，已知拋物線與x軸的交點A，B的橫坐標(biāo)分別為和4，設(shè)頂點為D，則下列結(jié)論：①；②；③；④若拋物線經(jīng)過，則關(guān)于x的一元二次方程的兩個根分別為，6；⑤當(dāng)時，是等腰直角三角形，其中正確的個數(shù)是（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江西吉安·九年級江西省泰和中學(xué)校考階段練習(xí)）已知三個不重合的點，，均在拋物線（）上，且，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．或2．（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州市振華中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖，拋物線與x軸交于點A、B，把拋物線在x軸及其上方的部分記作，將向右平移得，與x軸交于點B、D．若直線與、共有2個不同的交點，則m的取值范圍是______．3．（2023·浙江寧波·校考二模）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交點C的坐標(biāo)為，且經(jīng)過．

(1)求b和c的值；(2)點P是坐標(biāo)平面內(nèi)的一動點，將線段繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得，其中A、B的對應(yīng)點分別是、．①當(dāng)與D點重合時，請在圖中畫出線段，并直接寫出點P的坐標(biāo)；②當(dāng)點P在線段上，若線段與拋物線有公共點，請直接寫出P點的橫坐標(biāo)m的取值范圍．【重難點訓(xùn)練】1．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)（a為常數(shù)，且），下列結(jié)論：①函數(shù)圖像一定經(jīng)過第一、二、四象限；②函數(shù)圖像一定不經(jīng)過第三象限；③當(dāng)時，y隨x的增大而減?。虎墚?dāng)時，y隨x的增大而增大．其中所有正確結(jié)論的序號是(

)A．①② B．②③ C．② D．③④2．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）設(shè)二次函數(shù)是實數(shù)，則（

）A．當(dāng)時，函數(shù)的最小值為 B．當(dāng)時，函數(shù)的最小值為C．當(dāng)時，函數(shù)的最小值為 D．當(dāng)時，函數(shù)的最小值為3．（2023·內(nèi)蒙古包頭·校考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，點A和點B的坐標(biāo)分別為和，若拋物線與線段有且只有一個交點，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023春·四川南充·九年級四川省南充高級中學(xué)校考階段練習(xí)）方程有兩實根，，且滿足，那么k的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2023·安徽六安·?？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，已知拋物線：．（1）該拋物線的對稱軸是；（2）若，，為拋物線上三點，且總有，結(jié)合圖象，則m的取值范圍是；6．（2023·湖南株洲·統(tǒng)考一模）把二次函數(shù)的圖像作關(guān)于x軸的對稱變換，所得圖像的解析式為，，若，則m的最大值是．7．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考二模）已知拋物線（m為常數(shù)）．若該拋物線與x軸只有一個交點，則；若該拋物線與直線有兩個不同的交點，且這兩個交點都在拋物線對稱軸的同側(cè)，則m的取值范圍是．8．（2023·江蘇揚州·校聯(lián)考二模）如圖，拋物線與軸交于點，交軸正半軸于，直線過，是拋物線第一象限內(nèi)一點，過點作軸交直線于點，則的最大值為．

9．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）已知拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C，頂點為D．

(1)求該拋物線的解析式；(2)連接，，，P為的中點，連接，則線段的長是______．10．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點和點，且經(jīng)過點．

(1)求拋物線的解析式；(2)結(jié)合函數(shù)圖象當(dāng)時，求自變量的取值范圍；(3)點為拋物線上一點且到軸距離小于，結(jié)合函數(shù)的圖象求點縱坐標(biāo)的取值范圍．11．（2023·浙江·一模）在平面直角坐標(biāo)系中有三個點：，二次函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過這三個點之中的兩個點．

(1)試推斷二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點之中的哪兩個點？請簡要說明理由；(2)求常數(shù)與的值；(3)將二次函數(shù)的圖象先向下平移2個單位長度，再向右平移個單位長度，如果平移后所得新二次函數(shù)的圖象頂點為，且經(jīng)過點，連、，請判斷的形狀，并證明你的判斷12．（2023·湖南長沙·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校?？既＃┪覀兗s定：在平面直角坐標(biāo)系中，若某函數(shù)圖像上至少存在不同的兩點，滿足，則稱此函數(shù)為關(guān)于d的“函數(shù)”，這兩點叫做一對關(guān)于d的“點”．(1)下列函數(shù)中，其圖象上至少存在一對關(guān)于1的“點”的，請在相應(yīng)題目后面橫線上“√”，不存在的打“×”：①；②；③；(2)若關(guān)于3的“函數(shù)”的圖象和反比例函數(shù)第四象限的圖象交于兩點，求的面積；(3)關(guān)于x的函數(shù)G：是關(guān)于t的“函數(shù)”，記函數(shù)H為（為常數(shù)，），常數(shù)h的圖象經(jīng)過三點，且，若函數(shù)G的圖像和函數(shù)H的圖象有兩個不同的交點，求線段長的取值范圍．

專題06二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)重難點題型專訓(xùn)【九大題型】【題型目錄】【知識梳理】知識點二：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2的圖象的性質(zhì)：的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值0．向下軸時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值0．的性質(zhì)：上加下減的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值．向下軸時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值．的性質(zhì)：左加右減的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上x=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．向下x=h時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．的性質(zhì)：左加右減，上加下減的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上x=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．向下x=h時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值．一般式：（，，為常數(shù)，）；函數(shù)二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖象開口方向向上向下對稱軸直線直線頂點坐標(biāo)增減性在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時，y隨x的增大而減?。辉趯ΨQ軸的右側(cè)，即當(dāng)時，y隨x的增大而增大．簡記：左減右增在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時，y隨x的增大而減?。営洠鹤笤鲇覝p最大(小)值拋物線有最低點，當(dāng)時，y有最小值，拋物線有最高點，當(dāng)時，y有最大值，知識點三：二次函數(shù)的圖象與a，b，c的關(guān)系學(xué)生對二次函數(shù)中字母系數(shù)a、b、c及其關(guān)系式的符號判斷常有些不知所措，這里介紹幾個口訣來幫助同學(xué)們解惑．1．基礎(chǔ)四看“基礎(chǔ)四看”是指看開口，看對稱軸，看與y軸的交點位置，看與x軸的交點個數(shù)．“四看”是對二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象最初步的認(rèn)識，而且這些判斷都可以通過圖象直接得到，同時還可以在此基礎(chǔ)上進(jìn)行一些簡單的組合應(yīng)用．2．組合二看(1)三全看點在a、b、c間的加減組合式中，最常見的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等類型的式子，這類式子a、b、c三個字母都在，并且c的系數(shù)通常為1，這時只要取x為b前的系數(shù)代入二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，從而由其對應(yīng)的y的值時進(jìn)行判斷即可．(2)有缺看軸當(dāng)a、b、c三個字母只出現(xiàn)兩個間的組合時，這時對同學(xué)們來講難度是較大的，如何解決呢？其實我們只要想一想為什么會少一個字母，這個問題就可以較好的解決．少一個字母的原因就是因為有對稱軸為我們提供了a、b之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，如果少的是字母c，則直接用對稱軸提供的信息即可解決；如果少的是字母a或b，則可利用對稱軸提供的a、b間轉(zhuǎn)換信息，把a（或b）用b（或a）代換即可．3．取值計算當(dāng)解題感到無從下手時，可以嘗試取值法，只要根據(jù)函數(shù)圖象的特點及所給出的數(shù)據(jù)（或范圍），取相應(yīng)點坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式中，求出其字母系數(shù)，即可進(jìn)行相關(guān)判斷．二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是弄清楚圖象的開口方向、對稱軸的位置、與坐標(biāo)軸的交點及其圖象中特殊點的位置，確定出與0的大小關(guān)系及含有的代數(shù)式的值的大小關(guān)系.(1)決定開口方向:當(dāng)時拋物線開口向上;當(dāng)時拋物線開口向下.(2)共同決定拋物線的對稱軸位置:當(dāng)同號時，對稱軸在軸左側(cè);當(dāng)異號時，對稱軸在軸右側(cè)(可以簡稱為“左同右異”);當(dāng)時，對稱軸為軸.(3)決定與軸交點的縱坐標(biāo):當(dāng)時，圖象與軸交于正半軸;當(dāng)時，圖象過原點;當(dāng)時，圖象與軸交于負(fù)半軸.(4)的值決定了拋物線與軸交點的個數(shù):當(dāng)時，拋物線與軸有兩個交點;當(dāng)時，拋物線與軸有一個交點;當(dāng)時，拋物線與軸沒有交點.(5)的符號由時，的值確定:若，則;若，則.(6)的符號由時，的值確定:若，則;若，則.知識點四：二次函數(shù)圖象的平移由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，拋物線()的圖象是由拋物線()的圖象平移得到的.在平移時，不變(圖象的形狀、大小不變)，只是頂點坐標(biāo)中的或發(fā)生變化(圖象的位置發(fā)生變化)。平移規(guī)律是“左加右減，上加下減”，左、右沿軸平移，上、下沿軸平移，即.因此，我們在解決拋物線平移的有關(guān)問題時，首先需要化拋物線的解析式為頂點式，找出頂點坐標(biāo)，再根據(jù)上面的平移規(guī)律，解決與平移有關(guān)的問題，注意：(1)a的絕對值越大，拋物線的開口越小.(2)理解并掌握平移的過程，由，的圖象與性質(zhì)及上下平移與左右平移的規(guī)律：將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式，確定其頂點坐標(biāo)；保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：平移規(guī)律：概括成八個字“左加右減，上加下減”．【經(jīng)典例題一二次函數(shù)的圖象與各系數(shù)之間的關(guān)系】【例1】（2023·山東泰安·?？既＃┤鐖D是二次函數(shù)圖象的一部分，函數(shù)圖象經(jīng)過點，直線是對稱軸，有下列結(jié)論：①；②；③若是拋物線上兩點，則；④；其中正確結(jié)論有（

）個．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根據(jù)對稱軸為求出，即可判定①；求出二次函數(shù)與x軸的另一個交點坐標(biāo)為，即可判斷②；根據(jù)二次函數(shù)開口向下，離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大即可判斷③；求出，結(jié)合即可判斷④．【詳解】解：二次函數(shù)對稱軸為直線，，即，故①正確；二次函數(shù)經(jīng)過，二次函數(shù)與軸的另一個交點坐標(biāo)為，當(dāng)時，，故②正確；拋物線開口向下，離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越小，是拋物線上兩點，，且，，故③正確；，，，即，故④正確；故選：A．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考三模）拋物線的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線，直線與拋物線都經(jīng)過點．則下列四個結(jié)論：①；②若與是拋物線上的兩個點，則；③；④當(dāng)時，函數(shù)的值為．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是()

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】利用圖象的信息與已知條件求得、的符號，的關(guān)系式，利用待定系數(shù)法和二次函數(shù)的性質(zhì)對每個結(jié)論進(jìn)行逐一判斷即可得出結(jié)論．【詳解】解：拋物線的開口方向向下，與軸的交點在正半軸，，．，①正確；拋物線的對稱軸為直線，點，關(guān)于直線對稱的對稱點為，，，當(dāng)時，隨的增大而減?。?，②正確；拋物線的對稱軸為直線，，，直線與拋物線都經(jīng)過點，．拋物線一定經(jīng)過點，，，直線與拋物線都經(jīng)過點，．，，，即，③正確當(dāng)時，，，，，④正確；綜上，結(jié)論正確的有：①②③④，故選：D．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征，一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征，利用已知條件求得、的符號，、的關(guān)系式，、的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．2．（2023·新疆克拉瑪依·統(tǒng)考二模）如圖是拋物線圖象的一部分，拋物線的頂點坐標(biāo)為，與x軸的一個交點為，點A和點B均在直線上．①；②；③拋物線與x軸的另一個交點為；④方程有兩個不相等的實數(shù)根；⑤不等式的解集為．上述五個結(jié)論中，其中正確的結(jié)論是________（填寫序號即可）．

【答案】①⑤/⑤①【分析】根據(jù)拋物線的對稱軸是，即可判斷①；由拋物線的開口方向，對稱軸以及圖象與坐標(biāo)軸的交點位置得出的取值范圍，即可判斷②；利用拋物線的對稱性可得出拋物線與x軸的另一個交點為，即可判斷③；利用拋物線與直線只有一個交點，即可判斷④；結(jié)合一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象即可判斷⑤．【詳解】∵拋物線的對稱軸是，∴，即．故①正確；∵拋物線開口向上，∴．∴．∵拋物線與軸的交點在軸下方，∴．∴．故②錯誤；∵拋物線的對稱軸是，拋物線與x軸的一個交點為，∴拋物線與x軸的另一個交點為．故③錯誤；∵拋物線的頂點坐標(biāo)為，∴拋物線與直線只有一個交點．∴方程有兩個相等的實數(shù)根．故④錯誤；∵當(dāng)時，，∴不等式的解集為．故⑤正確；故答案是①⑤．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)與方程，利用一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象求不等式的解集等知識，準(zhǔn)確識圖，從圖象中獲取相關(guān)信息是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)形思想．3．（2023·四川樂山·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)（為常數(shù)，且）．（1）若點，在函數(shù)圖像上，則______（填“>”、“<”或“=”）；（2）當(dāng)時，，則的取值范圍是_______．【答案】<且【分析】（1）先求出，然后分三種情況討論即可；（2）先求出拋物線與軸的交點，對稱軸，頂點坐標(biāo)，然后在范圍內(nèi)分和兩種情況確定函數(shù)的最大值，從而得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵點，在函數(shù)圖像上，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，∴當(dāng)或時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，．（2）∵二次函數(shù)，整理可得：，由（1）可知：當(dāng)時，解得：，，∴二次函數(shù)的圖像交軸于和兩點，對稱軸，當(dāng)時，，∴二次函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo)為，由（2）可知：當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，二次函數(shù)的圖像開口向上，∵，∴，解得：，∴，當(dāng)時，二次函數(shù)圖像開口向下，∵對稱軸，當(dāng)，即時，∴二次函數(shù)圖像在頂點處取得最大值，∴，解得：，∴，當(dāng)，即，由題意可知，，解得：，即a=-2；綜上所述，當(dāng)時，，的取值范圍是：，且．故答案為：<，且．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖像與軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，作差法比較函數(shù)值的大小，解一元二次方程，解不等式（組）等知識，采用了分情況討論的解題方法．解題的關(guān)鍵是在某一范圍內(nèi)的函數(shù)最大值的確定．【經(jīng)典例題二二次函數(shù)圖象的平移與對稱問題】【例2】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）將拋物線（a、b是常數(shù)，）向下平移2個單位長度后，得到的新拋物線恰好和拋物線關(guān)于y軸對稱，則a、b的值為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】先求出拋物線關(guān)于y軸對稱的拋物線為，再根據(jù)拋物線平移的性質(zhì)得出拋物線向下平移2個單位長度后為，即可得出a和b的值．【詳解】解：∵，∴拋物線關(guān)于y軸對稱的拋物線為，∵拋物線向下平移2個單位長度后為，∵與關(guān)于y軸對稱，∴，整理得：，∴，，故選：C．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的平移規(guī)律，解題的關(guān)鍵是掌握將二次函數(shù)化為頂點式的方法和步驟，以及二次函數(shù)的平移規(guī)律：上加下減，左加右減．【變式訓(xùn)練】1．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，對于橫、縱坐標(biāo)相等的點稱為“好點”，將拋物線沿軸向下平移個單位，使其平移后的拋物線恰好只有一個“好點”，則的值為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意將化為頂點式，再根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”及新定義即可解答．【詳解】解：∵拋物線的解析式為：，∴，∴將拋物線沿軸向下平移個單位新的函數(shù)解析式為，∵在平面直角坐標(biāo)系中，對于橫、縱坐標(biāo)相等的點稱為“好點”，設(shè)新拋物線上這個好點為，∴，∴整理得：，∵平移后的拋物線恰好只有一個“好點”，∴，∴，故選．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的平移規(guī)律，二次函數(shù)的頂點式，平面直角坐標(biāo)系的新定義，掌握二次函數(shù)的平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．（2023·廣西貴港·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線截得坐標(biāo)軸上的線段長，D為的頂點，拋物線由平移得到，截得軸上的線段長．若過原點的直線被拋物線，所截得的線段長相等，則這條直線的解析式為______．【答案】【分析】根據(jù)已知條件，待定系數(shù)求得拋物線，的解析式，設(shè)過原點的直線解析式為，過原點的直線被拋物線，所截得的線段長相等，即可求解．【詳解】解：∵拋物線截得坐標(biāo)軸上的線段長，D為的頂點，，，設(shè)的解析式為，代入，得，，解得：，∴的解析式為，∵拋物線由平移得到，截得軸上的線段長．∴，則的解析式為，即設(shè)過原點的直線解析式為，與，分別交于點，如圖所示，聯(lián)立，即，∴，，∴、兩點橫坐標(biāo)之差為，聯(lián)立，即，∴，，∴、兩點橫坐標(biāo)之差為，∵∴，解得，故直線解析式為．故答案為：．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，將一次函數(shù)與二次函數(shù)聯(lián)立求得交點橫坐標(biāo)之差是解決本題的關(guān)鍵.3．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模）已知拋物線的對稱軸為直線，且經(jīng)過點．(1)求該二次函數(shù)圖象與軸的另一交點的坐標(biāo)及其函數(shù)表達(dá)式．(2)記圖象與軸交于點，過點作軸，交圖象于另一點．將拋物線向上平移個單位長度后，與軸交于點點為右側(cè)的交點）．若，求的值．【答案】(1)拋物線解析式為；(2)【分析】（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再令，解方程求出點坐標(biāo)；（2）先根據(jù)對稱性求出的坐標(biāo)，再求出，設(shè)平移后的解析式為，再根據(jù)，求出坐標(biāo)，在代入平移后的解析式即可求出．【詳解】（1）解：由題意得：，解得，拋物線解析式為；令，則，解得，，；（2）令，則，，對稱軸為直線，，，拋物線向上平移個單位長度后的解析式為，，，，把代入得：，解得．【點睛】本題考查拋物線與軸的交點，平移的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是求出拋物線解析式．【經(jīng)典例題三利用二次函數(shù)的性質(zhì)求自變量的范圍】【例3】（2023秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，拋物線（，為常數(shù)）經(jīng)過點，點，點在該拋物線上，其橫坐標(biāo)為，若該拋物線在點左側(cè)部分（包括點）的最低點的縱坐標(biāo)為．則的值為（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】首先通過待定系數(shù)法求該拋物線的解析式及頂點坐標(biāo)，再分類討論點P在拋物線對稱軸右側(cè)及左側(cè)兩種情況，分別求出頂點為最低點和點P為最低點時m的值即可．【詳解】解：將，分別代入得，解得，，拋物線頂點坐標(biāo)為，對稱軸為直線，當(dāng)時，拋物線頂點為最低點，，解得，當(dāng)時，點P為最低點，將代入得，解得(舍)，，或，故選：D．【點睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與方程的關(guān)系，通過數(shù)形結(jié)合求解．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·九年級課時練習(xí)）二次函數(shù)y＝x2+bx的對稱軸為直線x＝2，若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t為實數(shù)）在﹣1＜x≤6的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是（

）A．5＜t≤12 B．﹣4≤t≤5 C．﹣4＜t≤5 D．﹣4≤t≤12【答案】D【分析】根據(jù)對稱軸方程可得b=-4，可得二次函數(shù)解析式，可得頂點坐標(biāo)為（2，-4），關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解為二次函數(shù)y＝x2﹣4x與直線y＝t的交點的橫坐標(biāo)，當(dāng)﹣1＜x≤6時，﹣4≤t≤12，進(jìn)而求解；【詳解】∵對稱軸為直線x＝2，∴，∴b＝﹣4，∴二次函數(shù)解析式為y＝x2﹣4x，∴頂點坐標(biāo)為（2，-4），∵﹣1＜x≤6，∴當(dāng)x=-1時，y=5，當(dāng)x=6時，y=12，∴二次函數(shù)y的取值范圍為﹣4≤t≤12，∵關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解為y＝x2﹣4x與直線y＝t的交點的橫坐標(biāo)，∴﹣4≤t≤12，故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一元二次方程的解；將一元二次方程的解轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)與直線交點問題，數(shù)形結(jié)合的解決問題是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·浙江金華·八年級校考階段練習(xí)）將二次函數(shù)的圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折后，所得新函數(shù)的圖象如圖所示．當(dāng)直線與新函數(shù)的圖象恰有3個公共點時，b的值為___【答案】或【分析】分兩種情形：如圖，當(dāng)直線y=x+b過點B時，直線y=x+b與該新圖象恰好有三個公共點，當(dāng)直線y=x+b與拋物線只有1個交點時，直線y=x+b與該新圖象恰好有三個公共點，分別求解即可．【詳解】解：二次函數(shù)解析式為，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，4），當(dāng)y=0時，，解得，則拋物線與x軸的交點為A（-1，0），B（3，0），把拋物線圖象x軸上方的部分沿x軸翻折到x軸下方，則翻折部分的拋物線解析式為，頂點坐標(biāo)M（1，-4），如圖，當(dāng)直線y=x+b過點B時，直線y=x+b與該新圖象恰好有三個公共點，∴3+b=0，解得b=-3；當(dāng)直線y=x+b與拋物線只有1個交點時，直線y=x+b與該新圖象恰好有三個公共點，即有相等的實數(shù)解，整理得，，解得b=，所以b的值為-3或，故答案為：或．【點睛】此題主要考查了翻折的性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，確定翻折后拋物線的關(guān)系式；利用數(shù)形結(jié)合的方法是解本題的關(guān)鍵，畫出函數(shù)圖象是解本題的難點．3．（2023春·浙江杭州·九年級專題練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與軸交于點．(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)點在該二次函數(shù)上．①當(dāng)時，求的值；②當(dāng)時，的最小值為，求的取值范圍．【答案】(1)該二次函數(shù)的解析式為.(2)①的值為或；②【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得即可；（2）①把代入，即可求得；②把二次函數(shù)解析式化為頂點式，求得函數(shù)的最小值為，所以，即．【詳解】（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為，把點代入得，解得，，該二次函數(shù)的解析式為；（2）①時，則，解得，；故的值為或；，當(dāng)時，函數(shù)有最小值，當(dāng)時，即時，有最小值，故的取值范圍是．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題四待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關(guān)系式】【例4】（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測）二次函數(shù)的自變量與函數(shù)的幾組對應(yīng)值如下表，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．當(dāng)時，的值隨值的增大而減少C．的值為 D．方程有兩個根、，且滿足【答案】D【分析】根據(jù)題意待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式，進(jìn)而根據(jù)解析式逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：將點代入，得解得：∴拋物線解析式為，∴，∴，故A選項錯誤；∵，∴對稱軸為直線，開口向上，當(dāng)時，的值隨值的增大而減少，故B選項錯誤；當(dāng)時與時，函數(shù)值相等，即，故C選項錯誤；方程即，，∴有兩個根、，∴，故D選項正確；故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）已知拋物線與軸的公共點是，，將該拋物線向右平移個單位長度與軸的交點坐標(biāo)為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用點平移的規(guī)律得到點，向右平移個單位長度后對應(yīng)點的坐標(biāo)為，，利用交點式，設(shè)平移后的拋物線解析式為，接著把把代入求得，于是原拋物線的解析式可設(shè)為，然后化為一般式得到、、的值，從而可計算出的值．【詳解】解：點，向右平移個單位長度后對應(yīng)點的坐標(biāo)為，，設(shè)平移后的拋物線解析式為，把代入得，解得，原拋物線的解析式為，即，，，，．故選：B．【點睛】本題考查了拋物線與軸的交點：把求二次函數(shù)(是常數(shù)，)與軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)圖象與幾何變換．2．（2023春·浙江寧波·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，過點作平行于軸的直線，交拋物線于點，連接，若點關(guān)于直線的對稱點恰好落在線段上，則________．【答案】【分析】令代入得或，則，過A作軸，E為垂足，則，而軸，則，又點A關(guān)于直線的對稱點恰好落在線段上，則，即，故，即可求得，把D點的坐標(biāo)代入，即可求解．【詳解】解：令代入得或，∴，過A作軸，E為垂足，則，∵軸，∴，又點A關(guān)于直線的對稱點恰好落在線段上，∴，即，∴，則，∴，把代入得：，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點，主要考查函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，用勾股定理求出的長度是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（m，n，k為常數(shù)且）．(1)若的圖象經(jīng)過點，求該函數(shù)的表達(dá)式．(2)若函數(shù)的圖象始終經(jīng)過同一定點M．①求點M的坐標(biāo)和k的值．②若，當(dāng)時，總有，求的取值范圍．【答案】(1)(2)①，；②【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）①先求出函數(shù)經(jīng)過定點，則，且在函數(shù)的圖象上，由此把代入解析式中求出k的值即可；②先求出拋物線的對稱軸在定點的左側(cè)，再結(jié)合函數(shù)圖象可知當(dāng)時，一次函數(shù)的函數(shù)值要大于等于二次函數(shù)的函數(shù)值，由此建立不等式求解即可．【詳解】（1）解：把代入中得：，解得，∴；（2）解：①在中，當(dāng)時，，∴函數(shù)經(jīng)過定點，∵函數(shù)的圖象始終經(jīng)過同一定點M，∴，且在函數(shù)的圖象上，∴，∴；②∵，拋物線的對稱軸為直線，∴拋物線的對稱軸在定點的左側(cè)，由①得，∵，當(dāng)時，總有，∴如圖所示，當(dāng)時，一次函數(shù)的函數(shù)值要大于等于二次函數(shù)的函數(shù)值∴

∴，∴．【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與不等式，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．【經(jīng)典例題五根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求函數(shù)值】【例5】（2023·四川成都·?？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點和點，其頂點坐標(biāo)為，下列說法正確的是（

）．A． B．當(dāng)時，隨的增大而減小C．點的坐標(biāo)為 D．【答案】D【分析】由題意可得出該二次函數(shù)對稱軸為直線，再根據(jù)點A坐標(biāo)為，即得出，可判斷C；結(jié)合A，B，C三點坐標(biāo)可判斷其圖象開口向上，可判斷A；根據(jù)對稱軸為直線，圖象開口向上，即得出當(dāng)時，隨的增大而增大，可判斷B；根據(jù)圖象開口向上，與軸交于點和點，即得出當(dāng)時，，代入，即得出，可判斷D．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象與軸交于點和點，其頂點坐標(biāo)為，∴對稱軸為直線，∴，故C錯誤，不合題意；∵二次函數(shù)的圖象與軸交于點和點，其頂點坐標(biāo)為，∴拋物線開口向上，∴，故A錯誤，不合題意；∵拋物線開口向上，對稱軸為直線，∴當(dāng)時，隨的增大而增大，∴當(dāng)時，隨的增大而增大，故B錯誤，不合題意；∵二次函數(shù)的圖象開口向上，與軸交于點和點，∴時，，∴，故D正確，符合題意．故選D．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點P為雅系點．已知二次函數(shù)的圖象上有且只有一個雅系點，且當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，最大值為，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解二次函數(shù)與直線的方程，由得，方程的根為，從而求出，所以函數(shù)解析式為，根據(jù)函數(shù)解析式求得頂點坐標(biāo)與縱軸的交點坐標(biāo)，根據(jù)y的取值，即可確定x的取值范圍．【詳解】解：令，即，由題意，，即，又方程的根為，解得，故函數(shù)是∴函數(shù)圖象開口向下，頂點為，與y軸交點為，由對稱性，該函數(shù)圖象也經(jīng)過，由于函數(shù)圖象在對稱軸左側(cè)y隨x的增大而增大，在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而減小，且當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，最大值為，∴，故選：C．．【點睛】此題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)及根的判別式等知識，利用分類討論以及數(shù)形結(jié)合得出是解題的關(guān)鍵．2．（2021春·浙江·九年級期末）如圖，拋物線與軸交于點，（點在的左側(cè)），與軸交于點．點在線段上，點與點關(guān)于拋物線對稱軸對稱，連結(jié)并延長交軸于點．若，則點的橫坐標(biāo)為_______．【答案】【分析】根據(jù)拋物線的解析式得到點的坐標(biāo)與對稱軸，結(jié)合求得的直線解析式，進(jìn)而求得點的坐標(biāo)，根據(jù)點與點關(guān)于拋物線對稱軸對稱，求得點的坐標(biāo)，求得的直線解析式，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，根據(jù)關(guān)于拋物線對稱軸對稱求得點的坐標(biāo)，根據(jù)求得的值，代入點坐標(biāo)，即可求得．【詳解】與軸交于點，，設(shè)的直線解析式為：，，，代入得：，，令，，，是拋物線的對稱軸，和關(guān)于對稱，設(shè)，，解得，則，又關(guān)于軸對稱，設(shè)，，解得，，設(shè)的直線解析式為：，,，，解得：，，令，解得：，，；，，即，解得：，，，點的橫坐標(biāo)為：．故答案為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像，一次函數(shù)的待定系數(shù)法求解析式，根據(jù)拋物線的對稱性確定坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·浙江杭州·九年級杭州綠城育華學(xué)校?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，二次函數(shù)圖象的表達(dá)式．其中．(1)若此函數(shù)圖象過點，求這個二次函數(shù)的解析式：(2)函數(shù)，若，為此二次函數(shù)圖象上的兩個不同點．①若，則，試求的值；②當(dāng)，對任意的都有，試求的取值范圍．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）直接將點代入即可；（2）①利用題意，由，求解a；②由已知當(dāng)，對任意的都有，二次函數(shù)是遞增的，結(jié)合圖象即可求解．【詳解】（1）解：∵函數(shù)圖象過點，∴將點代入,解得，∴二次函數(shù)的解析式為；（2）解：①函數(shù)的對稱軸是直線，，為此二次函數(shù)圖象上的兩個不同點，且，則，，；②函數(shù)的對稱軸是直線，，對任意的都有，當(dāng)，時，；當(dāng)時，不符合題意舍去；．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點的特征，能夠結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題六二次函數(shù)與x、y軸交點坐標(biāo)問題】【例6】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)?？既＃┮讶缍魏瘮?shù)，當(dāng)時，自變量的取值范圍為，則以下式子正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得出，開口向上，與x軸的兩個交點為，得出的兩根為，，然后根據(jù)二次函數(shù)的基本性質(zhì)依次判斷即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)，當(dāng)時，自變量的取值范圍為，∴，開口向上，與x軸的兩個交點為，∴對稱軸為，∴，選項A錯誤，不符合題意；∵當(dāng)時，自變量的取值范圍為，∴即，選項B錯誤，不符合題意；將點代入解析式得：，∴，選項C錯誤，不符合題意；∵與x軸的兩個交點為，∴的兩根為，，∴，∴，選項D正確，符合題意，故選：D．【點睛】題目主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)，理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·河北石家莊·石家莊市第四十二中學(xué)?？级＃┤鐖D，二次函數(shù)的圖象與x軸的交點為A、D的橫坐標(biāo)分別為3和，其圖像與x軸圍成封閉圖形L，圖形L內(nèi)部（不包含邊界）恰有4個整點（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點），系數(shù)a的值可以是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】依照題意畫出圖形，結(jié)合圖形找出關(guān)于a的不等式組，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象與x軸的交點為A、D的橫坐標(biāo)分別為3和，∴二次函數(shù)解析式為，對稱軸為直線，當(dāng)時，，，∴拋物線頂點坐標(biāo)為，與y軸的交點坐標(biāo)為，如圖所示，∵圖形L內(nèi)部（不包含邊界）恰有4個整點（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點），∴，解得，∴四個選項中只有B選項符合題意，故選B．

【點睛】考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，拋物線與x軸的交點坐標(biāo)，解題時，利用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，難度較大．2．（2022秋·浙江溫州·九年級?？计谥校┤鐖D，是一個半圓和拋物線的一部分圍成的“芒果”．已知點分別是“芒果”與坐標(biāo)軸的交點，是半圓的直徑，拋物線的解析式為，若長為4，則圖中的長為______．【答案】6【分析】根據(jù)題意得，點坐標(biāo)為，將點坐標(biāo)代入拋物線的解析式為即可求得拋物線的解析式，令，即可求得點的坐標(biāo)，從而可求出的長．【詳解】解：長為4，是半圓的直徑，點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，將點坐標(biāo)代入拋物線的解析式為，得，，解得，拋物線解析式為，當(dāng)時，，點坐標(biāo)為，，，，故答案為：6．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，拋物線與坐標(biāo)軸的交點問題，解題的關(guān)鍵是求出拋物線的解析式，從而求出點的坐標(biāo)．3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）二次函數(shù)的圖象與y軸的交點為．(1)求a的值．(2)求二次函數(shù)在x軸上截得的線段長的值．(3)對于任意實數(shù)k，規(guī)定：當(dāng)時，關(guān)于x的函數(shù)的最小值記作：，求的解析式．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）把代入解析式即可；（2）根據(jù)（1）求出的解析式，令，解方程求出和，然后求出即可；（3）先求出的解析式，再根據(jù)的對稱軸，然后分，，三種情況討論即可．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象與y軸的交點為，∴，解得，∴a的值為；（2）解：由（1）知，，∴，令，則，解得，，∴，∴二次函數(shù)在x軸上截得的線段長的值為；（3）解：∵，∴，∴對稱軸為，當(dāng)即時，當(dāng)時，有最小值，∴；當(dāng)時，即，當(dāng)時，有最小值，∴；當(dāng)即時，當(dāng)時，有最小值，∴，綜上所述，的解析式為：．【點睛】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)，利用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題七利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值】【例7】（2023·福建南平·統(tǒng)考二模）已知拋物線（為常數(shù)）的頂點不在拋物線（為常數(shù)）上，則應(yīng)滿足（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出拋物線的頂點坐標(biāo)，因為該頂點不在拋物線上，所以將該點坐標(biāo)代入中，不能使等式成立，據(jù)此分析的取值范圍．【詳解】解：，拋物線的頂點坐標(biāo)為，又拋物線的頂點不在拋物線上，，即，又，．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，靈活運用配方法解決二次函數(shù)及二次方程的問題是本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·廣東廣州·廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？级＃佄锞€G：與x軸負(fù)半軸交于點A，與y軸交于點B，將拋物線G沿直線平移得到拋物線H，若拋物線H與y軸交于點D，則點D的縱坐標(biāo)的最大值是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出，進(jìn)而求出直線的解析式為，再推出拋物線G沿直線平移得到拋物線H，則拋物線H的頂點坐標(biāo)一定在直線上，設(shè)拋物線H的頂點坐標(biāo)為，則拋物線H的解析式為，進(jìn)而求出，則的最大值為．【詳解】解：在中，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，∵拋物線的頂點坐標(biāo)為，即拋物線的頂點在直線上，∴拋物線G沿直線平移得到拋物線H，則拋物線H的頂點坐標(biāo)一定在直線上，設(shè)拋物線H的頂點坐標(biāo)為，∴拋物線H的解析式為，在中，令，則，∴的最大值為，故選B．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合，二次函數(shù)圖象的平移，推出拋物線H的頂點坐標(biāo)一定在直線上是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期中）二次函數(shù)的圖象上有兩點、，滿足且這兩點在對稱軸兩側(cè)，當(dāng)時，的最大值和最小值的差為，則的取值范圍是_______.【答案】【分析】分兩種情形：當(dāng)，在對稱軸的異側(cè)，且時，當(dāng)，在對稱軸的異側(cè)，時，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：當(dāng)，在對稱軸的異側(cè)，且時，，，拋物線的對稱軸為直線，，，，，，函數(shù)的最大值為，最小值為，，即，，，，，，；當(dāng)，在對稱軸的異側(cè)，時，，，，，，函數(shù)的最大值為，最小值為，，即，，，，，，；綜上所述，的取值范圍是，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，軸對稱，解不等式等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想，分類思考問題．3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)（b，c是常數(shù)）．(1)當(dāng)，時，求該函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)．(2)設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是，當(dāng)該函數(shù)圖象經(jīng)過點時，求n關(guān)于m的函數(shù)解析式．(3)已知，當(dāng)時，該函數(shù)有最大值8，求c的值．【答案】(1)(2)(3)2【分析】（1）將二次函數(shù)化為頂點式求解即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和已知條件得到，，，，進(jìn)而求解即可；（3）當(dāng)時，二次函數(shù)的對稱軸為直線，開口向下，分、、三種情況，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)，時，，∴當(dāng)，時，該函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為；（2）解：∵該函數(shù)圖象經(jīng)過點，∴，則，∵該二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是，∴，，∴，，∴，即；（3）解：當(dāng)時，二次函數(shù)的對稱軸為直線，開口向下，∵，∴當(dāng)即時，該函數(shù)的最大值為，即，解得，，不合題意，舍去；當(dāng)即時，時，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)時，y有最大值為，不合題意，舍去；當(dāng)即時，時，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)時，y有最大值為，解得，符合題意，綜上，滿足條件的c的值為2．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用分類討論思想求解第（3）問是解答的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題八二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的新定義問題】【例8】（2023·廣東深圳·校考一模）我們定義一種新函數(shù)：形如的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組畫出一個“鵲橋”函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．當(dāng)直線與該圖像恰有三個公共點時，則D．關(guān)于的方程的所有實數(shù)根的和為4【答案】D【分析】由是函數(shù)圖像和x軸的交點，解得：可判斷A、B錯誤；由圖像可判斷C錯誤；由題意可得或，利用根與系數(shù)的關(guān)系可判斷D正確．【詳解】解：是函數(shù)圖像和x軸的交點，，解得：，，故A、B錯誤；如下圖，當(dāng)直線與該圖像恰有三個公共點時，應(yīng)該有2條直線，故C錯誤；關(guān)于x的方程，即或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，關(guān)于x的方程的所有實數(shù)根的和為，故D正確，故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、新定義、二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）定義符號含義為：當(dāng)時；當(dāng)時．如：，．則的最大值是（）A． B． C．1 D．0【答案】A【分析】的含義就是取二者中的較小值，畫出函數(shù)圖象草圖，利用函數(shù)圖象的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：在同一坐標(biāo)系中，畫出二次函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象，如圖所示，設(shè)它們交于點A、B，令，即，解得：或，∴A（，），B（，），觀察圖象可知：①當(dāng)時，，函數(shù)值隨x的增大而增大，其最大值為；②當(dāng)時，，函數(shù)值隨x的增大而減小，其最大值為小于；③當(dāng)時，，函數(shù)值隨x的增大而減小，最大值為．綜上所述，的最大值是．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，充分理解定義和掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考一模）定義新運算：對于任意實數(shù)a，b，都有a⊕b＝ab＋a＋b，其中等式右邊是通常的加法、乘法運算，例如2⊕3＝2×3＋2＋3＝11．若y關(guān)于x的函數(shù)y＝（kx＋1）⊕（x－1）圖象與x軸僅有一個公共點，則實數(shù)k的值為_______．【答案】-1或0/0或-1【分析】由定義的新運算求得y關(guān)于x的函數(shù)為：y=kx2+2x-1，再由y關(guān)于x函數(shù)的圖象與x軸僅有一個公共點得到4+4k=0，求解即可．【詳解】∵（kx＋1）⊕（x－1）＝（kx+1）（x-1）+（kx+1）+（x-1）=kx2+2x-1，∴y=kx2+2x-1，當(dāng)k≠0時∵y=kx2+2x-1的圖象與x軸僅有一個公共點，∴△=0，即4+4k=0，∴k=-1．當(dāng)k=0時，函數(shù)為y=2x-1，其圖象與x軸一定有一個交點故答案是：-1或0．【點睛】考查了一元二次方程的根與二次函數(shù)圖像和x軸交點坐標(biāo)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟記：一元二次方程有兩個根，說明二次函數(shù)圖像和x軸的橫坐標(biāo)有兩個交點；一元二次方程有一個根，說明二次函數(shù)圖像和x軸的橫坐標(biāo)有一個交點；一元二次方程（在實數(shù)范圍）無解，說明二次函數(shù)圖像和x軸的橫坐標(biāo)沒有交點．3．（2022秋·浙江寧波·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）定義：將二次函數(shù)在軸下方部分沿軸向上翻折，翻折后部分與原來末翻折部分形成一個新的函數(shù)，那么稱函數(shù)為原二次函數(shù)的有趣函數(shù)．(1)二次函數(shù)_______________（有/沒有）有趣函數(shù)．(2)已知二次函數(shù)與軸交于點（1，0），（5，0），與軸交于點，求拋物線的解析式，并在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖像．(3)在（2）的條件下：①過點作軸的平行線與拋物線交于點，求線段的長度．②若函數(shù)為原二次函數(shù)的有趣函數(shù)，畫出函數(shù)的圖像并求解當(dāng)函數(shù)的函數(shù)值大于2時，自變量的取值范圍（直接寫出答案）．【答案】(1)沒有(2)，圖見解析(3)①6；②或或【分析】（1）由于函數(shù)在軸下方?jīng)]有圖像，根據(jù)定義可知二次函數(shù)沒有有趣函數(shù)；（2）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（3）①根據(jù)平行的性質(zhì)，求出點坐標(biāo)，即可求的長；②畫出圖像，結(jié)合圖像求范圍即可．【詳解】（1）解：，函數(shù)在軸下方?jīng)]有圖像，二次函數(shù)沒有有趣函數(shù)；（2）解：將、，代入，，解得，；作圖如下：（3）解：①軸，，解得或，，；②當(dāng)時，，解得或，或時，或的函數(shù)值大于2；函數(shù)關(guān)于軸對稱的函數(shù)解析式為，當(dāng)時，解得或，時，的函數(shù)值大于2；作出函數(shù)圖像如下：綜上所述：或或時，函數(shù)的函數(shù)值大于2．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，弄清定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題九二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合問題】【例9】（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考三模）如圖，已知拋物線與x軸的交點A，B的橫坐標(biāo)分別為和4，設(shè)頂點為D，則下列結(jié)論：①；②；③；④若拋物線經(jīng)過，則關(guān)于x的一元二次方程的兩個根分別為，6；⑤當(dāng)時，是等腰直角三角形，其中正確的個數(shù)是（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根據(jù)拋物線可表示為得即可判斷的正負(fù)及的關(guān)系可判斷①②③；根據(jù)圖象可知，對稱軸為求出對稱點的坐標(biāo)，可判斷④，根據(jù)求出拋物線解析式，再求出的坐標(biāo)，以此即可判斷⑤．【詳解】解：拋物線與x軸的交點A，B的橫坐標(biāo)分別為和4，則拋物線可表示為，，，，故①錯誤；，故②正確；，故③錯誤；拋物線的對稱軸為，關(guān)于直線的對稱點為，∴關(guān)于x的一元二次方程的兩個根分別為，5，故④錯誤；當(dāng)時，，頂點，，，且，是等腰直角三角形，故⑤正確．故選：A．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系、拋物線與軸的交點坐標(biāo)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)拋物線與軸的交點坐標(biāo)求出對稱軸，得到與之間的數(shù)量關(guān)系，再利用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江西吉安·九年級江西省泰和中學(xué)校考階段練習(xí)）已知三個不重合的點，，均在拋物線（）上，且，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】根據(jù)，推出拋物線的對稱軸為：，得到，為拋物線的頂點，再根據(jù)，和二次函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴拋物線的對稱軸為：，∴，為拋物線的頂點，∵，∴，∴拋物線上的點離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，∴，∴，①，無解；②，解得：，③，解得：；綜上：或；故選D．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是求出對稱軸，確定拋物線開口向下，，為拋物線的頂點．2．（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州市振華中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖，拋物線與x軸交于點A、B，把拋物線在x軸及其上方的部分記作，將向右平移得，與x軸交于點B、D．若直線與、共有2個不同的交點，則m的取值范圍是______．【答案】或者，或者【分析】首先求出點A和點B的坐標(biāo)，然后求出解析式，分別求出直線與拋物線，相切時m的值以及直線過點A、B時m的值，結(jié)合圖形即可得到答案．【詳解】令，即，解得或，則點，，拋物線：，，由于拋物線向右平移兩個長度單位得拋物線，則拋物線解析式為，，令，即，解得或，則點，如圖，當(dāng)與拋物線：相切時，令，即，根據(jù)相切可知方程有兩個相等的解，即，解得，當(dāng)過點時，即：，解得，當(dāng)與拋物線：相切時，令，即，根據(jù)相切可知方程有兩個相等的解，即，解得，當(dāng)過點時，即：，解得，結(jié)合圖象可知：直線與、共有2個不同的交點時，則m的取值范圍是，或者，或者，故答案為：或者，或者．【點睛】本題主要考查拋物線與x軸交點以及二次函數(shù)圖象與幾何交換的知識，解答本題的關(guān)鍵是正確畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解題，此題有一定的難度．3．（2023·浙江寧波·?？级＃┤鐖D，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交點C的坐標(biāo)為，且經(jīng)過．

(1)求b和c的值；(2)點P是坐標(biāo)平面內(nèi)的一動點，將線段繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得，其中A、B的對應(yīng)點分別是、．①當(dāng)與D點重合時，請在圖中畫出線段，并直接寫出點P的坐標(biāo)；②當(dāng)點P在線段上，若線段與拋物線有公共點，請直接寫出P點的橫坐標(biāo)m的取值范圍．【答案】(1)(2)①

②或【分析】（1）運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）①過點作軸的垂線交軸于點，交于點,則，即，，根據(jù)解題即可；②由當(dāng)時，，由旋轉(zhuǎn)可得)，再根據(jù)求出解集即可．【詳解】（1）解：把和代入得：，解得，∴（2）①解：如圖，過點作軸的垂線交軸于點，交于點,則，由旋轉(zhuǎn)得：，，∴，∴，∴，∴，，令，則，解得：∴設(shè)點坐標(biāo)為，則，，即，解得：，∴點坐標(biāo)為，②解：∵，當(dāng)時，，由題可知：)，即，由同號兩數(shù)相乘得正可知：m，同號，∴或解得：或，又∵，∴或【點睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，旋轉(zhuǎn)得性質(zhì)和全等三角形，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【重難點訓(xùn)練】1．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)（a為常數(shù)，且），下列結(jié)論：①函數(shù)圖像一定經(jīng)過第一、二、四象限；②函數(shù)圖像一定不經(jīng)過第三象限；③當(dāng)時，y隨x的增大而減??；④當(dāng)時，y隨x的增大而增大．其中所有正確結(jié)論的序號是(

)A．①② B．②③ C．② D．③④【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行逐一分析即可．【詳解】解：∵拋物線對稱軸為，，∴二次函數(shù)圖象必經(jīng)過第一、二象限，又∵，∵，∴，當(dāng)時，拋物線與x軸無交點，二次函數(shù)圖象只經(jīng)過第一、二象限，當(dāng)時，拋物線與x軸有兩個交點，二次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故①錯誤；②正確；∵拋物線對稱軸為，，∴拋物線開口向上，∴當(dāng)時，y隨x的增大而減小，故③正確；∴當(dāng)時，y隨x的增大而增大，故④錯誤，故選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與各項系數(shù)符號之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）設(shè)二次函數(shù)是實數(shù)，則（

）A．當(dāng)時，函數(shù)的最小值為 B．當(dāng)時，函數(shù)的最小值為C．當(dāng)時，函數(shù)的最小值為 D．當(dāng)時，函數(shù)的最小值為【答案】A【分析】令，則，解得：，，從而求得拋物線對稱軸為直線，再分別求出當(dāng)或時函數(shù)y的最小值即可求解．【詳解】解：令，則，解得：，，∴拋物線對稱軸為直線當(dāng)時，拋物線對稱軸為直線，把代入，得，∵∴當(dāng)，時，y有最小值，最小值為．故A正確，B錯誤；當(dāng)時，拋物線對稱軸為直線，把代入，得，∵∴當(dāng)，時，y有最小值，最小值為，故C、D錯誤，故選：A．【點睛】本題考查拋物線的最值，拋物線對稱軸．利用拋物線的對稱性求出拋物線對稱軸是解題的關(guān)鍵．3．（2023·內(nèi)蒙古包頭·?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點A和點B的坐標(biāo)分別為和，若拋物線與線段有且只有一個交點，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的對稱軸公式計算拋物線的對稱軸為：直線，得拋物線與軸交于點，先計算過邊界點時，，對于拋物線，當(dāng)時，無論取何值，拋物線的對稱軸不變，拋物線與軸的交點都在點的上方，隨著的值變大，拋物線的開口越小，可得答案．【詳解】解：拋物線的對稱軸為直線：，對于，當(dāng)時，，∴拋物線與軸交于點，∵，∴拋物線的開口向下，∴拋物線在平面直角坐標(biāo)系中的大致位置如圖：

當(dāng)拋物線經(jīng)過點時，，解得，對于拋物線，當(dāng)時，無論取何值，拋物線的對稱軸不變，拋物線與軸的交點都在點的上方，隨著|a|的值變大，拋物線的開口越小，∵拋物線與線段只有一個交點，∴，又∵，∴（兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值較大的反而?。嗟娜≈捣秶牵蔬x：A．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握的值變大，拋物線的開口越小，并利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．4．（2023春·四川南充·九年級四川省南充高級中學(xué)校考階段練習(xí)）方程有兩實根，，且滿足，那么k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用拋物線與軸的交點問題，把題目轉(zhuǎn)化為拋物線與軸的交點一個在與之間，另一個在和之間，利用拋物線開口向上可得不等式組，然后解不等式組即可．【詳解】解：把方程有兩實根，，且滿足，轉(zhuǎn)化為拋物線與軸的交點一個在與之間，另一個在和之間，，；，；，，，解得．故選：C．【點睛】本題考查了拋物線與軸的交點：把求二次函數(shù)，，是常數(shù)，與軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程．也考查了解一元二次方程．5．（2023·安徽六安·?？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，已知拋物線：．（1）該拋物線的對稱軸是；（2）若，，為拋物線上三點，且總有，結(jié)合圖象，則m的取值范圍是；【答案】直線【分析】（1）根據(jù)拋物線對稱軸為直線代入即可求解；（2）由拋物線解析式可得拋物線開口方向及對稱軸，分類討論與，由兩點中點與對稱軸的位置關(guān)系求解．【詳解】解：（1）拋物線：，對稱軸為直線；故答案為：直線；（2）拋物線對稱軸為直線，拋物線開口向上，，，即，解得，，，解得，，故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．6．（2023·湖南株洲·統(tǒng)考一模）把二次函數(shù)的圖像作關(guān)于x軸的對稱變換，所得圖像的解析式為，，若，則m的最大值是．【答案】04【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)特征得出原二次函數(shù)的頂點為，即可得出原二次函數(shù)為，與原二次函數(shù)比較可得，可得；然后再將代入求解即可求得m的最大值．【詳解】解：把二次函數(shù)的圖像作關(guān)于x軸的對稱變換，所得圖像的解析式為原二次函數(shù)的頂點為，原二次函數(shù)為，，∴；，，，即，m的最大值是4；故答案為：0；4．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)